6565

6565. На цилиндрическую часть катушки радиусом r = 10 см, лежащей на столе,
намотана легкая нерастяжимая нить, отрезок АВ которой горизонтален (см.
рисунок). В момент времени t = 0 точку нити A начинают тянуть с постоянным
горизонтальным ускорением a, модуль которого равен 4 см/с2. При этом катушка
начинает двигаться без проскальзывания так, что ее ось не изменяет своей
ориентации. Через какое время τ длина горизонтального участка нити изменится в
n=2 раза, если длина отрезка АВ была равна L0 = 1 м, а внешний радиус катушки равен R = 20 см?
Дано: L0=1 м; n=2; R=0,20 м;r =0,10 м; a=4 м/с2.
Найти: τ=?
Решение. По условию задачи при перемещении точки нити A катушка движется по плоскости,
сохраняя ориентацию своей оси. Следовательно, считая катушку твердым телом, ее движение можно
представить как сумму поступательного движения со скоростью v0, равной скорости движения оси
катушки, и вращения с угловой скоростью ω вокруг этой оси. Поскольку качение катушки
происходит без проскальзывания, то
𝑣0
𝝎= .
𝑅
Из сказанного следует, что в тот момент, когда скорость оси катушки равна ω, скорость точки B
должна быть равна
(𝑅 − 𝑟) ∙ 𝑣0
𝑣𝐵 = 𝑣0 − 𝜔 ∙ 𝑟 =
,
𝑅
а потому при движении катушки с течением времени длина отрезка нерастяжимой нити AB должна
уменьшаться.
Учитывая, что по условию задачи отрезок нити АВ остается горизонтальным, а первоначально
покоившуюся точку A перемещают с постоянным ускорением a, коллинеарным нити, искомый
промежуток временит должен удовлетворять уравнению
(𝑎0 − 𝑎) ∙ 𝜏 2
𝐿0
𝐿(𝜏) =
= 𝐿0 −
,
𝑛
2
где
𝑎∙𝑅
𝑎0 =
𝑅−𝑟
- ускорение центра катушки. Из этих уравнений следует, что
𝑎 ∙ 𝑛 ∙ 𝑟 ∙ 𝜏 2 = 2 ∙ 𝐿0 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑅 − 𝑟),
и с учетом условия
0≤𝜏
интересующий промежуток времени равен
2 ∙ 𝐿0 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑅 − 𝑟)
𝜏=√
.
𝑎∙𝑛∙𝑟
Вычисления в СИ:
2 ∙ 1 ∙ (2 − 1) ∙ (0,2 − 0,1)
𝜏=√
𝑐 = 0,5 𝑐.
4 ∙ 2 ∙ 0,1
Ответ.
𝝉=√
𝟐 ∙ 𝑳𝟎 ∙ (𝒏 − 𝟏) ∙ (𝑹 − 𝒓)
, 𝝉 = 𝟎, 𝟓 𝒄.
𝒂∙𝒏∙𝒓