Задача Коши

УДК 517.956.32
Задача Коши для гиперболического уравнения третьего порядка
В.И. Корзюк, И. С. Козловская
Изучается задача Коши с негладкой границей для линейного дифференциального
уравнения с частными производными третьего порядка гиперболического типа с волновым оператором в главной части. Методом энергетических неравенств и операторов
осреднения с переменным шагом доказывается существование и единственность сильного решения
1. Постановка задачи
В n  1 - мерном евклидовом пространстве R n 1 переменных x = ( x0 ,..., xn ) имеется область Q с кусочно-гладкой границей Q . Рассматривается следующая обобщённая
u :Q
задача
Коши.
В
Q
задаётся
относительно
искомой
функции
x → u ( x ) ∈R линейное гиперболическое уравнение
Lu =
где L( 2 ) 
∂ ( 2)
L u + A( 2) = f ( x ) ,
∂
x0
n
  ( ij )  
2
(0)
(0)
A

a
,
, A( 2 ) =

A




x

x
x02
i,j 1
i
j 
(1.1)
∑a ( ) ( x)D
α
α
(
)
, α = 0 ,...,  n ,
α ≤2
∂α
α =  0 + ... +  n ,  i i  0,1,..., n  – целые неотрицательные числа, D =  0
;
∂
x0 ...∂
xn n
α
a ( j ) ( j  0,..., n) , a (ij ) (i, j  1,..., n) , a α , f − заданные в Q функции. На Q задаются
( )
начальные условия вида
lk u 
ku
x0k
 k  x 
k  0,1,2 ,
x  Q .
(1.2)
xQ
Здесь граница Q области Q − кусочно-гладкая гиперповерхность, для которой справедлива формула Остроградского. Предполагается, что коэффициенты уравнения (1.1) достаточно гладкие. Обозначим через Q − замыкание области Q . Тогда обозначение C m Q  означает множество непрерывно дифференцируемых до порядка m
функций, т. е. u и все ее производные D α u из множества непрерывных функций C Q  ,
1
( )
где α  m . Коэффициенты уравнения (1.1) a ( j ) ( j = 0,..., n) , a α ∈C (Q ) , a (ij ) ∈C 2 (Q ) ,
(i, j = 1,..., n) .
( 2)
Предположим, что коэффициенты a (ij ) оператора L
являются симметричными
относительно индексов, т.е. a (ij )  a ( ji) во всей области Q и всех i, j  1, . .. n, , и представляют матрицу положительной квадратичной формы, удовлетворяют неравенству
n
∑a  x  
(i , j )
i
j
 c0 ξ
(1.3)
i , j 1
для любого действительного вектора ξ = (1 , . . ., n ) ∈R n , константа c0  R и c0  0 ,
x ∈Q .
Если выполняется условие (1.3), то оператор L в Q является гиперболическим
относительно вектора η = (1,0,...,0) , 0  1 , i  0 , i  1,..., n .
Задачи Коши и Гурса для гиперболического уравнения четвёртого порядка с биволновым оператором изучались в работах [1,2], где доказаны теоремы существования
и единственности сильных решений этих задач. Уравнение (1.1), где в главной части
оператор

x0
n
 2

2
 2  a 2 )  ,    2 , описывает распространение акустических волн
i 1 xi
 x0

с дисперсией [3,4,5]. Для уравнения

   2u
 2  a 2u   A2 u  f  x 
 x0   x0

(1.4)
в [6,7] изучались граничные задачи в нецилиндрических областях. Этому уравнению
посвящены и другие работы.
В [8] рассматривались некоторые граничные задачи с простейшими граничными
условиями для уравнения
A x; D 
где
∂u
 B x; D u  f  x  ,
∂ρ
n
∂u
∂u
 ∑i  x 
, A(x; D) − гиперболический оператор второго порядка. Однако
∂ρ i  0
∂xi
здесь в норму пространства B решения u входят не все производные второго порядка.
2
Данную статью можно рассматривать ещё и как определённый вклад в теорию
постановки и разрешимости
граничных задач для дифференциальных уравнений с
частными производными.
2. Функциональные пространства.
Задачу (1.1) – (1.2) будем рассматривать не глобально в области Q , а в некоторой области
G  G y   Q , граница которой состоит из нижнего основания
 ( 0)  G  Q и боковой характеристической поверхности  , G – замыкание области
G . Гиперповерхность  описывается следующим образом. Для точек x ∈ единичный
вектор нормали ν ( x ) = ( 0 ( x ),...,  n ( x)) , внешний относительно области G , удовлетворяет равенству
n
v02  A00   x, v  x   v02  x    ai , j   x vi  x v j  x   0 ,
v0  0 .
(2.1)
i , j 1
Точка y = ( y0 ,..., yn ) – вершина области G , где y0  sup x0 . Очевидно, что для люxG
бой точки y  Q в силу условия (1.3) можно построить соответствующую область
G y   Q . Следовательно, объединение ∪yQ G  y  представляет область Q . Если докажем разрешимость задачи (1.1), (1.2) для любой области G ( y ) (любого y  Q ), то тем
самым будет доказана разрешимость этой задачи во всей области Q .
Чтобы исследовать задачи (1.1), (1.2) функциональными методами запишем её для
области G в операторном виде
Lu ( x ) = F ( x ) , x  G ,
(2.2)
где оператор L = (L , l0 , l1 , l2 ) , правая часть F = ( f , 0 , 1 , 2 ) . В качестве области определения D ( L) оператора
L возьмём множество непрерывно дифференцируемых до
третьего порядка функций в G , т.е. D(L) = C 3 (G ) .
Для исследования уравнения (2.2) относительно его разрешимости введем функциональные пространства B , где D( L) ⊂B , и H правых частей F уравнения (2.2). В B
и H рассмотрим уравнение (2.2).
А теперь конкретно переходим к определению этих пространств. Пусть ~y 0 такое,
y = (~
y0 , y1 ,..., yn ) принадлежит основанию  ( 0 ) конуса G . Обозначим через ( x0 )
что ~
y0  x0  y0 и такое что:
сечение G , проходящее через точку x = ( x0 , y1 ,..., yn ) , ~
3
i)
полином
 02 z   A0( 0 ) ν , z     0
для
почти
всех
переменных
z  ( z0 ,..., zn )  ( x0 ) , где ν = (0 ,...,  n ) − единичный вектор нормали к гиперповерхно-
сти ( x0 ) в точке z  ( x0 ) ;
ii) сечение ( x0 ) является кусочно-гладкой гиперповерхностью и такой, что
гладкие ее части являются поверхностями класса C 1 ;
iii) совокупность сечений ( x0 )~y0  x0  y0 такова, что два различных сечения из
этого множества не пересекаются, ни в какой точке x ∈G , т.е. точки одного сечения
находятся по одну сторону по отношению к другому сечению,
 ( x )  G .
~
y 0 ≤x0 ≤y 0
0
y0 )   ( 0 ) .
Отметим, что ( ~
Обозначим через B банахово пространство, получаемое замыканием множества
D ( L) по норме
u
где  L
2 (  ( x0 ))
B

sup
∑D u
α
~
y 0 ≤x0 ≤y 0  ≤2
( x0 ) ,
(2.3)
L2 (  ( x0 ))
– норма пространства квадратично – суммируемых по Лебегу функций,
заданных на гиперповерхности ( x0 ) .
~
С помощью нормы (2.3) можно определить банахово пространство B еще сле-
дующим образом. Предположим, что функции u , заданные почти всюду в G, являются
квадратично-суммируемыми и имеют квадратично-суммируемые в L2 (( x0 )) обобщенy  x0  y 0 . Совокупные производные до второго порядка на каждом сечении ( x0 ) , ~
ность таких функций составляет банахово пространство с нормой (2.3), которое обозна~
чим через B .
y  x0  y 0 , такие, что
Условие 1. Нижнее основание  ( 0 ) и все сечения ( x0 ) , ~
~
B B.
Обозначим через H гильбертово пространство правых частей уравнения (2.2), а
именно:
H = L2 (G) × H 2 (( 0) ) × H 1 (( 0) ) × L2 (( 0) ) .
4
Здесь L2 (G) и L2 ( ( 0) ) − пространства квадратично-суммируемых по Лебегу
функций, определенных соответственно в G и  ( 0 ) , H i ( ( 0) ) – гильбертовы пространства функций, определенных почти всюду на  ( 0 ) и квадратично-суммируемых вместе
с квадратично-суммируемыми обобщенными производными до порядка i  1,2 включительно. Пространства
H i ( ( 0) ) рассматриваем как замыкания по норме этих про-
странств сужений на  ( 0 ) функций из D ( L) , i  0,1,2 , H 0 ( ( 0) )  L2 ( ( 0) ) .
Далее уравнение (2.2) рассматриваем в пределах только что введенных пространств B и H , где оператор L : B  DL  u → Lu  (Lu, l0u, l1u, l2u)  H .
3. Энергетическое неравенство для оператора L .
Для оператора L уравнения (2.2) докажем энергетическое неравенство. Для этого в виде условия запишем требования относительно гладкости коэффициентов уравнения (1.1). Обозначим через L (G) пространство, в котором норма задается через существенно верхнюю грань ess sup   x  .
x∈G
Условие 2. Коэффициенты
коэффициенты оператора A( 2)
a (i j ) (i, j  1,..., n) оператора A(0) из класса C 1 G , а
aα  L∞(G) .
Теорема 1. При выполнении условия 2 для оператора L задачи (1.1), (1.2) (уравнения (2.2)) в случае области G справедливо энергетическое неравенство
u
B
 c Lu
H
(3.1)
для любой функции u  DL , где положительная константа c не зависит от u .
y0  t  y0 ,
Доказательство. Прежде всего заметим, что каждое сечение (t ) , ~
~
делит область G на две подобласти G t и G t . К G t условимся относить подобласть, для
~
x  ( x0 , y1 ,... yn )  G t , где x0  ( ~
y 0 , t ) , а к G t − подобласть, для которой
которой точки ~
~
~
x  G t , если x0  (t , y0 ) .
Теперь рассмотрим выражение 2LuMu , где разделяющее выражение
 2u
Mu 
 c 2 A( 0) u ,
2
x0
в котором выбор положительной константы c 2  R будет определен ниже. Произведение 2LuMu проинтегрируем по области G t и результат представим в виде суммы
5


2  LuMudx  2  L2 uMudx   A2 uMudx  .
 t

Gt
Gt
G

(3.2)
Подынтегральное выражение 2L( 2) uMu равенства (3.2) представим в дивергентном виде следующим образом:
2
n
   2u 
   2u ( 0) 

 2   2c 2
 2 A u   2c 2 
2L uMu 
x0  x0 
x0  x0
i , j 1 xi

( 2)
  (i j )  2 u  2 u
a

x0 xi x0 x j
i , j 1 x 0 
n

  2 
 i , j 1 x
i

n
 c2 


i , j 1 x 0
 (i j )  2 u  2 u
a

x0 xi x0 x j

 2c 2

i , j , k ,l 1 x k
n
n

 (i j )  2u  2u 
a

2 


x

x

x
0
j
0 

 (i j )  2 u  2 u 
a

2 


x

x

x
0
j
0 

n

  c 2  A ( 0 ) u 2  2c 2  

x0
i , j 1 x i



n
 (i j ) ( k l )  2 u  2 u 
a a
  c 2  

x0 x j xi xl 
i , j , k ,l 1 x 0

 (i j )  2 u

a
A (0) u  


x0 x j


 (i j ) ( k l )  2 u  2 u 
a a




x

x

x

x
j
k
i
l 

 Au, u  ,
(3.3)
где ,   [0,1],     1,
A (u, u ) - квадратичная форма и
 a    x D uD u ,
A (u, u ) 
α ,β
α
β
α , β 2
(
)
коэффициенты a α,β представляют собой произведения констант 1, 2, c 2 , 2c 2 , c 2 , 2c 2 
и т.д. на производные первого порядка по независимым переменным x0 , x1 ,..., xn от коэффициентов оператора L( 2 ) .
Полученное выражение (3.3) подставляем в (3.2). Рассмотрим интеграл
 2L

uMu  A u , u  dx .
2 
G
t
Так как 2L( 2) uMu  A (u, u ) представляет собой выражение дивергентного вида, то
2  LuMudx 
Gt
 
 
  u, u ds   A u, u   A uMu dx ,
0
2
G t
(3.4)
Gt
где G t – граница области G t ,
2
  2u 
2
 2 u 0 
 u, u    2   0  2c 2
A u 0  c 2 A0 u  0 
2
 x0
  x0 

0 

n


 2u  2u
 2u
 2u
 2u
2
2 0 
  a i j   2c 2  2


1

c


2

c
A
u
i  
i
0
2
 x0  x j  x0
 x 0  xi  x 0  x j
 x0  x j 
i , j 1





6


 2u
 2u
 2u
 2u
i j   k l   2
2
a
a

c


2

c
k  ,


0
 x j  x k  xi  xl
 x0  x j  xi  xl 
i , j , k ,l 1

n
(3.5)
ν = (v0 ,..., vn ) - единичный вектор внешней относительно области G t нормали к гипер-
поверхности G t .
y0 ) оснований и боковой
Граница G t состоит из верхнего t  , нижнего ( 0)  ( ~
поверхности t    Gt . На всех этих частях рассмотрим подынтегральное выражение
(3.5), т.е.  0  u, u  как квадратичную форму относительно производных второго порядка. Заметим, что для x ∈t  и x ∈t выполняется неравенство
v0  x   c ( 0 )  0 ,
(3.6)
где ν = (v0 ( x ),..., vn ( x )) – единичный вектор внешней относительно области G t нормали
в точках x  t   t . Для точек x   ( 0 )
v0  x   c 0  0 .
(3.7)
Рассмотрим квадратичную форму (3.5) на (t ) . В силу неравенства (3.6) и при
соответствующем выборе c 2 , чтобы
  c 2  c(1)  0, 1  c 2  c(1) ,
будем иметь оценку
2
2
 2 2
  2u 
2  u
(0)
2
(0)
2
( 2)   u 
( 0)




  x 2  v0  2c  x 2 A uv0  c ( A u ) v0  c   x 2   A u
0
 0 
 0 



2

(3.8)
для всех точек x  t  , где константа c ( 2 ) >0. Неравенства (1.3) и (3.6) порождают неравенство
2
n
(1  c ) ∑a
2
(i j )
i , j 1
n
2
2
 2 
 x  ∂u ∂u v0  c (3) ∑ ∂u  .
∂
x0∂
xi ∂
x0∂
xj
x0∂
xi 
i 1  ∂
(3.9)
Так как c 2  0 , то в силу (1.3), (3.6) и леммы 7.1 в гл. III в [9] существует
c ( 4 )  0 , для которой
c v0
( 2)
n
a
i , j ,k ,l 1
(i j )
a
(k l )
n 
 2u  2u
 2u
 c ( 4)  

x j xk xi xl
i , j 1 xi x j
При достаточно малых положительных c 2 и  выражения
7
2

 .


(3.10)
2c
2
2
 a
n
( ij )
i , j 1
 2u  2u
vi
x0x j x0 2
и
n
 2c 2
 a (i j ) a ( k l )
i , j ,k ,l 1
 2u  2u
k
x0x j xi xl
На основании неравенства Коши-Буняковского можно оценить через (3.8) –
(3.10). В результате получим для некоторой константы c (5) >0

 0  u, u  ≥c (5) ∑Dαu
  x ,
x   t  ,
2
α 2
или
 
  u, u dx  c  D u
0

α
( 5)
α 2
(t )
2

L2  ( t )
.
(3.11)
Рассмотрим теперь квадратичную форму (3.5) для   0 , а независимые переменные x принадлежат  t . Заметим, что единичный вектор ν  x   v0  x ,..., vn  x  , внешний
относительно области G t , в точках x  t удовлетворяет уравнению
v02  x  
n
 a  x v  x v  x  .
(i j )
i
i , j 1
j
(3.12)
Покажем, что в этом случае (на  t ) квадратичная форма  0  u, u  является неотрицательной.
Действительно, выражение 0  u, u  (  0) , используя равенство (3.12), можно представить в виде:
2
2
1 n (i j )   2u 
2  u





 u, u  x  
a
x
v
v

2
c
A( 0)uvi v j  c 2 ( A( 0)u )2 vi v j 

2
  x2  i j
v0  x  i , j 1

x
 0 
0
0 

 2 1  c2
 x ux
0

 2u
 2u  2u
2
2
v
v

1

c
v0   x  
2 0 i
 x0
x0xi x0 x j


2
j

   2u
1 n ( ij )   2u
 2u
a  x  2 vi  c 2 A( 0)uvi  (1  c 2 )
v0    2 v j  c 2 A( 0)uv j 

v0  x  i , j 1
x0xi    x0
  x0
 (1  c 2 )


 2u
 2u   ( 0)
 2u 
  A uv j 
v0   c 2 (1  c 2 ) A( 0)uvi 
 x .
x0x j 
x0xi  
x0x j 

8
(3.13)
В силу неравенства (1.3) выражение (3.13) оценивается снизу следующим образом:
2

c0 n   2u
 2u
2 ( 0)
2
 u, u  x  
  vi  c A uvi  (1  c ) x x v0  
v0  x  i1   x02
0
i


0 

 2u 

 c (1  c ) A( 0)uvi 
x0xi 

2

 x 

2
2
для любой точки x  t . Таким образом,

(0)
(u, u )ds  0 .
(3.14)
t
Неравенства (3.11) и (3.14) являются основными для завершения доказательства
неравенства (3.1). Далее равенство (3.4) запишем так:


(t )

( 0)
(u, u )ds  2(Lu, Mu ) L
t
2 (G
t
)



(0)

 0  (u , u ) x ds   A (u, u )dx  A2 u, Mu
G
t

 
L2 G t
 F u  .
(3.15)
Используя неравенство Коши-Буняковского, оцениваем правую часть (3.15)
сверху. Проделывая оценки для каждого слагаемого получим
F (u )  c ( 6) Lu
2
H
 u
2
H 2 (G t )
,
(3.16)
где
u
H 2 (G t )

Du
α
L2 ( G t )
α 2
.
В силу неравенств (3.11), (3.14) и (3.16) из равенства следует соотношение
Du
2
 u
2
В левую часть (3.17) добавим слагаемое D αu
2
α
α 2

L2  ( t )
c
(7)
Lu
2
H
 .
H 2 Gt

L2  ( t )
(3.17)
 для α  1 путем интегриро-
вания по области G t и соответствующих оценок равенств
2

 α
D αu  2
D u  Dαu
x0
x0


для α  1 . Сложив полученные равенства с (3.17) и применив неравенство Гронуолла,
приходим к неравенству, из которого легко следует и доказываемое энергетическое неравенство (3.1). Теорема 1 доказана.
9
4. Сильное решение.
Оператор L уравнения (2.2), действующий из пространства B , определенного нормой (2.3), в пространство H , допускает замыкание L . Доказательство проводится на
основании критерия оператора, допускающего замыкание. Это означает следующее: ес
ли последовательность uk  0 в B при k   , то последовательность Luk k 1 тоже
должна стремиться к нулю по норме пространства H при k   .
Итак, наряду с оператором L : B  H имеем его замыкание – оператор
L : B  H с областью определения D L  .
Решение операторного уравнения
L u  F , u  DL , F  H ,
(4.1)
называется сильным решением уравнения (2.2) или задачи Коши (1.1), (1.2) в случае области G t .
Теорема 2. При выполнении условия 2 для оператора L задачи (1.1),(1.2) в G t
справедливо энергетическое неравенство
u
B
 c Lu
(4.2)
H
для любого элемента u  DL  , где постоянная c  0 из неравенства (3.1).
Доказательство. Оператор L получен из оператора L путем расширения области определения DL и множества значений RL . Эти расширения полечены по нормам пространств B и H как предельные значения соответствующих последовательностей. Поэтому доказательство неравенства (4.2) проводится с помощью предельного перехода в неравенстве (3.1) на основании определения замыкания линейного оператора
L.
Теорема 3. Пусть выполняется условие 2. Тогда для любого элемента F  H
существует u  B единственное сильное решение задачи (1.1), (1.2) в случае области
G t и справедлива оценка
u
B
c F
H
,
(4.3)
где постоянная c  0 из энергетического неравенства (3.1).
Доказательство. Чтобы доказать существование сильного решения u  B для
любого элемента F  H , надо показать совпадение множества значений RL  с множе-
10
ством элементов пространства H . Но так как RL  RL  , то для этого достаточно
установить плотность множества RL в гильбертовом пространстве H .
Далее доказательство проводиться по схеме доказательства сильных решений
для других задач (см. [1, 2, 7, 8] и др.) с использованием результатов, например, статей
[1, 10].
Задача (1.1), (1.2) является линейной. Следовательно, оператор L также является линейным. Единственность сильного решения и оценка (4.3) следуют из энергетического неравенства (4.2).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Корзюк В.И., Чеб Е. С. Задача Коши для уравнения четвертого порядка с биволновым оператором // Дифференц. уравнения. Т.43, № 5. 2007. С.669-676.
2. Корзюк В.И., Чеб Е.С. Задача Гурса для уравнения четвертого порядка с биволновым оператором Дифференц. уравнения.2009. Т.45, №10. С.1435-1440.
3. Руденко О. В., Солуян С. Н. Теоретические основы нелинейной акустики. М.:
Наука. 1975.
4. Варламов В.В. Асимптотическое решение начально-краевой задачи о распространении акустических волн в среде с релаксацией // Дифференц. уравнения,
1988. Т. 24. № 5. С. 838-844.
5. Варламов В. В., Нестеров А. В. Асимптотическое представление решения задачи
о распространении акустических волн в неоднородной сжимаемой релаксирующей среде //Журнал выч. математики и мат. физики, 1990. Т. 30. № 5. С. 705-715.
6. Корзюк В.И. Энергетическое неравенство для граничной задачи гиперболического уравнения с волновым оператором третьего порядка. Дифференц.
уравнения. 1991. 27, № 6. С. 1014-1022.
7. Корзюк В.И. Граничная задача для гиперболического уравнения с волновым
оператором 3-го порядка. Дифференц. уравнения. Т.40, № 2. 2004. С.208-215.
8. Korzyuk V.I. The Goursat Problem for Hyperbolic linear third order Eguations. Mathematical Modeling and Analysis. V.6, № 2. 2001. P.270-279.
9. Ладыженская О. Ф., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1964.
10. Korzyuk V.I. 10. Mollifiers with Variable Step in the Theory of Boundary Problem for
Partial Differential Equations. Analytic Methods of Analysis and Differential Equations: AMADE-2003 (A.A.Kilbas and S.V.Rogosin eds.). – 2006. – Cottenham, Cambridge: Cambridge Scientific Publishers. – P. 133-152. ISBN 1-904868-41-X.
11