Лабораторная работа №4. «Исследование колебаний

Лабораторная работа №4.
«Исследование колебаний пружинного маятника с учётом массы пружины».
Цель работы: исследовать свободные механические колебания пружинного маятника с
учётом массы пружины на примере игрушки-пружины слинки (Slinki).
Задачи работы:

установить массу и жёсткость одного витка пружинки (пружину категорически
запрещено ломать);

изучить аналитически и экспериментально теорию свободных механических
колебаний пружинного маятника с учётом массы пружины.
Оборудование: игрушка-пружина слинки (Slinki), электронные весы, электронный
секундомер, измерительная лента.
Теория и метод выполнения работы:
Период колебаний пружинного маятника определяется выражением T  2
m
,
k
которое можно получить двумя способами: динамическим – при помощи второго закона
Ньютона и энергетическим – с помощью закона сохранения полной механической
энергии. Где: m – масса груза, k – жёсткость пружины. С учётом цели представленной
лабораторной работы, очевидно, что данная формула имеет ряд ограничений по своему
использованию: 1) не учитывается масса пружины; 2) масса колеблющегося тела
сосредоточена в очень малой области, которую можно принять за материальную точку.
Поэтому вначале необходимо получить аналитическое выражение (математическую
модель), которое описывает свободные механические колебания пружинного маятника с
равномерным распределением массы колеблющейся системы по всей её длине. Примером
подобного осциллятора и является игрушка-пружина слинки (Slinki), которую создал
в 1943 году американский военно-морской инженер Ричард Джеймс.
При построении математической модели будем использовать закон сохранения
полной механической энергии. В любой момент времени, в отсутствии сопротивления
полная
механическая
энергия
остаётся
величиной
постоянной.
Рассмотрим
горизонтальное расположение пружины с равномерным распределением массы по всей её
длине. Формула кинетической энергии так же справедлива для тела, масса которого
сосредоточена в очень малой области, принимаемую за материальную точку. Поэтому
вначале определим кинетическую энергию колеблющейся пружины с равномерным
распределением массы по всей её длине. Рассмотрим рисунок 1.
рис.1
Если вся масса пружины m равномерно распределена по всей её длине l, то масса элемента
пружины dm локализована на малом участке dx, который имеет координату x. Т.е.
dm 
m  dx
. Т.к. при колебаниях скорости различных участков пружины различны,
l
будем считать, скорость т.А пружины равна V, а скорость элемента пружины в координате
x
равна
Vdm,
тогда
Vdm 
V x
.
l
Кинетическая
dm  Vdm 
1 m  dx V 2  x 2 mV 2 2
dWk 
 
 2 
 x dx .
2
2
l
l
2l 3
энергия
элемента
пружины
2
Чтобы
найти
кинетическую
энергию всей пружины, необходимо проинтегрировать обе части последнего равенства.
l
l
l
mV 2 2
mV 2
mV 2 x 3
mV 2 l 3
mV 2
2
dW


x
dx

W

x

dx





0

k
 k 0 2l 3
2l 3 0
2l 3 3 0
2l 3 3
6
mV 2
Т.е. кинетическая энергия всей пружины Wk 
. Потенциальная энергия упругой
6
mV 2 kx2
kx2

 const .
деформации пружины W p 
. Полная энергия Wk  W p 
6
2
2
Найдём производную от обеих частей последнего равенства:



 mV 2 kx2 
 mV 2   kx2 


  const   
  
  0

2 
 6
 6   2 
m
k
 2V V    2 x  x   0
6
2
m
m

V  x   k  x V  0  V    x   k  x   0
3
3

m
3
 x   k  x  0 
3
m
x  
3k
x  0
m
Получили однородное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее
свободные механические колебания пружины с учётом равномерного распределения
массы по всей её длине. Данное уравнение позволяет записать выражение для квадрата
собственной циклической частоты
02 
3k
m ,
а затем выйти на расчётную формулу для периода колебаний
T 
2
0
 2
m
3k .
Где: m – масса всей пружины, k – жёсткость пружины. Если последнюю формулу
представить в виде T  2
m
, β=3 – то именно числовое значение коэффициента β и
 k
предстоит экспериментально проверить в данной лабораторной работе.
Одной из задач лабораторной работы является определение массы одного витка
пружины. Т.к. пружину категорически запрещено ломать, то в начале при помощи
электронных весов определяют массу всей пружины, а затем делят на число витков
m0 
m
.
n
Рассмотри методику определения коэффициента жёсткости одного витка
пружины. Подвесим пружину вертикально. Величина силы, действующей на один виток,
равняется силе тяжести действующей на витки, висящие ниже изучаемого витка. Точность
измерения длины одного витка мала, поэтому будем измерять длину десяти витков. Так
деформация десяти витков равна сумме деформаций каждого из 10 витков, а витки
одинаковые, то коэффициент жёсткости 10 витков в 10 раз меньше коэффициента
жёсткости одного витка (последовательное соединение). Для того чтобы измерить
коэффициент жёсткости 10 витков пружины (контрольных витков), снимем зависимость
длины десяти контрольных витков пружины от количества витков пружины, висящих
ниже контрольных витков, свободных (см. рис. 2).
рис.2
При построении зависимости длины контрольных витков от количества свободных
ожидается линейная зависимость, что свидетельствует о выполнении закона Гука для
исследуемой пружины. Угловой коэффициент α этой зависимости позволяет установить
коэффициент жёсткости контрольных витков k10 
m0  g

. Из последней формулы можно
рассчитать коэффициент жёсткости одного витка k0  10  k10 .
Затем необходимо исследовать зависимость периода колебаний пружины от
количества колеблющихся витков. Для этого полученную аналитически формулу
T  2
m
представим в виде:
 k
T  2
m0  n
m0
 2
n
k0


k
0

n
Где: n – число витков. Т.к. период колебаний T=t/N (N – число полных колебаний, за
время
t),
то
t
m0
t2
m
 2
 n  2  4 2  0  n 2 . Последнее выражение
N
  k0
N
  k0
представим в виде
4 2 m0 N 2  n 2    k0t 2 , тогда если построить графическую
 
2
2
2
2
зависимость 4 m0 N  n  f k0t , то ожидается линейная зависимость, а угловой
коэффициент определяет числовое значение коэффициента β, который теоретически равен
3. Это числовое значение и необходимо экспериментально проверить.
Ход работы:
1. Определить число витков пружины.
2. С помощью электронных весов определить массу пружины m.
3. Рассчитать массу одного витка пружины m0 и представить её в кг.
4. Для исследования зависимости длины контрольных 10 витков от количества
свободных подготовить таблицу и по результатам измерений заполнить её.
Длина
контрольных
10 витков
(м)
Число
свободных
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
витков
Длина
контрольных
10 витков
(м)
Число
свободных
витков
5. В Microsoft Excel построить графическую зависимость длины контрольных 10
витков от числа свободных, используя мастер диаграмм, с добавлением линии
тренда, указанием линейной зависимости, уравнения прямой, по которому
определяется угловой коэффициент α.
6. Рассчитать коэффициент жёсткости контрольных 10 витков k10 
m0  g

.
7. Рассчитать коэффициент жёсткости одного витка k0  10  k10 .
8. Исследовать
зависимость
периода
колебаний
пружины
от
количества
колеблющихся витков, для этого подготовить таблицу и по серии экспериментов
заполнить её.
Число
Число
колеблющихся
полных
витков
колебаний
n
N
t
-
-
c
1.
42
20
2.
36
20
3.
30
20
4.
27
20
5.
18
20
№
опыта
Время
 
2
2
2
2
9. Для построения графической зависимости 4 m0 N  n  f k0t , заполнить
таблицу.
Функциональные зависимости
4
2
m0 N 2  n 2 
k t 
2
0
 
2
2
2
2
10. В Microsoft Excel построить графическую зависимость 4 m0 N  n  f k0t ,
используя мастер диаграмм, с добавлением линии тренда, указанием линейной
зависимости, пересечением в начале координат, уравнения прямой, по которому
определяется угловой коэффициент β.
11. Для записи коэффициента β в стандартном виде    эксп    , расчёта
погрешности,
сравнения
экспериментального
значения
с
теоретическим,
применить методику графической обработки экспериментальных данных.
12. Сформулировать общий вывод по работе.