Комплексная проводимость

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
1. Эквивалентное преобразование простых цепей постоянного тока
Приступая к расчету электрических цепей, необходимо иметь четкое представление о
схемах соединения (последовательное, параллельное, смешанное) как приемников, так и
источников электрической энергии. В ряде случаев приходится иметь дело и с более
сложными соединениями, к которым относятся многоугольники и звезды. Наиболее часто
встречаются соединения треугольником и трехлучевой звездой. При расчете электрических
цепей обычно пользуются законами Ома и Кирхгофа. Электрические цепи разделяются на
простые и сложные. К простым относятся цепи, состоящие только из последовательных,
параллельных или смешанных соединений нескольких приемников электрической энергии.
Расчет простых цепей проводится двумя методами: методом свертывания схемы
(определение входного или эквивалентного сопротивления) и методом пропорциональных
величин. При расчете сложных цепей используются метод непосредственного применения
законов Кирхгофа, методы контурных токов (ячеек), суперпозиции (наложения), узлового
напряжения (если в схеме имеется два узла) и эквивалентного генератора (для нахождения
тока в одной из ветвей схемы).
Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 1. Пусть известны величины
сопротивлений резисторов R1, R2, R3, R4, R5, R6, э.д.с. Е (аккумуляторная батарея) и ее
внутреннее сопротивление R0. Требуется определить токи на всех участках цепи.
Решение. Такие задачи решаются методом свертывания схемы. Так, резисторы R4 и R5
соединены последовательно и их эквивалентное сопротивление R4,5=R4+R5. Резисторы R4,5
и R6 соединены параллельно, следовательно, их эквивалентное сопротивление
R4,5,6 =
R 4,5  R6
.
R 4,5,6  R6
После произведенных преобразований цепь принимает вид, показанный на рис. 2,
эквивалентное сопротивление всей цепи найдем из уравнения
Rэкв = R0  R1 
1
R 2( R3  R 4,5,6)
.
R 2  R3  R 4,5,6
R1
E
R3
a
I1
R1
I3
I2
R4
R6
I4
R2
E
I1
I6
I3
I2
R0
R3
a
R2
R4,5,6
R0
R5
b
b
Рис. 1. Схема для расчета токов.
Рис. 2. Эквивалентная схема.
Ток I1 в неразветвленной части схемы определим по закону Ома:
I1 
E
.
Rэкв
Воспользовавшись схемой рис. 2, найдем токи I2 и I3:
I2 
Uab
Uab
; I3 
.
R2
R3  R 4,5,6
Согласно второму закону Кирхгофа Uab = E – (R0 + R1) I1.
Переходя к рис. 1, определяем токи I4, I5, I6:
I4  I5  I3
R6
R 4  R5
; I6  I3
.
R 4  R5  R 6
R 4  R5  R 6
Для проверки решения можно воспользоваться первым законом Кирхгофа и уравнением
баланса мощностей, которые для схемы, изображенной на рис. 1, примут вид:
I1 = I2 + I3; I3 = I4 + I6;
EI1  ( R0  R1) I 12  R 2 I 22  R3I 32  ( R 4  R5) I 42  R6 I 62 .
2
При расчете электрических цепей часто возникает необходимость в переходе от
трехлучевой звезды резисторов (рис. 3) к треугольнику резисторов (рис. 4) и обратно.
Это преобразование должно быть эквивалентным, т.е. сопротивления между точками
цепи 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1 должны быть соответственно одинаковыми в обоих видах соединении.
Рис. 3. Звезда резисторов
Рис. 4. Треугольник резисторов
Для схем рис. 3 и рис. 4 получаем:
R1 
R12  R31
R R
; R12  R1  R2  1 2
R3
R12  R23  R31
R2 
R23  R12
R R
; R23  R2  R3  2 3
R12  R23  R31
R1
R3 
R
R31  R23
; R31  R3  R1  31 .
R12  R23  R31
R2
3
2. Расчет параметров элементов в цепи синусоидального тока
Комплексный метод расчета цепей переменного тока
Тригонометрическая форма расчета электрических цепей практически применима только
для простейших цепей, не содержащих большого числа контуров и источников, поэтому
широкое применение получил алгебраический метод, позволяющий рассчитывать цепи
переменного тока аналогично цепям постоянного тока – комплексный метод (метод
комплексных амплитуд или символический метод).
Комплексное число, соответствующее точке, в которой лежит конец вектора (рис. 1),

может быть записано в следующих формах: алгебраической

А
А
= a1 + ja2; тригонометрической

= a(cosα + jsinα); показательной
А

= a·ejα и полярной (угловой)
А
= a·∟α,

где: a1 = a·cosα = Re[

А ] – действительная (вещественная) часть комплексного числа А ;

a2 = a·sinα = Im[ А ] – мнимая часть комплексного числа
j  1  e
j

А
;

2
– мнимая единица, или оператор поворота на
угол
Рис. 1. Изображение вектора на комплексной плоскости
π/2 = 90° (умножение на j сводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол π/2, а
умножение на
 je
a  a12  a22 
j

2
к повороту вектора на прямой угол по часовой стрелке);
a2
a
 1 – модуль комплексного числа (всегда положителен);
sin  cos 
4
  arctg
a2
– угол или аргумент комплексного числа.
a1
Показательная форма записи комплексного числа получается из формулы Эйлера:
cosα ± j·sinα = e±jα


A = a1 – ja2 = ae
Комплексное число
-jα
называется комплексно-сопряженным числу
А
= a1 +
ja2 = aejα . Произведение компексно-сопряженных чисел – число действительное, равное квадрату
их модуля:
 
А А  аe j  ae  j  a 2 .
Умножение комплексного числа aejα на число еjφ сводится к повороту вектора а в
комплексной плоскости на угол α + φ:
aejα · ejφ = aej(α+φ).
Сложение и вычитание комплексных чисел производится в алгебраической форме:

А

+
В
= (a1 + ja2) ± (b1+ jb2) = (a1±b1) + j(a2±b2).
Умножение и деление комплексных чисел может производиться в алгебраической и
показательной формах:


А·В
= (a1 + ja2)· (b1+ jb2) = (a1b1 – a2b2) + j (a2b1 + a1b2) = aejα · bejβ = abej(α+β) .

А

В



А В



В В
(a1  ja2 )  (b1  jb2 ) a1b1  a2 b2
a2 b1  a1b2 ae ja a j (   )


j
 j  e
.
(b1  jb2 )  (b1  jb2 )
b
b12  b22
b12  b22
be
Возведение в степень производится следующим образом:
(aejα)n = anejαn = an (cosαn + jsinαn).
Рассмотрим проекции вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой

скоростью ω вектора I m (рис. 2). Проекция на действительную ось – Im cosα. Проекция на
мнимую ось – jIm sinα.
5

Рис. 2. Проекции вращающегося вектора I m на
комплексную плоскость
Тогда согласно формуле Эйлера
Im ejα = Im cosα + jIm sinα.
Угол α может быть любым. Если α = ωt + ψ, где ψ – начальная фаза, то
Im ej(ωt+ψ) = Im cos (ωt + ψ) + jIm sin (ωt + ψ),
где: Im cos (ωt + ψ) – действительная часть комплексного числа;
jIm sin (ωt + ψ) – мнимая часть комплексного числа.
Для
единообразия
принято
на
комплексной
плоскости
изображать
векторы
синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени ωt = 0. Для этого


момента времени вектор Im ej(ωt+ψ) будет равен Im ejψ = I m , где I m – комплексная амплитуда
тока, модуль ее равен 1т, а угол α на комплексной плоскости равен начальной фазе ψ .
Аналогично можно записать для э.д.с. и напряжения:

E m  Em  e j

U m  U m  e j
Например, если ток, протекающий по цепи, равен i = 12sin (ωt + 30°)А, то в данном

случае Im = 12 А, ψ = 30º , следовательно, комплексная амплитуда тока I m = 12ej30º , а
комплекс тока (комплексный ток)
6
Закон Ома в комплексной форме записи

Комплексное сопротивление Z включено в цепь переменного тока с напряжением
U
(рис. 3). Точка над буквой Z не ставится, точку принято ставить над комплексными
величинами, которые представляют синусоидальные функции времени.
Ток в цепи определяется по закону Ома:




U
U
U
I 
 j ,
Z R  jX ze
где: R – активное сопротивление цепи;
X – реактивное сопротивление цепи, которое может быть индуктивным или емкостным;
z – модуль комплексного сопротивления;
φ – угол сдвига по фазе.
Рис. 3. Цепь переменного тока с комплексным сопротивлением Z
Комплексная проводимость
Под комплексной проводимостью Y понимают величину, обратную комплексному
сопротивлению Z:
Y 
1
1
R  jX
R  jX
R
X


 2
 2
j 2
 g  jb ,
2
2
Z R  jX ( R  jX )( R  jX ) R  X
R X
R  X2
7
R
– активная проводимость;
R  X2
где: g 
2
X
– реактивная проводимость цепи.
R  X2
b
2
Если X положительно, то и b положительно, при отрицательном X,
b
также
отрицательно.
Аналогично треугольнику сопротивлений строим треугольник проводимостей (рис. 4).
Треугольник проводимостей – графическая интерпретация связи между модулем полной
проводимости у и ее активной и реактивной составляющими:
y
g 2  b2 .
Рис. 4. Треугольник проводимостей
При использовании комплексной проводимости закон Ома записывается следующим
образом:


I =U ∙Y .
Анализ электрического состояния цепей синусоидального тока с
последовательным соединением элементов
Согласно второму закону Кирхгофа для цепи рис. 1 можно записать
u  u R  u L  u C  RI m sin t  LI m sin( t  90) 
 U mR sin t  U mL sin( t  90)  U mC sin( t  90)
8
Im
sin( t  90) 
C
Рис. 1. Цепь переменного тока с последовательным соединением R, L, С
Для действующих значений
U  U R2  (U L  UC )2  ( IR)2  ( IX L  IX C )2  I R2  ( X L  X C )2 ,
где: XL – XC = X – реактивное сопротивление цепи.
Ток в цепи определяется по закону Ома:
I 
U
R X
2
2

U
Z
или в комплексной форме записи:


U
I ,
Z

где: U – напряжение, приложенное к цепи;
Z – комплексное сопротивление цепи.
В данной цепи возможны следующие три варианта.
1. Индуктивное
сопротивление
больше
емкостного
XL
>
ХC
,
следовательно, UL > UC .

Векторная диаграмма для этого случая представлена на рис. 2, а. Вектор U C для



наглядности изображен рядом с вектором U L , в действительности U C компенсирует U L . Угол
  arctg


X
в данном случае положительный, вектор напряжения U опережает вектор тока I
R
на угол φ.
9
Рис. 2. Векторные диаграммы для цепи с последовательным соединением
R, L, C: a – XL > XC ; б – XL < XC ; в – XL = XC
2. Индуктивное
сопротивление
следовательно, UL < Uc (рис. 2, б),
меньше
емкостного
ХL
<
ХC,

угол φ отрицательный, вектор тока I опережает вектор

напряжения U на угол φ, по отношению к сети нагрузка является активно-емкостной.
3. Индуктивное сопротивление равно емкостному XL = Хс – условие резонанса
напряжений (рис. 2, в).
Реактивное сопротивление цепи X = XL – Хс = 0, полное сопротивление равно активному
Z = R. Ток в цепи определяется величиной активного сопротивления I 
U
и намного
R
превышает номинальное значение тока для данной цепи. Напряжения на реактивных
элементах равны UL= XL I = UC = Хс I и превышают в
X L XC

раз напряжение сети U=UR.
R
R
Угол сдвига фаз φ = 0, следовательно, cosφ = 1.
Активная мощность цепи равна полной Р = UIcosφ = UI = S,
а реактивная Q = UIsinφ = 0.
Резонансная частота последовательного колебательного контура f рез 
1
2 LC
зависит
от величины индуктивности L и емкости С.
Явление
резонанса
напряжений
широко
радиотехнических устройствах.
10
используют
в
различных
электро-
Анализ электрического состояния цепей синусоидального тока с параллельным
соединением элементов
Основной схемой соединения приемников переменного тока является параллельная
схема. На рис. 1 показано соединение двух приемников – катушки индуктивности и
конденсатора. Каждый приемник характеризуется активным и реактивным сопротивлениями.
Напряжение на приемниках одинаковое и равно сетевому U.
Анализ электрического состояния цепей с параллельным соединением приемников
производится следующими методами.
Рис. 1. Цепь переменного тока с параллельным соединением R, L, С
Комплексный метод
Токи в ветвях схемы определяются по закону Ома в комплексной форме записи:



U
U
I1 

R1  jX 1 Z 1



U
U
I2 

R2  jX 2 Z 2
где: X1 = 2πfL1 – реактивное (индуктивное) сопротивление первой ветви
Z1 – комплексное сопротивление 1-й ветви;
X2 
1
– реактивное (емкостное) сопротивление 2-й ветви;
2fC
Z2 – комплексное сопротивление второй ветви.
11
Ток в неразветвленной части цепи определяется по первому закону Кирхгофа в

комплексной форме записи


I  I1  I 2 .

Построение векторных диаграмм (рис. 2) начинаем с построения вектора напряжения U

, который откладываем по действительной оси. Далее откладываем токи

расчетными углами φ1 φ2, φ. Проекции токов
I1


I1 , I 2 , I
под

и
I2
на мнимую ось дают значения
реактивных составляющих Ip1 и Ip2. В последнем случае (рис. 2, в), когда Ip1 = Ip2 наступает
резонанс токов.
Рис. 2. Векторные диаграммы для цепи с параллельным соединением приемников:
а - Ip1> Ip2; б - Ip1< Ip2; в - Ip1 = Ip2
12
Метод проекций
На векторной диаграмме цепи (рис. 3) представлены активные и реактивные

составляющие токов


I1 , I 2
и
I
.
Рис. 3. Векторная диаграмма токов для цепи с параллельным
соединением приемников
Такое разделение на активные и реактивные составляющие условно, так как реально
невозможно разделить в катушке индуктивности активное сопротивление R и индуктивное XL,
а в конденсаторе – активное сопротивление R и емкостное XC.
Порядок расчета по методу проекций следующий.
Определяем токи в ветвях схемы
I1 
U
R12  X 12

U
; I2 
z1
U
R22  X 22

U
.
z2
Из треугольников сопротивлений
cos 1 
R2
X2
X
R1
; sin 1  1 ; cos  2 
; sin  2 
.
z2
z2
z1
z1
Определяем активные и реактивные составляющие токов ветвей:
I a1  I1  cos 1
I a 2  I 2 cos  2
Ток в неразветвленной части цепи:
13
;
I p1  I1  sin 1
I p 2  I 2 sin 2
.
I  ( I a1  I a 2 ) 2  ( I p1  I p 2 ) 2  I a2  I p2 ,
а угол   arctg
Ip
Ia
.
Метод проводимостей
Основан на соотношениях из треугольника проводимостей. Определяем активные и
реактивные проводимости ветвей схемы рис. 1:
g1 
R1
R1

R12  X 12 z12
X
X
b1  2 1 2  21
R1  X 1
z1
g2 
;
R2
R
 22
2
R  X2
z2
2
2
X
X
b1  2 1 2   21
R2  X 2
z2
.
Полная проводимость цепи:
y  ( g1  g 2 ) 2  (b1  b2 ) 2  g 2  b 2 .
где: g = g1 + g2 – активная проводимость цепи;
b = b1 + b2 – реактивная проводимость цепи.
Ток в неразветвленной части цепи I = U·у. Угол сдвига фаз между напряжением U и
током I:
  arctg
b
.
g
При равенстве реактивных проводимостей ветвей b1 = b2 наступает резонанс токов,
реактивная проводимость цепи в этом случае b = b1 – b2 = 0. Реактивная составляющая тока в
неразветвленной цепи IР = U·b = 0, ток
по фазе с
в неразветвленной части цепи I = Iа = U·g совпадает
напряжением U. Следует заметить, что токи в параллельных ветвях равны и
противоположны по фазе I1 = b1 · U = I2 = b2 · U, намного превышают ток I.
Резонансная частота параллельного колебательного контура:
f рез 
1
2 LC
14
L
 R12
C
L
 R22
C
В радиотехнике, где используется явление резонанса токов, величины R1 и R2 обычно
незначительны по сравнению с L и С, поэтому на высоких частотах
f рез 
1
2 LC
,
т.е. резонансная частота параллельного колебательного контура совпадает с резонансной
частотой последовательного колебательного контура.
При постоянной частоте f резонанс в цепи может получить изменением индуктивности L
или емкости С.
Резонанс токов находит также применение в промышленных энергетических установках
для повышения cosφ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Электротехника и электроника: Уч.
Пособие
для
вузов / Кононенко В.В.,
Мишкович В.И., Муханов В.В., Планидин В.Ф., Чеголин П.М.; под ред. Кононенко
В.В. –Ростов на Дону: Феникс, 2010. -752 с.
2. Практикум по электротехнике и электронике: Уч. Пособие для вузов / Кононенко
В.В., Мишкович В.И.,
Муханов В.В.,
Планидин В.Ф.,
Чеголин П.М.;
под ред.
Кононенко В.В. –Ростов на Дону: Феникс, 2007. -384 с.
3. Бондарь И.М. Электротехника и электроника: Учебное пособие.
Москва: ИКЦ
«МарТ»; Ростов на Дону: Изд. центр «МарТ», 2005. -336 с.
4. Гальперин М.В. Электротехника и электроника. – М.: Форум; Инфра-М, 2009. – 480 с.
5. Бондарь И.М. Электротехника и электроника. – Ростов-на-Дону: МарТ; Феникс, 2010.
– 340 с.
6. Бондарь И.М. Электротехника. – Ростов-на-Дону, РГСУ, 2010. – 87 с.
7. Савилов Г.В. Электротехника и электроника. Электронный учебник. –М.: Кнорус,
2010.
8. Рекус Г.Г. Основы электротехники и промышленной электроники в примерах и
задачах с решениями. – М.: Высшая школа, 2008. – 334 с.
9. Славинский А.К., Туревский И.С. Электротехника с основами электроники. – М.:
Форум; Инфра-М, 2009. – 448 с.
10. Жаворонков М.А., Кузин А.В. Электротехника и электроника. – М.: Академия, 2010.
– 400 с.
11. ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий.
12. СН-31-110-2003. Проектирование и монтаж электроустановок жилых и
общественных зданий.
13. Правила устройства электроустановок (ПУЭ), издание 7-е.
15