новая методичка (тепловое излучение, квантовая механика)

М.П. Сарина
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Новосибирск
2015
1
В учебном пособии представлена теория по разделам «Тепловое излучение»,
«Основы квантовой механики», разобраны типичные задачи, подобраны
задачи для самостоятельного решения. Учебное пособие может быть
использовано преподавателями и студентами при изучении этих разделов в
курсе физики.
Составители:
Сарина М.П., канд. техн. наук, доц.,
Рецензент:
Баранов А.В., канд. физ.-мат. наук, доц.
Соколов Ю.В.,к.т.н., доц.
Работа подготовлена на кафедре прикладной и теоретической физики
2
1. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
1.1 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Из курса молекулярной физики и термодинамики известно, что при
температуре выше 0 К атомы и молекулы совершают тепловое движение,
причем чем выше температура, тем выше кинетическая энергия теплового
движения атомов и молекул. Часть энергии теплового движения может
излучаться, поэтому нагретые тела являются источником электромагнитного
излучения в широком диапазоне частот. Свечение тел, обусловленное
нагреванием, называется тепловым излучением.
Экспериментальные исследования показали, что тепловое излучение
имеет непрерывный спектр, то есть на любой частоте имеется некоторая
излучаемая энергия. Распределение энергии по частоте зависит от
температуры тела, при этом для всех тел с повышением температуры общая
излученная энергия возрастает, а максимум излученной энергии смещается в
область более коротких длин волн. Так, например, максимум энергии для
батареи центрального отопления ( T  350 K ) приходится на инфракрасную
область, Солнце ( T  6 103 K ) излучает энергию в видимом диапазоне, а
энергия атомного взрыва ( T  106 K ) излучается в виде рентгеновского и  излучения.
Все остальные виды излучения, необусловленные внутренней энергией
тел носят название люминесценции. Люминесценция может возникать,
например, при механическом воздействии, когда частицы налетают на тело.
Поместим нагретое тело в идеально отражающую оболочку рис.1.1.
3
Рис.1.1
Поскольку температура тела отлична от 0 К ( тело нагрето), то оно
излучает энергию (тепловое излучение). Излученная энергия отражается от
внутренних стенок оболочки и опять поглощается телом. Затем процесс
повторяется
(излучение - отражение- поглощение и т.д.). Равновесное
излучение – это излучение, при котором распределение энергии между телом
и излучением остается неизменным для любой длины волны. Другими
словами, сколько энергии поглощается, столько же ее и излучается для
каждой длины волны. Экспериментально установлено, что равновесное
излучение не зависит от материала излучаемого тела и его формы, оно
зависит
только
от
температуры
тела.
Равновесное
излучение
не
поляризовано, однородно и изотропно (плотность энергии излучения
одинакова
во
всех
точках
пространства,
вектора
напряженности
электрического поля E и магнитной индукции B ориентированы во всех
направлениях). Тепловое излучение – единственный вид излучения, которое
является равновесным.
Для описания спектрального состава теплового излучения рассмотрим
энергию dR , излучаемую в единицу времени с единицы поверхности в
диапазоне частот от  до   d . Энергию, приходящуюся на единичный
диапазон
частот
энергетической
r ,T ,
называют
светимости
спектральной
(спектральной
плотностью
испускательной
способностью). Индексы  и T подчеркивают, что спектральная плотность
энергетической светимости зависит от температуры и частоты. Очевидно,
что
4
dR  rω,T dω
Таким
образом,
спектральная
.
плотность
(1.1)
энергетической
светимости – это энергия, излученная в единицу времени с единицы
поверхности тела в единичном диапазоне частот.
Чтобы найти всю энергию R , излученную с единицы поверхности тела в
единицу времени во всем диапазоне частот, нужно проинтегрировать (1.1)

R   dR   rω,T dω
.
(1.2)
0
Энергия R , излученная с единицы поверхности тела в единицу времени
во всем диапазоне частот называется интегральной испускательной
способностью или энергетической светимостью.
Энергетическую светимость R можно записать и как функцию от длины
волны λ

R   rλ,T dλ
.
(1.3)
0
Связь между rω,T и rλ,T можно найти применяя известное соотношение
λ  2π
c
,
ω
(1.4)
где c – скорость света в вакууме.
Очевидно, что
rω,T dω  rλ,T dλ .
(1.5)
Или
rλ,T  rω,T
Производную
dω
.
dλ
(1.6)
dω
можно найти из (1.4)
dλ
dω
2πc
 2 .
dλ
λ
5
(1.7)
Знак «–» в (1.7) показывает, что при возрастании одной величины,
например λ , другая величина
ω
– убывает, поэтому в дальнейших
выкладках мы его писать не будем. Таким образом,
rλ,T 
2πc
λ
.
r
2 ω,T
(1.8)
С помощью формулы (1.8) можно перейти от rλ,T к rω,T и наоборот.
Для
характеристики
поглощения
телами
спектральную поглощательную способность
излучения
введем
aω,T . Пусть в узком
диапазоне частот от ω до ω  dω в единицу времени на единицу поверхности
погл
тела падает энергия dWω,ω+ dω , часть этой энергии поглощается dWω,ω+
dω .
Спектральной поглощательной способностью называется безразмерная
величина, которая показывает, какая доля энергии, падающая на единицу
поверхности тела в единицу времени поглощается в выбранном диапазоне
частот
aω,T 
погл
dWω,ω+
dω
dWω,ω+ dω
.
(1.9)
Из опыта известно, что при разных температурах тело поглощает тепло
на одинаковых частотах по-разному, то есть вид функции aω,T меняется в
зависимости от температуры. Очевидно, что спектральная плотность
энергетической светимости всегда меньше либо равна единице aω,T  1 .
Особое место в теории теплового излучения занимает абсолютно
черное тело, для которого aω,T  1. То есть абсолютно черное тело
поглощает
всю
падающую
энергию
при
любых
частотах
и
температурах. Идеальных черных тел в природе не существует, однако,
некоторые тела, как, например, сажа или черный бархат
в некотором
диапазоне частот близки по своим свойствам к черному телу.
Модель черного тела можно представить в виде замкнутой полости с
небольшим отверстием (рис.1.2). Луч света попадает внутрь полости и
6
многократно отражается от стенок, вероятность того, что он выйдет наружу,
очень мала. Опыт показывает, что если диаметр отверстия в 10 раз меньше
диаметра полости, то излучение поглощается практически полностью во всем
диапазоне частот. Именно поэтому, если смотреть днем на окна домов с
улицы, они кажутся темными (размер окна намного меньше размера комнаты
и луч света, попав через окно в комнату, многократно отражается от стенок
комнаты, но вероятность того, что он выйдет наружу из окна ничтожно
мала).
Рис.1.2
Наряду с понятием черного тела используют понятие серого тела,
поглощательная способность которого меньше 1 и постоянна при данной
температуре во всем диапазоне частот
c
c
aω,
T  aT  const  1.
На рис. 1.3 показана зависимость коэффициента поглощения от частоты
( при некоторой температуре) для абсолютно черного тела, для серого тела и
для реального тела.
aω,T
Черное тело
1
Серое тело
Реальное тело
ω
Рис.1.3
7
1.2
ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Экспериментальные исследования теплового излучения, интенсивно
проводимые
XIX
веке,
показали,
что
между
испускательной
и
поглощательной способностью тел есть связь. Так, например, швейцарский
физик Пьер Прево в 1809 году установил, что если два тела поглощают
разные количества энергии, то они и излучают разные количества энергии.
Немецкий
физик
Густав
Кирхгофф
в
1859
году,
основываясь
на
рассуждениях Прево вывел закон Кирхгоффа: отношение испускательной и
поглощательной способности тел не зависит от природы тел , оно является
универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры
rω,T
aω,T
 f (ω, T ) ,
(1.10)
где f (ω,T ) - универсальная функция Кирхгоффа. Величины rω,T и aω,T
разны для разных тел, но их отношение – постоянная величина.
Таким
образом, если тело излучает больше энергии, то оно и поглощает больше
энергии. Если тело не поглощает энергии совсем, то оно и не может излучать
энергию.
Найти универсальную функцию Кирхгоффа можно применяя закон
*
Кирхгоффа к абсолютно черному телу. Обозначим rω,T
- спектральная
испускательная способность черного тела, спектральная поглощательная
*
способность черного тела aω,
T  1 . По закону Кирхгоффа
rω,T
*
rω,
T
*
rω,
T
*
 * 
 rω,
T  f (ω, T ) .
aω,T aω,T
1
(1.11)
Таким образом, универсальная функция Кирхгоффа – это не что иное,
*
как испускательная способность абсолютно черного тела f (ω, T )  rω,
T.
Вид функции f (ω,T ) впервые был предложен в 1879 году австрийским
физиком Йозефом Стефаном из анализа экспериментальных
данных, он
показал, что энергетическая светимость всех тел пропорциональна четвертой
8
степени температуры R T 4 . Однако, в 1884 году, австрийский физик –
теоретик Людвиг Больцман доказал, что это утверждение справедливо только
для абсолютно черного тела и нашел коэффициент пропорциональности
R*   T 4 ,
где
R* -
  5,67  108
энергетическая
Вт
м 2К 4
светимость
(1.12)
абсолютно
черного
тела,
- постоянная Стефана - Больцмана. Выражение
(1.12) называется законом Стефана - Больцмана.
Для реальных тел закон Стефана –Больцмана имеет вид
R  AT R*  AT  T 4 ,
где
(1.13)
AT  1 – интегральная поглощательная способность. Энергия,
излученная с поверхности тела площадью S за время t вычисляется
следующим образом
W  R*St   StT 4 ,
(1.14)
а мощность излучения (энергия, излученная в единицу времени)
P  R*S   T 4S .
Если абсолютно черное тело площадью S с температурой T1 находится
в окружающей среде с температурой T2 T2  T1  , то энергия, излученная с
поверхности тела за время t , определяется следующим выражением

W   St T14  T24

.
Оценим поток энергии с единицы площади  
(1.15)
W
, который улавливает
St
кобра. Для этого сначала перепишем уравнение (1.14)



W
  T14  T24  4 T23T ,
St
(1.16)
где T  T2  T1 . Кобра улавливает излучение тел, температура которых
отличается от температуры окружающей среды на 101  102 К. Пусть
температура окружающей среды T2  300 К. Подставим значения в (1.15)
9
P  4 T23T  4  5,67  108  3003  101  0,6
P  4 T23T  4  5,67  108  3003  102  0,06
Вт
м2
,
Вт
м
2
.
Таким образом, кобра улавливает поток энергии с единицы поверхности
 0,06  0,6 
Вт
м2
.
Закон Стефана - Больцмана ничего не говорит о спектральном составе
теплового излучения. Из экспериментальных результатов известно, что
распределение излучаемой энергии в спектре абсолютно черного тела
является неравномерным. Все кривые имеют ярко выраженный максимум
(рис.1.4), который смещается в область более коротких длин волн при
повышении температуры тела. Площадь под кривой равна энергетической
светимости абсолютно черного тела R*   T 4 , определяемой законом
Стефана – Больцмана .
Рис.1.4
Длина волны, соответствующая максимуму излучения, определяется
законом смещения Вина
max 
b
,
T
(1.17)
где b  2,9  103 м  К - постоянна Вина. Закон смещения Вина показывает,
что положение максимума функции излучения меняется при изменении
температуры. При этом при повышении температуры длина волны,
10
соответствующая максимуму излучения, смещается в область более коротких
волн.
В реальных температурах, достигаемых в лабораторных условиях,
максимум излучения находится в инфракрасной области, и только при
температурах выше T  5000 K попадает в видимую область спектра. Если
считать Солнце как абсолютно черное тело, и температуру его внешних
слоев принять за
T  6200 K , то максимум излучательной способности
Солнца приходится на длину волны
max 
Значение
b 2,9  103

=470 нм (зеленый цвет).
T
6200
максимума
функции
спектральной
испускательной
*
способности черного тела rmax
λ,T определяется выражением
*
5
rmax
λ,T  CT ,
(1.18)
где C  1,3  105 3Вт 5 .
м К
1.3
ФОРМУЛЫ РЭЛЕЯ-ДЖИНСА И ПЛАНКА
Попытка определить вид функции r *λ,T была предпринята английскими
физиками Джоном Уильямом Рэлеем и Джеймсом Джинсом, применившими
законы классической статистики к тепловому излучению. Они рассматривали
равновесное излучение в замкнутой полости с зеркальными стенками как
суперпозицию стоячих электромагнитных волн. Из закона равномерного
распределения энергии по степеням свободы известно, что на каждую
колебательную степень свободы приходится энергия  ε  kT , где k постоянная Больцмана, T - температура. Формула Рэлея – Джинса для
спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела
выглядит следующим образом
r
*
ν,T

2πν 2
c2
11
kT
.
(1.18)
Однако, в формуле Рэлея – Джинса r *ν,T монотонно возрастает с ростом
частоты ν , что противоречит экспериментальной кривой, имеющей четко
выраженный
максимум.
экспериментальной
Формула
кривой
Рэлея
–
зависимости
Джинса
совпадает
спектральной
с
плотности
энергетической светимости черного тела r *ν,T от частоты ν только при
малых частотах рис.1.5.
r *ν,T
По формуле Рэлея-Джинса
Экспериментальная кривая
ν
Рис.1.5
Кроме
того,
площадь
под
кривой
на
рис.1.5
должна
давать
энергетическую светимость черного тела согласно закону Стефана –
Больцмана. Если проинтегрировать (1.18), получим абсурдный результат


*
0
2 ν 2
2 kT

2 kT 3 
2
kTd
ν=
ν
d
ν=
ν |0   .
2
2 
2
c
c
3
c
0
0
R   r ν,T dν  
*
Это противоречие получило название «ультрафиолетовой катастрофы»,
поскольку классическая физика не могла объяснить спектр излучения
абсолютно черного тела.
В начале 20 века Макс Планк предположил, что поглощение и излучение
электромагнитной энергии нагретым телом происходит не непрерывно, как
считалось в классической физике, а отдельными порциями энергии квантами.
Квант - это минимальная порция энергии, которая поглощается (излучается)
нагретым телом. Энергия одного кванта
E  hν ,
12
(1.19)
где h  6,63  1034 Дж  с - постоянная Планка.
С помощью своей гипотезы Планк вывел формулу для средней энергии
гармонического осциллятора
 ε 
hν
hν
e kT
.
(1.20)
1
(Напомним, что в рамках классической теории, средняя энергия
гармонического осциллятора  ε  kT ).
Тогда спектральная плотность энергетической светимости абсолютно
черного тела
rν,T 
2πhν3
c
2
1
 hν
.
e kT  1
(1.21)
Формула Планка (1.21) совпадает с экспериментальной зависимостью
спектральной плотности энергетической светимости во всем диапазоне
частот, а при малых частотах, когда энергия кванта много меньше энергии
теплового движения ( hν
kT ), переходит в формулу Рэлея-Джинса. В этом
случае при разложении экспоненциальной функции в ряд , и ограничившись
только двумя членами ряда, получим
hν
e kT
1
hν
,
kT
hν
e kT
1 
hν
.
kT
(1.22)
При подстановке (1.22) в (1.21), получим выражение, совпадающее с
формулой Рэлея-Джинса (1.18)
rν,T 
2πhν3
c2
1
2πν 2

 2 kT .
hν
c
kT
Проверим, получается ли закон Стефана-Больцмана при интегрировании
спектральной плотности энергетической светимости по формуле Планка.
13


R   r ν,T dν  
*
*
2πhν3
0 c
0
2
x
Введем безразмерную переменную
dν 
1
 hν dν
e kT  1
.
(1.23)
hν
. Тогда
kT
dx 
h
dν , и
kT
kT
dx . Формула (1.23) перепишется в виде
h

2πk 4 4
x3
R  2 3 T  x dx .
c h
0 e 1
*

x3
π4
Значение интеграла  x dx 
. После подстановки получим
15
e 1
0
2πk 4 π 4 4 2π5k 4 4
R  2 3
T 
T .
c h 15
15c 2h3
*
Обозначив σ 
2π5k 4
15c 2h3
, получим закон Стефана-Больцмана (1.12)
R*   T 4 .
Посчитаем значение коэффициента
σ
5 4
2π k
15c 2h3

2π5 1,38  1023


  6,63 10 
8 2
15 3  10

4
34 3
 5,67  108
Вт
м2К 4
,
что совпадает по значению с постоянной Стефана-Больцмана.
Таким образом, гипотеза Планка не только хорошо согласуется с
экспериментальными результатами во всем диапазоне частот, но и содержит
в себе выведенные ранее законы теплового излучения. Гипотеза Планка о
квантовой природе излучения дала толчок к развитию новой науки –
квантовой физики.
1.4
ФОТОЭФФЕКТ
Гипотеза Планка, разрешившая «ультрафиолетовую» катастрофу, нашла
свое
подтверждение
в
дальнейших
14
исследованиях,
в
частности
в
фотоэффекте. Фотоэффект - это появление электронов вблизи поверхности
вещества (внешний фотоэффект) или появление свободных электронов
внутри
вещества
(внутренний
фотоэффект)
под
воздействием
электромагнитного излучения (рис. 1.6).
Рис.1.6
Внешний фотоэффект впервые был обнаружен Г.Герцем в 1887 году.
Схема
экспериментальной
показана на рис.1.7.
установки
для
исследования
фотоэффекта
В стеклянном баллоне в вакууме расположены два
электрода катод (К) и анод (А), напряжение между которыми можно
изменять.
Катод освещается монохроматическим светом длиной λ через
прозрачное кварцевое окошко.
Рис.1.7
Снималась зависимость тока в цепи при изменении напряжения между
электродами, световом поток при этом не менялся. Типичные вольтамперные
характеристики при двух интенсивностях падающего светового потока
приведены на рис.1.8. Из анализа этих кривых видно, что фототок I
достигает насыщения при достаточно больших напряжениях на аноде, так
как все электроны, вырванные из катода, достигают анода. Значение тока
15
насыщения I н пропорционально интенсивности падающего света. При U  0
фототок отличен от 0, это означает, что вырванные светом из катода
фотоэлектроны обладают кинетической энергией и могут достичь анода и без
ускоряющего электрического поля.
I
I н1
Iн2
U
Uз
Рис.1.8
Чтобы фототок исчез, надо приложить задерживающее напряжение
U з  0 противоположного знака. При отрицательном напряжении на аноде
электрическое поле тормозит фотоэлектроны, и анода могут достичь только
те
из
них,
у
которых
кинетическая
энергия
больше
величины
задерживающего напряжения. Зная задерживающее напряжение U з можно
вычислить максимальную кинетическую энергию электронов Tmax
eU з  Tmax
mVmax 2

,
2
(1.24)
где e  1,6  1019 Кл - заряд электрона, m  9,1  1031 кг - масса электрона.
На
основе
Александром
многочисленных
Григорьевичем
экспериментов
Столетовым
были
русским
ученым
выведены
законы
фотоэффекта:
1.
Максимальная
кинетическая
энергия
электронов
линейно
возрастает с частотой падающего света и не зависит от его интенсивности.
2.
Для
каждого
вещества
существует
красная
граница
фотоэффекта, то есть наименьшая частота, при которой еще возможен
фотоэффект.
16
3.
Число электронов, вырываемых из катода в единицу времени
прямо пропорционально интенсивности света.
Кроме того, фототок практически безынерционен и возникает сразу же
после освещения катода, при условии, что частота падающего излучения
больше частоты, соответствующей красной границе фотоэффекта.
Фотоэффект невозможно объяснить с точки зрения классической теории
взаимодействия света с веществом. Согласно классической теории, при
взаимодействии
с
электромагнитной
волной
электрон
постепенно
накапливает энергию, и должно пройти некоторое время, чтобы электрон
смог накопить достаточную для вылета из катода. Однако из опыта известно,
что фотоэлектроны появляются сразу же после освещения катода. Кроме
того, существование красной границы фотоэффекта также невозможно
объяснить с классической точки зрения.
Фотоэффект был объяснен Эйнштейном в 1905 году на основе
квантовых представлений о теории света. Эйнштейн предположил, что свет
не только испускается отдельными квантами (как предполагал Планк), но
также поглощается и распространяется отдельными квантами с энергией
E  hν . Кванты электромагнитного излучения получили название фотонов.
Согласно Эйнштейну каждый квант света может поглотиться только
одним
электроном,
пропорционально
поэтому
интенсивности
количество
света
вырванных
(3
закон
электронов
фотоэффекта).
Безынерционность фотоэффекта объясняется мгновенной передачей энергии
фотона электрону.
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта (1.25) выражает закон
сохранения энергии:
наибольшая кинетическая энергия вылетевшего из
катода электрона равна разности энергии падающего фотона hν
выхода электрона из вещества Авых
mVmax 2
 hν  Авых
2
17
,
и работы
mVmax 2
hν  Авых 
2
.
(1.25)
Уравнение Эйнштейна объясняет и существование красной границы
фотоэффекта. Работа выхода для вещества всегда отлична от 0, и при
уменьшении частоты падающего света уменьшается и кинетическая энергия
фотоэлектронов. При некоторой частоте падающего света ν 0 кинетическая
энергия станет равной 0. Частота, соответствующая красной границе
фотоэффекта определяется уравнением (1.26)
ν0 
Авых
.
h
(1.26)
Работу выхода принято выражать в электрон-вольтах (эВ)
1 эВ  1,6  1019 Дж .
Значения работы выхода для некоторых металлов приведены в таблице
1.1.
Таблица 1.1.
Металл
Калий
Авых ,эВ
2,2
Литий Платина Рубидий Серебро Цезий Цинк
2,3
6,3
2,1
4,7
2,0
4,0
Итак, явление фотоэффекта подтверждает гипотезу о том, что свет - это
поток частиц, которые называются фотонами. Энергия фотона определяется
формулой Планка (1.19). Фотоны могут существовать только в состоянии
движения со скоростью света, так как у них нулевая масса покоя ( m0  0 ).
Импульс фотона можно найти из известного в релятивистской теории
соотношения энергии и импульса ( m0  0 )
E
 m0c2 
p
2
  pc   pc ,
E
.
c
2
(1.27)
Итак, из теории фотоэффекта следует, что свет – это не только волна, но
и поток частиц (квантов света), а фотон – это частица, обладающая
18
волновыми
свойствами
(длина волны, частота)
и
корпускулярными
(импульс).
1.5
ЭФФЕКТ КОМПТОНА
При изучении фотоэффекта возник вопрос об импульсе фотона, который
выражается
формулой
(1.27).
Экспериментальное
подтверждение
существования импульса у фотона было проведено американским физиком
Артуром Комптоном в 1920 году. Импульс частиц проще всего найти при
столкновении частиц, поэтому Комптон исследовал процесс столкновения
фотонов с электронами. Если у фотона есть импульс, то этот импульс должен
проявиться в законе сохранения импульса при столкновении фотона с
электроном.
Комптон поставил опыт по рассеянию рентгеновского излучения на
графите. Рентгеновское излучение – это электромагнитные волны с энергией
от 10 эВ до 1 МэВ, обладающее высокой проникающей способностью. Из
курса оптики известно, что видимый свет рассеивается (отклоняется от
первоначального направления движения) на мелких частях вещества,
например, на мелких капельках воды или частичках пыли. Длина волны
рентгеновское излучения меньше длины волны видимого света, поэтому
рассеяние рентгеновского излучения должно наблюдаться на еще более
мелких объектах – на атомах и отдельных электронах.
Рис.1.9
19
Схема опыта Комптона изображена на рис.1.9. В рентгеновской трубке
(РТ) электроны ускоряются электрическим полем между катодом (К) и
анодом (А) и создают поток тормозное рентгеновское излучение с длиной
волны λ 0 . Рентгеновское излучение проходит через свинцовые диафрагмы
(Д1 и Д2) и направляется на графитовый или алюминиевый образец.
Рентгеновские лучи, рассеянные под различными углами  , попадали на
кристалл, отражались от него согласно закону Вульфа
– Брэггов
 2d sin   m  и регистрировались счетчиком.
Согласно классическим представлениям, под действием рентгеновского
излучения электроны в веществе совершают вынужденные колебания с
частотой (длиной волны) вынуждающей силы, то есть с частотой (длиной
волны) падающего рентгеновского излучения. Однако, в опыте в рассеянном
излучении регистрировались электроны не только с длиной волны
падающего излучения λ 0  0,71 пм , но и с длиной волны
λ>λ 0 , причем
величина λ зависела от угла рассеяния  . Результаты эксперимента
показаны на рис.1.10 а-в.
Исходное излучение
Рассеянное излучение
Рассеянное излучение
λ 0  0,71 пм
  90
  135
а
б
в
Рис.1.10
Итак, эффектом Комптона называется изменение длины волны
рассеянного рентгеновского излучения при рассеянии на свободных или
20
слабо связанных электронах вещества. Причем изменение длины волны
зависит от угла рассеяния излучения.
Рассмотрим фотон, падающий на свободный или слабо связанный
электрон рис.1.11. Импульс падающего фотона обозначим P , импульс
рассеянного фотона – P  , импульс электрона – Pe .
Pe

Pγ
Pγ
Pγ
Рис.1.11
Задачу удобно решать в той системе отсчета, где первоначально
электрон покоился, чтобы его первоначальный импульс был нулевым. При
рассеянии фотона на свободном или слабо связанном электроне выполняются
законы сохранения импульса и энергии. Закон сохранения импульса
Pγ  Pγ  Pe .
Импульсы падающего фотона Pγ , рассеянного фотона Pγ и электрона
отдачи Pe связаны между собой теоремой косинусов
2
2
2
Pe  Pγ  2 Pγ Pγ cos   Pγ ,
где Pγ 
hν 0 h
- импульс падающего фотона,

c
λ0
Pγ 
hν h
 - импульс рассеянного фотона,
c
λ
Pe  mV 
m0c 2
1
V
2
- импульс электрона отдачи.
c2
Тогда теорема косинусов (1.28) перепишется в виде
21
(1.28)
2
2
2h 2
h  h 
(mV )       
cos 
λλ
 λ   λ 
2
.
(1.29)
Закон сохранения энергии с учетом того, что первоначально электрон
покоился, имеет вид
hc
hc
 m0c 2   mc 2 ,
λ
λ
где ε γ  hν 0 
hc
- энергия падающего фотона,
λ0
ε γ  hν 
hc
- энергия рассеянного фотона,
λ
(1.30)
Ee  mc2 - энергия электрона отдачи,
E0  m0c2 - энергия покоя электрона.
Решая совместно (1.29) и (1.30), получим изменение длины волны при
комптоновском рассеянии λ
λ  λ  λ 0 
где
h
(1  cos )  λC (1  cos ) ,
m0c
hc 6,63 1034  3 108
λC 

 2,43 пм m0
9,1  1031
комптоновская
(1.30)
длина
волны.
Из (1.30) следует, что при нулевом угле рассеяния
  0, cos   1, λ  0
изменения длины волны не происходит. При угле рассеяния
  90 , cos   0, λ  λC  2,43 пм .
Максимальное изменение длины волны происходит при рассеянии под углом
  180 , cos   1, λ  2λC  4,86 пм .
Оценим минимальную энергию налетающего фотона, при которой
становится возможен эффект Комптона. Фотон должен передать электрону
часть
своей
энергии,
превышающую
энергию
Ei  13,6 эВ  13,6 1,6 10-19 Дж  21,76 10-19 Дж
22
ионизации
атома
ε γ min 
hc
λ max
 21,76  10-19 Дж ,
откуда максимальная длина волны фотона
λ max 
hc
ε γ min

6,63  1034  3  108
21,76  10-19
 9  10-8 м .
Из уравнения (1.30) можно найти энергию рассеянного электрона
Ee 
hc hc
  m0c 2 ,
λ λ
(1.31)
а кинетическая энергия электрона отдачи T - это разность энергий
падающего и рассеянного фотонов
T  Ee  m0c 2 
hc hc

λ λ
.
(1.32)
2. ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА ПО БОРУ
2.1 МОДЕЛИ АТОМА
Строение вещества привлекало внимание ученых еще с античных
времен. Первое представление об атомах как неделимых частицах было
предложено греческим ученым Демокритом (460-370 до н.э.). «Атомос» в
переводе с греческого означает «неделимое». Согласно Демокриту, атомы
отличаются друг от друга формой и размерами и, соединяясь между собой,
образуют вещество. Наличием атомов, наиболее подвижных и шарообразных
Демокрит также объяснял духовные явления. Заслуга Демокрита состоит в
том, что он объяснил из чего происходит вещество, но почему это
происходит, понятно не было.
К началу ХХ века в физике накопился ряд экспериментальных фактов:
- в 1833 году при исследовании электролиза Фарадеем было обнаружено
упорядоченное движение заряженных частиц, и определен минимальный
электрический заряд иона 1,6  1019 Кл 1. На основе исследований Фарадея
можно было сделать вывод о существовании внутри атома электрических
зарядов,
23
- в 1869 году русским ученым Дмитрием Ивановичем Менделеевым
была разработана периодическая система элементов, в основе которой
лежало представление о единой природе атома,
- спектроскопические исследования показали, что спектр излучения
атома является линейчатым (то есть излучение или поглощение света в
видимой части спектра
происходит только при некоторых, строго
определенных частотах). Математическая формула для этих частот была
предложена Бальмером в 1885 году,
- в 1896 голу Беккерелем было обнаружено, что атомы некоторых
веществ испускают невидимые лучи, обладающие высокой проникающей
способностью. Это явление было названо радиоактивностью.
- в 1897 году Томсоном было измерен удельный заряд электрона –
отношение его электрического заряда к массе.
Из накопленных экспериментальных фактов можно было сделать вывод
о том, что атомы вещества имеют сложное внутреннее строение. Атом –
электронейтрален, носители отрицательного заряда – электроны, обладают
незначительной
массой,
а
основная
масса
атома
определяется
его
положительным зарядом. Перед наукой встал вопрос о внутреннем строении
атома.
Первая попытка создания модели атома была предпринята в 1903 году
Томсоном. Он предположил, что атом – это положительно заряженный
шарик размерами около 1010 м, внутри которого находятся отрицательно
заряженные частицы – электроны (рис.2.1).
Рис.2.1
24
В 1909-1911 годах Резерфордом был проведен ряд опытов по
исследованию внутренней структуры атома. В опытах Резерфорда атомы
тяжелых элементов (золото, серебро, медь) бомбардировались потоком α частиц ( α -частица- это ионизированный атом гелий, ее масса в 7300 раз
больше массы электрона
 mα  7300me  ,
она заряжена положительно
qα  2 e ). В опытах Резерфорда использовались α -частицы со скоростью
V  107 м/c . Рассеянные α -частицы попадали на экран, покрытый слоем
сульфида цинка, способного светиться при попадании на него быстрой α частицы. По расположению вспышек на экране можно было судить об углах
отклонения
α -частиц. В опытах Резерфорда было обнаружено, что
большинство α -частиц проходят через слой металла практически без
отклонения. Однако, небольшая часть частиц отклоняется на углы,
превышающие 30 .
В очень редких случаях появлялись α -частицы,
отклоненные на угол 180 . Этот результат был неожиданным даже для
самого Резерфорда и находился в противоречии с моделью атома Томсона.
Согласно модели атома Томсона, положительный заряд распределен по
всему объему атома, и при таком распределении не может создавать
электрическое поле, отклоняющее частицы на большой угол. Отклонение на
большие углы возможно только в том случае, если положительный заряд
сосредоточен в малом объеме (рис.2.2).
α
α
модель Томсона
+
модель Резерфорда
Рис.2.2
Таким образом, согласно опытам Резерфорда, в центре атома должно
находиться положительно заряженное ядро размерами 1014  1015 м, ядро
25
занимает только 1012 объема атома, но в нем сосредоточено 99,95 % его
массы. Заряд ядра должен равняться суммарному заряду электронов. Эти
представления легли в основу планетарной модели атома Резерфорда
(рис.2.3). Электроны вращаются вокруг ядра по орбитам, подобно планетам,
под действием кулоновских сил.
Рис.2.3
Пусть атом некоторого вещества содержит Z электронов, тогда заряд
ядра, в силу электронейтральности атома, будет  Ze . Рассмотрим электрон,
вращающийся вокруг ядра по круговой орбите радиуса r (рис.2.4).
r
-
+
e
Ze
Рис.2.4
На электрон действует сила Кулона
Fк  k
Ze  e
r2
k
Ze2
.
r2
(2.1)
С другой стороны, так как электрон движется по окружности, на него
действует центростремительная сила
meV 2
Fц 
r
,
(2.2)
где me - масса электрона, V - скорость электрона. Эти силы равны, поэтому
26
k
Ze2
r2
meV 2

r
.
(2.3)
Уравнение (2.3) содержит две переменных r - радиус орбиты и скорость
движения электрона V , причем радиус орбиты может принимать любые
значения, то есть меняться непрерывно. Соответственно скорость, а значит и
энергия электрона, тоже может принимать любые значения, то есть спектр
атома
должен
быть
сплошным.
Этот
вывод
противоречит
экспериментальным данным о линейчатых спектрах атомов.
10
м , скорость электрона
Пусть радиус орбиты электрона r  10
V  106 м/с , тогда нормальное ускорение электрона
an 
Согласно
классической
V 2 1012
 10 = 1022 м/с2 .
r 10
электродинамике,
ускоренно
(2.4)
движущийся
электрон излучает электромагнитную энергию, при этом энергия самого
электрона уменьшается и, в конце концов, он упадет на ядро, чего в атомах
не происходит.
Таким образом, модель атома Резерфорда объясняла отклонение α частиц, но
противоречила законам классической электродинамики и
экспериментальным результатам по линейчатым спектрам атомов.
2.2
СПЕКТР АТОМА ВОДОРОДА
Атом водорода – это простейший атом, содержащий один электрон.
Ядро атома водорода – протон, положительно заряженная частица, заряд
которой равен заряду электрона по модулю, а его масса превышает массу
электрона в 1836 раз. Линейчатый спектр атома водорода был хорошо изучен
экспериментально, группа линий в видимой части спектра была названа
серией Бальмера, и для нее Бальмером была подобрана формула
1 
 1
ν  R 2  2  ,
n 
2
27
(2.5)
где ν - частота излучения атома, R  3,29  1015 c-1 - постоянная Ридберга,
n  3,4,5,... - целое число. Из (2.5) следует, что при различных значениях n
мы будем получать различные частоты (линии спектра).
Аналогичная формула была найдена для ультрафиолетовой части
спектра (серия Лаймана)
1 1 
ν  R  2  2  , n  2,3,4,... .
1 n 
(2.6)
В инфракрасной области были обнаружены
серия Пашена
1 
 1
ν  R  2  2  , n  4,5,6,... .
n 
3
(2.7)
1 
 1
ν  R  2  2  , n  5,6,7,... .
n 
4
(2.8)
1 
 1
ν  R  2  2  , n  6,7,8,... .
n 
5
(2.9)
серия Брекета
серия Пфунда
Стационарные орбиты в атоме водорода и образование спектральных
линий показано на рис. 2.5.
28
Рис.2.5
Все приведенные выше линии описываются обобщенной формулой
Бальмера
1 
 1
ν  R  2  2  , m  1,2,3,... , n  m  1, m  2, m  3,... .
n 
m
(2.10)
Необходимо отметить, что объяснения обобщенной формулы Бальмера в
классической физике не существует.
2.3
ПОСТУЛАТЫ БОРА
Следующий шаг в развитии теории строения атома был сделан Нильсом
Бором в 1913 году. Поскольку классическая физика не могла объяснить
существующие экспериментальные результаты, Бором были предложены два
постулата, противоречащих законам классической электродинамики, но
объясняющих экспериментальные результаты.
Первый постулат Бора: атомная система может находиться только в
стационарных
состояниях,
в
которых
атом
не
излучает.
Каждому
стационарному состоянию n соответствует свое значение энергии En .
Согласно классическим представлениям электрон может двигаться с
любой скоростью, поэтому энергия электрона может иметь любые значения.
В рамках классической электродинамики при движении заряженной частицы
с ускорением, она должна излучать энергию в виде электромагнитной волны.
Первый постулат Бора, согласно которому атом в стационарном состоянии не
излучает, противоречит законам классической электродинамики.
Второй постулат Бора: при переходе атома из одного состояния с
энергией En в состояние с энергией Em излучается или поглощается квант,
энергия которого равна разности энергий стационарных состояний
hν= En  Em ,
(2.11)
где h  6,63  1034 Дж/с - постоянная Планка, ν - частота излучения.
Излучение света происходит при переходе электрона с более удаленной
от ядра орбиты (с большей энергией) на менее удаленную от ядра орбиту
29
(рис.2.6). Перейти с менее удаленной от ядра орбиты на более удаленную от
ядра орбиту электрон может в только том случае, если он поглотит квант с
энергией hν (рис.2.7).
hν
+
hν
e
n
e
+
m
Рис.2.6
n
m
Рис.2.7
Таким образом, классическая модель атома Резерфорда была дополнена
теорией о квантовании орбит, а про постулаты Бора очень точно сказал
американский физик Л. Купер: «Конечно, очень самонадеянно было
выдвигать постулаты, противоречащие электродинамике Максвелла и
механике Ньютона, но Бор был молод».
2.4 ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА ПО БОРУ
Постулаты Бора позволяют рассчитать спектр атома водорода и
водородоподобных систем (состоящих из ядра и одного электрона He , Li  ).
При расчете спектра водородоподобных систем Бор дополнил два своих
постулата теорией о квантовании момента импульса электрона. Он
предположил, что на длине орбиты должно укладываться целое число длин
волн электрона
2πrn  nλ ,
2πrn  n
h
,
meV
meVrn  n
h
n
2π
30
,
(2.12)
где

h
 1,054  1034 Дж/с . То есть, электрон в атоме движется по
2π
орбитам, для которых момент импульса
электрона
L
может
принимать дискретные значения, кратные постоянной Планка
Ln ,
n  1,2,3,...
(2.13)
Найдем возможные радиусы орбит электрона в водородоподобной
системе. Электрон движется по круговым орбитам под действием
Кулоновского притяжения к ядру атома, поэтому для него выполняется
второй закон Ньютона
1 Ze2 meV 2


.
4πε 0 rn 2
rn
(2.14)
Выразим скорость электрона из (2.12)
V
n
mern
(2.15)
и подставим в (2.14)
2
1 Ze 2 me  n 



 .
4πε 0 rn 2
rn  me rn 
После преобразований получим выражение для радиуса n - ой орбиты
электрона
rn  n
2
4πε 0
2
me Ze2
.
(2.16)
Самая близкая к ядру орбита находится на уровне энергии с n  1 ,
поэтому соответствующий ей радиус называется первым боровским
радиусом и определяет размеры атома
r1 
4πε 0
2
me Ze
2
 528  1010 м
.
Радиусы последующих орбит увеличиваются пропорционально n 2 .
31
(2.17)
Полная энергия электрона складывается из его кинетической энергии
meV 2
Ze 2
T
и потенциальной энергии в электростатическом поле U  
4 0 rn
2
meV 2
Ze2
.
E  T U 

2
4 0rn
(2.18)
Кинетическая энергия электрона выражается из (2.14)
meV 2 1 1 Ze 2
 
2
2 4πε 0 rn
После подстановки в (2.18), получим
1 Ze2
Ze2
1 Ze2
Ze2
1 Z 2mee4
En  

 

 2 
. (2.19)
2 4 0rn 4 0rn
2 4 0rn
8 0rn
n
8h2 02
При n  1 получим выражение для энергии основного состояния
электрона в атоме водорода
E1   
Z 2mee4
8h 2 02
 13,6 эВ .
Число n  1,2,3,... называется главным квантовым числом.
При переходе электрона с уровня энергии с номером m на уровень с
энергией n (n  m) испускается квант света с частотой
Em  En  1
1  Z 2mee4

  2  2 
.
h
m  8h3 02
n
(2.20)
Уравнение (2.20) совпадает с формулой Бальмера (2.9), если обозначить
R
Z 2mee4
8h3 02
.
(2.21)
Постоянная Ридберга, вычисленная по формуле (2.21), совпадает с
экспериментально подобранной Бальмером R  3,29 1015 c1 .
Если подставить в формулу (2.20) значение n  1 , получим частоты,
соответствующие переходу с более высоких уровней на основной – серию
32
Лаймана, при подстановке n  2 – получим частоты соответствующие серии
Бальмера, при n  3,4,5 получим соответственно серии Пашена, Брэкета,
Пфунда (рис.2.8).
n
E,эВ
5
4
1,5
серия Пашена
3
серия Бальмера
2
серия Лаймана
13,53
1
Рис.2.8
Теория
атома
Бора
прекрасно
соответствовала
существующим
экспериментальным результатом, что свидетельствует о ее справедливости,
однако, уже следующий простейший атом, расположенный за водородом в
периодической таблице элементов – атом гелия теория Бора объяснить не
может. Кроме того, теория Бора обладает внутренними противоречиями – с
одной стороны используются законы классической механики, с другой –
вводятся дискретные энергетические состояния электрона квантование
момента импульса электрона. Также из теории Бора нельзя определить
интенсивность спектральных линий. Тем не менее, теория Бора стала
важным этапом в развитии атомной физики и послужила началом квантовой
механики.
3. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
3.1 КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
Фотоэффект, эффект Комптона, тепловое излучение – все эти явления
указывают на то, что
электромагнитные волны имеют корпускулярную
природу. В то же время интерференция, дифракция, поляризация указывают
на волновую природу электромагнитных волн. Проявление корпускулярных
33
и волновых свойств называется корпускулярно-волновым дуализмом. В 1923
году французский ученый Луи де Бройль выдвинул гипотезу о том, что не
только фотоны, но и электроны и другие частицы материи обладают
корпускулярно – волновым дуализмом. Гипотеза де Бройля основывалась
только на соображениях симметрии. Согласно этой гипотезе, любая частица с
импульсом p имеет длину волны λ
λ
h
p
.
(3.1)
Вычислим длину волны де Бройля для человека массой m  60 кг ,
идущего со скоростью V  2 м/с по формуле (3.1)
h
h
6,63  1034
λ 

 5,5  1036 м .
p mV
60  2
Это очень маленькая величина, в настоящее время ее невозможно
измерить. Волновые свойства вещества проявляются тогда, когда размеры
щелей или предметов сравнимы с длиной волны. Сегодня науке не известны
объекты с размерами порядка 1030 м , поэтому и измерить длину воны де
Бройля для макрообъектов пока нельзя.
Найдем длину волны де Бройля для электрона, который был ускорен
разностью потенциалов U  100 B .
Скорость электрона вычисляется из
закона сохранения энергии
eU 
2eU
2  1,9  1019  100
mV 2

 5,93  106 м/с ,
,V

31
m
2
9,1  10
Длина волны де Бройля для электрона
h
h
6,63  1034
λ 

 1,23  1010 м ,

31
6
p mV 9,1 10  5,93 10
эту
величину можно определить экспериментально, так как ее порядок
соответствует межатомным расстояниям в кристаллах, на которых можно
наблюдать дифракцию электронов.
34
Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено
в 1927 году в опытах американских физиков К. Дэвиссона и Л. Дджермера по
рассеянию моноэнергетического пучка электронов на кристалле никеля
(рис.3.1).
Рис.3.1
Пучок электронов из электронной пушки П падал на кристалл никеля
(Ni), который можно было поворачивать вокруг оси , перпендикулярной
плоскости рисунка. Приемник электронов Э регистрировал поток электронов
и также мог вращаться вокруг этой же оси. Экспериментальные результаты
показали, что рассеяние электронов происходит в широком диапазоне углов,
при
этом
наблюдаются
максимумы
и
минимумы
интенсивности,
совпадающие с законом Вульфа-Брэггов
2d sinθ  kλ ,
если длина волны λ – это длина волны де Бройля (3.1). Таким образом,
полученная дифракционная картина подтверждала волновые свойства
электронов.
Доказательства того, что и отдельный электрон обладает волновыми
свойствами, были получены в опытах российского физика В.А. Фабриканта в
1948 году. В этих опытах через тонкую пленку металла в каждый момент
времени проходил только один электрон. Поток электронов регистрировался
фотопластинкой. Электроны беспорядочно попадали в разные области
фотопластинки (рис3.2а). Однако при длительной экспозиции появлялась
характерная дифракционная картина (рис3.2б).
35
а
б
Рис.3.2
Проведем мысленный эксперимент, поставив на пути электрона две
щели рис.3.3. При открытой нижней щели, получим дифракционную
картину, изображенную на рис 3.3 а, при открытой верхней щели – на рис.
3.3 б, а при открытых обеих щелях – на рис. 3.3 в.
-
e
-
-
e
e
а
б
в
Рис.3.3
В случае, когда открыта одна из щелей, на фотопластинке напротив этой
щели можно увидеть затемнение. Если
открыты две щели, мы видим
типичную для опыта Юнга дифракционную картину, то есть получается, что
электрон пролетел через две щели одновременно. Но электрон – это
неделимая частица. Возникает парадокс, который требует введения нового
математического аппарата квантовой механики и вероятностного подхода к
описанию поведения микрочастиц.
3.2 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
В классической физике поведение частицы точно описывается с
помощью импульса, координаты, энергии и т.д. Однако, в квантовой
механике существует принципиальное ограничение по точности измерения
указанных величин. В 1927 году Гейзенберг пришел к выводу о том, что
36
существуют ограничения по одновременному точному измерению двух
величин.
Это
утверждение
неопределенностей.
получило
Выделяют
два
название
наиболее
-
важных
соотношения
соотношения
неопределенностей:
- для координаты x и соответствующей проекции импульса px
xpx 

где
,
2
(3.2)
h
 1,05  1034 Дж/с ,
2π
- для энергии E за промежуток времени t
Et 
Поясним
смысл
.
соотношений
(3.3)
неопределенности.
Соотношение
неопределенностей для координаты и проекции импульса утверждает, что в
природе не существует состояний с точно измеренными координатой и
проекцией импульса. Если, например, координату частицы измерили с
точностью x , то проекцию импульса на ось X можно одновременно
измерить с точностью px 
x
. Отметим, что эти ограничения не касаются
проекций импульса на оси Y и Z .
Уравнение (3.3) показывает, что для измерения энергии с точностью E
необходим промежуток времени
t 
применения
является
этого
соотношения
E
(время жизни). Примером
«размытие»
возбужденных
состояний водородоподобных систем. Время жизни атома в возбужденном
состоянии
E 
t

t  108 c .
порядка
1,05  1034
10
спектральных
8
 1,05  1026 Дж .
линий
Тогда
неопределенность
Естественное
уширение
энергии
частоты
E 1,05  1026
ν 

 1,58 107 Гц

34
h
6,63  10
порядка
действительно наблюдается в экспериментальных результатах.
37
Рассмотрим, как соотношение неопределенностей влияет на движение
макроскопического тела, например, шарика массой
движущегося в направлении оси
измерить
линейкой
с
m  1 г  103 кг ,
X . Координату шарика мы можем
x  1 мм  103 м .
точностью
Найдем
неопределенность проекции скорости шарика Vx на ось X
Vx 
2mx

1,05  1034
2  10
3
 10
3
 0,53  1028 м .
Очевидно, что такая погрешность в скорости не оказывает никакого
влияния на движение шарика, и для макрообъектов можно говорить о
траектории движении шарика, то есть в каждый момент времени
положение макрообъекта точно определено в пространстве.
Совсем иначе обстоит дело с движение микрочастицы, например
электрона в атоме. При самой грубой оценке, неопределенность скорости
движения электрона по орбите V сравнима с самой скоростью V  V и для
круговой орбиты радиуса r  0,5  1010 м составляет V  V  2,3  106 м/с .
Найдем неопределенность координаты r
r 
2mV

1,05  1034
2  9,1 10
31
 2,3  10
6
 0,25  1010 м .
Неопределенность координаты электрона сравнима с размерами атома, и
понятие траектории в этом случае вообще теряет физический смысл.
Пример 1. Прохождение электрона через щель.
Рассмотрим поток электронов, проходящий через узкую щель шириной
b (рис.3.4). Если размеры щели соизмеримы с дебройлевской длиной волны
электрона, то на экране, расположенном за щелью, должна наблюдаться
дифракционная картина.
38
Рис.3.4
Ограничимся
рассмотрением
только
главного
максимума
дифракционной картины.
До щели электроны двигались перпендикулярно оси X , поэтому px  0
и px  0 . Согласно соотношению неопределенностей координата x в этом
случае совершенно не определена, то есть электрон может находиться в
любом месте на оси X .
В момент прохождения электрона через щель, положение электрона
ограничивается размером щели b . Поэтому x  b . Вследствие дифракции
электрона наиболее вероятная область его движения в пределах угла 2θ ,
определяемого
границами главного максимума, расположенного между
двумя первыми минимумами (для первого минимума разность хода от краев
щели должна равняться длине волны)
b sinθ  λ .
Тогда неопределенность координаты
x  b 
λ
sin θ
.
(3.4)
Неопределенность составляющей проекции импульса на ось X понятна
из рис. 3.4
h
2
px  p sinθ= sinθ=
sinθ .
λ
λ
Перемножим (3.5) и (3.4)
xpx 
λ 2

sin θ=2  h ,
sin θ λ
39
(3.5)
что согласуется по порядку величины с
(3.2), и при определении
координаты с некоторой точностью, мы сразу получили неопределенность
значений импульса частицы.
3.3 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
В разделе 3.1 при рассмотрении дифракции электрона на двух щелях, мы
отметили, что положение максимумов и минимумов интенсивности
определяется вероятностью попадания электрона в ту или иную точку
экрана. Вероятностный подход к описанию поведения микрочастиц –
отличительная особенность квантовой
механики.
Математический аппарат квантовой механики основан на введении псифункции (волновой функции) ( x, y, z, t ) , которая является комплексной
величиной и формально обладает волновыми свойствами. Физический смысл
имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля
2
  * 
dW
dV
,
(3.6)
который называется плотностью вероятности и может экспериментально
регистрироваться.
Плотность
вероятности
показывает
вероятность
обнаружения микрочастицы в момент времени t в окрестностях точки с
координатами ( x, y, z ) . Итак, волновая функция является основным
носителем информации о корпускулярных и волновых свойствах
микрочастицы.
Вероятность обнаружить частицу в момент времени t в некотором
объеме V
W    dV
2
.
(3.7)
V
Выполняется
условие
нормировки:
вероятность
обнаружения
микрочастицы во всем пространстве равна 1 (частица где-то находится)
40


2
 dV  1 .
(3.8)

Также выполняется принцип суперпозиции: если для некоторой частицы
возможны состояния с различными волновыми функциями 1,  2 ,...,  N , то
для нее также возможно состояние, описываемое линейной комбинацией
волновых функций
N
   Ci  i
.
i 1
С помощью волновой функции можно вычислять различные величины,
например, чтобы найти среднее расстояние от ядра атома до электрона,
нужно вычислить интеграл

 r 
 r
2
dV .

3.4 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Математический аппарат квантовой механики должен содержать
основное уравнение, которому бы подчинялась волновая функция ( x, y, z, t )
аналогично тому, как законы Ньютона описывают движение в классической
механике
или
уравнения
Максвелла
в
электродинамике.
Для
нерелятивистской квантовой механики это уравнение было сформулировано
Шредингером в 1926 году и носит его имя

2
2m
  U ( x, y, z , t )  i

t
,
(3.9)
где m - масса частицы,

 2( x, y, z, t )
x 2

 2( x, y, z, t )
y 2

 2( x, y, z, t )
z 2
- оператор Лапласа,
U ( x, y, z, t ) - потенциальная энергия частицы в силовом поле,
i  1 - мнимая единица.
41
Основная задача квантовой механики – нахождение волновой функции,
удовлетворяющей уравнению Шредингера для конкретной задачи.
Уравнение Шредингера справедливо для любой частицы, движущейся
со скоростью много меньшей скорости света V
c , кроме того оно
накладывает дополнительные условия на волновую функцию ( x, y, z, t ) - она
должна быть конечна, однозначна и непрерывна, кроме того, ее производные
( x, y, z, t ) ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
,
,
x
y
z
t
также
должны
быть
2
непрерывны, а функция   * должна быть интегрируемой.
Решения уравнения Шредингера, удовлетворяющие перечисленным
выше условиям, оказываются возможными только при некоторых значениях
энергии E . Таким образом, возникает квантование – частица может иметь
не какие угодно значения энергии, а только те, которые удовлетворяют
уравнению Шредингера, их называют собственными значениями энергии.
Спектр собственных значений энергии может быть непрерывным (для
свободной частицы) или дискретным (электрон в атоме). Волновые функции,
удовлетворяющие уравнению Шредингера при собственных значениях
энергии, называются собственными волновыми функциями.
Особую роль в квантовой механике играют стационарные состояния,
когда наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени.
В стационарных состояниях волновую функцию можно записать в виде
( x, y, z, t )  ψ( x, y, z )eiωt ,
где ω=
E
(3.10)
, а функция ψ( x, y, z ) не зависит от времени.
В этом случае плотность вероятности, которая несет основной
физический смысл, не зависит от времени
42
  *  ψ( x, y, z)ψ*( x, y, z)eiωt eiωt  ψ( x, y, z)ψ*( x, y, z) .
2
Подставим (3.10) в уравнение Шредингера (3.9)
  ψ( x, y, z)eiωt ,

 iωψ( x, y, z )eiωt ,
t

и учтем, что ω=
2
2m
ψ  eiωt  Uψ  eiωt  i  (iω)e iωt
ψ
t
E

2
2m
ψ  Uψ  Eψ .
В общепринятом виде уравнение Шредингера для стационарных
состояний имеет вид
2
2m
ψ   E  U  ψ  0 .
(3.11)
В уравнении (3.11) потенциальная энергия зависит только от координат
частицы U ( x, y, z ) .
3.5 ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
Свободная частица – это частица, находящаяся в отсутствие внешних
полей, то есть на нее не действуют силы и она движется равномерно и
прямолинейно, либо покоится. В этом случае потенциальная энергия частицы
U ( x, y, z )  0 и уравнение Шредингера примет вид
2
2m
ψ  Eψ  0 .
(3.12)
Для одномерного случая решением дифференциального уравнения (3.12)
является функция
ψ  Aeikx ,
43
(3.13)
где A  const определяемая из условия нормировки; k 
2π
связана с длиной
λ
волны де Бройля λ .
Подставим (3.13) в (3.12), с учетом того, что в одномерном случае
оператор Лапласа – это вторая производная по координате
ψ 
d 2ψ
dx
2
2m
2


d 2 Aeikx
dx
2
ψ  Eψ 
 d
Aeikxik   Aeikx (ik )2  k 2ψ ,

dx
 k ψ   Eψ= 
2m
2
2
2 2
k
ψ  Eψ=0 .
2m
Откуда можно найти собственные значения энергии свободной частицы
E
2 2
k

2m
2  2π 
2
2
h
2
 
 
 λ    λ    p .
2m
2m
2m
(3.14)
При расчете в (3.14) использована формула де Бройля (3.1).
Мы видим, что собственные значения энергии для свободной частицы –
это знакомая нам из курса классической механики кинетическая энергия,
которая может принимать любые значения, в зависимости от скорости
движения частицы. Таким образом, энергетический спектр свободной
частицы является непрерывным.
Волновая функция (3.13) – это только координатная часть волновой
функции, в общем случае, зависящая от времени волновая функция имеет
вид
( x, t )  ψ( x)eiωt  Aeikxeiωt  Aei (ωt kx) .
(3.15)
Найдем плотность вероятности обнаружения свободной частицы в
пространстве. Для этого необходимо вычислить квадрат модуля волновой
функции (3.15)
*  Aei(t kx) Aei (t kx)  A2
.
(3.16)
Таким образом, вероятность обнаружения свободной частицы в
пространстве не зависит от ее положения и одинакова во всех точках.
44
3.6 ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ С БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ
СТЕНКАМИ
Рассмотрим
одномерную
прямоугольную
потенциальную
яму
с
бесконечно высокими стенками (рис. 3.5). Ширина потенциальной ямы
.
Начало отсчета потенциальной энергии выберем на дне потенциальной ямы.
U 
U 
U 0
x
0
Рис.3.5
Зависимость потенциальной энергии от координаты имеет вид
, x  0

U ( x)  0, 0  x 
, x 

.
(3.17)
Уравнение Шредингера для рассматриваемой потенциальной ямы имеет
вид
2
2m
d 2ψ
dx
2
ψ  Eψ  0 ,
 k 2ψ  0 ,
(3.18)
где
k2 
2mE
(3.19).
2
Решением уравнения (3.18) является функция
ψ( x)  Asin kx  B cos kx
45
.
(3.20)
Константы A и B ищутся из граничных условий. Поскольку за
пределами потенциальной ямы частица находиться не может, а волновая
функция
должна
быть
непрерывной,
следовательно,
на
границах
потенциальной ямы волновая функция должна обращаться в 0
ψ( x  0)  ψ( x  )  0
.
(3.21)
Применим граничное условие (3.21) к волновой функции (3.20)
ψ(0)  Asin 0  B cos0  B  0 .
Аналогично для второго граничного условия
ψ( )  Asin k  0  0 ,
sin k  0 , k  πn ,
k
πn
, где n  1,2,3,... .
(3.22)
Подставим (3.22) в (3.19) и выразим энергию частицы
2
 πn 
2 2 

k


En 

2m
2m
2
n
2
π2
2
2m
2
n  1,2,3,...
,
(3.23)
Энергия частицы в потенциальной яме зависит от числа n и имеет
дискретные значения, то есть квантуется.
Дискретные значения энергии En называются уровнями энергии, а число
n - главным квантовым числом. Индекс n у энергии указывает на
зависимость энергии
от номера энергетического уровня. Так, например,
энергия первого уровня E1 
π2
2
2m
2
, энергия второго уровня E2  4
π2
2
2m
2
и
т.д.
Таким
образом,
используя
граничные
условия,
мы
пришли
к
следующему виду волновой функции
ψ( x)  Asin
πn
x .
(3.24)
Константа A в уравнении (3.24) определяется из условия нормировки
46
 ψ( x)
2
dx  1 ,
0
A
2
sin 2 (
n
x) dx  1 ,
0
A2  sin 2 (
0
 A2 (
Откуда A 
n
1
2 n
x)dx  A2  (1  cos
x)dx 
2
0
1
1
2 n
2 n
1
 
 (sin
 sin
 0))  A2 
1
2
2 2 n
2
2
.
.
Итак, волновая функция частицы в одномерной прямоугольной
потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид
ψ n ( x) 
2
sin
n
x ,
(3.25)
Где индекс n указывает, что вид волновой функции определяется
номером уровня n . На рис.3.6 показаны графики волновой функции и
квадрата ее модуля (плотность вероятности) для первых трех уровней
энергии. Из рисунка видно, что для каждого уровня энергии в потенциальной
яме существуют области, где вероятность обнаружить частицу максимальна,
а также области, где частица не может находиться. Так, например, на втором
уровне энергии частица не может находиться посередине потенциальной
ямы, поскольку вероятность ее обнаружения в этой точке равна 0. Если
частица находится на первом уровне энергии, то, скорее всего, ее можно
обнаружить
в
середине
потенциальной
вероятности в этой точке максимальна.
47
ямы,
поскольку
плотность
Рис.3.6
Найдем разность энергий соседних уровней
En  En 1  En 
π (n  1)2
2 2
2m
2
2 2 2
π n

2m
2
2 2
π

2m
2
(2n  1) , (3.26)
Отношение разности энергий между соседними уровнями к энергии
одного из них обратно пропорционально номеру уровня
En 1
.

En
n
Чем больше номер уровня, тем ближе друг к другу располагаются
уровни энергии.
Пример 1: Свободный электрон в металле.
Для свободного электрона в металле размер потенциальной ямы – это
размер образца, пусть он составляет
 102 м . Вычислим разность энергий
между соседними уровнями по формуле (3.26)
E n 

2 2
2m
Для
2
(2n  1) 
свободного
(1,05  1034 )2  (3,14)2
2  9,1 10
электрона
31
10
4
(2n  1)  1033 n
соседние
Дж .
энергетические
уровни
расположены так близко, что спектр энергии можно считать непрерывным.
Пример 2: Электрон в атоме.
Для электрона в атоме размер потенциальной ямы – это размер атома
 1010 м . Тогда разность энергий между соседними уровнями
48
E n 

2 2
(2n  1) 
(1,05  1034 )2  (3,14)2
31
20
(2n  1)  1017 n Дж  100n эВ
2m
2  9,1 10 10
и спектр энергии электрона в атоме дискретный (линейчатый).
2
Итак, применяя уравнение Шредингера, мы получили новые свойства
микрочастиц, отличные от классических представлений : 1) частицы может
энергия иметь только конкретные дискретные значения энергии, 2) в
потенциальной яме есть места, где частица вообще не может находиться.
3.7 ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СКВОЗЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ
БАРЬЕР. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ.
Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы шириной
(рис. 3.7). Потенциальный барьер делит пространство на три области: слева
от барьера (область I ), справа (область II ) и под барьером (область III ).
U
I
III
II
E
U 0
U 0
x
0
Рис.3.7
Потенциальный барьер на рис.3.7 описывается следующим образом
0, x  0

U ( x)  U , 0  x 
0, x 

область I
область II
.
(3.27)
область III
Пусть частица движется вдоль оси x и встречает на своем пути
потенциальный барьер, показанный на рис 3.7. Энергия частицы меньше
высоты потенциального барьера E  U . Если бы частица была классической,
то она бы отразилась от потенциального барьера и стала бы двигаться в
обратную
сторону.
Классическая
частица
могла
бы
преодолеть
потенциальный барьер только в том случае, если ее энергия больше высоты
потенциального барьера E  U .
49
В
квантовой
механике
частица
с
энергией
меньшей
высоты
потенциального барьера может быть обнаружена за барьером, а частица с
энергией большей высоты потенциального барьера может подлететь к
барьеру и отразиться от него. Такие непривычные с точки зрения обыденной
жизни ситуации следуют из решения уравнения Шредингера для трех
областей
 d 2ψI
2mE
2
k2  2 ,
 2  k ψ I  0,
 dx
 d 2ψ
2 2m  E  U 
II  β 2 ψ  0,
β

,

II
2
2
dx

 d 2ψ
2 2mE
III  k 2 ψ  0,

k
 2 ,
III
 dx 2
область I
область II
.
(3.28)
область III
Решения этих дифференциальных уравнений имеют вид
 ψ I  A1eikx + B1e ikx

iβ x
iβx
 ψ II  A2e + B2e

ikx
 ψ III  A3e
область I
область II
.
(3.29)
область III
В выражениях (3.29) первое слагаемое – это волна, распространяющаяся
в положительном направлении оси
x , а второе слагаемое – это волна,
распространяющаяся в обратном направлении. В области III обратной волны
нет, поэтому коэффициент B3  0 .
Физический интерес представляет случай, когда энергия частицы
меньше
β2 
высоты
2m  E  U 
2
0
потенциального
барьера
E U .
В
этом
случае
и во второй области показатели экспонент в волновой
функции становятся действительными
 ψ I  A1eikx + B1e ikx

βx
βx
 ψ II  A2e + B2e

ikx
 ψ III  A3e
область I
область II
область III
50
.
(3.30)
Вид волновых функций в различных областях показан на рис 3.8. Из
рисунка видно, что волновая функция не равна 0 под барьером и за барьером.
За барьером волновая функция представляет собой волну де Бройля с той
частотой, но с меньшей амплитудой. Таким образом, существует ненулевая
вероятность обнаружения частицы во второй и третьей области, то есть
частица может проникнуть через потенциальный барьер. Это явление
получило название туннельного эффекта.
U
I
III
II
E
U 0
U 0
x
0
ψI
ψ II
ψ III
x
0
Рис.3.8
Для описания туннельного эффекта вводят понятие коэффициента
прозрачности потенциального барьера – отношения плотности потока
частиц, прошедших через потенциальный барьер, к плотности потока частиц
падающих на потенциальный барьер
D
A3
A1
Коэффициенты A1
2
2
.
(3.31)
и A3 в (3.31) ищутся из условия непрерывности
волновой функции и ее производной на границе областей
51
ψ I (0)  ψ II (0)
ψ ( )  ψ ( )
III
 II
 

ψ I (0)  ψ II (0)
 
ψ II ( )  ψ III ( )
.
(3.32)
Из уравнения (3.32) можно выразить коэффициенты A2 , A3 , B1 , B2 через
A1 .
Решая
(3.32)
можно
получить
коэффициент
прозрачности
потенциального барьера
D  D0e
2

2m(U  E )
.
(3.33)
Постоянный множитель D0 можно считать равным единице, тогда
вероятность прохождения потенциального барьера
W De

2
2mU  E 
.
(3.34)
Из (3.34) следует, что вероятность прохождения барьера сильно зависит
от массы частицы и ширины потенциального барьера, с увеличением массы
частицы и ширины потенциального барьера вероятность прохождения
частицы через него уменьшается. Так, например, при увеличении ширины
потенциального барьера вдвое вероятность его прохождения уменьшится в
7,4 раза

W1

W2
e

2
2 2
e
2 mU  E 

2 mU  E 
 e2  7,4 .
При увеличении массы частицы вдвое вероятность его прохождения
уменьшится в 4,1 раза

W1
e

W2

e
2
2
2 mU  E 
2 2 m U  E 
e
2
 4,1 .
Для потенциального барьера произвольной формы коэффициент
прозрачности имеет вид
52
D  D0e
Таким
образом,
в

2
x2

2 m(U ( x )  E )dx
x1
.
квантовой
(3.35)
механике
существует
ненулевая
вероятность обнаружить частицу за барьером, туннельный эффект – это
специфическое явление квантовой физики, которое не существует в
классической физике.
3.8 КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Будем рассматривать линейный квантовый гармонический осциллятор –
систему, которая совершает колебания под действием квазаиупругой силы,
пропорциональной отклонению осциллятора от положения равновесия.
Классические линейные гармонические осцилляторы были рассмотрены в
разделе
«колебания
и
волны»
-
это,
например,
пружинный
или
математические маятники или колебательный контур.
Рассмотрим гармонический осциллятор, совершающий колебания под
действием квазиупругой силы F  kx , где x – смещение осциллятора от
положения равновесия. Потенциальная энергия имеет вид
kx 2 m02 x 2
U

2
2
где 02 
В
,
(3.36)
k
– собственная частота колебаний осциллятора.
m
классическом
гармоническом
осцилляторе
частица
совершает
колебания внутри параболической потенциальной ямы, выйти за пределы
которой она не может рис.3.9. Границы потенциальной ямы определяются
энергией частицы E , и частица может двигаться только нутрии интервала
 A  x  A , где A – амплитуда колебаний.
53
U ( x)
E
A
0
x
A
Рис.3.9
В квантовой механике движение частицы описывается уравнением
Шредингера, которое для квантового гармонического осциллятора имеет вид
m02 x 2 
d 2ψ 

E


 ψ  0 .
2m dx 2 
2

2
(3.37)
Решение уравнения (3.37) существует только в том случае, если
значения энергии удовлетворяют уравнению
1

En  ω0  n   ,
2

n  0,1,2,...
(3.38)
Уравнение (3.38) определяет квантование энергии в квантовом
гармоническом осцилляторе. Уровни энергии расположены на одинаковом
расстоянии друг от друга– эквидистантно (рис3.10), кроме того минимально
возможная энергия частицы в гармоническом осцилляторе не равна 0
E0 
1
ω0
2
,
(3.38)
ее называют энергией нулевых колебаний.
U ( x)
E4
E3
E2
E1
E0
x
0
54
Рис.3.10
Отличная от нуля энергия нулевых колебаний является следствием
соотношения неопределенностей. В реальных кристаллах при температурах
близких
к
абсолютному
0,
когда
тепловое
движение
практически
прекращается, кристаллическая решетка совершает колебания за счет
энергии нулевых колебаний. Наличие нулевых колебаний подтверждено
экспериментально в опытах по рассеянию света при низких температурах.
Найдем
минимальное
значение
возможной
энергии
квантового
гармонического осциллятора исходя из соотношения неопределенностей.
Пусть гармонический осциллятор колеблется по закону
x  A cosω0t .
Неопределенность координаты
x  x 2 
 A cosω0t 2  A  cosω0t 2  A
1
2
,
(3.39)
2 1
где x 2 - среднее значение x 2 и  cosω0t   .
2
Энергия колебаний связана с амплитудой колебаний соотношением
mA2ω02
E
2
A
1
ω0
2E
m
,
.
(3.40)
Подставим (3.40) в (3.39)
x  A
1
1
 A
2
ω0
E
m
.
(3.41)
Импульс квантового гармонического осциллятора
p  mV  m
d  A cosω0t 
   mAω0sinω0t .
dt
(3.42)
Неопределенность импульса
p 
p2 
  Amω0 sin ω0t 2  Amω0  sin ω0t 2  Amω0
Подставим (3.40) в (3.43)
55
1
2
.
(3.43)
p  Amω0
1 mω0

2
ω0
2E 1
 mE
m 2
.
(3.44)
Подставим (3.44) и (3.41) в соотношение неопределенностей (3.2)
xp 
1
ω0
E
E
mE 
 ,
m
ω0 2
E
ω0
2
.
(3.45)
Из (3.45) видно, что энергия гармонического осциллятора не может быть
меньше
ω0
, что совпадает с энергией нулевых колебаний.
2
Для гармонического осциллятора существует правило отбора для
переходов частиц с одного уровня энергии на другой: разрешены только
переходы частиц между соседними уровнями энергии
n  1
.
На рис. 3.11 показаны волновые функции для
(3.46)
нулевого уровня и пяти
первых уровней энергии гармонического осциллятора.
Рис.3.11
Пунктиром показаны границы нахождения точки для классического
случая. С увеличением номера уровня область нахождения классической
частицы расширяется. Также из рис. 3.11 видно, что для квантового
56
гармонического осциллятора существует ненулевая вероятность нахождения
частицы вне параболической потенциальной ямы.
Волновые функции квантового гармонического осциллятора четные на
нулевом уровне энергии и на четных уровнях энергии. Кроме того,
количество точек пересечения волновых функции с осью x равно номеру
уровня n . Так, например, при n  1 волновая функция пересекает ось x в
одной точке, при n  2 волновая функция пересекает ось x в двух точках,
при n  3 волновая функция пересекает ось x в трех точках и т.д.
4. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
4.1 АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Рассмотрим атом, состоящий из одного электрона, движущегося вокруг
ядра с зарядом  Z e . Такие системы называются водородоподобными. При
Z  1 получаем атом водорода, при Z  2 - ион атома гелия He , при Z  3 ион атома лития Li  . Потенциальная энергия электрона, находящегося в
поле ядра на расстоянии r от него
Ze2
U 
.
4πε 0r
(4.1)
Уравнение Шредингера для водородоподобной системы запишется в
виде

Ze2 
ψ   E 
 ψ  0

2m
4πε
r
0


2
.
(4.2)
Решению уравнения Шредингера соответствует дискретный набор
отрицательных собственных значений энергии
En  
1 Z 2me4
 2 2 ,
2
n 8h ε 0
n  1,2,3...
.
(4.3)
Уровень с номером n  1 соответствует минимально возможной энергии
– это основное состояние. Уровни с номером n  1 - это возбужденные
57
состояния. Когда энергия электрона отрицательна, он находится внутри
гиперболической потенциальной ямы, если энергия положительна, то
электрон является свободным. Разность энергий между соседними уровнями
в потенциальной яме зависит от номера уровня n , с увеличением номера
уровни располагаются ближе друг к другу (рис.4.1).
Рис.4.1
Энергия ионизации атома водорода (энергия, необходимая для удаления
электрона из атома)
1 Z 2me4 me4
E1   2  2 2 = 2 2  13,6 эВ ,
1 8h ε 0 8h ε 0
(4.4)
в (4.4) учтено, что заряд ядра атома водорода Z  1. Полученные результаты
совпадают с теорией атома водорода, предложенной Бором.
Собственные функции ψnlm (r ,θ,φ) , являющиеся решением уравнения
Шредингера (4.1), содержат три целочисленных параметра n, l , m . Главное
квантовое число
n указывает на номер уровня энергии, на котором
расположен электрон, и принимает целые значения n  1,2,3,... . Момент
импульса электрона зависит от орбитального квантового числа l и может
принимать только дискретные значения
L 
(  1)
.
(4.5)
Орбитальное квантовое число l зависит от номера уровня, на котором
расположен электрон и меняется в пределах
58
 0,1,2,3...,(n  1) .
(4.6)
Из решения уравнения Шредингера также следует, что проекция
момента импульса на направление внешнего магнитного поля Z тоже
квантуется
L
Z
 m
,
(4.7)
где m - магнитное квантовое число, которое может принимать значения
m  0, 1, 2, 3...,
.
(4.8)
Например, проекция момента импульса на направление внешнего
магнитного поля при
 2 может иметь 5 значений L
Z
 0,  , 2 (рис.4.2)
Рис.4.2
Таким образом, каждому вырожденному уровню энергии соответствует
несколько волновых функций. Например, для второго уровня энергии n  2
существует четыре набора волновых чисел и соответственно четыре
волновых функций ψ nlm .
n
l
m
ψ nlm
2
0
0
ψ 200
2
1
0
ψ 210
2
1
1
ψ 211
2
1
-1
ψ 211
Число различных состояний
N  n2 ,
59
(4.9)
соответствующих
одному
значению
n,
называется
кратностью
вырождения. Так, например второй уровень энергии четырехкратно
вырожден.
Различные состояния электрона в атоме при разных значения
орбитального квантового числа l принято обозначать малыми буквами
латинского алфавита
l 0
l 1
s - состояние
p - состояние
l2
d - состояние
l 3
f - состояние
Формы электронного облака для различных состояний показаны на
рис.4.3 .
z
s
y
x
p
60
d
Рис.4.3
С помощью квантовых чисел можно более подробно описать спектр
атома водорода. Количество возможных переходов электрона между уровня
энергии ограничивается правилами отбора:
орбитальное квантовое число может меняться по правилу
  1 ,
(4.10)
магнитное квантовое число может меняться по правилу
m  0, 1 .
(4.11)
При переходе электрона с более высоких уровней на более низкие
испускается фотон, для перехода электрона на более высокий уровень ему
необходимо поглотить фотон. Примеры разрешенных переходов для
электронов показаны на рис.4.4. К примеру, электрон может перейти из
состояния 4 p в состояние 3d , при этом изменение орбитального квантового
числа   1. Аналогично разрешены переходы 3s  2 p и 2 p  1s .
61
Рис.4.4
4.2 1S СОСТОЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ ВОДОРОДА
Рассмотрим волновую функцию электрона, находящегося в основном
состоянии ψ100 . В основном состоянии волновая функция сферически
симметрична и ее значение определяется лишь расстоянием до ядра r
 100  С  e
где a 
4πε0
me2

r
a
,
(4.12)
- первый Боровский радиус.
Константу C можно определить из условия нормировки

ψ
2
dV  1 .
(4.13)
0
В сферической системе координат элемент объема dV  4πr 2dr . Тогда
(4.13) с учетом (4.12) перепишется

С
2
e

2r
a 4πr 2dr
0
62
1 .
После интегрирования можно вычислить константу С 
1
πa
3
. Таким
образом, волновая функция электрона в основном состоянии имеет вид

1
ψ100 
πa
3
e
r
a
.
(4.14)
Вероятность dW обнаружения электрона в объеме dV
2
2
dW  ψ dV  ψ  4πr dr 

1
2
πa
3
e
2r
a
 4πr 2dr .
Плотность вероятности ω
dW
1 
ω
 3e
dr πa
2r
a
 4πr 2 .
(4.15)
Исследуем выражение (4.15) на максимум, чтобы найти наиболее
вероятное расстояние, на котором электрон находится от ядра.

dω
1  

e
dr πa3 

2r
a
 8πr  e

2r
a


2
2  8πr
 4πr  3 e
 πa
a

откуда получаем точку экстремума
2r
a
r

1    0 ,
 a
r  a . Таким образом, наиболее
вероятное расстояние, на котором можно обнаружить электрон в атоме
водорода – это первый Боровский радиус. Однако, в квантовомеханическом
подходе существует ненулевая вероятность обнаружения электрона и на
других расстояниях от ядра. График плотности вероятности изображен на
рис. 4.5.
ω
r
a
63
Рис.4.5
Необходимо отметить, что хотя результаты, полученные Бором в
классической механике, совпадают с вычисленным наиболее вероятным
расстоянием нахождения
электрона атоме, между ними
существует
принципиальное отличие. Согласно классической теории, электрон
может находиться только на первом Боровском радиусе. Согласно
квантовой теории электрон может находиться где угодно, но наиболее
вероятно его можно будет обнаружить на первом Боровском радиусе.
4.3 СПИН ЭЛЕКТРОНА
В 1922 году Штерн
и Герлах провели серию опытов, в которых
пытались измерить магнитные моменты атомов различных химических
элементов. Для элементов, у которых есть один валентный электрон,
магнитный момент атома равен магнитному моменту валентного электрона.
Схема опыта показана на рис.4.6. в печи в колбе с вакуумом нагревался
серебряный шарик до температуры испарения. Атомы серебра пролетали
через систему диафрагм и попадали в резко неоднородное магнитное поле.
Неоднородное магнитное поле создавалось постоянным магнитом с узким
наконечником. На зеркале можно было наблюдать посеребренные участки.
Рис.4.6
64
Согласно классическим представлениям, магнитные моменты атомов pm
ориентированы хаотично, и на них в неоднородном магнитном поле
действует сила
Fz  pm
где
B
cosθ ,
z
B
- градиент магнитного поля вдоль оси z , θ - угол между вектором
z
магнитного момента и направлением магнитного поля. Поскольку магнитные
моменты
атомов
ориентированы
хаотично,
то
на
зеркале
должна
наблюдаться сплошная серебряная полоса. Однако, в эксперименте Штерна и
Герлаха наблюдалось только две точки. Это означало только одно, что
магнитный момент электрона принимает только два дискретных значения.
Более того, в опыте Штерна – Герлаха для атома водорода,
находящегося в s -состоянии на фотопластинке также наблюдались две
точки. Если атом находится в s - состоянии (  0 ), то его орбитальный
момент равен 0
L 
(  1)  0 ,
и его проекция на ось z также равна 0
L
Z
 m0 .
Магнитный момент электрона pm связан с орбитальным моментом
соотношением pm 
e
L Z  0 ( e - заряд электрона, me - масса электрона), и
2me
также равен 0. В этом случае магнитное поле вообще не должно влиять на
движение атомов, что противоречило полученным экспериментальным
результатам.
В 1925 году студенты Геттингенского университета Гаудсмит и Уленбек
предположили, что электрон обладает собственным механическим моментом
импульса, не связанным с движением электрона в пространстве - спином.
Спин электрона Ls – это квантовая величина, у нее нет классического
65
аналога, и она является таким же свойством электрона, как масса и заряд.
Спин электрона квантуется по закону
Ls 
s(s  1)
,
(4.16)
где s  спиновое квантовое число. Для электрона спиновое квантовое число
имеет значение s 
1
.
2
Проекция спина на направление внешнего магнитного поля также
квантуется
Lsz  ms
,
(4.17)
где ms  магнитное спиновое квантовое число. Для электрона магнитное
спиновое квантовое число имеет два значения
ms  
1
.
2
(4.18)
Наличие у электрона спина объясняет результаты опыта Штерна –
Герлаха. Электроны, у которых спин направлен вверх, отклоняются
магнитным полем в одну сторону, а электроны со спином вниз – в другую
(рис.4.7.)
Спин вверх
Спин вниз
Ожидаемый
Эксперимент
классический результат
Рис.4.7
66
Таким образом, состояние электрона описывается набором четырех
квантовых чисел:
- главное квантовое число n характеризует номер уровня энергии, на
котором расположен электрон,
- орбитальное квантовое число
характеризует форму электронного
облака,
- магнитное квантовое число m указывает на ориентацию электронного
облака в пространстве,
- магнитное спиновое квантовое число ms указывает на ориентацию в
пространстве собственного момента импульса электрона – спина.
4.4 ПРИНЦИП НЕРАЗЛИЧИМОСТИ ТОЖДЕСТВЕННЫХ
ЧАСТИЦ
Рассмотрим квантовомеханическую систему, состоящую из одинаковых
частиц. Частицы, имеющие одинаковые физические свойства (масса, заряд,
спин, квантовые числа и др.) называются тождественными. В квантовой
механике
выполняется
фундаментальный
принцип
–
принцип
неразличимости тождественных частиц: невозможно экспериментально
различить тождественные частицы.
Когда мы имеем дело с одинаковыми классическими одинаковыми
частицами, например электронами (заряд и масса у всех электронов
одинаковая), мы всегда их можем различить экспериментально, поскольку
каждый электрон движется по своей траектории. В классической механике в
каждый момент времени можно сказать, где какой электрон находится, то
есть частицы обладают индивидуальностью. В квантовой механике понятие
траектории
отсутствует,
поведение
частицы
описывается
волновой
функцией, определяющей только вероятность нахождения частицы в
некоторой области пространства. Если же волновые функции двух
тождественных частиц перекрываются, то сказать какая из частиц находится
67
в области перекрытия невозможно (рис.4.8). В квантовой механике частицы
теряют индивидуальность и различить их невозможно.
1
ψ1
2
2
классическая механика
ψ2
2
квантовая механика
Рис.4.8
4.5 ФЕРМИОНЫ И БОЗОНЫ
Рассмотрим квантовомеханическую систему, состоящую из двух частиц.
Волновая функция системы их двух частиц имеет вид ψ( x1, x2 ) , где под x1
будем понимать совокупность пространственных и спиновых координат
первой частицы, под x2 – совокупность пространственных и спиновых
координат
второй
частицы.
Согласно
принципу
неразличимости
тождественных частиц
ψ1  x1, x2   ψ 2  x2 , x1 
2
2
,
(4.19)
то есть, если поменять частицы местами квадрат волновой функции не
меняется.
Уравнение (4.19) может выполняться в двух случаях:
Если при перестановке частиц волновая функция не меняет знак
ψ1  x1, x2   ψ2  x2 , x1 
,
(4.20)
то она называется симметричной.
Если при перестановке частиц волновая функция меняет знак
ψ1  x1, x2   ψ2  x2 , x1 
,
(4.21)
то она называется антисимметричной.
Полученный результат справедлив для квантовомеханических систем,
состоящих из любого количества частиц.
68
Частицы с симметричной волновой функцией называются бозонами, и
подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. К бозонам относятся частицы с
нулевым или целым спином, например, фотоны, π - мезоны и др.
Частицы с
антисимметричной волновой функцией называются
фермионами, и подчиняются статистике Ферми-Дирака. К фермионам
относятся частицы с полуцелым спином: электроны, протоны, нейтроны.
Симметрия волновой функции сложных квантовомеханических систем,
таких, как, например, атом, определяется суммарным спином всех входящих
в систему частиц. Если суммарный спин атома – целый, то атом является
бозоном, если полуцелый – фермионом.
Необходимо также отметить, что характер симметрии волновой
функции не меняется со временем.
4.6 ПРИНЦИП ПАУЛИ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В АТОМЕ ПО СОСТОЯНИЯМ
Рассмотрим
две
квантовомеханические
частицы,
которые
могут
находиться в двух состояниях с разным набором квантовых чисел x1 и x2 .
Волновая функция первой частицы в двух состояниях
ψ1( x1) и ψ1 ( x2 ) ,
соответственно для второй частицы волновые функции ψ 2 ( x1 ) и ψ2 ( x2 ) . Из
этих волновых функций можно составить две волновых функции:
ψ1( x1, x2 )=ψ1( x1)ψ1( x2 )
и
ψ 2 ( x1, x2 )=ψ 2 ( x1)ψ 2 ( x2 ) .
Функции ψ1( x1, x2 ) и ψ 2 ( x1, x2 ) соответствуют одному и тому же
значению энергии, удовлетворяющему решению уравнения Шредингера,
следовательно, их линейные комбинации также должны соответствовать
тому же уровню энергии. Линейных комбинаций может быть две:
– симметричная
ψсим  ψ1( x1, x2 )  ψ 2 ( x1, x2 ) ,
и антисимметричная
69
ψ асим  ψ1( x1, x2 )  ψ 2 ( x1, x2 ) .
Для тождественных частиц
ψ1( x1, x2 )  ψ 2 ( x1, x2 )
и антисимметричная функция
ψасим  0 .
Следовательно,
фермионы, которые обладают антисимметричной
волновой функцией, не могут находиться в состоянии с одинаковым
набором квантовых чисел. Это утверждение получило название принципа
Паули: два фермиона не могут иметь одинаковый набор квантовых чисел.
Необходимо отметить, что количество бозонов, имеющих одинаковый набор
квантовых чисел, не ограничено.
Состояние электрона в атоме определяется набором четырех квантовых
чисел: n (главное квантовое число),
(орбитальное квантовое число), m
(магнитное квантовое число) и ms (магнитное спиновое квантовое число).
Применяя принцип Паули к атому можно сказать, что в атоме не может
быть двух электронов с одинаковым набором квантовых чисел. Таким
образом, два электрона в атоме должны различаться хотя бы одним
квантовым числом. Максимальное количество электронов, находящихся в
атоме на уровне энергии с номером n
N  2n2 .
(4.22)
Совокупность электронов в атоме, имеющих одно и то же главное
квантовое число n , называется оболочкой. Оболочки обозначаются буквами
K,L,M,N . В оболочке электроны распределяются по подоболочками, каждая
из которых соответствует своему значению орбитального квантового числа
. Количество электронов в подоболочке N определяется магнитным m и
магнитным спиновым числом ms
N  2   1 .
(4.23)
В таблице 4.1 приведено распределение электронов по оболочкам и
подоболочкам в соответствие с принципом Паули.
70
Главное
квантовое
число n
Оболочка
Количество электронов
1
K
2
2
L
2
6
3
M
2
6
10
4
N
2
6
10
14
5
O
2
6
10
14
подоболочка
s
p
d
f
g
0
1
2
3
4
Максимально
е количество
электронов
Таблица 4.1
2
8
18
32
18
50
Принцип Паули лежит в основе заполнения электронами состояний в
атоме и позволяет объяснить таблицу Менделеева, первые три периода
которой приведены в таблице 4.2. Период в периодической таблице
Менделеева соответствует главному квантовому числу, Z – порядковый
номер элемента, введенный Менделеевым, равный количеству протонов в
ядре и, соответственно, количеству электронов в оболочках. Например, в
атоме водорода H единственный электрон находится в состоянии 1s, в атоме
гелия He два электрона находятся в состоянии 1s , принятая форма записи – 1
s 2 . Для Si два электрона находятся в состоянии 1s, два электрона находятся в
состоянии 2s, шесть электронов в состоянии 2p, два электрона находятся в
состоянии 3s, два электрона в состоянии 3p, принятая форма записи –
1s 2 2s 2 2 p6 3s 2 3 p 2 .
Таблица 4.2.
I
1
H
L
1s
2s
0
0
M
2p
3s
3p
0
1
3d
2
Запись
Z
Элемент
Период
K
1
1
1s
71
n 1
II
n2
III
n3
1s 2
2
He
2
3
Li
2
1
1s 2 2s1
4
Be
2
2
1s 2 2s 2
5
B
2
2
1
1s 2 2s 2 2 p
6
C
2
2
2
1s 2 2s 2 2 p 2
7
N
2
2
3
1s 2 2s 2 2 p3
8
O
2
2
4
1s 2 2s 2 2 p 4
9
F
2
2
5
1s 2 2s 2 2 p5
10
Ne
2
2
6
1s 2 2s 2 2 p6
11
Na
2
2
6
1
1s 2 2s 2 2 p6 3s
12
Mg
2
2
6
2
1s 2 2s 2 2 p6 3s 2
13
Al
2
2
6
2
1
1s 2 2s 2 2 p6 3s 2 3 p
14
Si
2
2
6
2
2
1s 2 2s 2 2 p6 3s 2 3 p 2
15
P
2
2
6
2
3
1s 2 2s 2 2 p6 3s 2 3 p3
16
S
2
2
6
2
4
1s 2 2s 2 2 p6 3s 2 3 p 4
17
Cl
2
2
6
2
5
1s 2 2s 2 2 p6 3s 2 3 p5
18
Ar
2
2
6
2
6
1s 2 2s 2 2 p6 3s 2 3 p6
5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
5.1 КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
Задача 1. Определить энергию W , излучаемую за t  2 мин из
смотрового
окошка
плавильной
печи
площадью
S  10 cм2 ,
если
температура печи T  1200 C . Считать, что печь излучает как абсолютно
черное тело.
72
Дано:
Энергия, излученная с поверхности
t  2 мин=120 c ,
тела площадью S за время t , определяется
S  10 cм2  103 м2 ,
формулой (1.14)
W  R*St ,
T  1000 C
W ?
где R*   T 4 - энергетическая светимость абсолютно черного тела (закон
Стефана – Больцмана). Чтобы применять закон Стефана–Больцмана,
необходимо перевести температуру из градусов Цельсия в градусы Кельвина
T  1000 C  1273 K .
Таким образом, энергия абсолютно черного тела, излученная с площади
Вт
S за время t (   5,67  108
м 2К 4
–постоянная Стефана Больцмана)
W  R*St   T 4 St  5,67  108  12734  103  120=17,9  103 Дж .
Ответ: W  17,9  103 Дж .
Задача 2.
Шар
радиусом R  4 cм находится при некоторой
постоянной температуре T
и излучает мощность
P  2 кВт . Найти
температуру T , при которой находится шар, считая его серым телом со
степенью черноты αT  0,25 .
Дано:
Мощность
R  4 cм=4 10-2 м ,
излученная с поверхности S в единицу
P  1 кВт=1103 Вт ,
времени.
αT  0,25
излучения
Площадь
–
это
энергия,
поверхности
шара
S  4πR2 .
T ?
Поскольку, по условию задачи шар – не абсолютно черное тело, а серое,
то при использовании закона Стефана-Больцмана необходимо учесть
коэффициент черноты T , а при вычислении мощность – площадь шара
P  T R*S  T T 4  4πR2 .
73
(5.1)
Выражая из (5.1) температуру T , получим
T 4
P
4πT  R 2
4
1  103
4π  0,25  5,67  10
8
 4 10 
-2
2
 1369 K .
Ответ: T  1369 K .
Задача 3.
Какую мощность P необходимо подводить к медному
шарику радиуса R  2 cм , чтобы при температуре окружающей среды
t0  15 C поддерживать его температуру t  20 C . Считать, что тепловые
потери обусловлены только излучением. Поглощательная способность меди
AT  0,6 .
Дано:
В
законах
теплового
излучения
R  2 cм=2 10-2 м ,
температура должна измеряться в градусах
t0  15 C ,
Кельвина, поэтому
T0  t0  273  15 +273=258 K ,
t  20 C ,
T  t  273  20 +273=293 K .
AT  0,6
P?
Подводимая к шарику мощность P – это разница между мощностью,
рассеиваемой за счет теплового излучения Pизл и мощностью, поглощаемой
из окружающей среды Pпогл
P  Pизл  Pпогл .
Pизл и Pпогл определяются из закона Стефана–Больцмана:
Pизл  AT R*S  AT  T 4  4πR2 ,
Pпогл  AT  T04  4πR2 .
Тогда подводимая к шарику мощность


P  Pизл  Pпогл  4πR 2 AT  T 4  T04 

 4π 2  10-2

2


 0,6  5,67  108  2934  2584  0,5 Вт .
Ответ: P  0,5 Вт .
74
Задача 4. Абсолютно черное тело нагрели от температуры T1  500 K до
температуры T2  1500 K . Вычислить: 1) как изменилась длина волны,
соответствующая максимуму энергетической светимости, 2) как изменилась
максимальная плотность энергетической светимости, 3) как изменилась
энергетическая светимость черного тела, 4) длину волны, соответствующую
максимуму
плотности
энергетической
светимости,
5)
максимальную
плотность энергетической светимости при T2  1500 K .
Дано:
1) длина
волны,
соответствующая
T1  500 K ,
максимальной
плотности
T2  1500 K
энергетической
светимости
λ
1) max 2  ? ,
λ max1
определяется законом смещения Вина
2)
rmax λ 2 ,T2
3)
R* T2 
rmax λ1 ,T1
R T1 
*
max 
 ?,
b
T
λ max 2 b b T1 500 1
   
 .
λ max1 T2 T1 T2 1500 3
Тогда
2) максимальное значение спектральной
 ?,
плотности энергетической светимости
4) λ 2  ? , rmax  λ 2 , T2   ?
определяется выражением (1.18)
*
5
rmax
λ,T  CT
Тогда
rmax λ 2 ,T2
rmax λ1 ,T1

CT25
CT15

T25
T15
5
 1500 
5

  3  243 .
 500 
3) отношение энергетических светимостей можно выразить из закона
Стефана-Больцмана
R* T2 
4
 T24 T24  1500 
4

 4 
  3  81
*
4
 500 
R T1   T1
T1
4) длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности
энергетической
светимости вычисляется
( b  2,9  103 м  К - постоянная Вина)
75
из
закона
смещения Вина
2 max
b 2,9  103


 1,9  106 м ,
T2
1500
5) максимальное значение спектральной плотности энергетической
светимости можно вычислить из (1.18), где C  1,3  105
Вт
м 3 К 5
*
5
5
5
10
rmax
λ 2 ,T2  CT2  1,3  10  1500  9,87  10
Ответ: 1)
Вт
м3
rmaxλ 2 ,T2
λ max 2 1
 243
 уменьшилась в 3 раза, 2)
rmax λ1 ,T1
λ max1 3
увеличилось в 243 раза, 3)
R* T2 
R* T1 
 81 увеличилось в 81 раз, 4)
*
2max  1,9 106 м , 5) rmax
λ
2
,T2
 9,87 1010
Вт
м3
5.2 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ФОТОНА
Задача 5. Определить для фотона с длиной волны λ  0,5 мкм энергию
ε γ и импульс pγ .
Дано:
λ  0,5 мкм
1) ε γ  ? ,
1) Энергия фотона вычисляется по формуле
hc 6,63 1034  3 108
19
εγ 


3,98

10
Дж  2,49 эВ
λ
0,5 106
2) pγ  ?
2) Импульс фотона вычисляется по формуле
h 6,63 1034
pγ  
 1,33  1027 кг  м/с .

6
λ
0,5  10
Ответ: 1) ε γ  3,98 1019 Дж  2,49 эВ , 2) pγ  1,33 1027 кг  м/с .
Задача 6. Определить длину волны фотона, импульс которого равен
импульсу электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов
U  100 В .
76
Дано:
U  100 В ,
Импульс электрона pe можно найти из
закона сохранения энергии
pe  pγ
pe 2
eU 
, pe  2meU .
2m
λγ  ?
Импульс фотона pγ связан с его длиной волны соотношением де Бройля
pγ 
h
.
λγ
Приравнивая импульс фотона импульсу электрона, получим искомую
длину волны фотона
2meU 
h
,
λγ
h
6,63  1034
λγ 

 1,23  109 м  1,23 нм .
2meU
2  9,1  1031  1,6  1019  1
Ответ: λγ  1,23 нм .
Задача 7. Определить с какой скоростью должен двигаться электрон,
чтобы его импульс был равен импульсу фотона с длиной волны λ γ  1,5 пм .
Дано:
Прежде всего, оценим энергию фотона
λ γ  1,5 пм  1,5 10-12 м , и сравним ее с энергией покоя электрона.
pe  pγ
Ve  ?
Если энергия фотона сравнима с энергией покоя электрона, то скорость
электрона нужно вычислять из релятивистского импульса
mV
pe 
2
.
(5.2)
V
1 2
c
Если энергия фотона много меньше энергии покоя электрона, то
скорость электрона нужно вычислять по классической формуле
77
pe  mV .
Энергия покоя электрона

E0  mc 2  9,1  1031  3  108

2
 8,2  1014 Дж  0,51 МэВ .
Энергия фотона
hc 6,63  1034  3  108
γ  
 1,99  1013 Дж  1,24 МэВ

12
λγ
1,50  10
– сравнима с энергией покоя электрона, поэтому для расчета скорости
электрона необходимо пользоваться релятивистской формулой (5.2) .
Импульс фотона вычисляется пор формуле де Бройля
pγ 
h
.
λγ
Приравняем импульсы фотона и электрона и выразим
электрона
mV
pe  pγ ,
V2
1 2
c
m 2V 2
1
V2

h2
λγ2

h
,
λγ
,
c2
h2  V 2 
m V  2 1  2  ,
λ γ 
c 
2 2


m2λ γ 2c2V 2  h2 c2  V 2 ,
 m2λγ2c2  h2 V 2  h2c2 ,
78
скорость
hc
V

m λγ c  h
2
2 2
2

6,63  1034  3  108

9,1  1031  1,5  1012  3  108
 
2
 6,63  1034

2
 2,55  108 м/с  0,85c .
Ответ: V  0,85c .
5.3 ФОТОЭФФЕКТ
Задача 8.
длиной
волны
Цезиевый катод освещается монохроматическим светом с
λ  400 нм .
Определить
наименьшее
задерживающее
напряжение U з , при котором прекратится фототок.
Дано:
Для
λ  400 нм
исчезновения
фототока
приложить задерживающее
надо
напряжение
Uз .
Uз  ? ,
При отрицательном напряжении на аноде электрическое поле тормозит
фотоэлектроны, и анода могут достичь только те из них, у которых
кинетическая энергия больше величины задерживающего напряжения U з .
Следовательно,
для
вычисления
задерживающего
напряжения
надо
воспользоваться формулой (1.24)
eU з  Tmax
mVmax 2

.
2
Из закона сохранения энергии, который выражает уравнение Эйнштейна
(1.25)
mVmax 2
hν  Авых 
2
можно найти максимальную кинетическую энергию электронов
eU з 
mVmax 2
 hν - Авых .
2
(5.3)
Работа выхода для цезия Авых  2 эВ приведена в таблице 1.1. При
решении задачи нам понадобится значение работы в Джоулях, чтобы
79
перевести табличное значение работы выхода из электрон-Вольт в Джоули
надо умножить его на заряд электрона
Авых  2 эВ = 2 1,6 1019 Дж = 3,2 1019 Дж .
Найдем частоту падающего излучения по заданной длине волны
с
3  108
ν 
 750  1012 Гц .

9
λ 400  10
Подставим частоту и работу выхода в (5.3) и вычислим задерживающее
напряжение
hν - Авых 6,63 1034  750  1012  3,2  1019
Uз 

 1,1 В .
e
1,6 1019
Ответ: U з  1,1 В .
Задача 9. Определить максимальную скорость фотоэлектронов Vmax ,
вырываемых с поверхности платины, если на пластинку падает: 1) поток
ультрафиолетового излучения с длиной волны λ1  150 нм , 2) поток γ излучения с λ 2  2,5 пм .
Дано:
Фотоэффект описывается уравнением
λ1  150 нм ,
Эйнштейна (1.25)
hν  ε γ  Авых  Tmax ,
λ 2  2,5 пм
1) Vmax  ? , 2) Vmax  ?
где Tmax – максимальная кинетическая энергия электронов. В зависимости от
того, какая скорость сообщается фотоэлектрону, кинетическая энергия
выражается через скорость либо классической формулой
Tmax 
mVmax 2
2
,
(5.4)
либо релятивистской формулой
Tmax   m  m0  c 
2
m0c 2
1
80
Vmax
c2
2
 m0c 2
,
(5.5)
где m0 – масса покоя электрона, c – скорость света.
Чтобы решить, какую формулу для кинетической энергии нужно
применять в том или ином случае, нужно сравнить энергию падающего
фотона с энергией покоя электрона E0  0,51 МэВ . Для первого случая
энергия падающего фотона
hc 6,63  1034  3  108
εγ 

 1,33  1018 Дж  8,2 эВ

9
λ
150  10
– много меньше энергии покоя электрона, поэтому нужно применять
классическую формулу (5.4).
Для второго случая энергия падающего фотона
εγ 
hc 6,63 1034  3 108

 7,96 1014 Дж  0,5 МэВ

12
λ
2,5 10
– сравнима с энергией покоя электрона, поэтому нужно применять
релятивистскую формулу (5.4).
Вычислим максимальную скорость фотоэлектронов для классического
случая
Vmax 



2 ε γ -Авых
m

2 1,33  1018 - 6,3  1,6 10 19
9,1  1031
  8,41105
м/с .
При расчете учтено, что работа выхода для платины Авых  6,3 эВ .
2) Вычислим максимальную кинетическую энергию фотоэлектрона
Tmax  ε γ  Авых  7,96 1014  6,3 1,6 1019  7,96 1014 Дж
Из (5.5) можно получить максимальную скорость фотоэлектронов в
релятивистском случае
Vmax 2
c2
2


m0c 2
1 
,
2 
T

m
c
0 
 max
81
2
Vmax




m0c 2
9,1  1031  9  1016
8
 с 1 

3

10
1



2 
14
31
16 
T

m
c
7,96

10

9,1

10

9

10
0 


 max


8,19  1014
1 
 0,7  3  108  0,7с  2,1  108 м/с .


14

14
 7,96  10

 8,19  10


 3  10
8
Ответ: 1) Vmax  8,41 105 м/с , 2) Vmax  0,7с  2,1108 м/с
Задача 10. Определить красную границу фотоэффекта для цезия, если
при освещении его светом с длиной волны λ  400 нм максимальная
скорость фотоэлектронов Vmax  6,5 105 м/с .
Дано:
При освещении фотокатода светом с
λ  400 нм ,
длиной волны, соответствующей красной
Vmax  6,5 105 м/с
границе фотоэффекта вся энергия фотонов
расходуется только на совершение работы
λ0  ?
выхода Авых , которую можно вычислить
из данных задачи, подставив их в уравнение Эйнштейна
mVmax 2
hν  Авых 
,
2
Авых
с mVmax 2
h 

λ
2
 6,63  1034 
3  10
8
400  10
9


9,1  1031  6,5  105
2

2
 3,05  1019 Дж .
Теперь можно вычислить длину волны λ 0 , соответствующую красной
границе фотоэффекта
h
с
 Авых ,
λ0
hс
6,63 1034  3 108
λ0 

 6,52 107 м  652 нм .

19
Авых
3,05 10
Ответ:
λ 0 =652 нм .
5.4 ЭФФЕКТ КОМПТОНА
82
Задача 11. Рентгеновское излучение с длиной волны λ  55 пм
рассеивается плиткой графита под углом
  60 . Найти длину волны
рассеянного излучения λ .
Дано:
При
рассеянии
рентгеновского
λ  55 пм ,
излучения
  60
связанных
λ  ?
изменение дины волны рассеянного света,
на
свободных
электронах
или
слабо
происходит
которое называется эффектом Комптона и
описывается формулой (1.30)
λ  λ  λ  λC (1  cos ) ,
где λC  2, 43 пм - комптоновская длина волны.
Вычислим длину волны рассеянного излучения
λ  λ+λC (1  cos )  55  2,43(1  cos60 )  56,22 пм .
Таким образом, длина волны рассеянного излучения увеличилась на
1,22 пм по сравнению с длиной волны падающего излучения.
Ответ: λ  56,22 пм
Задача 12. Фотон с энергией
ε  0,5 МэВ рассеялся на свободном
электроне под углом   45 . Найти: 1) энергию рассеянного фотона ε ,
выраженную в МэВ, 2) кинетическую энергию электрона отдачи Т , 3) угол
между направлением движения падающего фотона и направлением отлета
электрон отдачи φ .
Дано:
1) Энергию рассеянного фотона можно
ε  0,5 МэВ ,
найти, вычислив его длину волны по
  45
формуле (1.30). Для этого сначала надо
1) ε=? , 2) Т  ? , 3) φ=?
вычислить длину волны падающего фотона
из его энергии ε 
откуда
83
hc
,
λ
hc 6,63 1034  3 108
λ

 2,49 пм .
ε 0,5 106 1,6 1019
Длина волны рассеянного излучения
λ  λ+λC (1  cos )  2,49  2,43(1  cos45 )  3,2 пм .
Энергия рассеянного фотона
hc 6,63 1034  3 108
14
ε 


6,21

10
Дж  0,39 МэВ .
λ
3,2 1012
2) Кинетическая энергия электрона отдачи вычисляется по формуле
(1.32) из разности энергий падающего и рассеянного фотонов
T
hc hc
  ε  ε  0,5  0,39  0,11 МэВ .
λ λ
3) чтобы найти угол отлета электрона отдачи, сделаем рисунок
Pe
P
P 

φ

P
P 
Pe
Рис. 5.1
Импульс электрона можно найти из закона сохранения импульса
Pγ  Pγ  Pe ,
и применяя, теорему косинусов, получим
Pe 
2
Pγ  2 Pγ Pγ cos   Pγ
2
.
Вычислим импульс падающего фотона
h 6,63 1034
Pγ  
 2,66  1022 кг  м/с ,

12
λ 2,49 10
и импульс рассеянного фотона
h 6,63  1034
Pγ  
 2,07  1022 кг  м/с .

12
λ 3,2  10
84
(5.6)
Подставим найденные импульсы в (5.6) и вычислим импульс электрона
отдачи
Pe 

2
Pγ  2 Pγ Pγ cos   Pγ
 2,66 1022 
2
2


 2  2,66  1022  2,07  1022 cos 45  2,07  10 22
 1,89  1022 кг  м/с

2

.
Еще раз применим теорему косинусов для нахождения угла отлета
электрона отдачи (рис.5.1)
2
2
2
Pγ  Pγ  2 Pγ Pe cosφ  Pe ,
2
cosφ=
2
Pγ  Pe  Pγ
2 P Pe
2

2,66  1022   1,89  1022    2,07 1022 


2
2
2  2,66  1022  1,89  1022
2
 0,63 ,
φ  arccos0,63  50,74  50 44 .
Ответ: 1) ε  0,39 МэВ , 2) T  0,11 МэВ , 3) φ  50 44 .
5.5 ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА ПО БОРУ
Задача 13. Определить энергию фотона Eγ , испускаемого при переходе
электрона в атоме водорода с четвертого уровня на второй. На сколько
уменьшилась энергия электрона при этом?
Дано:
При
переходе
уровня
электрона
высокого
m2 ,
испускается
фотон
с
частотой,
n4
определяемой
обобщенной
формулой
Eγ  ? , Ee  ?
Бальмера (2.10)
85
более
более
Eγ ,
1 
 1
ν  R 2  2  ,
n 
m
на
с
низкий
где R  3, 29  1015 c-1 – постоянная Ридберга.
В нашей задаче электрон переходит с четвертого уровня ( n  4 ) на
второй уровень ( m  2 ), тогда частота фотона
1 
1 
 1
 1
ν  R  2  2   3,29  1015  2  2   6,17  1014 c-1 .
n 
2
4 
m
Энергия фотона
Eγ  hν=6,63 10-34  6,17 1014  4,09 10-19 Дж  2,56 эВ .
Энергия электрона уменьшится на величину энергии излученного
фотона
Ee   Eγ  2,56 эВ .
Ответ:
, энергия электрона уменьшится
Eγ  4, 09 10-19 Дж  2, 56 эВ
на Ee  2,56 эВ .
Задача 14. Атом водорода находится в возбужденном состоянии с
главным квантовым числом n  4 . Определить возможные спектральные
линии, появляющиеся при переходе атома в состояния с меньшим главным
квантовым числом.
Дано:
Возможные спектральные линии при
n4
переходе атома водорода из состояния
λ?
главным
квантовым
числом
n4
с
в
состояния с меньшим главным квантовым
числом показаны на рис. 5.2.
n4
n3
λ1
λ2
λ4
n2
λ3
λ5
λ6
n 1
86
Рис. 5.2
При переходе электрона с четвертого уровня энергии на третий
испускается фотон с длиной волны λ1 и соответствующей частотой ν1
c
1 
 1
 ν1  R  2  2  ,
λ1
n 
m
λ1 
c

1 
 1
R 2  2 
n 
m
c
1 
 1
R 2  2 
4 
3

144 c
 .
7 R
Обозначим
R 3,29  1015
7
-1
R  

1,10

10
м
.
c
3  108
Тогда
λ1 
144 1
144
 
 1,87  106 м  1,87 мкм .
7
7 R 7  1,10  10
Аналогично для других переходов электрона:
– с четвертого уровня на второй
λ2 
c
1 
 1
R 2  2 
n 
m

c
1 
 1
R 2  2 
2
4 

16 1
  0,48  106 м  0,48 мкм ,
3 R
– с четвертого уровня на первый
λ3 
c
1 
 1
R 2  2 
n 
m

c
1 1 
R 2  2 
1 4 

16 1
  0,097  106 м  0,097 мкм ,
15 R

36 1
  0,65  106 м  0,65 мкм ,
5 R
– с третьего уровня на второй
λ4 
c
1 
 1
R 2  2 
n 
m

c
1 
 1
R 2  2 
3 
2
– с третьего уровня на первый
λ5 
c
1 
 1
R 2  2 
n 
m

c
9 1
   0,10  106 м  0,10 мкм ,
 1 1  8 R
R 2  2 
1 3 
87
– со второго уровня на первый
λ6 
c
1 
 1
R 2  2 
n 
m

c
4 1
   0,12  106 м  0,12 мкм .
 1 1  3 R
R 2  2 
1 2 
Ответ: λ1  1,87 мкм , λ 2  0,48 мкм , λ3  0,097 мкм ,
λ 4  0,65 мкм , λ5  0,10 мкм , λ 6  0,12 мкм .
Задача 15. Определить длину волны, соответствующей третьей
спектральной линии в серии Пашена.
Дано:
Серия Пашена – это инфракрасная
k 3
область спектра атома водорода, в которой
λ?
наблюдаются
переходы
на
третий
энергетический уровень с более высоких
уровней.
Частоты, соответствующие серии Пашена, описываются уравнением
(2..7)
1 
 1
ν  R 2  2  .
n 
3
Первой спектральной линии соответствует n  4 , второй – n  5 , третьей
– n  6 . Тогда частота, соответствующая третьей спектральной линии в серии
Пашена определяется выражением
 1 1  1
ν  R 2  2   R ,
 3 6  12
а соответствующая ей длина волны
λ
c
c 12
12
 12  
 1,09  106 м  1,09 мкм .
7
ν
R R 1,10  10
Ответ: λ=1,09 мкм .
Задача 16. Электрон находится на третьей орбите в атоме водорода.
Найти: 1) скорость электрона V , 2) радиус орбиты r , 3) момент импульса
электрона L , 4) угловую скорость вращения электрона ω , 5) эквивалентный
88
ток I , 6) работу A , которую необходимо совершить, чтобы удалить электрон
за пределы атома.
Дано:
Электрон
движется
в
атоме
по
n3
круговой
1) V  ? , 2) r  ? ,
Кулона, поэтому второй закон Ньютона
3) L  ? , 4) ω  ? ,
имеет вид (2.14)
орбите под
действием силы
5) I  ? , 6) A  ?
1 Ze2 mV 2


.
4πε 0 rn 2
rn
Откуда можно выразить радиус третьей орбиты
1
Ze2
1
e2
r3 



4πε 0 mV 2 4πε 0 mV 2
,
(5.7)
где учтено, что заряд ядра атома водорода Z  1.
Кроме того, выполняется правило квантования орбит (2.13)
L  mVrn  n
,
mVr3  3 .
(5.8)
Подставим (5.7) в (5.8) и выразим скорость движения электрона
mV
e2

3
4πε 0 mV 2
2

1,6  1019

,
2
1 e
1
V 
 
 0,728  106 м/с ,

12

34
3 4πε 0
3 4  3,14  8,85  10  1,054  10
где учтено, что

h
 1,054  1034 Дж/с .
2π
2) Подставим найденную скорость в (5.7) и вычислим радиус третьей
орбиты
89
r3 

1
e2


4πε 0 mV 2

1,6  1019

2

4  3,14  8,85  1012  9,1  1031 0,728  10

6 2
 4,77  1010 м  47,7 нм .
3) Момент импульса электрона можно найти из правила квантования
электронных орбит
L  3  3  1,054  1034  3,162  1034 кг  м 2 / с .
4) Угловая скорость вращения электрона по орбите
V 0,728 106
15
ω 

1,53

10
рад/с .
r3 4,77  1010
5) Эквивалентный ток – отношение заряда электрона к периоду его
обращения T
e
e
ωe 1,53  1015  1,6  1019
I 


 3,9  105 А=0,039 мА .
2π
T
2π
6,28
ω
6) Работа по удалению электрона за пределы атома равна полной
энергии электрона, находящегося на третьей орбите (2.19)
 1 Z 2me4  1 me4
A   E3     2  2 2   2  2 2 .
 n 8h   n 8h 
0 
0

(5.9)
Энергия электрона, находящегося на первом уровне – потенциал
ионизации (2.20)
E1  
me4
8h 2 02
 13,6 эВ .
Тогда энергию электрона, находящегося на уровне с номером n можно
выразить через потенциал ионизации (энергию основного состояния)
En 
Для третьего уровня
90
1
n
E .
2 1
1
E3  E1  1,51 эВ .
9
Работа по удалению электрона с третьего уровня
A   E3  1,51 эВ .
Ответ: 1) V  0,728  106 м/с , 2) r3  47,7 нм ,
3) L  3,162  1034 кг  м 2 / с , 4) ω  1,53 1015 рад/с ,
5) I  0,039 мА , 6) A  1,51 эВ .
5.6 ФОРМУЛА ДЕ БРОЙЛЯ
Задача 17. Определить длину волны де Бройля для электрона, если: 1)
кинетическая энергия электрона T1  1,5 кэВ , 2) кинетическая энергия
электрона T2  0,7 МэВ .
Дано:
Чтобы найти длину волны де Бройля,
T1  1,5 кэВ ,
необходимо
T2  0,7 МэВ
Импульс выражается через кинетическую
1) λ1  ? , 2) λ 2  ?
энергию в зависимости от того, с какой
знать
импульс
частицы.
скоростью движется частица.
Если частица движется с маленькой скоростью, то есть ее кинетическая
энергия много меньше ее энергии покоя, то кинетическая энергия и импульс
связаны между собой классической формулой
p2
T
2m
,
p  2mT
.
(5.10)
Если частица движется со скоростью, сравнимой со скоростью света, то
есть ее кинетическая энергия сравнима с энергии покоя, то кинетическая
энергия и импульс связаны между собой релятивистской формулой
p

1
T T  2m0c 2
c
где m0 – масса покоя частицы.
Для электрона энергия покоя
91

,
(5.11)
E0  m0c2  9,11031  3 108  8,19 1014 Дж  0,51 МэВ .
В первом случае кинетическая энергия электрона много меньше его
энергии покоя (1,5 кэВ
0,51 МэВ ), поэтому для расчета импульса надо
применять классическую формулу (5.10)
p1  2mT1 ,
1 

h
h


p1
2mT1
6,63  1034
2  9,1  1031  1,5  103  1,6  1019
 3,17  1011 м  31,7 пм .
Во втором случае кинетическая энергия электрона сравнима с энергией
покоя, поэтому для расчета импульса надо применять релятивистскую
формулу (5.11)
p2 
2 



1
T2 T2  2m0c 2 ,
c
h
h
hc



2
p2 1 T T  2m c 2
T2 T2  2m0c
0
c 2 2




6,63  1034  3  108


0,7  106  1,6  1019  0,7  106  1,6  1019  2  9,1  1031  3  108


2



 1,13  1012 м  1,13 пм .
Ответ: 1) λ1  31,7 пм , 2), λ1  1,13 пм .
Задача 18. Определить длину волны де Бройля для электрона,
находящегося в основном состоянии в атоме водорода.
Дано:
В
основном
состоянии
электрон
n 1
находится на первой орбите с главным
λ?
квантовым числом n  1 .
Кинетическая энергия электрона в атоме водорода в основном состоянии
выражается формулой (2.21)
92
T
Z 2mee4
8h 2 02
 13,6 эВ .
Эта энергия много меньше энергии покоя электрона ( E0  0,51 МэВ ),
поэтому импульс электрона связан с его энергией релятивистской формулой
(5.10)
p  2mT .
Длина волны де Бройля


h
h


p
2mT
6,63  1034
2  9,1  10
31
 13,6  1,6 10
19
 0,33  109 м  0,33 нм .
Ответ:   0,33 нм .
5.7 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Задача 19. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке
разностью потенциалов U  1 кВ . Неопределенность скорости составляет
1% от ее числового значения. Найти неопределенность координаты
электрона.
Дано:
U  1 кВ ,
V  0,01V
x  ?
По
закону
сохранения
энергии,
кинетическая энергия электрона
T  eU  1,6  1019 Дж  1 эВ
– много меньше энергии покоя электрона.
Поэтому, применяя классическую формулу, T 
электрона
V
2T
m
и его импульс
p  mV  2mT .
93
mV 2
найдем скорость
2
По условию задачи неопределенность скорости составляет 1% от ее
числового значения. Поскольку мы имеем дело с классическим случаем, в
котором массу считают постоянной, то тогда неопределенность импульса
также составляет 1% от его числового значения
p  0,01 p  0,01 2mT .
Тогда
из
соотношения
неопределенности
можно
найти
неопределенность координаты
xpx 
x 
2p

0,02 2mT

2
,
1,05  1034
0,02  2  9,1  1031  1,6  1019
.
 9,75  109 м  9,75 нм
Ответ: x  9,75 нм .
Задача 20. Электрон находится в атоме водорода на первой Боровской
орбите. Неопределенность скорости составляет 10% от ее числового
значения. Найти неопределенность координаты электрона. Применимо ли в
данном случае понятие траектории для электрона?
Дано:
Для
V  0,1V
выполняется
x  ?
электрона
в
атоме
условие
водорода
квантования
электронных орбит (2.12)
mVrn  n .
Для первой орбиты ( n  1 ) это условие выглядит следующим образом
mVr1  .
Откуда можно найти скорость электрона на первой орбите
V
mr1
и по условию задачи неопределенность скорости
V  0,1V  0,1
94
mr1
.
Тогда
из
соотношения
неопределенности
можно
найти
неопределенность координаты
xpx 
x 
2p
,
r
 1  5r1  5  52,8 1012  264 10 12 м  264 пм .
0,2

0,2m
2
mr1
Понятие траектории в данном случае неприменимо, поскольку
неопределенность координаты в 5 раз превышает значение первого
боровского радиуса.
Ответ: x  264 пм . Понятие траектории применять нельзя.
Задача 21. С помощью соотношения неопределенностей оценить
размытость энергетических уровней в атоме водорода, если: 1) электрон
находится в основном состоянии, 2) в возбужденном состоянии с временем
жизни t  108 c .
Дано:
Соотношение
1) n  1 ,
связывающее неопределенности энергии с
2) n  1 , t  108 c
неопределенностью времени имеет вид
1) E  ? ,
неопределенностей,
(3.3)
Et 
2) E  ?
В основном состоянии электрон может находиться бесконечно долго,
поэтому для него t   , а неопределенность энергии
E 
t
 0.
Соответственно для возбужденного состояния
E 
t

1,05  1034
10
8
 1,05  1026 Дж  65,6 нэВ .
Ответ: 1) E  0 , 2) E  65,6 нэВ .
5.8 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
95
Задача 22. Для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной
потенциальной
яме
шириной
,
волновая
функция
имеет
вид
 πnx 
ψ  A sin 
 . С помощью условия нормировки определить коэффициент


A.
Дано:
Поскольку движение частицы ограничено
 πnx 
ψ  A sin 



стенками
потенциальной
ямы,
условие
нормировки (3.7) примет вид
A?
ψ
2
dV  1.
0
ψ
0
2
 πnx 
2
2  πnx 
dV   A2 sin 2 
 dx  A  sin 
 dx 




0
0
1
A2
A2
 2πnx  
 2πnx 
 A  1  cos 
dx

dx

cos


dx 
2
2 
2 




2
0
0
2
A2
A2
A
 2πnx 

x |
sin 
| 
2 0 2 2πn 
0 2
Итак, условие нормировки имеет вид
A2
=1 ,
2
откуда множитель
A=
Ответ: A=
2
.
96
2
.
0
.
Задача 23. Для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной
потенциальной
ψ
2
яме
шириной
,
волновая
функция
имеет
вид
 πnx 
sin 
 . Найти среднее значение координаты частицы x .


Дано:
ψ
2
Среднее значение квантовомеханической
величины r вычисляется по формуле (3.8)
 πnx 
sin 




 r 
x ?
 rψ
2
dV .

С учетом условия задачи среднее значение координаты
2
 2
2
 πnx  
2  πnx 
 x   x ψ dx   x 
sin 
  dx   x sin 
 dx 





0
0 
0
2

2 x
1
1
 2πnx  
 2πnx 
1

cos
dx

xdx

x
cos


dx 
 2 

 



0

0
1 x2 1
 2πnx 
|   x cos 
dx
2 0


0
 5.12 
.
0
Второй интеграл в
выражении (5.12) проинтегрируем по частям.
Обозначим
u  x,
dv  cos
2πnx
du  dx ,
v
dx,
2πn
sin
2πnx
.
По формуле интегрирования по частям
 udv uv |   vdu x
0
0 0
2
2πn
sin
2πnx
| 
0 0
2
2πn
sin
2πnx
dx 
2πnx




0
| 
 cos
  cos 2πn  cos0   0
 2πn 
0  2πn 
Подставляя в (5.12), получим
1 x2
1 2
 x   x ψ dx 
|

.
2 0
2 2
2
0
97
.
Таким образом, средняя координата частицы в потенциальной яме – это
середина ямы.
Ответ:  x 
2
.
5.9 ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ С
БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ СТЕНКАМИ
Задача
Частица,
24.
находится
потенциальной яме шириной
в
одномерной
прямоугольной
с бесконечно высокими стенками на третьем
энергетическом уровне. Найти вероятность обнаружения частицы W в левой
трети потенциальной ямы.
Дано:
Вероятность
обнаружения
частицы
в
некотором объеме определяется формулой
,
n3
(3.6). Применяя условия задачи, получим
W ?
W    dV 
2
V

2 3
 sin
0
3
 
0
2
2
3
2 2  πnx 
 πnx  
sin 
  dx   sin 
dx 




0
2 3 1
 3πx  
dx   1  cos 
 dx 
2



2  3πx 


0




3
1 3
 3πx   1  3
 3πx  3 
   dx   cos 
 dx    x |  sin 
 | 
3π



0
0
 0

0




1
  3π 
 1 1
1
    sin     sin 0      sin π-sin0  
.
3
3
  3 3π
 3 3π  
1
Ответ: W  .
3
Задача
25.
Частица,
потенциальной яме шириной
находится
в
одномерной
прямоугольной
с бесконечно высокими стенками. Найти
отношение разности соседних энергетических уровней En1,n к энергии
98
частицы в следующих случаях: 1) частица находится в яме на третьем
энергетическом уровне n  3 , 2) частица находится в яме на седьмом
энергетическом уровне n  7 , 3) частица находится в яме на бесконечно
высоком энергетическом уровне n   .
Дано:
Разность
энергий
между
соседними
уровнями определяется формулой (3.26)
,
1) n  3 ,
En 1,n  En 1  En 
2) n  7 ,
2 2
π
2m
2
(2n  1) .
3) n  
En 1,n
En
?
Энергия частицы на уровне с номером n определяется формулой (3.23)
En  n
2
π2
2
2m
2
1) при n  3
2 2
π
En 1,n  E4  E3 
2m
En  E3  3 
2
En 1,n
En
(2  3  1)  7 
2
9
2
2m
2
π2
2
2m
2
 9
π
2
2m
,
2 2
π
7

π2
2 2
2m
π2
2

2
7
 0,78 .
9
2
2m
2) при n  7
En 1,n  E8  E7 
2 2
π
2m
En  E7  72 
2
(2  7  1)  15 
π
2m
π2
2
2m
2
99
2 2
 49 
π2
2
2m
2
2
,
2 2
π
15 
En 1,n

En
49 
2
2m
π2
15
 0,33 .
49

2
2
2m
3) при n  
En 1,n 
2 2
π
2m
En  E3  n 
2
En 1,n
En
n2 
2n ,
π2
2
2m
2
2n

2 2
π
2n 

2
2m
π2
2m
2
2

n2
2
0 .
n
2
Таким образом, когда частица находится на нижних уровнях энергии,
энергетический спектр является дискретным, по мере увеличения номера
уровня расстояние между соседними уровнями уменьшается и при больших
значениях n   спектр становится квазинепрерывным.
Ответ: 1)
E4,3
E3
 0,78 , 2)
E8,7
E7
 0,33 , 3)
En 1,n
En
0 .
5.10 ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СКВОЗЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ
БАРЬЕР.
Задача 26. Протон с энергией E  10 эВ движется вдоль оси x и
встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер шириной
 0,1 нм высотой U  15 эВ . Найти вероятность W прохождения протона
через потенциальный барьер. Как надо изменить ширину барьера, чтобы
вероятность его прохождения протоном была бы такой же, как и у электрона
при тех же условиях ?
Дано:
Вероятность прохождения частицы через
E  10 эВ ,
потенциальный барьер равна коэффициенту
 0,1 нм ,
прозрачности и определяется формулой
100
U  15 эВ
W ? ,

(3.40)
?
W  D  D0e

2
2mU  E 
.
Постоянный множитель D0 можно считать равным единице, тогда
вероятность прохождения потенциального барьера для протона
W e

2
2 m p U  E 
 1,74  1043
e

20,110
 9
21,671027 1510 1,61019
1,051034

.
Чтобы вероятность прохождения потенциального барьера шириной 
протоном равнялась вероятности прохождения потенциального барьера
шириной
электроном, должно выполняться условие

e
2 
2 
2 mp U  E 
e
2m p U  E  


2
2
2me U  E 
,
2me U  E  ,
me
9,1  1031


 0,023 ,
mp
1,67 1027


1
 42,83 .
0,023
Барьер необходимо сузить в 42,83 раза.
Ответ: W  1,74  1043 , барьер необходимо сузить в 42,83 раза.
5.11 КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Задача 27. Определить энергию нулевых колебаний математического
маятника длиной
 1 м , находящегося в поле тяжести Земли. Ответ
выразить в эВ.
Дано:
 0,1 нм ,
E0  ?
Энергия нулевых колебания квантового
гармонического осциллятора определяется
формулой (3.45)
101
E0 
1
ω,
2
где  – собственная частота колебаний гармонического осциллятора.
Для математического маятника ω=
E0 
1
2
g
g
, тогда
1
10
  1,05  1034 
 1,66  1034 Дж  1,04  1034 эВ .
2
1
Ответ: E0  1,04 1034 эВ
5.12 Элементы физики атомов и молекул
Задача 28.
числа
Записать возможные значения орбитального квантового
и магнитного квантового числа m для главного квантового числа
n  3 . Сколько различных волновых функций соответствует этому состоянию
(без учета спина)?
Дано:
Систематизируем
n3
функции и квантовые числа в таблице,
 ?,m  ? , N  ?
возможные
учитывая правила (4.6) и (4.8)
 0,1,2,3...,(n  1) ,
m  0, 1, 2, 3..., .
n
l
m
ψ nlm
0
0
ψ300
0
ψ310
1
ψ311
-1
ψ311
0
ψ320
1
ψ321
-1
ψ32 1
2
ψ322
1
3
2
102
волновые
ψ32 2
-2
Количество возможных волновых функций для атома, находящегося в
состоянии с главным квантовым числом n
N  n2  32  9 ,
что соответствует количеству волновых функций в таблице.
Ответ:
 0,1,2 ,
 0, 1, 2 , N  9 .
Задача 29. Электрон в атоме водорода находится в f – состоянии.
Определить: 1) орбитальный момент импульса электрона
L , 2)
максимальное значение проекции момента импульса на направление
внешнего магнитного поля L
Z
 m .
Дано:
1)
f – состояние
1) L  ? , 2) L
– состоянию электрона в атоме
f
водорода
Z
max
соответствует
орбитальное
квантовое число l  3 .
?
Орбитальный момент импульса электрона определяется формулой (4.5)
L 
(  1) .
В f – состоянии
L 
3(3  1)  12  12  1,05  1034  3,63  1034 Дж  с .
2) Проекция момента импульса на направление внешнего магнитного
поля может принимать значения (4.7)
L
Z
 m
.
Максимальное значение магнитного квантового числа
m
равно
орбитальному квантовому числу
m
max
 3 .
Следовательно, максимальное значение проекции момента импульса на
направление внешнего магнитного поля
L
Z
max
 m
max =
=3  3 1,05 1034  3,15 1034 Дж  с
103
.
Ответ:
L
Z
max
L  12  3,63 1034 Дж  с ,
1)
2
 3  3,15 1034 Дж  с .
Задача 30. 1s электрон в атоме водорода поглотил фотон с энергией
E  12,1 эВ и перешел в возбужденное состояние с максимально возможным
орбитальным квантовым числом. Найти изменение орбитального момента
импульса электрона L .
Дано:
Когда электрон в атоме водорода
1s – состояние,
находится в состоянии 1s орбитальное
E  12,1 эВ
квантовое
L  ?
момент импульса электрона L  0 .
число
l 0
и
орбитальный
Найдем номер уровня энергии, на который перешел электрон после
поглощения фотона. Для этого воспользуемся обобщенной формулой
Бальмера (2.10)
1 
 1
1 1 
E  hν  hR  2  2   hR  2  2  ,
n 
m
1 n 
hR
6,63  1034  3,29  1015
n

3 .
hR  E
6,63  1034  3,29  1015  12,1  1,6  1019
Максимально возможное значение орбитального квантового числа
lmax  n  1  3  1  2 .
Максимальное значение орбитального момента импульса электрона
L max 
max (
 6  6  1,05  10
Изменение
орбитального
max
34
 1) 
 2,57  10
момента
2(2  1) 
34
Дж  с
импульса
.
.
электрона
поглощения фотона
L  L
max
0 L
max
Ответ: L  2,57 1034 Дж  с .
104
 2,57 1034 Дж  с .
после
Задача
31.
Вычислить
численное
значение:
механического момента электрона (спина) Ls 
1)
собственного
s(s  1) , 2) проекцию
спина на направление внешнего магнитного поля Lsz  ms .
Дано:
1)
Спин
электрона
формулой (4.16)
1) Ls  ? , 2) Lsz  ?
Ls 
где s 
определяется
s(s  1)
,
1
спиновое квантовое число. Тогда
2
1 1
3
3
(  1) 

 1,05  1034  0,91  1034 Дж  с .
2 2
2
2
Ls 
2) Проекция спина на направление внешнего магнитного поля
квантуется по закону (4.17)
Lsz  ms
где ms  
,
1
магнитное спиновое квантовое число. Тогда
2
Lsz  ms  
1
1
   1,05  1034  0,525  1034 Дж  с .
2
2
Ответ: 1) Ls  0,91 1034 Дж  с , 2) Lsz  0,525 1034 Дж  с .
Задача 32. Заполненной электронной оболочке соответствует главное
квантовое число n  3 . Найти количество электронов которые имеют
1
следующие одинаковые квантовые числа: 1) ms   , 2) m  1 , 3) m  2 и
2
ms  
1
.
2
Дано:
Возможные значения квантовых чисел,
n3
соответствующих
1
1) ms   ,
2
числу
n  3,
главному
квантовому
определяются
формулами
(4.6), (4.8) и (4.18)
2) m  1 ,
105
3) m  2 и ms  
1
2
1) N  ? , 2) N  ? ,
3) N  ?
 0,1,2,3...,(n  1) ,
m  0, 1, 2, 3..., ,
1
ms   .
2
Для n  3 возможные значения квантовых чисел представлены в таблице
0
m 0
1
1
ms   , ms  
2
2
m 0
1
1
ms   , ms  
2
2
m 1
1
1
ms   , ms  
2
2
m 0
1
1
ms   , ms  
2
2
m 1
1
1
ms   , ms  
2
2
m 2
1
1
ms   , ms  
2
2
1
2
1) Количество электронов со спиновым квантовым числом ms  
1
2
N 6 .
2) Количество электронов с магнитным квантовым числом m  1
N 4 .
3) ) Количество электронов с магнитным квантовым числом m  2 и
спиновым квантовым числом ms  
1
2
N 1 .
Ответ: 1) N  6 , 2) N  4 , 3) N  1.
106
6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
6.1 КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ
1. Вычислить энергетическую светимость абсолютно черного тела при
температуре t  500 C .
2. Найти температуру абсолютно черного тела, если его энергетическая
светимость R*  50 кВт/м2 .
3. Определить энергию, излучаемую за время t  5 мин из смотрового
окошка плавильной печи площадью S  10 cм2 , если температура печи
T  2000 K . Считать, что печь излучает как абсолютно черное тело.
4. Найти время, за которое из смотрового окошка плавильной печи
площадью S  8 cм2 излучается энергия W  5,65 кДж , если температура
печи T  1200 К . Считать, что печь излучает как абсолютно черное тело.
5. Во сколько раз надо увеличить термодинамическую температуру
абсолютно черного тела, чтобы его энергетическая светимость возросла в 3
раза?
6. Как надо изменить термодинамическую температуру абсолютно
черного тела, чтобы его энергетическая светимость уменьшилась в 2 раза?
7. Найти мощность излучения металлического шара радиуса r  1 см ,
нагретого до температуры t  300 C , считая его абсолютно черным телом.
8. Найти мощность излучения тонкой монетки в форме диска радиуса
r  1 см , нагретой до температуры t  200 C , считая ее абсолютно черным
телом.
9.
Найти
энергетическую
светимость
угля,
находящегося
при
температуре T  800 K считая его серым телом со степенью черноты
T  0,8. Вычислить энергию, излучаемую углем за время t  1 ч , если
площадь поверхности угля S  20 см2 .
10. Шар
радиусом R  5 cм находится при некоторой постоянной
температуре T и излучает мощность P  10 кВт . Найти температуру T , при
107
которой находится шар, считая его серым телом со степенью черноты
T  0,5 .
11. С поверхности сажи, находящейся при температуре T  700 K за
время t  10 мин излучается энергия W  100 Дж . Определить коэффициент
теплового излучения сажи, считая ее абсолютно черным телом. Площадь
поверхности сажи S  2 см2 .
12. Муфельная печь потребляет мощность P  2 кВт . Температура ее
внутренней поверхности при открытом отверстии T  1200 К . Площадь
отверстия S  20 см2 . Считая, что отверстие излучает как абсолютно черное
тело, найти какая часть мощности рассеивается стенками.
13. Какую мощность P необходимо подводить к медному шарику
радиуса R  1 cм , чтобы при температуре окружающей среды
t0  5 C
поддерживать его температуру t  25 C . Считать, что тепловые потери
обусловлены
только
излучением.
Поглощательная
способность
меди
T  0,6 .
14.
К
зачерненному
металлическому
шарику
радиуса
R  2 cм
подводится мощность P  200 Вт . Температура шарика T  350 K . Найти
температуру окружающей среды.
15. К зачерненному металлическому шарику подводится мощность
P  2 Вт . Температура шарика T  320 K и на T  30 K превышает
температуру окружающей среды. Найти радиус шарика, считая что вся
подводимая мощность идет на излучение.
16. Начальная температура абсолютно черного тела T1  500 K и за
время t  10 c линейно уменьшилась до температуры T2  400 K . За это
время тело излучило энергию W  100 Дж . Найти площадь поверхности тела.
17. Поверхность черного тела нагрета до температуры T  1000 K . Затем
треть поверхности нагревается на
108
T  100 K , а оставшаяся часть
поверхности
охлаждается
на
столько
же
градусов.
Как
изменится
энергетическая светимость этого тела?
18. Найти ток, протекающий по вольфрамовой проволоке радиуса
r  4 мм , находящейся в вакууме при постоянной температуре t  2800 С .
Удельное
сопротивление
вольфрама
при
этой
температуре
  0,92  104 Ом  см . Температура окружающей среды t  20 С . Считать
поверхность проволоки как серое тело с поглощательной способностью
T  0,3 .
19. На какую длину приходится максимум спектральной плотности
энергетической светимости абсолютно черного тела при температуре
t  20 С ?
20. Найти длину волны, соответствующую максимуму спектральной
плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, если
энергетическая светимость абсолютно черного тела R*  10 кВт/м2 .
21. Найти длину волны, соответствующую максимуму спектральной
плотности энергетической светимости Солнца, если температура его верхних
слоев T  5,3  103 K . Считать, что Солнце излучает как абсолютно черное
тело.
22. Найти температуры абсолютно черного тела, при которых максимум
спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела



приходится: 1) на красную λ кр  750 нм , 2) фиолетовую λ ф  380 нм

границы видимого спектра.
23.
Как
изменятся
энергетическая
светимость
и
максимальная
спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела,
если длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности
энергетической светимости сместилась с λ1  3, 2 мкм на λ 2  0,8 мкм ?
24. Черное тело находится при температуре T  3 103 K . При остывании
тела, длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности
109
энергетической светимости изменилась на
λ  3 мкм . Определить, до
какой температуры остыло тело.
25. При увеличении температуры абсолютно черного тела в два раза
длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности
энергетической светимости, изменилась на λ  300 нм . Найти начальную и
конечную температуры черного тела.
26. Максимальная спектральная плотность энергетической светимости
*
11
абсолютно черного тела rmax
λ,T  8,32  10
Вт
м2
. Определить длину волны,
на которую она приходится.
27. Максимальной спектральная плотность энергетической светимости
Солнца соответствует длина волны λ  500 нм . Считая, что Солнце излучает
как абсолютно черное тело, определить: 1) его температуру, 2) энергию,
излучаемую Солнцем за t  10 мин , 3) массу, теряемую Солнцем за это время
излучения, 4) время, за которое вся масса Солнца излучится ( масса Солнца
M  1,98  1030 кг .
28. Площадь под графиком спектральной плотности энергетической
светимости
абсолютно
черного
тела
при
изменении
температуры
увеличилась в 5 раз. Найти, как изменилась длина волны, соответствующая
максимуму спектральной плотности энергетической светимости и максимум
спектральной плотности энергетической светимости.
6.2 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ФОТОНА
29. Найти энергию и импульс фотона с длиной волны λ  0,4 мкм .
30. Найти, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его
импульс был равен импульсу фотона с длиной волны λ  0,5 мкм .
31. С какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс
был равен импульсу фотона с длиной волны λ  2 пм ?
32. Найти длину волны фотона, импульс которого равен импульсу
электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U  50 В .
110
33. Найти длину волны фотона, импульс которого равен импульсу
электрона с энергией E  5 MэВ .
34. Найти длину волны фотона, импульс которого равен импульсу
электрона, движущегося со скоростью V  2 107 м/с .
35. Найти длину волны фотона, масса которого равна массе покоя
электрона.
36. Найти длину волны фотона, масса которого равна массе покоя
протона.
6.3 ФОТОЭФФЕКТ
37. Найти максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с
поверхности
катода,
если
фототок
прекращается
при
приложении
задерживающего напряжения U з  3 В .
38. Найти минимальное значение энергии фотона, вызывающего
фотоэффект, если материал катоды сделан из: 1) цезия, 2) платины, 3)
рубидия.
39. Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта для
некоторого материала λ  400 нм . Определить минимальную энергию
фотона, способного вызвать фотоэффект.
40. Частота, соответствующая красной границе фотоэффекта для
некоторого материала   6  1014 Гц . Определить минимальную энергию
фотона, способного вызвать фотоэффект.
41. Фотоэлектроны, вырываемые с поверхности металла, полностью
задерживаются при приложении обратного напряжения U з  3 В . Частота,
соответствующая красной границе фотоэффекта для некоторого материала
  6  1014 Гц . Найти: 1) работу выхода электрона, 2) энергию падающего
фотона, 3) частоту падающего фотона.
42. Цинковый катод освещается монохроматическим светом с длиной
волны λ  220 нм . Определить наименьшее задерживающее напряжение U з ,
при котором прекратится фототок.
111
43. Красная граница фотоэффекта для некоторого материала λ  600 нм .
Найти: 1) работу выхода электрона, 2) максимальную скорость электронов,
вырываемых с поверхности этого материала электромагнитным излучением с
длиной волны λ γ  500 нм .
44. Фотоэлектроны, вырываемые с поверхности металла светом с
длиной волны λ  400 нм , полностью задерживаются при приложении
обратного
напряжения
U з  1,2 В .
Определить
длину
волны,
соответствующую красной границе фотоэффекта.
45. Поток электромагнитного излучения падает на две пластинки, одна
из платины, а вторая из неизвестного материала. Измеренное задерживающее
напряжение для платиновой пластинки U зPt  3,7 В , задерживающее
напряжение для второй пластинки U з  5,3 В . Найти работу выхода
электронов из неизвестной пластинки и определить, из какого материала она
изготовлена.
46. Вычислить потенциал, до которого зарядится серебряный шарик,
если его облучать ультрафиолетовым светом с длиной волны λ  0,208 мкм .
47. При освещении вакуумного фотоэлемента светом с длиной волны
λ1  400 нм он заряжается до потенциала φ1  2 В . Найти потенциал, до
которого зарядится фотоэлемент при освещении его светом с длиной волны
λ 2  200 нм .
48. Плоский серебряный электрод освещается монохроматическим
светом с длиной волны λ  100 нм . Найти, на какое максимальное
расстояние от катода может удалиться фотоэлектрон, если напряженность
задерживающего
электрического
поля
вблизи
серебряного
электрода
Eз  10 В/cм .
49. Фотоны с длиной волны λ  200 нм вырывают фотоэлектроны из
поверхности платины. Найти максимальный импульс, передаваемый при
этом поверхности платины одним электроном.
112
50.
При
освещении
монохроматическим
светом
катода
с
длиной
вакуумного
волны
фотоэлемента
λ1  310 нм
фототок
прекращается при некотором задерживающем напряжении. При освещении
того же вакуумного фотоэлемента монохроматическим светом с длиной
волны λ 2  388 нм фототок прекращается при меньшем на U з  0,8 В
задерживающем напряжении. Определить по этим экспериментальным
данным постоянную Планка.
51. Поверхность некоторого металла сначала освещают светом с длиной
волны λ1  350 нм , а затем сетом с длиной волны λ 2  540 нм . Отношение
соответствующих максимальных скоростей электронов равно 2.
Найти
работу выхода электронов из металла.
52.
Определить
максимальную
скорость
фотоэлектронов
Vmax ,
вырываемых с поверхности платины, если на пластинку падает 1) поток
ультрафиолетового излучения с длиной волны λ1  100 нм , 2) поток γ излучения с λ 2  4,5 пм .
53. Определить максимальную скорость электронов, вырываемых из
металла при облучении его фотонами с энергией E  10 эВ ε γ  1,53 МэВ .
54. Определить кинетическую энергию электронов, вырываемых из
металла при облучении его фотонами с энергией
ε γ  2 МэВ .
55. Максимальная скорость фотоэлектронов, вылетающих из металла
при облучении его фотонами равна V  2,9  108 м/с . Определить энергию
падающих фотонов.
6.4 ЭФФЕКТ КОМПТОНА
56. Найти длину волны рассеянного на свободных электронах
рентгеновского излучения, если длина волны падающего рентгеновского
излучения λ  55 пм , а угол рассеяния   60 .
113
57. Найти длину волны падающего рентгеновского излучения в эффекте
Комптона, если длина волны рассеянного рентгеновского излучения, а угол
рассеяния   30 .
58. Определить угол рассеяния фотона в эффекте Комптона, если
изменение длины волны фотона при рассеянии λ  3,62 пм .
59. Определить максимальное изменение длины волны в эффекте
Комптона при рассеянии на свободных электронах.
60. Определить максимальное изменение длины волны в эффекте
Комптона при рассеянии на свободных протонах.
61. Фотон с энергией ε  0,4 МэВ рассеялся на свободном электроне
под углом   30 . Найти энергию рассеянного фотона.
62. Фотон с энергией ε  0,3 МэВ рассеялся на свободном электроне под
углом   45 . Найти кинетическую энергию электрона отдачи.
63. При падении рентгеновского излучения на рассеивающее вещество
под углами 1  30 и 2  60 оказалось, что длины волн рассеянного
излучения отличаются в
1,5 раза. Найти длину волны падающего
рентгеновского излучения, предполагая, что рассеяние происходит на
свободных электронах.
64. Фотон с длиной волны λ  4 пм рассеялся на свободном электроне
под прямым углом. Найти импульс электрона отдачи, и угол между
направлением его отлета и направлением движения рассеянного фотона.
65. Найти импульс электрона отдачи при эффекте Комптона, если угол
рассеяния фотона   180 , а энергия падающего фотона равна энергии покоя
электрона.
66. При комптоновском рассеянии энергия рассеянного фотона вдвое
больше энергии электрона отдачи. Фотон рассеивается под углом   90 .
Найти энергию и импульс падающего фотона.
114
67. При комптоновском рассеянии фотон рассеивается под углом
  90 . Угол отдачи электрона φ  45 . Определить энергии падающего и
рассеянного фотонов.
68. При комптоновском рассеянии скорость электрона отдачи V  0,7c
( c – скорость света). Длина волны падающего излучения λ  5 пм . Найти
изменение длины волны фотона и угол , под которым он рассеивается.
69. Фотон с энергией ε  0,01 МэВ рассеялся на покоящемся свободном
электроне, в результате чего, его длина волны изменилась на λ  4 пм .
Найти скорость электрона отдачи.
70. Фотон с энергией ε  0,8 МэВ рассеялся на покоящемся свободном
электроне, в результате чего, его длина волны изменилась на λ  5 пм .
Найти скорость электрона отдачи.
6.5 ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА ПО БОРУ
71. Определить энергию фотона Eγ , испускаемого при переходе
электрона в атоме водорода с четвертого уровня на третий.
72. Определить максимальную и минимальную энергии фотонов в
видимой области спектра атома водорода.
73. Определить максимальную и минимальную энергии фотонов в
инфракрасной области спектра атома водорода.
74. Атом водорода находится в возбужденном состоянии с главным
квантовым числом n  3 . Определить возможные спектральные линии,
появляющиеся при переходе атома в состояния с меньшим главным
квантовым числом.
75. Атом водорода находится в возбужденном состоянии с главным
квантовым числом n1  5 . Определить возможные спектральные линии,
появляющиеся при переходе атома в состояния с главным квантовым числом
n2  2 .
76. Определить длину волны, соответствующей третьей спектральной
линии в серии Лаймана.
115
77. Определить длину волны, соответствующей второй спектральной
линии в серии Пфунда.
78. Как изменится энергия электрона в атоме при излучении атомом
фотона с длиной волны λ  4,86  107 м .
79. Найти длину волны спектральной линии, соответствующей переходу
электрона в атоме с более высокого уровня энергии на более низкий, если
энергия электрона уменьшилась на E  10 эВ .
80. Электрон находится на второй орбите в атоме водорода. Найти: 1)
скорость электрона, 2) радиус орбиты, 3) момент импульса электрона, 4)
угловую скорость вращения электрона, 5) эквивалентный ток, 6) работу,
которую необходимо совершить, чтобы удалить электрон за пределы атома.
81.
Найти
потенциальную
и
кинетическую
энергии
электрона,
находящегося на второй боровской орбите в атоме водорода.
82. Определить частоту вращения электрона, находящегося на второй
боровской орбите в атоме водорода.
83. Найти частоту излучения атома водорода при переходе электрона на
второй энергетический уровень, если радиус орбиты изменился в 9 раз.
84.
Вычислить момент импульса электрона, находящегося на пятой
боровской орбите.
85. Как изменится момент импульса электрона при переходе его с
четвертой боровской орбиты на десятую.
86. Найти работу, которую надо совершить, чтобы удалить электрон,
находящийся на первой боровской орбите в атоме водорода за пределы
атома.
87. Найти работу, которую надо совершить, чтобы удалить электрон,
находящийся на третьей боровской орбите в атоме водорода за пределы
атома.
88. Фотон с энергией
ε  12,12 эВ падает на атом водорода,
находящийся в основном состоянии. Атом водорода при этом переходит в
116
возбужденное состояние. Найти главное квантовое число возбужденного
состояния.
89. Найти длины волн всех спектральных линий в видимой части
спектра излучения атома водорода под действием ультрафиолетового
излучения с длиной волны λ  95 нм .
90. Найти энергию, которая потребуется для отрыва электрона
однократно ионизированного атома гелия, находящегося в основном
состоянии.
6.6 ФОРМУЛА ДЕ БРОЙЛЯ
91. Определить длину волны де Бройля для электрона, движущегося со
скоростью V  2 106 м/с .
92. Определить длину волны де Бройля для электрона, движущегося со
скоростью V  2 108 м/с .
93. Определить длину волны де Бройля для электрона, если
кинетическая энергия электрона T  5 кэВ .
94. Определить длину волны де Бройля для электрона, если
кинетическая энергия электрона T  0,8 МэВ .
95. Найти ускоряющую разность потенциалов, которую должен пройти
протон, чтобы длина волны де Бройля для него была бы равна λ  5 нм .
96. Найти при какой скорости движения электрона его длина волны
равна комптоновской длине волны.
97. Найти длину волны электрона, находящегося в атоме водорода в
основном состоянии.
98. Найти длину волны электрона, находящегося в атоме водорода на 4
уровне энергии.
99. Определить во сколько раз изменится длина волны электрона в атоме
водорода при переходе его с четвертой боровской орбиты на третью.
100. Электрон движется по окружности радиуса r  1 см в магнитном
поле с индукцией B  5 мТл . Найти длину волны электрона.
117
101.
Пучок
электронов,
движущихся
с
одинаковой
скоростью
V  2 106 м/с , падает нормально на узкую щель шириной a  2 мкм . На
экране, расположенном на расстоянии L  60 см от щели, наблюдается
дифракционная картина. Найти расстояние между первыми дифракционными
минимумами.
102. Моноэнергетический пучок электронов попадает на кристалл с
d  0,2 нм . Определить скорость
периодом кристаллической решетки
электронов, если максимум первого порядка наблюдается при угле
скольжения θ  30 .
103.
Параллельный
пучок
электронов,
ускоренный
разностью
потенциалов U  200 В падает нормально на две узкие параллельные щели,
расстояние между которыми d  10 мкм . На экране, расположенном на
расстоянии L  50 см от щелей, наблюдается дифракционная картина. Найти
расстояние между первыми и вторым дифракционными максимумами.
6.7 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
104. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке
разностью потенциалов
U  2 кВ . Неопределенность скорости составляет
2% от ее числового значения. Найти неопределенность координаты
электрона.
105. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке
разностью потенциалов
U  200 В . Можно ли одновременно измерить
траекторию электрона с точностью 100 пм и его скорость с точностью 10%?
106. Электрон с кинетической энергией T  15 эВ
металлической
пылинке
r  1 мкм .
радиуса
неопределенность скорости электрона
Найти
находится в
относительную
V
.
V
107. Неопределенность импульса частицы составляет 1% от его
числового значения. Найти отношение неопределенности координаты к
длине волны де Бройля для этой частицы.
118
108. Неопределенность координаты движущейся частицы равна ее длине
волны де Бройля. Найти относительную неопределенность
V
скорости
V
этой частицы.
109. Исходя из соотношения неопределенностей между координатой
частицы и ее импульсом, оценить энергию основного состояния атома
водорода.
110. С помощью соотношения неопределенностей оценить ширину
одномерной потенциальной ямы, в которой минимальная энергия электрона
Emin  20 эВ .
111. Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить
скорость электрона, протона и шарика массой m  50 г , если их координаты
определены с точностью х  1 мкм .
112. С помощью соотношения неопределенностей оценить размытость
энергетического уровня в атоме водорода для основного состояния.
113. С помощью соотношения неопределенностей оценить размытость
энергетического уровня в атоме водорода для возбужденного состоянии с
временем жизни τ  108 с .
114. Атом излучает фотон с длиной волны λ  60 нм . Найти отношение
естественной ширины уровня энергии к энергии излученного фотона, если
время жизни возбужденного состояния атома τ  108 с .
115. Импульсный рубиновый лазер с мощностью W  2 ГВт создает
импульс длительностью
τ  10 нс . Найти наибольшую точность
E
, с
E
которой может быть определена энергия излучения.
6.8 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
116. Волновая функция частицы имеет вид
A 
ψ e
r
r
a
, где r –
расстояние частицы от силового центра, a – некоторая постоянная. С
помощью условия нормировки найти коэффициент A .
119
117. Основное состояние электрона в атоме водорода описывается
волновой функцией ψ  Ae

r
a
, где r – расстояние электрона от ядра, a –
первый Боровский радиус. С помощью условия нормировки найти
коэффициент A .
118. Волновая функция частицы имеет вид ψ  Ae

 ,
1 r
2 a
2
где r –
расстояние частицы от силового центра, a – некоторая постоянная. С
помощью условия нормировки найти коэффициент A .
119.
Для
потенциальной
частицы,
яме
находящейся
шириной
,
в
одномерной
волновая
прямоугольной
функция
имеет
вид
 3πx 
ψ  A sin 
 . С помощью условия нормировки определить коэффициент


A.
120. Волновая функция частицы имеет вид
A 
ψ e
r
r
a
, где r –
расстояние частицы от силового центра, a – некоторая постоянная. Найти
среднее расстояние частицы до силового центра r .
121. Волновая функция частицы имеет вид ψ  Ae

 ,
1 r
2 a
2
где r –
расстояние частицы от силового центра, a – некоторая постоянная. Найти
среднее расстояние частицы до силового центра r .
122. Основное состояние электрона в атоме водорода описывается
волновой функцией ψ  Ae

r
a
, где r – расстояние электрона от ядра, a –
первый Боровский радиус. Найти среднее значение квадрата расстояния
частицы до ядра r 2 .
123. Основное состояние электрона в атоме водорода описывается
волновой функцией ψ  Ae

r
a
, где r – расстояние электрона от ядра, a –
120
первый Боровский радиус. Найти наиболее вероятное расстояние электрона
до ядра.
124. Волновая функция частицы имеет вид ψ  Ae

 ,
1 r
2 a
2
где r –
расстояние частицы от силового центра, a – некоторая постоянная. Найти
наиболее вероятное расстояние частицы до силового центра.
6.9 ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ С
БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ СТЕНКАМИ
125. Частица, находится в одномерной прямоугольной потенциальной
яме шириной
с бесконечно высокими стенками на втором энергетическом
уровне. Найти вероятность обнаружения частицы W в левой половине
потенциальной ямы.
126. Частица, находится в одномерной прямоугольной потенциальной
яме шириной
с бесконечно высокими стенками на втором энергетическом
уровне. В каких точках вероятность обнаружить частицу: 1)максимальна, 2)
минимальна?
127.
Для
потенциальной
частицы,
яме
находящейся
шириной
,
в
одномерной
волновая
прямоугольной
функция
имеет
вид
 πnx 
ψ  A sin 
 . Определить среднее значение координаты частицы.


128. Частица, находится в одномерной прямоугольной потенциальной
яме шириной
с бесконечно высокими стенками на третьем энергетическом
уровне. Найти вероятность обнаружения частицы W в правой трети
потенциальной ямы.
129. Частица, находится в одномерной прямоугольной потенциальной
яме
шириной
с
бесконечно
высокими
стенками
на
четвертом
энергетическом уровне. Найти вероятность обнаружения частицы W в
интервале
1
3
.
x
4
4
121
130. Найти отношение вероятностей нахождения частицы в одномерной
прямоугольной потенциальной яме шириной
с бесконечно высокими
стенками на втором и первом энергетических уровнях в левой четверти ямы.
131. Частица, находится в одномерной прямоугольной потенциальной
яме шириной
с бесконечно высокими стенками. Найти отношение разности
соседних энергетических уровней En1,n к энергии частицы в следующих
случаях: 1) частица находится в яме на третьем энергетическом уровне n  2 ,
2) частица находится в яме на седьмом энергетическом уровне n  5 , 3)
частица находится в яме на бесконечно высоком энергетическом уровне
n .
132. Электрон, находится в одномерной прямоугольной потенциальной
яме с бесконечно высокими стенками на третьем энергетическом уровне.
Найти ширину ямы, при которой разность энергий между четвертым и
третьим уровнями равна средней кинетической энергии электрона при
температуре T  300 K .
133. Протон, находится в одномерной прямоугольной потенциальной
яме с бесконечно высокими стенками на первом энергетическом уровне.
Найти ширину ямы, при которой разность энергий между вторым и третьим
уровнями равна средней кинетической энергии протона при температуре
T  300 K .
6.10 ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СКВОЗЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ
БАРЬЕР
134. Электрон с энергией E  200 эВ движется вдоль оси x и встречает
на своем пути прямоугольный потенциальный барьер шириной
 0,1 нм
высотой U  400 эВ . Найти вероятность W прохождения электрона через
потенциальный барьер.
135. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину
 0,1 нм .
Вычислить разность между высотой потенциального барьера и энергией
122
электрона, при которой вероятность прохождения потенциального барьера
будет равна W  0,5 .
136.
Вероятность
прохождения
электроном
прямоугольного
потенциального барьера высотой U  10 эВ и шириной составляет W  0,1 .
Найти ширину потенциального барьера, если энергия электрона E  5 эВ .
137. Электрон на своем пути встречает прямоугольный потенциальный
барьер шириной
 0,1 нм и высотой U  20 эВ . Энергия электрона
E  12 эВ .
изменится
Как
вероятность
прохождения
электроном
потенциального барьера, если: 1) расширить потенциальный барьер в два раз
(не меняя его высоту), 2) повысить высоту потенциального барьера в два раза
(не меняя его ширину), 3) понизить энергию электрона в два раза (не меняя
высоту и ширину потенциального барьера).
138. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину. Разность
энергий для движущегося электрона U  E  2 эВ . Во сколько раз изменится
вероятность прохождения прямоугольного потенциального барьера, если
разность энергий возрастет в три раза?
139. Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность
потенциалов
φ  10 кВ . Во сколько раз отличаются коэффициенты
прохождения прямоугольного потенциального барьера шириной
 0,1 пм и
высотой U  20 кэВ для электрона и протона.
140. Ядро испускает α - частицы с энергией E  5 МэВ , которые
проходят
через
прямоугольный
потенциальный
барьер
шириной
 5 1015 м и высотой U  10 МэВ . Вычислить вероятность прохождения
α - частицей через барьер.
6.11 КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
141. Определить энергию нулевых колебаний математического маятника
длиной
 0,5 м , находящегося в поле тяжести Земли. Ответ выразить в эВ.
123
142. Определить энергию нулевых колебаний физического маятника
длиной
 1 м с моментом инерции J  2 кг  м2 , находящегося в поле
тяжести Земли. Ответ выразить в эВ.
143. Определить энергию нулевых колебаний пружинного маятника
массой m  100 г , закрепленного на пружине жесткостью k  0,5
Н
. Ответ
м
выразить в эВ.
6.12 ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
144. Записать возможные значения орбитального квантового числа
магнитного квантового числа m
и
для главного квантового числа n  2 .
Сколько различных волновых функций соответствует этому состоянию (без
учета спина)?
145. Записать возможные значения орбитального квантового числа
магнитного квантового числа m
и
для главного квантового числа n  4 .
Сколько различных волновых функций соответствует этому состоянию (без
учета спина)?
146. Атом водорода находится в основном состоянии с волновой
функцией ψ 

1
πa
3
e
r
a,
где r – расстояние до ядра, a – первый боровский
радиус. Найти: 1) вероятность того W1 , что электрон находится внутри
сферы, ограниченной первым боровским радиусом, 2) вероятность того W2 ,
что электрон находится вне сферы, ограниченной первым боровским
радиусом, 3) отношение вероятностей
W1
.
W2
147. Атом водорода находится в основном состоянии с волновой
функцией ψ 

1
πa
3
e
r
a,
где r – расстояние до ядра, a – первый боровский
радиус. Найти среднее расстояние электрона до ядра.
124
148. Атом водорода находится в основном состоянии с волновой
функцией ψ 

1
πa
3
e
r
a,
где r – расстояние до ядра, a – первый боровский
радиус. Найти наиболее вероятное расстояние электрона до ядра.
149. Атом водорода находится в основном состоянии с волновой
функцией ψ 

1
πa
3
e
r
a,
где r – расстояние до ядра, a – первый боровский
радиус. Найти среднее значение кулоновской силы, действующей на
электрон.
150. Найти орбитальный момент импульса на направление внешнего
магнитного поля для электрона, находящегося в: 1) s – состоянии, 2) p –
состоянии, 3) d – состоянии, 4) f – состоянии.
151. Найти проекцию орбитального момента импульса на направление
внешнего магнитного поля для электрона, находящегося в: 1) s – состоянии,
2) p – состоянии, 3) d – состоянии, 4) f – состоянии.
152. Найти максимальное значение проекции орбитального момента
импульса на направление внешнего магнитного
поля для электрона,
находящегося в: 1) s – состоянии, 2) p – состоянии, 3) d – состоянии, 4) f –
состоянии.
153. Определить во сколько раз орбитальный момент импульса
электрона, находящегося в f – состоянии больше орбитального момента
импульса электрона, находящегося в d – состоянии.
154. Атом водорода, находящийся в основном состоянии, поглотил
квант света с энергией E  12,1 эВ и перешел в состояние с максимально
возможным орбитальным
квантовым
орбитального момента импульса.
125
числом.
Определить
изменение
155. Орбитальный момент импульса электрона в атоме водорода
L  1,83  1034 Дж  с . Найти
магнитный момент импульса электрона,
обусловленный движением по орбите.
156. Найти энергию, орбитальный момент импульса электрона и
магнитный момент электрона, находящегося в 2 p состоянии в атоме
водорода.
157. Найти возможные значения магнитного момента электрона,
обусловленного движением электрона по орбите, если электрон находится в
атоме водорода в возбужденном состоянии с энергией E  12,09 эВ .
158. Найти спиновый момент электрона и его проекцию н направление
внешнего магнитного поля.
159. Найти спиновый магнитный момент электрона и его проекцию н
направление внешнего магнитного поля.
160.
Заполненной
электронной
оболочке
соответствует
главное
квантовое число n  3 . Найти количество электронов которые имеют
1
следующие одинаковые квантовые числа: 1) ms   , 2) m  0 , 3) m  2 и
2
ms  
1
.
2
161.
Заполненной
электронной
оболочке
соответствует
главное
квантовое число n  4 . Найти количество электронов которые имеют
1
следующие одинаковые квантовые числа: 1) ms  , 2) m  3 , 3) m  1 и
2
ms  
1
.
2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова Т.И. Курс физики. – М., 2007
2. Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы. – М., 2004
3. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачи по физике. – М., 2008
126
4. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики – Спб.,
2003.
5. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики. – М., 2008.
127
Оглавление
1.
Квантовая природа излучения
1.1 Тепловое излучение и его характеристики
1.2 Законы теплового излучения
1.3 Формулы Рэлея – Джинса и Планка
1.4 Фотоэффект
1.5 Эффект Комптона
2.
Теория атома водорода про Бору
2.1 Модели атома
2.2 Спектр атома водорода
2.3 Постулаты Бора
2.4 Теория атома водорода по Бору
3.
Элементы квантовой механики
3.1 Корпускулярно-волновой дуализм
3.2 Соотношение неопределенностей
3.3 Волновая функция и ее статистический смысл
3.4 Уравнение Шредингера
3.5 Движение свободной частицы
3.6 Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно
высокими стенками
3.7 Прохождение
частицы
сквозь
потенциальный
Туннельный эффект
3.8 Квантовый гармонический осциллятор
4.
Элементы физики атомов и молекул
4.1 Атом водорода в квантовой механике
4.2 1s состояние в атоме водорода
4.3 Спин электрона
4.4 Принцип неразличимости тождественных частиц
4.5 Фермионы и бозоны
128
барьер.
4.6 Принцип
Паули.
Распределение
электронов
в
атоме
по
состояниям
5.
Примеры решения задач
5.1 Квантовая природа излучения
5.2 Энергия и импульс фотона
5.3 Фотоэффект
5.4 Эффект Комптона
5.5 Теория атома водорода по Бору
5.6 Формула де Бройля
5.7 Соотношение неопределенностей
5.8 Волновая функция и ее статистический смысл
5.9 Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно
высокими стенками
6.
5.10
Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер
5.11
Квантовый гармонический осциллятор
5.12
Элементы физики атомов и молекул
Задачи для самостоятельного решения
6.1 Квантовая природа излучения
6.2 Энергия и импульс фотона
6.3 Фотоэффект
6.4 Эффект Комптона
6.5 Теория атома водорода по Бору
6.6 Формула де Бройля
6.7 Соотношение неопределенностей
6.8 Волновая функция и ее статистический смысл
6.9 Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно
высокими стенками
6.10
Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер
6.11
Квантовый гармонический осциллятор
6.12
Элементы физики атомов и молекул
129
130