Общая скорость шаров после удара

УДАР АБСОЛЮТНО УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ ТЕЛ
Общие понятия
Удар (соударение) – столкновение двух или более тел, при котором
взаимодействие длится очень короткое время. Например, столкновение
бильярдных шаров, удар человека о землю при прыжке с поезда .
Система тел в процессе соударения – замкнутая система. Силы
взаимодействия между сталкивающимися телами (ударные или мгновенные
силы) столь велики, что внешними силами, действующими на них, можно
пренебречь. Это позволяет систему тел в процессе их соударения
приближенно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней
законы сохранения.
Сущность
удара.
Кинетическая
энергия
относительного
движения
соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой
деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между
соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная
скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это
объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких
поверхностей.
Коэффициент восстановления – отношение нормальных составляющих
относительной скорости тел после (  n ) и до ( n ) удара.

 n
n
(30)
Если   0 , то такие тела – абсолютно неупругие.
Если   1 , то такие тела – абсолютно упругие.
Примеры: для стальных шаров   0,56 ; для слоновой кости   0,89 ; для
свинца   0 .
Линия удара – прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и
нормальная к поверхности их соприкосновения.
Центральный удар – удар, при котором тела до удара движутся вдоль
прямой, проходящей через их центры масс.
Центральный абсолютно упругий удар
Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого в
обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся
кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова
превращается в кинетическую энергию. Следует отметить, что это
идеализация.
Исходные данные. Сталкиваются шары массами m1 и m2 ; скорости шаров до




удара - 1 и  2 , после удара - 1 и  2 . В случае прямого центрального удара
векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии,
соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны
модулям скоростей. Их направления учитываются знаками: положительное
значение приписывается движению вправо, отрицательное – движению
влево. Выполняются законы сохранения импульса и энергии.
Рисунок 9. Сталкиваются шары массами m1 и m2 ; скорости




шаров до удара - 1 и  2 , после удара - 1 и  2 .
Законы сохранения импульса и механической энергии (записаны при
сделанных выше допущениях)
m1 1  m2  2  m1 1  m2  2 ,
m1 12 m2  22 m1 1 2 m2  2 2



2
2
2
2
(31)
Скорости тел после абсолютно упругого удара
После преобразования законов сохранения
m1 1 1   m2 2 2  ;
(*)
1  1  2  2 ;
(**)




m1 12  1 2  m2  22   2 2 .
Решая (*) и (**), получим
1 
 2 
m1  m2 1  2 m2  2 ,
m1  m2
m2  m1  2  2 m1 1
m1  m2
(32)
Частные случаи
Шары с одинаковыми массами – обмениваются энергией.
1   2 ;
m1  m2 ;
 2  1 .
(33)
Второй шар покоится

 2  0,
m1  m2
1 
m1  m2
1 ,
m1  m2
 2 
2 m1
1 .
m1  m2
(34)

 2  0,
m1  m2
1  0 ,
 2  1 .
(35)
Рисунок 10. Если второй шар до удара висел неподвижно, то
после удара остановится первый шар, а второй будет
двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в
котором двигался первый шар до удара.

 2  0,
m1  m2
(36)
1  1 ,
2  1 .
Рисунок 11. Первый шар продолжает двигаться в том же
направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью.
Скорость второго шара после удара больше, чем скорость
первого после удара.

 2  0,
 2  1 .
m1  m2
(37)
Рисунок 12. Направление движения первого шара при ударе
изменяется – шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же
сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей
скоростью, т.е.  2  1 .

 2  0,
1  1 ,
m2  m1
 2 
2 m1 1
 0.
m2
(38)
Пример, столкновение шара со стеной.
Центральный абсолютно неупругий удар
Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого
тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.
Пример: шары из пластилина, движущиеся навстречу друг другу.
Исходные данные. Сталкиваются шары массами m1 и m2 ; скорости шаров до



удара - 1 и  2 ,  - общая скорость шаров после удара.
Общая скорость шаров после удара




m1 1  m2  2
m1  m2
(39)



Вычисляется согласно закону сохранения импульса: m1 1  m2 2  m1  m2  .
Движение шаров навстречу друг другу. Шары будут продолжать двигаться
вместе в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим
импульсом.
Рисунок 13. Движение шаров навстречу друг другу.
О законе сохранения механической энергии. В процессе центрального
абсолютно неупругого удара шаров между ними действуют силы, зависящие
не от самих деформаций, а от их скоростей, поэтому эти силы подобны силам
трения и закон сохранения механической энергии не соблюдается.
Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии,
перешедшей в тепловую или другие формы энергии.
Разность кинетических энергий тел до и после абсолютно неупругого удара
 m  2 m  2  m m  2
T   1 1  2 2   1 2
2 
2
 2
(40)
Или, учитывая выражение для 
T 
m1 m2
1   2 2
2 m1  m2 
(41)
Случай 2  0 (ударяемое тело первоначально неподвижно)

m1 1
,
m1  m2
(42)
T 
m2 m112
m1  m2 2
(43)
Если m2  m1 (масса неподвижного тела очень большая), то   1 и почти
вся кинетическая энергия при ударе переходит в другие виды энергии.
Поэтому для получения значительной деформации наковальня должна быть
массивнее молота.