Е.К. Борзенко, канд. пед. наук, доцент кафедры МиМОМ ФГБОУ

Е.К. Борзенко,
канд. пед. наук, доцент кафедры МиМОМ
ФГБОУ ВПО «АГАО» (г. Бийск, Россия),
И.Г. Корнева,
старший преподаватель кафедры МиМОМ
ФГБОУ ВПО «АГАО» (г. Бийск, Россия)
ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ПРИ ПОДГОТОВКЕ ШКОЛЬНИКОВ К ЕГЭ ПО
МАТЕМАТИКЕ
В заданиях ЕГЭ по математике содержится 6 геометрических
задач: 3 планиметрических, 3 стереометрических. Часть 1 содержит 3
задачи (две из планиметрии и одну из стереометрии) базового уровня
сложности. Часть 2 включает 3 задачи (две из стереометрии и одну из
планиметрии) повышенного и высокого уровня сложности.
Анализ результатов ЕГЭ по математике в части геометрии
показывает, что основные трудности решения геометрических задач
связаны не столько с незнанием формул и теорем или неумением их
применять, сколько с недостаточно развитыми пространственными
представлениями, неумением правильно изображать фигуры на
плоскости и в пространстве, а также потерей интереса к математике.
В отчетах ФИПИ в 2012 году отмечается, что ученики в меньшей
степени владеют наглядными методами, чем алгоритмическими,
требующими применения формул. К заданию С2 приступили 29%
участников экзамена, а полностью выполнили лишь 5,5% экзаменуемых.
К заданию С4 не приступали 86,56 %, а из приступивших положительный
результат получили лишь 1,99% учащихся. Результаты 2013 года
зафиксировали следующие проблемы при выполнении геометрических
задач части В: отсутствие видения геометрической конструкции,
вычислительные ошибки, неверное применение формул. К заданию С2
приступили 17 % участников, полностью выполнили лишь 6,2% из них. К
заданию С4 приступили 23%, а полностью выполнили 4,6%. В качестве
мер по организации школьного математического образования
называются: переход на разноуровневое математическое образование,
увеличение веса геометрии, анализа данных, статистики и логики и др.
[1].
Остановимся на проблеме совершенствования геометрической
составляющей подготовки учащихся к ЕГЭ.
И.Ф. Шарыгин отмечает, что для успешного решения
геометрических задач необходимы три слагаемых: умение правильно и
быстро производить чертеж к задаче, оперирование методом решения (в
основном аналитическим) и некоторый запас опорных задач, который
позволяет осуществить переход от теоретического материала к решению
задач [2].
Итак, чтобы научить учащихся самостоятельно решать
геометрические задачи, необходимо:
 дать элементарные знания (определения, аксиомы,
теоремы) и выработать прочные умения и навыки по
их применению;
 выделить опорные задачи, которые не вошли в
число аксиом и теорем, но их часто используют при
решении более сложных задач;
 познакомить с основными приемами и методами
решения геометрических задач и сформировать
прочные умения и навыки их применения.
Рассмотрим подробнее сущность этих рекомендаций.
В процессе изучения геометрии необходимо, прежде всего, уделять
внимание формированию базовых знаний курса (определения, аксиомы,
теоремы). На этапе усвоения теорем и понятий целесообразно выделять
алгоритмы применения теорем, формул и определений при решении
задач. Сама формулировка теоремы или определения является свернутой
формой алгоритма. Алгоритм является развернутой пошаговой
программой [3]. Приведем примеры таких алгоритмов.
1. Теорема. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Алгоритм применения данной теоремы:
1 шаг – найти в данной плоскости две пересекающиеся
прямые,
2 шаг – доказать перпендикулярность данной прямой и
одной из скрещивающимися прямыми и т.д.).
3 шаг – доказать перпендикулярность данной прямой и
другой из пересекающихся прямых,
4 шаг – сделать вывод о перпендикулярности прямой и
плоскости.
2.
Определение. Угол между прямой и плоскостью
Алгоритм построения угла между прямой и плоскостью:
1 шаг – из любой точки прямой провести перпендикуляр к
плоскости,
2 шаг – соединить основание перпендикуляра с точкой
пересечения прямой и плоскости (построить проекцию
прямой на плоскость),
3 шаг – угол между прямой и её проекцией на плоскость
является искомым.
Формула. Теорема косинусов
Алгоритм применения данной теоремы:
1 шаг – найти квадраты известных сторон,
2 шаг – найти косинус угла между известными сторонами,
3 шаг – найти удвоенное произведение этих сторон на
косинус угла между ними,
4 шаг – подставить найденные результаты в формулу.
Из данной теоремы можно составить формулу для вычисления
косинуса угла треугольника, если известны стороны.
Отработку алгоритмов полезно проводить при решении однодвушаговых задач на готовых чертежах. Приведем примеры таких задач.
Задача. Дано: ABCD – прямоугольник. Прямая MB перпендикулярна
плоскости ABC. Доказать перпендикулярность плоскостей AMB и MCB.
3.
M
C
B
A
D
Задача. Дано: MN – ребро двугранного угла. Точки A и B лежат в разных
гранях двугранного угла. Величина двугранного угла равна 60 0. Найти
AB.
A
M
A1
C B1
N
4 2
5
B
Целью изучения геометрии является не только знание теории, но
и умение решать задачи, которое основывается на знании достаточно
большого количества геометрических фактов (опорных задач). Такой
подход к отысканию плана решения той или иной конкретной задачи
помогает быстрее найти этот план и успешно реализовать его. Нет
полного перечня опорных задач, которые должен знать учащийся. Но
какой-то минимум этих сведений должен быть известен учащемуся. Без
знания такого минимума вряд ли можно продвинуться дальше решения
легких задач.
В качестве опорных задач можно предложить следующие:
свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника; свойства медианы,
проведенной к гипотенузе; свойство касательной и секущей, проведенной
из одной точки; свойства пирамиды с равными боковыми ребрами, с
равнонаклоненными боковыми гранями и т.д.
Приведем пример задачи, которую можно включить в список
опорных непосредственно после изучения теоремы синусов.
Задача.
Доказать, что отношение длины стороны треугольника,
вписанного в окружность, к синусу противолежащего угла равно 2R, R
– радиус этой окружности.
Эту задачу можно сформулировать и по-другому: хорда
окружности равна произведению диаметра окружности
на синус
вписанного угла, опирающегося на эту хорду.
Результат этой опорной задачи можно применить при решении
следующей задачи С4 из ЕГЭ.
Задача. Продолжение биссектрисы СД неравнобедренного треугольника
АВС пересекает окружность, описанную около этого треугольника в
точке Е. Окружность, описанная около треугольника АДЕ, пересекает
прямую АС в точке, отличной от А. Найти радиус окружности,
описанной около треугольника АВС, если АС=8, А F=3, угол ВАС равен
450.(Отв. 5 / 2; 11/ 2. )
Очень часто при решении достаточно сложных задач приходится
прибегать к использованию комбинаций приемов и методов. Отметим
несколько стандартных приемов.
1) Если в условии есть медиана треугольника, то стоит
попытаться продолжить ее на такое же расстояние. При этом
получится параллелограмм, одна диагональ которого равна
стороне треугольника, а другая – удвоенной медиане. Далее
применяют
метрические
соотношения
диагоналей
параллелограмма. Этот прием часто называют «удвоение
медианы».
С помощью этого приема можно решить задачу.
Задача. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4,
проведена медиана к боковой стороне, равная 3. Найти основание
треугольника.
2) Если в условии фигурирует середина отрезка, то стоит
добавить середины других отрезков и рассмотреть средние
линии треугольника. Этот прием иногда называют
« метод средних линий».
С помощью этого приема можно решить задачу С4 из ЕГЭ.
Задача. Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного треугольника
ABC с прямым углом B пересекаются в точке O. Найдите площадь
треугольника ABC, если CO=9, OD=5. (Отв.1323/20).
В указанных выше приемах следует выделить следующие
дополнительные построения: продолжение отрезка на определенное
расстояние или до пересечения с заданной прямой, проведение прямой
через заданную точку параллельно данной.
3) Если в условии задачи линейный параметр изменяется в
несколько раз, то целесообразно применить свойство
отношений площадей и объемов подобных фигур.
Приведем примеры задач ЕГЭ на применение данного приема.
Задача. Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя
линия. Найдите площадь треугольника CDE.
Задача. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если
все ее ребра увеличить в 40 раз?
Задача. Объем конуса равен 84. Через середину высоты параллельно
основанию конуса проведено сечение, которое является основанием
меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Задача. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем
которой равен 12, проведена плоскость, параллельная боковому ребру.
Найдите объем отсеченной треугольной призмы.
Считаем, что предлагаемые подходы необходимо применять как
на самих уроках геометрии, так и на элективных курсах по геометрии
при подготовке школьников к ЕГЭ по математике.
1.
2.
3.
4.
Литература
Ященко, И.В. Методические рекомендации по некоторым
аспектам совершенствования преподавания математики
[Электронный ресурс] / И.В. Ященко, А.В. Семенов, И.Р.
Высоцкий. –
Режим доступа http://www.fipi.ru/binaries/1562/MATnew.pdf . 29
Jan 2013 23:30:02.
Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение
задач [Текст]: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. / И.Ф.
Шарыгин. – М.: Просвещение, 1989. – 252 с.
Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения
математике [Текст]: Пособие для учителей / Л.М. Фридман. – М.:
Флинта. – 1998. – 224 с.
Борзенко, Е.К. Методы решения стереометрических задач
[Текст]: Учебно-методическое пособие для студентов / Е.К.
Борзенко, И.Г. Корнева; Алтайская гос. академия образования
им. В.М. Шукшина. – Бийск: ФГБОУ ВПО «АГАО», 2013. –
102с.