Опять работа. К вопросу о работе и энергии в школьном курсе

М.Л.Москвитин <[email protected]>, ГБОУ лицей №1550, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва
Опять работа. К вопросу о работе и энергии в школьном курсе механики.
Ключ. слова: методика преподавания физики, работа и энергия в механике, принцип относительности Галилея.
Аннотация. В статье рассмотрены примеры, иллюстрирующие роль работы в механике, ее связь с энергией,
ньютоновским законом динамики и принципом относительности Галилея. Они могут быть полезны как при
ознакомлении с понятием работы в 9-10 классах, так и в ходе повторения и обобщения материала по динамике материальной точки в 10-11 классах.
Вопрос о том, что такое работа, обычно не вызывает у школьников серьезных затруднений. Они приводят
формулу A=FLcosφ, указывают смысл и размерности входящих в нее величин. Но уже следующий вопрос,
зачем все-таки нужно умножать силу F на расстояние L, чем это лучше, скажем, величины F/L, многих ставит в тупик. Грамотные ребята, конечно, вспоминают связь работы и энергии, некоторые воспроизводят
стандартные рассуждения, приводящие от уравнений движения к указанной связи. К сожалению совсем немногие (обычно это семиклассники) скажут о «золотом правиле» механики и действии простых механизмов.
А ведь именно здесь понятие работы возникает, пожалуй, самым естественным образом. Ниже рассматриваются два примера, иллюстрирующие некоторые свойства работы в механике. Первый пример мы разбираем с учащимися 10 классов сразу вначале темы работа и энергия. Он касается применения наклонной плоскости для подъема грузов и непосредственно приводит к понятиям работы, потенциальной энергии, свойству консервативности. Полезно, конечно при наличии времени, рассмотреть и другие простые механизмы
(подвижный блок, ворот, гидравлический пресс и пр.). Второй пример представляет скорее методологический интерес; он показывает взаимосвязь работы, энергии, 2-го закона Ньютона и принципа относительности Галилея. Его есть смысл обсуждать с заинтересованными учащимися, скажем в рамках элективного курса. Во всех случаях тела будут рассматриваться как материальные точки.
Работа по подъему груза и потенциальная энергия. Рассмотрим подъем груза массой M на заданную высоту H с помощью известного простого механизма- гладкой наклонной плоскости (трение пренебрежимо
мало). Нас будет интересовать равномерное движение без лишних затрат сил. Условием равномерного перемещения груза с наименьшим усилием будет очевидное равенство F = Mgsinα (см. рис.1). Выигрыш в
силе по сравнению с подъемом по вертикали составляет 1/sinα. Если учесть, что sinα = H/L, то условие перемещения примет вид FL= MgH. Значит, при доставке груза массой М на заданную высоту Н по плоскости любого наклона произведение FL силы на расстояние будет одинаковым и равным MgH. Так, при выборе длины L плоскости покороче придется приложить силу F большей величины (пример действия «золотого правила» механики). Возможность подобного прогнозирования наводит на мысль о важности величины
FL, мы естественным образом приходим к понятию работы постоянной силы А= FL. Можно также представить себе перемещение груза вдоль поверхности переменного наклона (см. рис.2). И в этом случае сумма
элементарных работ FiLi, то есть полная работа А на всем пути, окажется равной сумме величин Mghi ,или
опять-таки MgH. Эта величина MgH- необходимая во всех подобных случаях работа для подъема груза,
называется его потенциальной энергией. Сделаем теперь некоторые уточнения и замечания. Если сила F
образует угол φ с направлением перемещения L, то рассуждения, аналогичные предыдущим, приведут к
формуле для работы A= FLcosφ. Далее, пусть величина Н является разностью начальной Н1 и конечной Н2
высот расположения груза. Тогда для работы силы F получим А= MgH2 – MgH1, то есть работа равна изменению энергии. При увеличении потенциальной энергии работа положительна, при снижении отрицательна
(в нашем примере сила F будет придерживать равномерно съезжающий груз, при этом cosφ < 0). Величину
MgH нетрудно связать с работой самой силы тяжести. Так при движении вверх по наклонной плоскости
(см. рис.1) эта работа окажется равной MgLcos(π/2+α), то есть – MgH, а при движении вниз MgH. Во всех
случаях работа силы тяжести равна MgH1 – MgH2, она положительна при понижении потенциальной энергии груза, на что и направлено, так сказать, действие этой силы. Наконец отметим следующее. Величина
работы силы тяжести MgH1 – MgH2 определяется только разностью потенциальных энергий груза в начальном и конечном положениях, история движения совершенно не важна. Независимость величины работы от
формы траектории движения тела называют свойством консервативности, а соответствующую силу (в
нашем случае силу тяжести) консервативной силой. Далеко не все силы являются консервативными [1].
Работа, кинетическая энергия и принцип относительности. Рассмотрим теперь перемещение тела по
горизонтальной поверхности под действием горизонтальной результирующей силы F. Разберем для простоты одномерный случай. Опыт показывает, что на участке перемещения L скорость тела будет меняться,
скажем от v0 до v (см.рис.3). Попробуем описать этот процесс без привлечения 2-й закон Ньютона. В качестве основного возьмем принцип А= Е2 – Е1, работа равна изменению энергии. Мы пришли ранее к подобному утверждению рассмотрев подъем груза. Здесь же речь пойдет о зависящей от скорости v тела его кинетической энергии Е(v), то есть энергии движения, потенциальная энергия постоянна и в расчет приниматься не будет. Вид функции Е(v) нам заранее не известен. Для нахождения этой зависимости потребуем,
чтобы используемый нами основной закон FL= E(v) – E(v0) оставался справедливым при переходе из одной
инерциальной системы отсчета в другую. Таким образом мы опираемся на принцип относительности Галилея. Тогда в движущейся со скоростью V системе отсчета (тележка на рис.3), с учетом инвариантности величины силы и правил сложения скоростей и перемещений, получим F(L+Vt) = E(v+V) – E(v0+V). Заменив
FL на E(v) – E(v0), придем к функциональному уравнению для кинетической энергии
E(v) – E(v0)= E(v+V) – E(v0+V) – FVt
(1).
Далее, не претендуя на математическую строгость рассуждений, попробуем угадать подходящий вид зависимости E(v). Для обращения полученного уравнения (1) в тождество необходимо, чтобы разность E(v+V) –
E(v0+V) содержала линейный по V член, им можно надеяться скомпенсировать величину FVt. В качестве
подходящей кандидатуры нетрудно усмотреть квадратичную зависимость E ~ v2 (легко рассуждать, зная
ответ заранее!). Введя независящий от скорости коэффициент пропорциональности m/2, запишем выражение для энергии E = mv2/2 (мы дополнительно требуем для энергии движения выполнения в фиксированной
системе отсчета условия Е(0)=0). Подстановка этого выражения в уравнение (1) обращает его в тождество
лишь при выполнении условия V(m(v-v0) – Ft) = 0, что ввиду произвольности величины скорости V подвижной системы отсчета равносильно требованию
Ft = m(v-v0)
(2).
Конечно в полученном уравнении (2) легко узнается основной закон динамики Ньютона, а в коэффициенте
m масса тела (точнее инертная масса).
Мы пришли к выражению для кинетической энергии E = mv2/2 и закону Ньютона (2) исходя из постулируемой связи работы и энергии движения А= Е2 – Е1, совместимой с принципом относительности Галилея.
Обычно поступают наоборот [2]: из закона Ньютона получают связь работы и энергии.( Полезно сравнить
приведенные выше рассуждения с методикой построения функции Лагранжа свободной частицы [3].). Еще
раз подчеркнем, что данный пример имеет скорее методологическое значение, никаких новых формул мы
здесь не получаем. И все-таки на наш взгляд важно, что в этом случае мы имеем дополнительную возможность проследить внутреннюю связь между величинами работы, энергии, законом движения Ньютона и
принципом относительности Галилея.
В рассмотренных примерах мы попытались в очередной раз подчеркнуть важность и плодотворность понятия работы в механике. Разумеется, это всего лишь примеры, а не систематическое изложение темы работа и
энергия. Скажем, закон сохранения энергии здесь не обсуждался вовсе. Тем не менее, данные примеры могут быть полезны как при ознакомлении с понятием работы в 9-10 классах, так и в ходе повторения и обобщения материала по динамике материальной точки в 10-11 классах с углубленным изучением физики.
Литература
1.
2.
3.
Сивухин Д.В. Механика, М: Наука, 1974, с.130-135.
Мякишев Г.Я. и др. Физика 10, Механика, М: Дрофа, 2002, с. 322-333.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика, М: Наука,1988, с.13-16.
Москвитин Михаил Львович, 8-9035290148(моб), [email protected]
Рисунки к тексту
N
F
L
H
π/2+α
Mg
α
Рисунок 1
Li
H
hi
Рисунок 2
V
v0
L
F
Рисунок 3
v