Что нужно знать.

Что нужно знать.
1. Основные геометрические факты:
a. Признаки равенства треугольников.
b. Признаки подобия треугольников, отношения площадей.
c. Где располагается центр описанной, вписанной окружностей в
треугольнике.
i. Особенно: где располагается центр описанной окружности
в прямоугольном треугольнике!
d. Факты про углы и параллельные прямые.
e. Факты углы и окружность:
i. Вписанный угол
ii. Угол между касательной и хордой
iii. Вписанный четырехугольник
f. Средняя линия: треугольник, трапеция.
2. Основные формулы:
a. Формулы площади треугольников (ВСЕ!):
𝑎ℎ𝑎 𝑎𝑏 sin 𝛾
,
2
2
, √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), 𝑝𝑟,
𝑎𝑏𝑐
4𝑅
b. Формулы площади трапеции, параллелограмма:
(𝑎+𝑏)ℎ
2
, 𝑎ℎ𝑎 ,
𝑑1 𝑑2 sin 𝛼
2
c. Теоремы: синусов, теорема косинусов, теорема Пифагора.
d. Биссектриса и отношение сторон.
e. «Степень точки» относительно окружности:
i. Теорема о хордах
ii. Теорема о секущей и касательной
iii. Теорема о секущих
iv. Равенство касательных
3. Негеометрические умения:
a. Уметь выражать sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼 через одно из них
Особенно: разобраться со знаками этих выражений.
b. Уметь выражать тригонометрические функции двойных и
половинчатых углов.
c. Уметь ПРАВИЛЬНО И С ПЕРВОЙ ПОПЫТКИ складывать и вычитать,
умножать, делить не сильно большие правильные дроби.
d. Иметь интуитивное мышление «ой, кажется я уже накосячил,
давайте ещё раз вернусь к предыдущему пункту и попытаюсь
ещё раз посчитать перепроверить, а не буду пытаться
продолжать дальше»
Многовариантность.
1. «Прямая проходит через вершину трапеции и …» - какую вершину?
2. «Точка делит сторону в отношении 1:3…» - с какой стороны?
3. «В равнобедренном треугольник со сторонами 3 и 4 на боковой
стороне…» - и что из этого боковая сторона, 3 или 4?
4. «Окружность радиуса 2 касается катета AB прямоугольного
треугольника ABC в точке B…» - где прямой угол? в какую сторону
касается?
5. «Ромб вписан в треугольник …» - точно единственным образом?
6. «Две окружности касаются…» - как, внешне, внутренне?
7. «Общая касательная…» - внешняя или внутренняя?
Мораль 1. – найдите сразу, где возможна многовариантность.
P.S> 3 балла – решение; 2 балла – 1 вариант; 1 балл – арифметический
косяк.
Мораль 2. Знаете, что не умеете считать? Не замахивайтесь на
многовариантность.
Задача 1
Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 600. Вторая окружность также
вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что
расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите MN.
Задача 2
Окружности радиусов 1 и 4 с центрами О1 и О2 соответственно касаются
внешним образом в точке С, АО1 и ВО2 - параллельные радиусы этих
окружностей, причем угол АО1О2 равен 600. Найдите АВ.
Задача 3
Радиусы окружностей с центрами О1 и О2 равны соответственно 2 и 9.
Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой
О1О2, если О1О2 =21.
Задача 4
Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия
трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите
радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.
Задача 5
Точка О - центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 14√3.
Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около
треугольников АОВ, COD и EOF.
Задача 6
Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника АВС
пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке Е.
Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую АС в
точке F, отличной от А. Найдите радиус окружности, описанной около
треугольника АВС, если АС=8, AF=3, угол ВАС равен 450 .
Домашнее задание
Задача 1. Окружность радиуса 6√2 вписана в прямой угол. Вторая
окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках М
и N.Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8.
Найти MN.
Задача 2. Угол С треугольника АВС равен 300, D - отличная от А точка
пересечения окружностей, построенных на сторонах АВ и АС как на
диаметрах. Известно, что BD:DC = 1:6. Найдите синус угла А.
Задача 3. В треугольнике АВС известны стороны АВ=7, ВС=8, АС=9.
Окружность, проходящая через точки А и С, пересекает прямые ВА и ВС
соответственно в точках К и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL
касается окружности, вписанной в треугольник АВС. Найдите длину отрезка
KL.
Задача 4. На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного
треугольника АВС с прямым углом С, взята точка Е, удаленная от вершины А
на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника ВСЕ, если ВС=6,
АС=4?
Задача 5. В параллелограмме ABCD 1 AB= 2, биссектрисы углов при стороне
AD делят сторону BC точками M и N так, что : BM MN = 1 :7. Найдите BC.
Задача 6. В окружности, радиус которой равен 5, проведена хорда 8 AB = .
Точка C лежит на хорде AB так, что : 1:2 AC BC = . Найдите радиус окружности,
касающейся данной окружности и касающейся хорды AB в точке C.
Задача 7. В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне
AD делят сторону ВС точками M и N так, что BM:MN = 1:7. Найти ВС.
Задача 8. Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного
треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать
окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой,
заключённый внутри треугольника, равен 20, а отношение боковой стороны
треугольника к его основанию равно
13
10
.