Условие - Reshaem.Net

1.
Найти
минимум
целевой
функции
методом
сопряженных
направлений:
𝑓(𝑥) = 3𝑥1 −𝑥13 + 3𝑥22 + 4𝑥2
2
𝑥̅ = (−1; − ) ; 𝑥̅ 2=(0,78;1)
3
В качестве сопряженных направлений возьмём единичные вектора, т.е.
1
 0
d1  e1   ; d 2  e2   .
 0
1
Первая итерация:
x 1  x 0  0 d 2
x1  0.78;1  0 0;1  0.78;1  0 
f    3  0.78  0.78  3  1  0   4  1  0  
3
2
 2.34  0.474552  3  60  30  4  40 
2
 8.865448  100  30
2
f    10  60
0  1.6667
x1  0.78;1  0   0.78;1  1.6667   0.78;0.6667 
Вторая итерация:
x 2  x1  1d1
x 2  0.78;0.6667   1 1;0  0.78  1 ;0.6667 
f    3  0.78  1   0.78  1   3   0.6667   4   0.6667  
3
2


 2.34  31  0.474552  1.82521  2.341  1  1.3334664  2.6668 
2
 0.533312  1.1748 12.341  1
2
f    1.1748  4.681  31
3
3
2
1  0.78
x 2  0.78  1 ;0.6667   0.78  0.78;0.6667  0;0.6667 
Третья итерация:
x 3  x 2  2 d 2
x 3  0;0.6667  2  0;1  0;0.6667  2 
f    3  0  0 3  3   0.6667  2   4   0.6667  2  
2
 3  1.3334664  4.00022  32  2.6668  42 
2
 1.6666664  0.00022  32
2
f    0.0002  62
  0.0000333
x 3  0;0.6667  2   0;0.6667
1.
Покажите, как изменится решение для начальной точки x0 =
[0.78, –0.78]T.
2. Методом сопряженных градиентов найти точку минимума функции
f(x):
f(x) = x12 + 2x22 + x1 x2 − 7x1 − 7x2 x=[0;0]T
Схема алгоритма МСГ.
Положить k  0 .
 
Пусть x 0 - начальная точка; g0  f x 0  Ax 0  b ,
Шаг 1
d0  g0 ; k  0 .
Определить x k 1  x k   k d k , где
Шаг 2
k  
g kT d k

d kT Ad k
f kT d k
d kT Ad k
.
Затем d k 1   g k 1   k d k ,
k 
g kT1 Ad k
d kT Ad k
,
 k находится из условия d k 1 Ad k  0 (сопряжены относительно матрицы A
).
Шаг 3
Положить k  k  1  Ш. 2.
Критерий останова одномерного поиска вдоль каждого из направлений


d k записывается в виде: f x k 1 d k  0 .
Значения
направление
dk
i  i  1, k  1 
было
выбираются
таким
образом,
чтобы
A -сопряжено со всеми построенными ранее
направлениями.


2
d d

 d f ( x)
f ( x)  

 dx12
d x1  d x2

2 1
H  
 simplify  

1 4
2
d  d


d
f ( x) 
dx2 dx1f ( x) 
2

d x2
 

 d f ( x) 
d x1
   2 x1  x2  7 
g ( x1 x2)  
d
  x1  4 x2  7 
 dx2f ( x) 


Шаг 1
пусть x1  0
x2  0
начальная точка
Шаг 2
определяем
7
d0  g ( x1 x2)   
7
k - номер итерации
k  0
начала нужно определить

k
 g( x1x2)T  d0  1

 d0T  H d0  4


k0  
координаты следующей точки
находим
определяем
Шаг 1:
Шаг 2:
определяем
x
k 1
но для начала нужно определить

k
x
k 1
но
для
Получаем результат: [3; 1].
Матрица Гессе для функции f(x):
 2

 d f ( x) d  d f ( x)  
 dx12
d x1 dx2  
2
H  
 simplify  
1
2
d  d


d
f
(
x
)
f
(
x
)


dx2 dx1

 dx22
 

1

4
Матрица положительно определена
Вычислим градиент функции в этой точке:
 1
f1( x)  x
2
 2
2 x
2
 x x  7 x  7 x
1 2
1
2
0
x   3 
 
1
0
 f1( x)   0 
x
 
0
Вектор-градиент в этой точке обращается в нуль, следовательно точка
x1- стационарная, а т.к. функция вогнута (матрица Гессе положительно
определена), то точка x1 = [3; 1] является точной минимума.
2.
Покажите, как изменится решение для начальной точки x0 =
[–7, –7]T.