Математическое описание колебаний Цели урока: Дидактическая

Тема урока: Уравнение свободных гармонических колебаний в контуре.
Математическое описание колебаний
Цели урока:
Дидактическая – создать условия для усвоения нового материала, используя поисковый
метод обучения и принцип цикличности познания;
Образовательная – : вывод основного уравнения электромагнитных колебаний, законов
изменения заряда и силы тока, получения формулы Томсона и выражения для собственной частоты
колебания контура
Развивающая – развивать когнитивные процессы учащихся, основываясь на применении
научного метода познания: аналогичности и моделировании;
Воспитательная – продолжить формирование представлений о взаимосвязи явлений
природы и единой физической картине мира, учить находить и воспринимать прекрасное
в природе, искусстве и учебной деятельности.
Оборудование:
 метроном, пружинный и математический маятники;
 ТV и видеоплеер;
 компьютер.
Ход урока.
1.Оргмомент
2. Опрос домашнего задания.
 понятие электромагнитных колебаний;
 понятие энергии колебательного контура;
 соответствие электрических величин механическим величинам при колебательных
процессах.
3. Объяснение новой темы.
Итак, мы выяснили, что полная энергия колебательного контура, в любой момент
Li 2 q 2

времени, равна сумме энергий магнитного и электрического полей: W 
.
2
2C
Считаем, энергия не меняется со временем, то есть контур – идеальный. Значит,
производная полной энергии по времени равна нулю, следовательно, равна нулю сумма
производных по времени от энергий магнитного и электрического полей:
Li 2 '
q2
Li 2 '
q2
)  ( ) ' .
(
)  ( ) '  0 , то есть (
2
2
2C
2C
Знак минус в этом выражении означает, что когда энергия магнитного поля
возрастает, энергия электрического поля убывает и наоборот. А физический смысл этого
выражения таков, что скорость изменения энергии магнитного поля равна по модулю и
противоположна по направлению скорости изменения электрического поля.
Итак, чтобы найти явную зависимость заряда, силы тока и напряжения от времени, необходимо
решить уравнение
q ''  
1
q,
LC
учитывая гармонический характер изменения этих величин.
Если в качестве решения взять выражение типа q = q m cos t , то, при подстановке этого решения в
исходное уравнение, получим q’’=-qmcos t=-q.
Поэтому, в качестве решения необходимо взять выражение вида
q=qmcos(ωot+φ),
где qm – амплитуда колебаний заряда (модуль наибольшего значения колеблющейся
величины),
1
- циклическая или круговая частота. Ее физический смысл –
LC
число колебаний за один период, т. е. за 2π с.
(ωot+φ)- фаза колебаний
φ- сдвиг фазы
φ= ωot=2π t/T угловая мера времени
Период электромагнитных колебаний – промежуток времени, в течение которого ток в
колебательном контуре и напряжение на пластинах конденсатора совершает одно полное
колебание. Для гармонических колебаний Т=2π с (наименьший период косинуса).
Частота колебаний – число колебаний в единицу времени – определяется так:
1
ν=
.
T
Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной
системы.
2
Так как ωo= 2π ν=2π/Т, то Т=
.
o
2π
Т=
= 2π LC - формула Томсона для периода электромагнитных колебаний.
ωo
Тогда выражение для собственной частоты колебаний примет вид
ωo =

1
2 LC
.
Нам осталось получить уравнения колебаний силы тока в цепи и напряжения на
конденсаторе.
U=Umcos(ωot+φ)
где Um – амплитуда колебаний напряжения(модуль наибольшего значения колеблющейся
величины),
π
I  (q m cos ωt ) '  q m ω sin ωt  I m sin ωt  I mcos(ωt  ) ,
2
где Im – амплитуда колебаний силы тока(модуль наибольшего значения колеблющейся
величины),
где π/2 – сдвиг фаз между силой тока и зарядом (напряжением).
Итак, мы выяснили, что сила тока при электромагнитных колебаниях тоже меняется по
гармоническому закону.
Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или
синуса, называются гармоническими колебаниями.
Х=Хmcos(ωot+φ),
υ=Х/=Хмωсоs(ωot+φ),
a=Х//=-Хмω2соs(ωot+φ),
1. Домашнее задание 1,4-1,6
4. Закрепление новой темы – решение задач.
Задача 1.
Сила тока в цепи переменного тока меняется со временем по закону i =20 Cos 100πt.
Определить характеристики колебательной системы и определить индуктивность
катушки, если электроемкость конденсатора 2мк Ф.
Решение.
1.Выясним сначала, какой это вид колебаний.
Гармонические колебания.
2.Запишем уравнение в общем виде: i = Cos ω t
3.Проводим сравнение общего уравнения с данным.
Увидели, что = 20А, а ω = 100π.
4. Для построения графика нужны следующие величины:
и T.
мы уже нашли, а теперь найдём T, используя формулу T =
;T=
.
1
5. ωo =
-= С =1/L ωo2
LC
Задача 2.
Пусть дан график колебаний в колебательном контуре радиопередатчика системы.
Определить её характеристики и определить емкость в конденсаторе, если L = 0,2Гн.
Решение.
1.По данному графику мы можем определить: U = 50В, T = 0,4 c.
2.Для записи уравнения, необходимо рассчитать циклическую частоту по формуле:
T=
-> =
->ω =
3.График, каких колебаний нам дан? Это синусоида или косинусоида?.
5. Дом. задание.1,2 задачи стр. 13
Источники:
1. ref.by/refs/62/31701/1.html
2. princ-scl.narod.ru/m_center/11kl_AS.doc