Понятие о неравенстве

Понятие о неравенстве
Пусть функции f(x) и g(x) заданы на некоторых числовых множествах X1 и
X2. Неравенством с одной неизвестной называется отношение вида f(x)<g(x)
(Вместо знака < могут стоять знаки >, ≤, ≥).
Неравенства со знаками < и > называются строгими, а  и  – нестрогими.
Неравенство f(x)<g(x) означает, что разность f(x) - g(x) отрицательна, т.е.
f(x) - g(x)<0.
Неравенство f(x)>g(x) означает, что разность f(x) - g(x) положительная, т.е.
f(x) - g(x)>0.
Областью допустимых значений неравенства (ОДЗ) называется
множество значений переменной, на котором обе части неравенства
одновременно определены (имеют смысл). Таким образом, ОДЗ=Х1Х2,то есть
пересечение множеств X1 и X2.
Число a называется решением неравенства, если при подстановке его
вместо переменной x получаем верное числовое неравенство f(a)<g(a). a,
являясь решением неравенства, может лежать только в ОДЗ.
Решить неравенство − это означает найти все его решения или доказать,
что их нет. Совокупность всех решений неравенства называется множеством
решений неравенства.
Два неравенства, f(x)<g(x) и f1(x)<g1(x), называются равносильными на
множестве X, если на этом множестве неравенства имеют одни и те же
решения, то есть, если каждое решение первого неравенства является решением
второго неравенства, и наоборот, каждое решение второго неравенства является
решением первого. Два неравенства, не имеющие решений на каком-либо
множестве, также считаются равносильными на этом множестве.
Из определения следует, что если неравенство f1(x)<g1(x) окажется более
простым, чем равносильное ему неравенство f(x)<g(x), то и решать нужно
именно его, так как решения у него те же.
Правило 1. Если функции f(x), g(x) и h(x) определены на множестве X, то
неравенства f(x)>g(x) и f(x)+h(x)>g(x)+h(x) равносильны на этом множестве.
Правило 2. Если h(x)>0 на множестве X, то неравенства f(x)>g(x) и
f(x)h(x)>g(x)h(x) равносильны на этом множестве. Т.е. обе части неравенства
можно умножать на положительную функцию, не нарушая равносильности.
Правило 3. Если h(x)<0 на множестве X, то неравенства f(x)>g(x) и
f(x)h(x)<g(x)h(x) равносильны на этом множестве. Т.е. обе части неравенства
можно умножать на отрицательную функцию, не нарушая равносильности,
меняя при этом знак неравенства на противоположный.
Правило 4. Если f(x)≥0, g(x)≥ 0 на множестве X, то неравенства f(x)>g(x) и
f (x)>g 2 (x) равносильны на этом множестве. Т.е. если обе части неравенства
f(x)>g(x) неотрицательны, то возведение в квадрат неравенства не нарушает
равносильности. Заметим, что возводить неравенство в квадрат можно, только
2
если обе части этого неравенства неотрицательны. Если хотя бы одна из частей
неравенства отрицательна, возведение неравенства в квадрат, вообще говоря, не
является равносильным преобразованием.
Свойства числовых неравенств
Теорема 1. Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда разность
a – b отрицательна; число а больше числа b тогда и только тогда, когда
разность a – b положительна.
Доказательство. Пусть а и b – некоторые числа, причем a<b, тогда a=b –
c, где с – положительное число. Отсюда a - b= - c, т.е. a – b<0.
Очевидно, что a=b тогда и только тогда, когда a – b=0.
Теорема 2. Если a<b и с – любое число, то a+c<b+c.
Следствие. Если слагаемое из одной части верного неравенства
перенести в другую с противоположным знаком, то получится верное
неравенство.
Теорема 3. Если a<b и с – положительное число, то ac<bc. Если a<b и с –
отрицательное число, то ac>bc
Теорема 4. Если a<b и c<d, то a+c<b+d.
Теорема 5. Если a<b и c<d, где a, b, c, d – положительные числа, то
ac<bd.
Следствие. Если 0<a<b, то 𝑎𝑛 < 𝑏 𝑛 , где n – натуральное число.
Примеры решения задач
Пример 1. Равносильны ли неравенства √𝑥 2 + 6𝑥 + 9 < 5 и x+3<5?
Решение. Неравенства неравносильны. Действительно, √𝑥 2 + 6𝑥 + 9 < 5
 √(𝑥 + 3)2 > 5  |x+3|<5.
Неравенство x+3<5 будет верным и тогда, когда x+3< – 5, например, при
x= – 100. Первое же неравенство при x= – 100 неверно.
Ответ. Нет.
Пример 2. Равносильны ли неравенства √𝑥 + 𝑥 > √𝑥 − 1 и x> - 1?
Решение. Неравенства неравносильны. В самом деле, √𝑥 + 𝑥 > √𝑥 − 1 
𝑥 > −1,
 x0. Значит, множеством решений первого неравенства являются
{
𝑥≥0
область x≥0, а второго x> – 1.
Поскольку это разные множества, то неравенства неравносильны.
Ответ. Нет.
Метод интервалов
Неравенства вида f(x)>0 когда функцию y=f(x) можно представить как
произведение линейных сомножителей, можно решать методом интервалов,
который состоит в следующем:
1. разложить f(x) на линейные множители;
2. найти корень каждого множителя и нанести все корни на числовую ось;
3. исследовать знак произведения на каждом из получившихся отрезков
числовой оси.
Если все линейные множители различны (имеют разные корни), то
произведение будет менять знак при переходе от одного интервала к соседнему
(знаки будут чередоваться).
Пример 1. Решить неравенство (х – 1)(х – 3)>0.
Решение. Нанесем на числовую ось точки х1=1 и х2=3 (корни линейных
функций у=х – 1 и у=х – 3).
Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: ( - ∞; 1), (1; 3), (3;
+∞). На каждом из этих интервалов множитель сохраняет постоянный знак, а
при переходе через корень меняет знак один множитель:
Положительные знаки имеют интервалы ( - ∞; 1) и (3; +∞), следовательно,
они и являются решением неравенства.
Ответ: ( - ∞; 1)(3; +∞)
2
2
2
Пример 2. Решить неравенство x  1  x  2  x  1  6  2 x.
x  1
2
Решение.


Данное
неравенство
 x  2  x  1  6  2 x   0.
2
равносильно
неравенству:
2
2
2
Преобразуем его разложив на множители: x  1  x  2  6  2x  0;
x  12  x 2  2 x  8  0; x  4  x  12  x  2  0.
Используем обобщенный метод интервалов.
+
1
–4
–
–
+
2
х
Заметим, что x=1 – двукратный корень, при переходе через данное
значение знак не меняется. Поскольку неравенство нестрогое, в качестве
решения подходят также те значения, при которых многочлен обращается в 0,
т. е. x=1.
1  2;  .
Получаем ответ x   ;  4  
Ответ:
x   ;  4  
1  2;  .
x 3  1  x  12
x2  4
 0.
Пример 3. Решить неравенство
Решение. ОДЗ: x  ;  2  2;  . С учетом ОДЗ данное неравенство
2
2
3
2
2
равносильно неравенству: x  1  x  1  0; x  1  x  x  1  x  1  0; x  1  x  x  0;
(x+1)x(x – 1)<0.
Методом интервалов решаем последнее неравенство, учитывая ОДЗ.
–2
–
–1
+
+
–
0
1
х
2
Получаем решение х( - ∞; - 2).
Ответ: х( - ∞; - 2)
Упражнения
1. Решите неравенство:
1) 3 х <5
2) 2< 7  4 х <9
3) 1 х  4 <7
4)
5)
6) 1√𝑥 + 3<2
7) – 2<√𝑥<2
8)
9)
10)
2. Докажите, что при любых а верно:
1) (а – 9)(а+9)+10а5(2а – 17)
2) (7𝑎 − 1)(7𝑎 + 1) < 49𝑎2
3) 3(𝑎 + 1) + 𝑎 < 4(2 + 𝑎)
4) 𝑎 − 16 < (𝑎 + 5)(𝑎 − 3)
5) (7 + 2𝑎)(7 − 2𝑎) < 49 − 𝑎(4𝑎 + 1)
6) (2𝑎 + 3)(2𝑎 + 1) > 4𝑎(𝑎 + 2)
7) (𝑎3 − 64): (𝑎2 + 4𝑎 + 16) ≤ 𝑎2 − 𝑎 − 3 8) (3𝑎 + 8)2 > 3𝑎(𝑎 + 16)
10) (𝑎 − 2)2 > 𝑎(𝑎 − 4)
9) 4𝑎(𝑎 + 0,25) > (2𝑎 + 3)(2𝑎 − 3)
3. Найдите:
1) наименьшее целое решение
неравенства 9 – (х+4):25х
2) при каких р верно выражение
р2+25<(р+5)2
3) число целых решений неравенства 4) сумму целочисленных решений
х2 - 70
x 2  16  3  x  0.

неравенства
5) число целых решений неравенства 6) сумму целочисленных решений
x2
14 - х20
 0;
2
10

3
x

x
неравенства
7) все n, удовлетворяющие неравенству 8)
сумму
всех
натуральных
решений
17<3n<343
неравенства
x  x  5x
x

 0;
2
x  x6
5 x
3
2
3
9) сумму всех натуральных решений 10) при каких значениях а
3
2
неравенство 4  x  a  x  12 имеет
неравенства x  2 x 4 2 x  1 2  0;
 3  x  4  9  x
положительные решения
4. Докажите, если:
1) 5𝑎 − 2𝑏 > 2𝑎 + 𝑏, то 𝑎 > 𝑏
2) (𝑥 + 1)(𝑥 − 8) > (𝑥 + 2)(𝑥 − 4), то 𝑥 < 0
3) 4𝑎 − 𝑏 < 2𝑎 + 𝑏, то 𝑎 < 𝑏
4) (𝑥 − 3)3 < (4 + 𝑥)(𝑥 − 4), то 𝑥 >
25
6
5) 𝑎 + 4𝑏 > 3𝑎 + 3𝑏, то 𝑎 < 𝑏
1
6) 𝑎 < 0 и 𝑎 ≠ −1, то 𝑎 + < −2
𝑎
7) 25𝑎 + 2𝑏 < 6𝑎 − 2𝑏, то 𝑎 > 𝑏
8) 𝑎𝑏 > 0 и 𝑎 ≠ 𝑏, то
𝑎
𝑏
𝑏
+ >2
𝑎
9) (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) > (𝑥 + 1)(𝑥 − 2), то 𝑥 > 0
10) 𝑎𝑏 > 0, то
1
𝑎
<
1
𝑏
5. Докажите неравенство:
1) 2𝑏 2 − 6𝑏 + 1 > 2𝑏(𝑏 − 3)
2) 𝑝(𝑝 + 7) > 7𝑝 − 1
3) (𝑐 + 2)(𝑐 + 6) < (𝑐 + 3)(𝑐 + 5)
4) 8𝑦(3𝑦 − 10) < (5𝑦 − 8)2
5) 𝑎(𝑎 + 𝑏) ≥ 𝑎𝑏
6) 𝑎(𝑎 − 𝑏) ≥ 𝑏(𝑎 − 𝑏)
7) 2𝑏𝑐 ≤ 𝑏 2 + 𝑐 2
8)
9) 𝑚2 − 𝑚𝑛 + 𝑛2 ≥ 𝑚𝑛
𝑐 2 +1
10)
2
≥𝑐
𝑐
𝑐 2 +1
≤
1
2
6. Решите неравенство:
1) 3𝑥 > 15
2) 0,5𝑦 > −4
3) −4𝑥 < −16
4) 12𝑦 < 1,8
5) 27𝑏 ≥ 12
6) 2,5𝑎 > 0
7) −𝑥 ≥ −1
1
8) −6𝑥 > 1,5
9) 𝑥 > 6
1) 7𝑥 − 2,4 < 0,4
2) 2𝑥 − 17 ≥ −27
3) 8 + 5𝑦 ≤ 21 + 6𝑦
4) 17 − 𝑥 > 10 − 6𝑥
5) 64 − 6𝑦 ≥ 1 − 𝑦
6) 11𝑥 − 2 < 9
7) 1 − 5𝑦 > 3
8) 2 − 3𝑎 ≤ 1
9) 3𝑦 − 1 > −1 + 6𝑦
3
10) 11𝑥 ≤ 33
7. Решите неравенство:
10) 30 + 5𝑥 ≤ 18 − 7𝑥
8. Решите неравенство:
1) 5(𝑥 − 1) + 7 ≤ 1 − 3(𝑥 + 2)
2) 6𝑦 − (𝑦 + 8) − 3(2 − 𝑦) ≤ 2
3) 4𝑥 > 12(3𝑥 − 1) − 16(𝑥 + 1)
4) 1,7 − 3(1 − 𝑚) ≤ −(𝑚 − 1,9)
5) 4(𝑎 + 8) − 7(𝑎 − 1) < 12
6) 4(2 − 3𝑥) − (5 − 𝑥) > 11 − 𝑥
7) 𝑎 + 2 < 5(2𝑎 + 8) + 13(4 − 𝑎)
8) 2(3 − 𝑧) − 3(2 + 𝑧) ≤ 𝑧
9) 4(𝑏 − 1,5) − 1,2 ≥ 6𝑏 − 1
10) 1 > 1,5(4 − 2𝑎) + 0,5(2 − 6𝑎)
9. Решите неравенство:
1) 0,2𝑥 2 − 0,2(𝑥 − 6)(𝑥 + 6) > 3,6𝑥
2) 3𝑦 2 − 2𝑦 − 3𝑦(𝑦 − 6) ≥ −2
3) (2𝑥 − 5)2 − 0,5𝑥 < (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) − 15 4) (𝑥 − 4)(𝑥 + 3) ≤ 𝑥 2 + 3𝑥 − 24
5) (12𝑥 − 1)(3𝑥 + 1) < 1 + (6𝑥 + 2)2
6) 𝑥 2 + 4𝑥 − 16 > (𝑥 + 2)(𝑥 − 8)
7) 𝑎(𝑎 − 1) − (𝑎2 + 𝑎) < 34
8) 2𝑝(5𝑝 + 2) − 𝑝(10𝑝 + 3) ≤ 14
9) (4𝑦 − 1)2 > (2𝑦 + 3)((8𝑦 − 1)
10) (2𝑥 − 1)2𝑥 − 5𝑥 < 4𝑥 2 − 𝑥
10. Решите неравенство:
1)
6)
2𝑥
5
9𝑥
5
>1
2) 2 >
≥0
7)
6−𝑥
5
12−7𝑥
42
≥0
3)
8)
2+3𝑥
18
6𝑥
7
<0
≥0
4)
9)
3𝑥−1
4
5+6𝑥
2
>2
5) 1 <
>3
10)
𝑥
3
3𝑥
4
<2
Дополнительные задания
1. Решите неравенство:
1)
9 x
 ;
x 9
2)
23 3
 ;
1 x 4
4)
1
4
 ;
2
5
7  28x
5)
x 5
7)
3
2x

;
5  x x 1
3)
6)
6
 0;
x
8)
9)
10)
2. Решите неравенство:
1)
x
4)
x
2
x x  2 
2

 2 x  1  x  3
2

 0;
 2x  1  x2  6x  9
x 3
  0;
7)
x
2
 x  2    x  3   5  x 
 2  x 3
4
x  33  x  2  0;
2)
x  14  x  5
5)
8)
5
 0;
x 2  6 x  10
 0;
x 2  8 x  15
x2
 x  1
2
3)
2
1
2x 1

 3 .
x  x 1 x 1 x 1
6)
1
2
5 x 2  3x  1
 3;
x2  2
9)
 1;
10)
3. При каких значениях параметра а:
x2  8x  17  y2  4 y  a  18. 2) всякое решение неравенства
1) неравенство
6 x 2  x  1  0 будет одновременно
имеет единственное решение
решением
неравенства
2
2
ax  1  3a x  a  0.
3) неравенство
2 x 2  ax  1  a
 2.
x2  2 x  4
выполняется
4)
для любых х
5)
6)
7)
8)
9)
10)