р-n-переходов - Северо-Кавказский горно

К.М. Датиев
ОСНОВЫ ФИЗИКИ КОНДЕНСИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ
Владикавказ 2015
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Северо-Кавказский горно-металлургический институт
(государственный технологический университет)
Кафедра электронных приборов
К.М. Датиев
ОСНОВЫ ФИЗИКИ КОНДЕНСИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ
Лабораторный практикум
Владикавказ 2015
621.385
Учебное пособие содержит лабораторные работы по исследованию
параметров полупроводниковых материалов и контактных явлений в
полупроводниках.
Содержание
1.Исследование температурной зависимости
электропроводности полупроводников
2. Исследование эффекта Холла
3. Определение параметров неосновных носителей заряда в
полупроводниках
4. Исследование выпрямительных свойств р-n-переходов
5. Исследование емкостных свойств р-n-переходов
Приложение 1. Параметры германия, кремния и арсенида галлия
Приложение 2 . Фундаментальные физические постоянные
1.Исследование температурной зависимости
электропроводности полупроводников
Целью работы является исследование температурной зависимости
электропроводности и определение из этих зависимостей ширины
запрещенной зоны исследуемого материала.
Введение
Физические явления, обусловленные движением носителей заряда под
действием внешних и внутренних полей, называются кинетическими
явлениями или явлениями переноса. К ним относятся электропроводность,
теплопроводность,
гальваномагнитные,
термомагнитные,
термоэлектрические явления. В настоящей работе исследуется электропроводность полупроводников.
Одним из методов теоретического описания кинетических эффектов
является метод кинетического уравнения Больцмана.
В состоянии термодинамического равновесия система описывается
 
равновесной функцией распределения f 0 r ,k , где r и k − радиус вектор и
волновой вектор частицы (например, электрона), соответственно. Под
действием внешних сил функция распределения меняется, и состояние


описывается неравновесной функцией распределения f0 r , k , t , зависящей
от времени t. В случае, если можно ввести понятие времени релаксации  ,
стационарное кинетическое уравнение Больцмана записывается следующим
образом:
 , , f   1  F , , f   f  f
k
0
,
(1.1)
где F — сила, обусловленная внешними макроскопическими полями,
1
  k E , где v — скорость частицы.
Решение его позволяет найти стационарную неравновесную функцию
распределения, если известны структура энергетических зон кристалла, т. е.

E k и характер внешних сил. Плотность тока, возникающего в результате
внешних воздействий, определяется неравновесной функцией распределения:
j
q
4 3 v3
 
v f r , k d k ,
(1.2)
где интегрирование ведется по зоне Бриллюэна. Аналогично можно
записать плотность потока энергии:
W
q
4 3 v3
 
Ev f r , k d k .
(1.3)
Если в полупроводнике имеются частицы разных сортов (например,
электроны и дырки), то нужно просуммировать токи и потоки, создаваемые
частицами каждого сорта. С помощью выражений (2) и (3) можно описать
все кинетические явления.
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
Для описания электропроводности необходимо знать связь между
плотностью тока j и полем  , вызывающим этот ток. При наличии в
полупроводнике носителей заряда двух сортов — электронов и дырок — для
плотности тока получаем:
 n n 
p  p  
j   q2
 q2
     ,

m
m
n
p


(1.4)
где   n  и   p  — усредненные по энергии времена релаксации
электронов и дырок, соответственно, mn и m p — эффективные массы
носителей заряда,  — электропроводность, п и р — концентрации
электронов и дырок.
Из (1.4) видно, что



   q2
p  p  
n n 
 q2
  qndn  qpdp ,
mn
m p 
(1.5)
где dn 
й  p 
q n 
и
— дрейфовые подвижности электронов и
mn
mp
дырок соответственно. Дрейфовая подвижность численно равна скорости
дрейфа в электрическом поле единичной напряженности.
Из (1.5) следует, что температурная зависимость проводимости определяется зависимостями п(Т) и  (Т).
Рассмотрим температурную зависимость концентрации носителей
заряда.
Концентрация электронов в с-зоне может быть найдена следующим
образом:

n
 f0  E  gn  E  dE  Nc F1/2 ( ),
(1.6)
Ec
где
—
f0
 2m 
g n  E   4  2n 
 h 
3/2
равновесная
функция
распределения,
  E  Ec  — плотность состояний в с-зоне для
параболической зоны;
1/2
 2 mn k0T 
Nc  2 

h2


состояний в с-зоне; F1/2   
2


3/2
— эффективная плотность
 1/2d 
 e   1 , —
интеграл
Ферми
с
0
индексом 1/2.
Для невырожденного электронного газа
F1/2   
Где  
2


 1/2d 

 e   1  e
,
(1.7)
0
F  Ec
− приведенный Уровень Ферми.
k0T
Тогда
n  Nce
F  Ec
k0T
(1.8)
Аналогично, для концентрации дырок в отсутствии вырождения легко
получить,
p  N ve
 2 m p k0T 
Где Nv  2 

h2


Fv  Ec
k0T
(1.9)
3/2
— эффективная плотность состояний в v-зоне.
Для нахождения уровня Ферми используется условие электронейтральности, по которому суммарный заряд всех заряженных частиц
кристалла должен быть равен нулю:
n   nai  p   paj ,
i
(1.10)
i
где nai — число электронов на i-ом акцепторном уровне, pdj — число дырок
на j-ом донорном уровне.
Рассмотрим, например, полупроводник, содержащий один сорт донорной примеси с концентрацией N d уровень которой расположен на
расстоянии Ed
ниже дна зоны проводимости Ec Решая уравнение
электронейтральности для этого случая, получаем следующий результат.
В области низких температур, когда уровень Ферми находится выше
донорного уровня, концентрация электронов в с-зоне при увеличении
температуры растет за счет ионизации примесных центров:
 Ed 
n  g 1N c N d exp  
,
 2k0T 
(1.11)
где g — фактор спинового вырождения.
В области средних температур, когда уровень Ферми находится ниже
донорного уровня, концентрация электронов в с-зоне остается постоянной,
так как примесь вся ионизована, а ионизация собственных атомов еще не
существенна:
n  Nd .
(1.12)
Наконец, в области высоких температур происходит ионизация собственных атомов полупроводника и
 Eg
n  p  ni  N c N v exp  
 2k0T

.

(1.13)
ni принято называть собственной концентрацией носителей заряда.
На рис. 1.1 приведена температурная зависимость концентрации носителей заряда для нескольких образцов с разной концентрацией примеси
N d 1  N d 2  N d 3  N d 5 . Поскольку в двух температурных областях
зависимость п(Т) носит экспоненциальный характер, эти кривые принято


строить в спрямляющих координатах lg n, 103 / T . Это дает возможность
Ed при низких и ширину
определить энергию ионизации примеси
запрещенной зоны Eg при высоких температурах. Действительно,
lg n  lg g 1N c N d 
Ed
lg e
2k0T
(1.14)
и
lg n  lg N c N v 
Тогда
Ed , Eg  0.4
Ed
lg e .
2k0T
  lg n 

 10
3
/T

 эВ.
Рисунок 1.1 − Зависимость концентрации электронов от температуры
(1.15)
Для более точного определения энергии, особенно энергии ионизации
примеси,
следует
учесть
температурную
зависимость
предэкспоненциального множителя и строить зависимость п(Т) в
координатах
n
n




3
3
 lg  3/4 ,10 / T  при низких температурах и  lg  3/2 ,10 / T  при
T
T




высоких температурах.
Уменьшение наклона прямой при возрастании концентрации примеси
при низких температурах обусловлено тем, что при достаточно высокой
концентрации примеси дискретный примесный уровень размывается в зону и
расстояние от верхнего уровня этой зоны до Ec уменьшается. Переход к
нулевому наклону свидетельствует о слиянии примесной зоны с зоной
проводимости. Это означает вырождение электронного газа в
полупроводнике.
Температурная зависимость подвижности определяется, очевидно,
температурной зависимостью времени релаксации, которая, в свою очередь,
зависит от конкретного механизма рассеяния носителей заряда. Наиболее
часто реализуются два вида рассеяния: на тепловых колебаниях решетки (для
атомных полупроводников — на акустических) и на ионизованной примеси.
Теоретическое рассмотрение дает зависимость
1 T 3/2 для рассеяния на акустических колебаниях решетки и
11 T 3/2 для рассеяния на ионизованной примеси. Если в кристалле
действуют оба механизма рассеяния, то
1

 AT 3/2  CT 3/2 ,
(1.16)
где А и С — не зависящие от температуры величины. На рис.1.2
приведена температурная зависимость подвижности, полученная при этих
предположениях. При низких температурах доминирует примесное
рассеяние, при высоких — тепловое.
При увеличении концентрации примеси подвижность становится
меньше в той области температур, где доминирует рассеяние на ионах
примеси.
Перейдем к рассмотрению температурной зависимости электропроводности. Видно, что в любом случае зависимость подвижности от тем-
пературы носит степенной характер. Поэтому из сравнения температурных
зависимостей концентрации и подвижности следует, что характер
зависимости  (T ) определяется подвижностью лишь в том случае, если
концентрация носителей заряда не зависит от температуры (в области
насыщенной примесной проводимости). В области же низких и высоких
температур, где концентрация экспоненциально меняется с температурой,
именно она определяет температурную зависимость электропроводности
(рис. 1.3).
Рисунок 1.2 − Температурная зависимость подвижности носителей зарядов при
N d1  N d 2
Рисунок 1.3 −
Зависимость концентрации и подвижности носителей заряда и проводимости от температуры
Экспоненциальная зависимость  (T ) позволяет определять Ed
в
области низких температур и Eg в области собственной проводимости
аналогично тому, как эти величины определяются из температурной
зависимости концентрации (см. формулу (1.15)). Отметим, что ввиду малых
значений Ed при определении этой величины желательно учитывать
температурные зависимости подвижности
множителя в выражении для концентрации.
и
предэкспоненциального
Методика эксперимента
Образец германия или кремния помещается в термостат, позволяющий
изменять температуру от комнатной до 100~150°C
В случае германия его контакт с оловом является омическим, поэтому
мо5кно не пользоваться зондовым методом измерения электропроводности, а
применить любой подходящий измеритель сопротивления.
Рисунок 1.4 − Схема экспериментальной установки
Контрольные вопросы
1. Что представляет собой энергетический спектр электронов в кристалле?
2. Различие металлов, полупроводников и диэлектриков с точки зрения
зонной теории.
3. Понятие о собственных и примесных полупроводниках.
4. Функция распределения электронов.
5. Понятие о плотности состояний и зависимости ее от энергии для разрешенных зон и примесных уровней.
6. Концентрация носителей, выраженная через уровень Ферми. Условие
электронейтральности.
7. Зависимость концентрации и положения уровня Ферми от температуры в
собственном полупроводнике. Условия равновесия электронов и дырок в
полупроводнике.
8. Зависимость концентрации и положения уровня Ферми от температуры
для полупроводника с одним типом примеси.
9. Рассчитать концентрацию основных и неосновных свободных носителей
в материале X при температуре Т, если уровень Ферми расположен на
расстоянии Е ниже Ec (X, Т и Е задаются преподавателем).
10. Электропроводность полупроводников. Понятие о подвижности
носителей.
11. Механизмы рассеяния. Зависимость подвижности и электропроводности
от температуры
ЗАДАНИЕ
1. Снять температурную зависимость сопротивления германия. Построить
графики в соответствующих координатах.
2. Из температурной зависимости сопротивления полупроводника определить ширину запрещенной зоны.
3. Полученные результаты сравнить с табличными значениями. Оценить
источники ошибок, которые могут привести к некорректному результату.
Порядок выполнения работы
1. Проверить измерительную схему.
2. Включить потенциометр и установить рабочий ток. Выждать 15-20 минут,
пока рабочий ток не стабилизируется.
3. Включить нагревательную спираль и добиться устойчивой разности
температур между спаями. Для измерения температур переключатели
должны быть поставлены в следующие положения: Пз — в "∞", П2 — в
Т,П\— поочередно в " T1 " и " T2 .
4. Несколько раз измерить VT
чтобы убедиться в воспроизводимости
результатов. Для измерения VT П 2 поставить в положение "VT ".
5. Измерить сопротивление образца, переключив П2 в “T” П3 — в “измер.
cопрот.”
6. Включить нагреватель термостата.
7. По мере нагревания образца измерить Т1, T2, VT и R. Реостат нагревателя
следует вводить постепенно для медленного повышения температуры в
термостате.
8. После достижения максимальной температуры выключить термостат и
снять зависимости сопротивления от температуры при охлаждении.
9. Построить соответствующие графики и произвести необходимые
расчеты.
Литература
1. Ю.А. Байков, В.М. Кузнецов “Физика конденсированного состояния” М,
Бином, 2011.
2. Г.И. Епифанов “Физика твёрдого тела” СП. б. Лань. 2009.
3. В.Л. Матухин, В.Л. Ермаков “ Физика твёрдого тела ” СП. б. Лань. 2009.
2. Исследование эффекта Холла
Целью работы является ознакомление с основными методами
измерения эффекта Холла и определение типа, концентрации и подвижности
носителей заряда в полупроводниковых образцах.
ВВЕДЕНИЕ
Эффект Холла заключается в следующем: если проводник, по которому
течет ток с плотностью j , поместить в однородное магнитное поле с
индукцией B , причем B  j , то в проводнике возникнет дополнительное
электрическое
поле
E,
направленное
перпендикулярно
плоскости,
содержащей векторы B и j . Данный эффект назван именем Холла,
открывшего его в 1879 году в тонких металлических фольгах. В настоящее
время эффект Холла стал одним из наиболее эффективных методов
исследования электрических свойств полупроводниковых материалов.
С практической точки зрения обычно представляют интерес две ситуации: первая — эффект Холла в слабом магнитном поле, вторая — в
сильном магнитном поле. Понятия сильного и слабого магнитного полей
можно определить следующим образом. Известно, что в однородном
магнитном поле заряженная частица движется по круговой траектории
радиуса r, ее ось параллельна вектору B . Поэтому под слабым полем
понимают такую величину магнитной индукции, при которой длина
свободного пробега электрона (или дырки)  много меньше r   r  . В
случае сильного магнитного поля соотношение становится обратным:  r .
Ситуацию, когда  и r сравнимы по порядку величины, трудно описать
количественно, и в экспериментах ее стараются избегать.
2.1. ЭФФЕКТ ХОЛЛА В СЛАБЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Рассмотрим однородный изотропный полупроводник в форме
параллелепипеда с концентрацией электронов n (концентрация дырок
пренебрежимо мала). Через него течет электрический ток с плотностью j .
Поместим наш образец в однородное магнитное поле, вектор магнитной
индукции B перпендикулярен вектору j (см. рис. 2.1). На электроны,
дрейфующие в электрическом поле E со скоростью V будет действовать
сила Лоренца F L  e V , B  . Поэтому дрейф электронов будет иметь
составляющую не только по оси “X” но и по оси “Z”. Это приведет к
накоплению электронов на нижней грани образца, а на верхней будет их
"дефицит"; в результате появится электрическое поле направленное вдоль
оси “Z”. Дрейф электронов вдоль оси “Z” будет продолжаться до тех пор,
пока возникшее электрическое поле не уравновесит силу Лоренца.
Рисунок 2.5 − Направление векторов E , B, j ,Vn , FL в полупроводниковом образце л-типа
при измерении эффекта Холла
Сделаем теперь количественное описание данного явления. Уравнение
движения электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях имеет
вид:
mdV dt  eE  e V , B 
(2.1)
или в скалярной форме (направления векторов показаны на рис. 2.1):
mdVx dt  eE x ,
mdVz dt  eE z  eVx By .
(2.2а)
(2.2б)
Поскольку сила Лоренца скомпенсирована силой, действующей на
электрон со стороны электрического поля вдоль оси "Z", то уравнение (2.2б)
будет иметь вид:
eEz  eVx B.
(2.3)
Проинтегрировав (2.2a), получим:
Vx  eExt m.
(2.4)
Но электрон в кристалле не может двигаться бесконечно долго без
столкновений. Можно показать, что ансамбль электронов в кристалле при
определенной температуре будет иметь среднее время свободного пробега
 t  , его принято называть временем релаксации и обозначать греческой
буквой  . Поскольку нас интересует средняя скорость Дрейфа, то вместо
(2.4) можем записать:
 Vx  eE n m   n E.
(2.5)
Величину n  e n m называют подвижностью носителей заряда;
подстрочные индексы "n" или "p" указывают на то, что данная величина
относится к электронам или дыркам соответственно. Из уравнения (2.5)
подвижность можно определить как скорость дрейфа носителей заряда в
электрическом поле единичной напряженности.
Запишем плотность электрического тока в виде:
jx  en  Vx  .
(2.6)
Подставив (2.5) в (2.6), получим:
jx  enn E   E ,
(2.7)
Где   enn — проводимость полупроводника. Выражение (2.7) есть
не что иное, как известный закон Ома.
Рассмотрим теперь уравнение (2.3). Из него мы можем определить напряженность электрического поля вдоль оси "Z". Используя (2.6), вместо
(2.3) получим:
Ez  Vx  B   jx B / (en).
(2.8)
Величина E z называется полем Холла. Таким образом, электрическое
поле (для нашей ориентации векторов) имеет компоненты
Ex и
cледовательно, полный вектор электрического поля
E  iEx  kEz
уже не будет совпадать по величине и направлению с первоначальным,
Ez
когда B  0 ; между ними будет угол  H , получивший название "угол
Холла". Для тангенса этого угла можно записать:
tg H  Ez / Ex
или
tg H   B / (en)   n B.
(2.9)
На практике удобнее измерять не напряженность электрического поля,
а соответствующую разность потенциалов (между точками А и В на рис.2.1),
которая называется ЭДС Холла:
U H  Ez d   jx Bd / (en).
(2.10)
Если выразить плотность тока через полный ток, протекающий в
образце
I  jx ad ,
то получим
U H   IB / (ena)  RH IB / a,
(2.11)
где RH  1 / (en) — постоянная Холла.
В случае полупроводника р-типа проводимости в уравнении (2.1)
следует изменить знак носителей заряда с “ e ”на “  e ”. Выполнив такие же
преобразования, как и для полупроводника n-типа, вместо формул(2.7), (2.8),
(2.9), (2.11) будем иметь:
(2.12)
jx  ep p E   E ,
Ez  jx B / (ep)   p B,
(2.13)
tg H   B / (ep)   p B,
(2.14)
U H  IB / (epa)  RH IB / a,
(2.15)
где р — концентрация дырок,  P — их подвижность RH  1 / (ep) −
постоянная Холла для дырочного полупроводника. Сопоставляя (2.11) и
(2.15), можно видеть, что по знаку ЭДС Холла можно определить э
эксперименте тип носителей заряда, а по величине RH − их концентрацию.
Кроме того, если возможно измерение и проводимости, и постоянной Холла,
то по ним определяют подвижность носителей:
 n ( p )   RH
(2.16)
Теперь рассмотрим ситуацию, когда в полупроводнике есть и
электроны, и дырки. Вместо уравнения (2.1) имеем два уравнения:
mdV n dt  eE  e V n , B  — для электронов,
mdV p dt  eE  e V p , B  —для дырок.
Проинтегрировав
подвижности, получим:
уравнения
(2.17),
(2.17)
используя
V n   n E  n2  E , B 
V p   p E   2p  E , B 
определение
(2.18)
,
Домножив первое уравнение на “ en ” а второе на “ en ”, получим
уравнения для электронного и дырочного токов:
j n  enn E  enn2  E , B  ,
(2.19)
j p  en p E  en 2p  E , B  ,
Таким образом, полный ток:
j  e(nn  p p ) E  e( p 2p  nn2 )  E , B  ,
(2.20)
или в скалярной форме:
jx  e(nn  p p ) Ex  e( p 2p  nn2 ) Ez By  j ,
j z  e( n n 
p p ) Ez  e( p 2p
 nn2 ) Ex Bx
 0.
(2.21)
Поскольку магнитное поле слабое, то второе слагаемое в первом
уравнении системы (2.21) много меньше первого. С учетом этого, решив
систему (2.21) относительно E z , получим:
Ez  RH jB,

RH  1 e  p p 2  nn 2

n n  p  p

2
.
(2.22)
Из (22) видно, что при n>>p RH  1  en  , , а при р>>n RH  1  en . В
случае собственного полупроводника, где n  p  ni

RH  1 eni   p  n
  n   p   1 eni  1  b  1  b  ,
(2.23)
где b  n  p . Согласно (2.23), RH  0 при b  1 (Т .е. n   p ) и RH  0
при b  1 (Т .е. n   p ) .
Выше мы полагали, что все носители заряда имеют одно и то же время
релаксации, иными словами — мы считали вероятность рассеяния не
зависящей от скорости движения. При строгом рассмотрении необходимо
учитывать распределение носителей по скоростям; следствием этого будет
зависимость времени релаксации электронов (дырок) от их кинетической
энергии. Описание кинетических явлений в ансамбле частиц при учете их
распределения по энергии обычно выполняют с помощью кинетического
уравнения Больцмана:
 2 h   E (k )  , f  E, t    2 h   U (r )  
k
r
k

f  E, t  
   f  E, t   f0  E     E  ,

здесь: E k
(2.24)
— энергия электрона (дырки) в зависимости от волнового
вектора k , f  E , t  — функция распределения в момент времени t  0 , f0  E 
    V —
— функция распределения в момент времени t  0 ,  2 h   k E k
скорость носителя заряда,
 2 h   rU  r    F
  
внешними макроскопическими полями U r
— сила, обусловленная
— потенциальная энергия
носителя заряда в этих внешних полях),  — время релаксации. Уравнение
Больцмана позволяет найти стационарную функцию распределения, если
известны структура энергетических зон и внешние поля. Следствием
рассмотрения эффекта Холла с помощью этого уравнения будет появление
множителя
r    2    2
в выражении для постоянной Холла:
RH  r  en  — для электронов,
RH  r  ep  — для дырок,

RH   r e  p 2p  nn2
  n
n
 p p

2
(2.25)
— для биполярной проводимости.
Здесь    — среднее время релаксации,   2  — средний квадрат
времени релаксации.
Соответственно, все полученные выше формулы, где есть множители
1  en  или 1  ep  верны с точностью до множителя r ; в частности, для
подвижности:
nH  r  en   r n ,
 pH  r  ep   r  p .
(2.26)
Поэтому подвижность, определяемую с помощью эффекта Холла,
называют холловской, в отличие от истинной (дрейфовой). Множитель r
получил название фактора Холла.
Поскольку r определяется временем релаксации  , то его величина
будет зависеть от механизмов рассеяния носителей заряда. Подсчитано, что
при рассеянии на акустических колебаниях кристаллической решетки
r  3 8  1.18,
а при рассеянии на примесных ионах
r  315 512  1.93 .
При низких температурах (для Ge Т < 250 К, для Si Т<100 К) обычно
доминирует рассеяние носителей на ионах примесей, а при высоких
температурах (для Ge и Si — в том числе и при комнатной температуре)
преобладает рассеяние на колебаниях решетки.
Если в кристалле преобладают упругие механизмы рассеяния, то Холлфактор имеет одинаковое значение для электронов и дырок.
2.2. ЭФФЕКТ ХОЛЛА В КЛАССИЧЕСКИ СИЛЬНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Перед обсуждением вопроса, вынесенного в заголовок данного раздела,
сделаем более точное определение сильного и слабого магнитного поля.
Поскольку       V  , то соотношение между длиной свободного
пробега    носителя заряда и радиусом его круговой орбиты в магнитном
поле можно заменить на следующее:
  2 c —для слабого поля,
  2 c — для сильного поля,
(2.27)
где  c — циклотронная частота (частота вращения носителя заряда по
круговой траектории в магнитном поле с индукцией В). Известно, что
c  eB m .
Подставив  c в (2.26), получим
c 2   B 2  1 — для слабого поля,
c 2   B 2  1. — для сильного поля.
Приведенное определение сильного и слабого полей является
классическим. Здесь не учитывается изменение энергетического спектра
электрона в магнитном поле.
Рассматривая движение носителей заряда в классически сильном
магнитном поле, можно показать, что в этом случае в кинетическом
уравнении (2.24) вместо времени релаксации появляется "эффективное"
время релаксации:


 эф   1   2c2 .
(2.28)
Отсюда видно, что в слабом поле  эф   , а в классически сильном поле
 эф   и в первом приближении перестает зависеть от скорости движения
носителя заряда, т. е. в классически сильном поле r=1. Таким образом, для
постоянной Холла и холловской подвижности получается:
RH  1  en  , RH  1  ep 
H  
Измерения эффекта Холла в классически сильных магнитных полях
дают возможность определять фактор r; для этого берут отношение
постоянных Холла RH , полученных для одного и того же образца в слабом и
сильном полях.
2.3. ИЗМЕРЕНИЯ ЭФФЕКТА ХОЛЛА
2.3.1. Измерения эффекта Холла и проводимости на образцах
прямоугольной формы
Простейший способ одновременного измерения эффекта Холла и
проводимости можно реализовать на полупроводниковых образцах
прямоугольной формы. В этом случае контакты располагают, как показано на
рис. 2.2. Контакты 1 и 2 служат для пропускания тока через образец, 3 и 4 —
для измерения ЭДС Холла, 4 и 5 — для измерения проводимости (подобно
тому, как это делается в четырехзондовом методе).
Для определения проводимости необходимо измерить величину тока,
проходящего через образец, и падение напряжения U 45 между зондами 4 и 5.
Тогда
   d45 S   I U 45  ,
(2.29)
где d 45 − расстояние между контактами 4 и 5, S –площадь сечения образца.
Рисунок 2. 2 − Размещение зондов на образце прямоугольной формы для
измерений проводимости и ЭДС Холла
При измерении ЭДС Холла, необходимо учитывать вклады
паразитных ЭДС, возникающих вследствие побочных гальваномагнитных и
термомагнитных эффектов, а также из-за неэквипотенциальности контактов 3
и 4 при нулевом магнитном поле. Напряжение между зондами 3 и 4 имеет
следующие составляющие:
U34  U H  U N  U E  U RL  U IR,
(2.30)
где U H − ЭДС Холла, U N − ЭДС Нернста, U E и U RL термоэдс,
возникающие благодаря эффектам Эттинсгаузена и Риги-Ледюка, U IR —
разность потенциалов, обусловленная неэквипотенциальностью контактов 3
и 4. Знак каждого из этих вкладов зависит от направления тока и магнитного
поля. Для разных комбинаций направлений тока и поля будем иметь:
 B,  I :
U 34  U H  U N  U E  U RL  U IR ,
 B,  I :
U 34  U H  U N  U E  U RL  U IR ,
 B,  I :
U 34  U H  U N  U E  U RL  U IR ,
 B,  I :
U 34   U H  U N  U E  U RL  U IR .
(2.31)
Из уравнений (2.31) получаем:

U H  U E  U 34   U 34   U 34   U 34 

4.
(2.32)
Обычно U H  U E , поэтому U E можно пренебречь. Таким образом, для
исключения побочных эффектов при каждом значении магнитного поля и
тока нужно произвести измерения при 4 различных комбинациях
направлений тока и магнитного поля. Для определения U H полученные
значения нужно брать с учетом знака. Теперь для постоянной Холла:
RH  aU H  IB  ,
(2.33)
а для холловской подвижности:
H  RH  ad45  BS  U H U 45 ,
здесь а — толщина образца.
2.3.2. Измерение проводимости и постоянной Холла на
полупроводниковых пластинах случайной формы (метод Ван-дер-Пау)
Ван-дер-Пау решил задачу об измерении электрического удельного
сопротивления и постоянной Холла для полупроводниковых пластин любой
геометрической формы. Предложенный им метод оказался прост в
реализации и потому получил широкое распространение. Суть его заключается в следующем. На периферии плоскопараллельной пластины
толщиной d (к ее торцам) закрепляются четыре контакта (см. рис. 2.3). Через
контакты 1 и 2 к образцу подводится ток I12 , а между контактами 3 и 4 будет
падение напряжения U 34 . Отношение этих величин будет иметь размерность
электрического сопротивления:
R12,34  U34 I12 .
(2.35)
Рисунок 2.3 − Размещение зондов на образце произвольной формы при измерениях
методом Ван-дер-Пау проводимости (а) и ЭДС Холле (б)
Теперь изменим схему измерений: пропустим ток между контактами 2
и 3, а напряжение измерим между контактами 1 и 4. В этой ситуации
аналогичная величина с размерностью сопротивления равна:
R23,14  U14 I 23
(2.36)
Ван-дер-Пау показал, что удельное сопротивление образца
определяется из соотношения:
exp   dR12,34    exp   dR23,14    1

(2.37)
Поскольку уравнение (2.37) является трансцендентным, то Ван-дер-Пау
предложил ввести коэффициент f зависящий от отношения R13,34 R23,14 (смтабл. 2.1). Это позволило ему выразить  в явном виде;
   d ln 2   R12,34  R23,14  f 2.
(2.38)
Значения f приведены в табл. 2.1, из которой видно, чтоf изменяется
незначительно, в то время как отношение R12,34 R23,14 меняется на несколько
порядков.
Таблица 2.1 – Значение коэффициента f и отношения R12,34 R23,14
f
R12,34 R23,14
1.0
1
0.94
2
0.81
5
0.69
10
0.59
20
0.46
50
0.40
100
0.34
200
0.29
500
0.25
1000
Для измерения постоянной Холла выбираются другие пары контактов
(конфигурация контактов близка к скрещенной): через 1 и 3 пропускается ток
I13 , а между 2 и 4 измеряется напряжение U 24 , Сопротивление, определяемое
по отношению этих величин
R13,24  U 24 I13
(2.39)
изменится на величину R13,24 , если перпендикулярно плоскости
пластины включить однородное магнитное поле B . Можно показать [7], что
постоянная Холла в этом случае будет равна:
(2.40)
RH  R13,24 d B .

Таблица 2.2 – Значение коэффициентов L x10
4
 

, первый столбец и k x10 4 , второй столбец для случая размещения зондов
как на рисунке 2.4 (прямоугольные образцы)
b/l
a/l
1.0
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
1.0 2206 10000 3488 10000 5044 10000 5611 10000 5785 10000 5836 10000 5851 10000 5854 10000 5856 10000
1.2 1295 10000 2203 9390
3499 8652
4094 8304
4323 8165
4406 8120
4436 8095
4446 8088
4450 8091
1.6 0730 10000 1265 8652
2.0 0699 10000 0998 8304
2.4 0564 10000 0912 8165
2118 7014
1608 6163
1399 5746
2594 6163
1954 5000
1654 4384
2829 5746
2141 4384
1790 3631
2939 5550
2242 4060
1869 3211
2990 5459
2296 3889
1915 2974
3013 5418
2325 3798
1943 2837
3024 5399
2341 3750
1960 2758
2.8 0554 10000 0883 8120
1309 5550
1504 4060
1600 3211
1655 2723
1690 2434
1713 2259
1720 2152
3.0 0553
1285
1460
1539
1584
1612
1632
1654
3.2
0877
8095
5459
3839
2974
2434
2106
1901
1771
2.3.3. Модифицированный метод Ван-дер-Пау (для
планарного размещения зондов)
При измерении эффекта Холла методом Ван-дер-Пау в тонких
полупроводниковых слоях возникают трудности с установкой зондов. В связи с этим данный метод был модифицирован так, чтобы было возможно
планарное размещение контактов, т. е. на поверхности исследуемого слоя
или образца (один из таких вариантов для образца в форме параллелепипеда
приведен на рис. 2.4 и используется в настоящей работе).
При измерении проводимости ток I подводится через зонды 1 и 4, а
разность потенциалов измеряют между зондами 2 и 3. Проводимость для
этой конфигурации контактов подсчитывают по формуле:
(2.41)
 14,23  LI14 U 23d  ,
где L — поправочный множитель, учитывающий геометрию образца
(см. табл. 2.2). Затем геометрию измерений меняют: через зонды 1 и 2
пропускают ток, а между другой парой (3 и 4) определяют падение напряжения. Из полученных данных находят 12,34 . Истинную проводимость
  1  находят по формуле:
   14,23   12,34  2.
(2.42)
При определении постоянной Холла ток I подводится через зонды 1 и
3, между другой парой контактов (2 и 4) измеряют падение напряжения. Для
этой конфигурации контактов постоянная Холла равна:
28
RH 13,24  U 24d
 BI13k  ,
(2.43)
Где U 24 — изменение напряжения между зондами 2 и 4 после включения
магнитного поля, k— поправочный множитель, учитывающий геометрию
образца и конфигурацию зондов (см. табл. 2.2). Затем повторяют измерения,
изменив назначение контактов: через 2 и 4 подают ток I 24 , а с 1 и 3 снимают
разность напряжений U13 . По этим данным определяют RH 24,13 . Истинная
постоянная Холла находится как среднее арифметическое RH 13,24 и RH 24,13 :
RH   RH 13,24  RH 24,13  2
(2.44)
При электрических измерениях на полупроводниковых образцах
обычно сталкиваются с проблемой учета контактной разности потенциалов и
других паразитных ЭДС. Точный расчет поправок возможен здесь лишь для
простейших случаев. Для исключения (или значительного уменьшения)
вклада контактных потенциалов в измеряемые напряжения до недавнего
времени применяли компенсационные методы измерений (к измерительным
зондам подключался внешний источник напряжения так, чтобы полностью
компенсировать измеряемую разность потенциалов). Последнее время для
этих целей используют электрометрические
цифровые
вольтметры
(входное сопротивление R  109 Ом  см ). В обоих случаях создаются
условия, когда можно пренебречь протеканием тока через зонды, между
которыми измеряется напряжение, и, следовательно, пренебречь падением
напряжения на контактах. Ошибки, связанные с медленно меняющимися во
времени помехами, удается значительно уменьшить, если проводить
измерения при разных направлениях тока. В ошибку при определении
постоянной Холла дает вклад и несимметричное размещение зондов.
Исключить его можно, выполняя измерения при двух (противоположных)
направлениях магнитного поля. Таким образом, для точного определения
проводимости и постоянной Холла при каждом значении тока необходимо
сделать четыре измерения для  и восемь для RH , а полученные данные
усреднить.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем состоит суть явления, получившего название "эффект Холла"?
Какие величины характеризуют этот эффект?
2. Что означают термины сильное магнитное поле, слабое магнитное поле?
29
3. Используя уравнения движения для носителей заряда, получите связь
между током, протекающим через образец, и ЭДС Холла.
4. Подсчитайте величину падения напряжения в результате протекания тока
через образец германия n- или p-типа проводимости и ЭДС Холла,
сравните их (численные значения тока, магнитной индукции,
концентрации носителей и их подвижности задает преподаватель). Форма
образца — куб с ребром 1 см, расположение контактов и ориентация
векторов j и B такие же, как на рис.2.1.
5. Каким образом механизмы рассеяния влияют на величину постоянной
Холла?
6. Используя уравнения движения для носителей заряда, покажите, что в
случае биполярной проводимости при наличии магнитного поля и
электроны, и дырки будут накапливаться на одной и той же грани образца.
Выведите формулу для постоянной Холла в случае биполярной
проводимости.
7. Качественно нарисуйте и объясните температурные зависимости постоянной Холла в области примесной и собственной проводимости в
полупроводниках n- и p-типа проводимости.
8. Какие особенности имеет эффект Холла в классически сильных магнитных
полях?
9. В чем заключается метод Ван-дер*Пау для измерения проводимости и
постоянной Холла?
1.
2.
3.
4.
ЗАДАНИЕ
Измерьте проводимость полупроводниковых образцов при нескольких
значениях тока (количество образцов определяет преподаватель).
Для тех же образцов при тех же значениях тока измерьте ЭДС Холла и
определите постоянную Холла при нескольких значениях магнитной
индукции. Покажите, что в пределах экспериментальной ошибки
постоянная Холла не зависит от величины тока и магнитной индукции.
Из полученных данных определите концентрацию носителей, их тип и
холловскую подвижность. Экспериментальное значение подвижности
сравните с известными в литературе.
Используя результаты данной работы и лабораторной работы
"Температурная зависимость термоэдс в полупроводниках", определите
30
для образца германия эффективную плотность состояний в зоне
проводимости N c при комнатной температуре (или в валентной зоне для
образца p-типа — N v ) и эффективную массу электронов проводимости
(дырок).
Литература
1. Ю.А. Байков, В.М. Кузнецов “Физика конденсированного состояния” М,
Бином, 2011.
2. Г.И. Епифанов “Физика твёрдого тела” СП. б. Лань. 2009.
3. В.Л. Матухин, В.Л. Ермаков “ Физика твёрдого тела ” СП. б. Лань. 2009.
31
3. Определение параметров неосновных носителей заряда в
полупроводниках
Целью работы является экспериментальное определение подвижности,
времени жизни и длины диффузии неосновных носителей заряда в германии.
2.1. Теоретическая часть
В проводниках всякое нарушение нейтральности, т. е. появление
нeскомпенсированных объемных зарядов и электрических полей, приводит к
появлению токов, направленных так, чтобы восстановить нейтральность.
Рассмотрим следующий пример. Пусть в некоторую область
полупроводника с дырочной проводимостью вводятся каким-либо способом
электроны (неосновные носители). Тогда возникающее отступление от
нейтральности в этой области может ликвидироваться двумя путями: 1) за
счет "выталкивания" из рассматриваемой области носителей того же знака (т.
е. электронов), 2) за счет "втягивания" в эту область носителей
противоположного знака (дырок). Поскольку дырок в рассматриваемом
случае значительно больше, чем электронов, то, очевидно, что нейтральность
восстанавливается преимущественно вторым путем.
Из сказанного следует, что диффузия или дрейф неосновных носителей
будет происходить в условиях, когда заряд неосновных носителей быстро
компенсируется таким перераспределением заряда основных носителей, при
котором последние входят в область, где есть избыточные неосновные
носители. Очевидно, что для полной компенсации число добавочных
основных носителей должно быть равным числу избыточных неосновных.
Оказывается, при достаточно большой концентрации основных носителей их
перераспределение и восстановление нейтральности будут происходить
очень легко и весьма малое время.
 
Действительно, введенный заряд  r,0 порождает электрическое поле
 
 
E r,t , которое связано с  r,t уравнением Пуассона:
divE 

 0 .
32
(3.1)
Электрическое поле E вызывает ток проводимости j E   E уравнения
непрерывности:
(3.2)
следует



 div E   divE  

,
t
 0
m
(3.3)
где
m 
 0

(4)
максвелловское время релаксации. Из уравнения (3) следует, что кинетика
перераспределения заряда описывается соотношением:
   

t 

 m 
 r,t   r,0 exp  
(5)
При  = 10,  = 10 См м 1 получаем  m  10 11 c .
Таким образом, в результате действия проводимости объемный заряд,
введенный в полупроводник, Существует в среднем в течение времени  m .
Отсюда вытекает очень важный вывод: если создать в полупроводнике
избыточную концентрацию основных носителей заряда, то объемный заряд и
избыточная проводимость исчезнут в среднем через  m . Если создать
избыточную концентрацию неосновных носителей заряда, то благодаря
релаксации Максвелла их объемный заряд будет скомпенсирован основными
носителями заряда через  m , а избыточная концентрация неосновных и
основных носителей будет существовать в течение времени жизни
неосновных носителей заряда.
33
Рисунок 3.1− Схема освещения образца
Область 3 освещается, области 1 и 2 находятся в темноте
Рассмотрим достаточно длинный образец полупроводника (рисунок
3.1), часть которого от x = 0 до x =  x0 равномерно освещается светом,
повышающим концентрацию неосновных носителей заряда в этой области.
Напишем уравнение непрерывности для носителей:
n
jn
n
 div  g 
t
q
n
jp
p
p
 div
g
t
q
p
,
(3.6)
где n  n0  n , p  p0  p ,  n и  p — времена жизни электронов и дырок
соответственно, g — скорость генерации носителей: g = 0 в областях 1 и 2 и
g = const  0 в области 3.
Величину плотности тока можно выразить через кинетические коэффициенты. В изотермических условиях в отсутствии магнитного поля

j n  q 2n n F*   n E  nnF* ,
mn
(3.7)
где  n —усредненное время релаксации. Для невырожденных полупроводников квазиуровень Ферми можно выразить через n:
Fn*  Ec  k0T ln
откуда
34
n
,
Nc
(3.8)
F*  k0T
n
.
n
(3.9)
Следовательно, с учетом отрицательного знака подвижности электронов
j n   n E  k0T nn  j En  j Dn .
(3.10)
Величина j Dn называется диффузионным током. С другой стороны,
j Dn  qDnn ,
(3.11)
где Dn — коэффициент диффузии электронов, Сравнивая j Dn из (3.10) и
(3.11), получим соотношение Эйнштейна:
kT
Dn  0 n .
q
(3.12)
kT
Dp  0  p
q
(3.13)
Аналогично для дырок:
и
j p   p E  k0T  pp .
(3.14)
После подстановки (3.10) и (3.14) в (3.6) и учитывая, что  p  q p p и
 n  qn n , получим в одномерном случае:

2

n
,
n  Dn
n  n E n  g 
2
t

x

x
n
(3.15)

2

p
p  D p
p   p E p  g 
.
t
x
p
x 2
(3.16)
Если электропроводность полупроводника достаточно велика и
n n0, p p0 , то в первом приближении можно считать, что внутреннее
поле отсутствует, и в каждой точке полупроводника:
35
n  p .
(3.17)
В этом случае элерон и дырка характеризуются одинаковым временем



жизни  .
Тогда
для
стационарных условий  n  p  0  ,
t
 t

умножив (3.15) на  p , а (3.16) – на  n и сложив оба уравнения, получим:
D p n  Dn p  2
n p   p n 
p

p 
E p  g 
0.
2
n  p




x

x
n
p
(3.18)
В этом уравнении коэффициент
D
D p n  Dn p
n  p

n0  p 0
k T n  p0
 0  0
n0
p
q n0  p 0
 0
D p Dn
 p n
(3.19)
называется коэффициентом амбиполярной диффузии, а коэффициент
E 
n p   p n
n  p

p0  n0
n0 p0

p
(3.20)
n
называется
амбиполярной
дрейфовой
подвижностью.
Используя
соотношение Эйнштейна и (3.19), можно ввести амбиполярную
диффузионную подвижность:
n  p0
D  0
.
n0
p

(3.21)
p0
n
В случае примесного полупроводника, например, когда n0
p0 ,
получаем
D  Dp ,
D  E   p ,
36
(3.22)
т.е. диффузия и дрейф полностью определяются неосновными носителями (в
данном случае дырками).
В собственном полупроводнике n0=p0 и
D2
k T  p n
2 0 
,
Dn  D p
q  p  n
Dn D p
D 
 p n
 p  n
,
(3.23)
E  0
В этих условиях дрейф в электрическом поле отсутствует, а диффузия
определяется коэффициентом, зависящим от коэффициентов диффузии
носителей обоих знаков.
Итак, перепишем (3.18) с учётом (3.19) и (3.20):
D
2
x 2
p   E E

p
p  g 
0.
x

(3.24)
Введя L  D - эффективную длину диффузионного смещения и
lE   E E - длину дрейфового смещения, уравнения (3.24) представим в виде
d2
l d
p g
p  e
p 

0.
2
2 dx
2
2
dx
L
L
L
(3.25)
Решение уравнения (3.25) выглядит следующим образом:
для области 1(+∞>x≥0)
p  g
 x0  
 x
 x
l1 
1

exp

    exp     const  exp    ;
l1  l2 
 l1  
 l1 
 l1 
(3.26)
для области 2 (-∞ <x≤-x0)
p  g
x
x
l2   x0  
exp    1 exp    const  exp   ;
l1  l2   l2  
 l2 
 l2 
для области 3 (-x0≤x≤0)
37
(3.27)
p   g

 x  x 
 x  
l1 
 

; l1 1  exp   0

l
1

exp



    ,
2
l1  l2 
l1  

 l2   

 

(3.28)
где
l1 
l2 
2L2
lE2  4L2  lE
2L2
lE2  4L2  lE
.
(3.29)
.
(3.30)
Таким образом, в области тени (1 и 2) концентрация неосновных носителей спадает по экспоненциальному закону, причем величины l1 и l2
играют роль коэффициентов пространственного затухания в условиях
одновременного существования диффузии и дрейфа.
Рисунок 3.2 − Распределение концентрации неравновесных носителей в отсутствии
(кривая I ) и при наличии поля (кривая 2)
38
В отсутствии поля l1  l2  L  D . В противоположном случае, когда
L
в движении носителей определяющую роль играет дрейф, т.е. lE
получаем:
l1  lE   E E ,
(3.32)
kT
L2
D
l2 

 0 .
lE  E E qE
(3.33)
Из сопоставпения (3.32) и (3.33) видно, что в то время как в области 1,
куда поле "затягивает" неосновные носители, с ростом поля они распространяются на все больший объем, в области 2, наоборот, с ростом поля этот
объем уменьшается (рисунок 3.2).
Своеобразие поведения неосновных носителей, диффузия которых
происходит как диффузия нейтральных частиц, а дрейф в электрическом
поле - как дрейф заряженных частиц (не приводящий, однако, к появлению
объемного заряда), позволяет использовать ряд эффективных методов
исследования полупроводников и определения их важных параметров.
3.2. Методика эксперимента
Суть метода определения параметров неосвоенных носителей заряда
состоит в создании тем или иным способом локальной избыточной
концентрации неосвоенных носителей в образце полупроводника и в
исследовании их движения с помощью коллекторного зонда,
расположенного на некотором расстоянии от места введения неосновных
носителей.
В данной работе локальная избыточная концентрация дырок в образце
германия n — типа создается путем фотоинжекции в результате освещения
небольшого участка образца. Измерительная схема представлена на рис. 3.3.
Тонкий образец n — Ge, к торцам которого припаяны оловом два
проводника, укрепляется в кристаллодержателе. К образцу прижимается
коллекторный зонд из фосфористой бронзы или вольфрама (такой зонд
образует выпрямляющий контакт с германием и может улавливать неосновные носители, появляющиеся вблизи него). Для;лучшего собирания
неосновных носителей с помощью батареи Б1 на зонд подается небольшое (12 В) обратное смещение. Генерация неосновных носителей производится
световым зондом - узкой полоской сфокусированного с помощью
39
микроскопа света от источника S. Световой зонд должен иметь вид полоски,
параллельной торцам образца. Модулятор М предназначен для модуляции
светового потока.
Рисунок 3.3 − Измерительная схема: / — генератор прямоугольных импульсов, 2 —
осциллограф, 3 — вольтметр для измерения переменного напряжения, V, — импульсный
вольтметр, V2— вольтметр для измерения постоянного напряжения, S\ —* батарейный
источник (1 -2 6), Б$ — батарейный источник (2-3 В), Mi — магазин сопротивлений, М модулятор
Определение дрейфовой подвижности
Торцевые выводы образца через переключатель П1 соединяются с
генератором П-импульсов* который создает в образце импульсное напряжение Vимп , заставляющее созданные светом дырки дрейфовать к
коллектору. Генератор позволяет регулировать амплитуду и длительность
импульсов. Частота следования импульсов, во избежание нагревания
образца, не должна превышать 300 имп./с. Амплитуда импульсов измеряется
импульсным вольтметром V1. Инжектированные светом дырки, достигнув
коллектора, улавливаются им и увеличивают ток в цепи. Если коллектор
непосредственно соединить с осциллографом, то на экране осциллографа
должна возникнуть картина, показанная на рис. 4а. Пик на плоской вершине
импульса соответствует вхождению дырок в коллектор. Расстояние от пика
до переднего фронта импульса равно времени дрейфа дырок от светового
зонда до коллектора. Дрейфовая скорость дырок
Vd  x
td
40
  p E,
(3.34)
где х— расстояние между коллектором и световым зондом, а напряженность
поля
V
E  имп
,
(3.35)
d0 x
.
Vимпtd
(3.36)
d0
где d0— длина образца. Отсюда
p 
Практически удобнее и точнее определять время td подав импульс на
осциллограф после прохождения RC — цепочки. Если постоянная времени
RC — цепочки примерно равна длительности импульса, то импульс
коллектора приобретает вид, показанный на рис. 46. Установив
определенную длительность импульса, изменением х или Vимп нужно
добиться смещения точки А в точку В. Тогда td равно установленной
длительности импульса генератора.
Определение времени жизни
В образце создается постоянное тянущее поле от батареи Б2 ( 1,5В).
Напряжение на образце можно изменять с помощью магазина сопротивлений
М1 и измерять вольтметром V2. Переменный ток коллектора, проходя по
сопротивлению R3, создает на нем переменное напряжениеV , которое
измеряется вольтметром 3. Ток коллектора является линейной функцией
концентрации дырок в сечении образца, на котором установлен коллектор.
Проходя расстояние d1 до коллектора, дырки рекомбинируют с
электронами, в результате чего их концентрация по мере удаления от
светового пятна уменьшается в соответствии с (3.26) и вблизи коллектора
 t

p  p0 exp  d  .
p

(3.37)
Соответственно, ток коллектора:

ik  ik0 exp  d  p
и переменный сигнал на нагрузке:
41

(3.38)
 t 

xd0 
V  V0 exp   d   V0 exp  
.
 p 
  pV p 




(3.39)
Измерив зависимость V  td  , можно определить  p . Изменять td
можно двумя способами: меняя V= при постоянном значении х или меняя х
при V==const. В обоих случаях, построив зависимость lgV  f 1 V  или
lgV  f  x  , по наклону полученной прямой можно определить  p :
d lg e
x
p  0

,
 pV  lgV
(3.40)
 1 V 
d x
 p  0 lg e 
,
p
 lgV
(3.41)
или
Определение длины диффузии
В отсутствии тянущего поля дырки из освещенной области полупроводника будут уходить только благодаря диффузии. Поэтому:
или
p  p0 exp   x L  ,
V  V0exp   x L  ,
Измерив зависимость V
 x
(3.42)
и построив кривую в полулогарифми-
ческих координатах, по наклону полученной прямой можно определить
двину диффузии L:
L
x
lg e.
 lgV
42
(3.43)
Контрольные вопросы
1. Опишите процессы, происходящие при локальном введении в полупроводник неравновесных неосновных носителей.
2. Опишите процессы, происходящие при локальном введении в полупроводник неравновесных основных носителей.
3. Выведите уравнение движения пакета неравновесных носителей заряда.
4. Чем определяется направление и скорость движения пакета неравновесных
носителей заряда?
5. С какой скоростью будет дрейфовать пакет неравновесных носителей в
собственном полупроводнике?
6. Нарисуйте распределение концентрации неравновесных носителей в
отсутствии и при наличии тянущего поля.
7. Выведите соотношение Эйнштейна.
8. В чем состоит идея метода экспериментального определения параметров
неосновных носителей?
9. Как экспериментально определить дрейфовую подвижность неосновных
носителей?
10. Как экспериментально определить время жизни неосновных носителей
заряда?
11. Как экспериментально определить длину диффузии неосновных
носителей заряда?
12. Что представляет собой экспериментальная установка?
Задание
1. Определить подвижность неосновных носителей заряда.
2. Снять зависимости переменного сигнала V от расстояния между зондами
х при V  const и V от напряжения смещения V= при x=const. Проверить
справедливость соотношения (3.39) в обоих случаях и определить время
жизни.
3. Снять зависимость V от х в отсутствии поля, проверить справедливость
соотношения (3.42) и определить длину диффузии.
4. Проверить выполнимость соотношения Эйнштейна (12).
Рисунок 3.4 – Осциллограммы коллекторного тока:
а – исходного вида , б-сле прохождения RC
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Определение дрейфовой подвижности
1. Включить освещение, проверить фокусировку света и ориентацию
Световой полоски относительно образца.
2. Переключатели П1 и П2 поставить в правое положение.
3. Включить необходимые приборы, предварительно ознакомившись с
инструкциями к ним.
4. Совместить световой и коллекторный зонды и произвести начальный
отсчет по нониусу на предметном столике (х1).
5. Сместить образец в сторону так, чтобы коллектор оказался в тени в той
стороне образца, куда должны дрейфовать неосновные носители (дырки).
Получить на экране осциллографа нужную картину (рис. 46).
6. Изменением Vимп или х точку А на осциллограмме типа, приведенного на
рис. 46, перевести в точку В, после чего произвести второй отсчет по
нониусу ( х2). Измерить амплитуду импульса.
7. Подобные измерения произвести 3-4 раза, рассчитать подвижность
носителей.
44
Определение времени жизни
1. Переключатели П1 и П2 поставить в левое положение.
2. Включить необходимые приборы.
3. Совместить световой и коллекторный зонды и произвести начальный
отсчет по нониусу ( х1).
4. С помощью магазина М1 установить определенное тянущее поле (около
1В).
5. Передвигая образец с коллектором относительно светового зонда так,
чтобы коллектор смещался относительно света в сторону движения
неосновных носителей, снять зависимость величины V от положения
коллектора (х2).
6. Проверить справедливость соотношения (3.39), построив график V
 x в
соответствующих координатах. Воспользовавшись найденным ранее
значением подвижности, определить время жизни в соответствии с (3.40).
7. Зафиксировав положение коллектора (x2), меняя тянущее напряжение
магазином М1, снять зависимость V V  .
8. Проверить справедливость (3.39), построив график V V  в соответствующих координатах. Воспользовавшись найденным ранее значением подвижности, определить время жизни в соответствии с (3.41).
Определение длины диффузии
1. Выключить ключом К тянущее напряжение, снять зависимость переменного сигнала V от положения зонда.
2. Проверить справедливость выражения (3.42), построив зависимость V
 x
в соответствующих координатах. Определить из графика длину диффузии.
3. Воспользовавшись найденными значениями подвижности, времени жизни
и длины диффузии, проверить выполнимость соотношения Эйнштейна.
4. Объяснить полученные результаты.
45
Литература
1. Ю.А. Байков, В.М. Кузнецов “Физика конденсированного состояния” М,
Бином, 2011.
2. Г.И. Епифанов “Физика твёрдого тела” СП. б. Лань. 2009.
3. В.Л. Матухин, В.Л. Ермаков “ Физика твёрдого тела ” СП. б. Лань. 2009.
46
4. Исследование выпрямительных свойств р-n-переходов
Целью работы является исследование вольт-амперных характеристик
германиевого и кремниевого выпрямительных плоскостных диодов при
различных
температурах,
экспериментальная
проверка
основных
закономерностей теории выпрямления р-n-перехода , определение ширины
запрещенной зоны.
Введение
Основой большинства полупроводниковых диодов является р-nпереход, который представляет собой переходный слой меду двумя
областями полупроводника с разной электропроводимостью и в котором
существует диффузное электрическое поле.
Рассмотрим р-n-переход с однородным распределением примесей в ри n-областях, называемый резким р-n-переходом. Из-за наличия градиента
концентрации носителей заряда возникает их диффузия в области с
противоположным типом электропроводимости: электроны перемещаются из
n-области в р-область, а дырки - в обратном направлении. В результате
диффузии носителей заряда нарушается электрическая нейтральность
примыкающих к границе раздела частей полупроводника. В р-области,
вследствие ухода из нее дырок, остается нескомпенсированной
отрицательный заряд ионов акцепторной примеси, а в n-области нескомпенсированный положительный заряд ионов донорной примеси.
Образующаяся при этом обедненная свободными носителями область
двойного объемного заряда называется запирающим слоем. Ширина этого
слоя зависит от концентрации примесей - чем больше концентрация, тем
тоньше слой объемного заряда. Наличие объемного заряда в приконтактной
области вызывает появление электрического поля, направленного от nобласти в р-области и называемого диффузным. Это поле препятствует
дальнейшей диффузии основных носителей заряда через границу раздела,
однако вызывает ток неосновных носителей, который направлен
противоположно диффузионному току. В состоянии термодинамического
равновесия результирующий ток через переход равен нулю и между р- и nобластями перехода устанавливается некоторая разность потенциалов,
которую называют контактной
47
0 
kT Pp0 kT nn0 kT Pp0 nn0
ln

ln

ln
,
q
Pn0
q n p0
q
ni2
(4.1)
где Pp , nn - концентрации основных, а n p , Pn - концентрации неосновных
0
0
0
0
kT
-тепловой потенциал.
q
носителей заряда в равновесном состоянии,
Распределение концентрации примесей и носителей тока, плотности
объемного заряда, электрического поля, потенциала и энергетическая
диаграмма р-n-перехода приведены на рис.4.1.
Если к p-n-переходу приложено внешнее напряжение, то
термодинамическое равновесие нарушается и сумма токов, протекающих
через него, уже не остается равной нулю.
При подаче прямого напряжения (к р-области подключен
положительный полюс источника) высота потенциального барьера
понижается, что приводит к резкому возрастанию диффузного тока основных
носителей заряда, который растет экспоненциально с уменьшением высоты
потенциального барьера, т.е. с ростом приложенного внешнего напряжения.
При подаче обратного напряжения (минус источника подключен к робласти) увеличивается высота потенциального барьера, диффузионный ток
также резко падает, переход основных носителей через границу раздела
становится практически невозможным. Ток в этом случае обусловлен только
неосновными носителями, а поскольку число этих носителей относительно
невелико, то и обратный ток через переход будет невелик по сравнению с
прямыми токами. Таким образом, р-n-переход обладает несимметричной
вольтамперной характеристикой.
 qU

I  I S  e kT  1 ,




(4.2)
Выражение для ВАХ р-n-перехода имеет вид
где I S - ток насыщения, определяемый физическими свойствами
полупроводника, из которого изготовлен р-n-переход;
U - приложенное к p-n-переходу напряжение.
48
С увеличением температуры прямые токи выпрямительных диодов
растут вследствие уменьшения высоты потенциального барьера и
перераспределения носителей заряда по энергиям.
Наряду с током насыщения, обусловленного генерацией носителей вне
области перехода, через обратносмещенный р-n-переход может протекать
ток, связанный с генерацией в р-n-переходе. Отличительной особенностью
этого тока (Ig) является зависимость его от напряжения. Поскольку ширина
перехода увеличивается с ростом напряжения, то возрастает и ток генерации.
С увеличением температуры обратные токи выпрямительных диодов растут
вследствие увеличения тепловой генерации носителей заряда как в р-nпереходе (Ig), так и в прилегающих к нему областях полупроводника (Is).
Структурные схемы установок для исследований
Исследование прямой ветви ВАХ диода проводят с помощью схемы,
приведенной на рис.1.2 а, где G1 - генератор постоянного напряжения для
установки прямого тока через диод, РА1 - миллиамперметр для измерения
прямого тока диода, PU1 - вольтметр для измерения напряжения на диоде.
Исследование обратной ветви ВАХ диода проводят с помощью схемы,
приведенной на рис.1.2 б, где G2 - регулируемый генератор напряжения,
прикладываемого к диоду, PU2 - вольтметр для измерения обратного
напряжения, РА2 - микроамперметр для измерения обратного тока диода.
Порядок проведения исследований, обработки
экспериментальных результатов и расчет параметров
1. Снять ВАХ диодов типа Д7, Д223 в интервале температур от
комнатной до 80С через каждые 10С, интервал изменения прямого тока от
0 до максимально возможного через 5 мА, интервал изменения обратного
напряжения от 0 до 15 В через 1-2 В.
2. Начертить ВАХ германиевого диода при разных температурах на
одном графике. То же самое сделать для кремниевого диода на другом
графике.
3. Определить напряжение отсечки при комнатной температуре и
построить по ним энергетические диаграммы р-n-переходов.
4. Зная диаметр р-n-перехода, по экспериментальной величине тока
насыщения оценить удельное сопротивление германия n-типа, найти
49
контактную разность потенциалов и сопоставить полученный результат с
п.3.3.
5. Определить дифференциальное сопротивление диода и построить
1
зависимость Rд  f   .
I
6. Для германиевого диода рассчитать прямую ветвь ВАХ, зная ток
насыщения, и нанести на график рядом с экспериментально снятой.
7. Для кремниевого диода построить зависимость
lg Iобр  f lg U 
при комнатной температуре и записать в общем виде зависимость
I обр  f U 
1
lg I обр  f   для
германиевого
и
T 
 1В . По наклону полученных прямых
8. Построить зависимости
кремниевого диодов при U обр
оценить величину энергии активации.
9. Рассчитать величину тока насыщения для германиевого диода при
комнатной
температуре.
Сравнить
полученный
результат
с
экспериментальным значением обратного тока и объяснить причину
расхождения.
Требования к отчету
Отчет должен содержать:
1. Схему лабораторной установки.
2. Результаты исследований в виде таблиц и графиков в соответствии с п.3.
3. Формулы, по которым проводились расчеты, и примеры расчетов по
пунктам 4,6,7,8,9.
4. Выводы по работе.
Контрольные вопросы
1. Чем обусловлена асимметричная проводимость р-n-перехода?
2. Чем определяется контактная разность потенциалов? Как она изменяется с
увеличением степени легирования р-n-областей перехода?
3. Объясните температурную зависимость контактной разности потенциалов.
50
4. Почему с ростом обратного напряжения ток насыщения остается
неизменным?
5. Как и почему изменяется ток насыщения с температурой? Как он зависит
от ширины запрещенной зоны, степени легирования?
6. Как изменяется с понижением температуры доля тока насыщения в
обратном токе через р-n-переход?
7. В чем отличие ВАХ реального диода от ВАХ р-n-перехода?
8. Почему с увеличением температуры ухудшаются выпрямительные
свойства диода?
9. Почему у кремниевых диодов не бывает насыщения тока при обратном
смещении?
10. Почему кремниевый диод может работать при более высоких
температурах, чем германиевый?
11. Какие физические процессы происходят в выпрямительных диодах при
прямом и обратном напряжениях?
12. Почему в цепях схем исследования прямых и обратных ветвей ВАХ
диода амперметры и вольтметры включены по разному?
13. Чем отличаются ВАХ диодов с толстой и тонкой базами?
14. Почему по распределению неосновных носителей заряда в базе диода
можно судить о величине плотности тока через диод?
15. Как влияет процесс рекомендации носителей в р-n-переходе диода на
его ВАХ?
Литература
1. Ю.А. Байков, В.М. Кузнецов “Физика конденсированного состояния” М,
Бином, 2011.
2. Г.И. Епифанов “Физика твёрдого тела” СП. б. Лань. 2009.
3. В.Л. Матухин, В.Л. Ермаков “ Физика твёрдого тела ” СП. б. Лань. 2009.
4. В.В. Пасынков, Чиркин Л.К. Полупроводниковые приборы. ВШ, М., 2014
51
5. Исследование емкостных свойств
р-n-переходов
Целью работы является изучение емкостных свойств p-n-перехода,
проявляющихся при приложении к нему переменного сигнала, а также
выяснение влияния на емкостные свойства режима работы р-n-перехода по
постоянному напряжению.
В вводной части работы рассматриваются основные положения теории,
описывающей емкостные свойства р-n-перехода. В практической части
работы осваиваются измерение емкости р-n-перехода с помощью метода
емкостно-омического делителя, определение концентрации примесей в
слаболегированной области или градиента концентрации в области перехода.
Введение
В зависимости от закона изменения концентрации примеси в
пограничной области между двумя полупроводниками с различным типом
проводимости различают резкие или ступенчатые переходы (рис.5.1, 5.2) и
большое разнообразие плавных, которые в ряде случаев могут считаться
линейными, т.е. переходами, в области объемного заряда которых
концентрация примеси меняется по линейному закону (рис.5.3). В принципе
можно не только представить себе, но и в ряде случаев практически
осуществить значительно более сложные профили изменения концентрации
примеси, чем и занимается физика и техника полупроводниковых приборов,
называемых варикапами.
Однако при всем многообразии различных видов р-n-переходов можно
отметить общее, присущее всем р-n-переходам свойство: в области
объемного заряда, как правило, пренебрежимо мала концентрация
подвижных носителей заряда - электронов и дырок (см.рис.5.1).
Во всяком случае относительно легко выделить те области слоя
пространственного заряда, где концентрация электронов и дырок
пренебрежимо мала (см.рис.5.2). Исследование структуры слоя объемного
заряда проводится с помощью уравнения Пуассона. В настоящей работе
подробности этого анализа опускаются. Отметим, однако, наиболее важные
предпосылки и итоги анализа.
52
Рисунок 5.1− Резкий p-n- переход : а - структура, б - распределение примеси и
концентрации подвижных носителей, в, г - распределение плотности объемного заряда
(реальное и идеализация), д - распределение потенциала, е – распределение
напряженности электрического поля
53
Рисунок5.2 − Распределение концентрации подвижных носителей (а) и плотности
объемного заряда (б) в резком несимметричном p+-n- переходе (сплошные линии) при U=0
и пунктирные линии (обратное смещение при U<0 )
1. Чаще всего рассматривается область объемного заряда, полностью
лишенная подвижных носителей заряда. Соответствующая модель
называется моделью истощенного слоя.
2. Поскольку область объемного заряда представляет собой
своеобразный диполь, то на этом диполе электростатический потенциал
имеет скачок на величину контактной разности потенциалов к.
3. Поскольку предположили, что область объемного заряда не
содержит подвижных носителей заряда, то в первом приближении
проводимость ее равна нулю и, следовательно, все приложенное извне
напряжение прикладывается к слою объемного заряда, т.е. скачок
54
электростатического потенциала при приложении внешнего смещения
меняется и становится равным (к  U) (рис.5.4).
4. Модель истощенного соля р-n-перехода позволяет вычислить
конечную толщину слоя объемного заряда, которая зависит как от закона
изменения примеси в переходном слое, так и от внешнего напряжения
(рис.5.5). Например, толщина слоя объемного заряда резкого р-n-перехода
определяется по формуле

2 0 ( N A  N D )
( k  U ) .
qN A N D
(5.1)
В частном случае, при NА >>ND (или наоборот ND>>NA) из
соотношения (5.1) можно формальным путем получить выражение для
толщины слоя объемного заряда резкого несимметричного (обозначаемого
р+-n-перехода, соответственно n+-р) перехода
n   
2 0
( k  U ) .
qN D
(5.2)
Сравнивая выражения (5.1) - (5.3), можно отметить, что в случае
резкого р-n-перехода имеет место более сильная зависимость толщины слоя
объемного заряда от внешнего напряжения, чем в случае линейного закона
распределения примесей.
Рисунок5.3 − Распределение концентрации примеси и плотности объемного заряда
в плавном p-n-переходе, образованном при диффузии акцепторов в электронный
проводник.
55
Рисунок5.4 − Изменение толщины слоя объеного заряда и потенциального барьера
при приложении внешнего напряжения к p-n- переходу
Физическая же причина, объясняющая факт зависимости  = f(U),
является общей для всех видов р-n-переходов и заключается в том, что под
действием внешнего напряжения подвижные носители либо отсасываются из
пограничной части области объемного заряда (тогда обнажаются новые слои
нескомпенсированных доноров или акцепторов) и толщина слоя объемного
заряда возрастает (обратное смещение U<0), либо подвижные носители,
наоборот, направляются внутрь области объемного заряда, компенсируют
определенное количество зарядов примеси и толщина слоя объемного заряда
уменьшается (прямое смещение U>0) (см.рис.5.4).
Рисунок 5.5 − Схема протекания тока смещения в области объемного
заряда p-n- перехода
Как указано выше, в модели истощенного слоя предполагается, что
внутри слоя объемного заряда нет подвижных носителей заряда. В этом
56
смысле область объемного заряда р-n-перехода аналогична области
диэлектрика между обкладками конденсатора.
Как известно при подведении к конденсатору переменного напряжения
в цепи потечет переменный ток. Этот ток, связанный с непрерывной
перезарядкой конденсатора, называется током смещения и математически
описывается формулой
jcм   0
E
.
t
(5.4)
В проводниках, подводящих напряжение к конденсатору, протекает
обычный ток проводимости, который связан с движением электронов,
"откачиваемых" с одной из пластин конденсатора и направляющихся к
другой.
Для плоского конденсатора электрическое поле Е постоянно и
равно
E = U/d ,
(5.5)
где d - расстояние между пластинами.
Подставляя выражение (5.5) в (5.4), находим
jcм 
 0 U
U
;

C
d t
t
(5.6)
здесь С - емкость плоского конденсатора.
Аналогичным способом обстоит дело и в р-n-переходе. При
приложении переменного напряжения к р-n-переходу в цепи потечет
переменный ток. В первом приближении мы пренебрегаем движением
подвижных носителей над потенциальным барьером (это движение связано с
протеканием тока проводимости), а рассматриваем только ток смещения,
определяемый формулой (5.4) В данном случае в отличие от плоского
конденсатора поле Е зависит от координаты, и это не позволяет
автоматически перейти от формулы (5.4) к формуле (5.6). Однако простое
соображение показывает, что несмотря на то, что Е непостоянно в области
объемного заряда, ток смещения остается постоянным во всей цепи области
объемного заряда, так как общий ток во всей цепи постоянен, а внутри
области объемного заряда нет другого тока, кроме тока смещения. В этом
случае ток смещения может быть записан в виде
57
jcм 
 0 U
.

 (U ) t
(5.7)
Так же, как и в случае плоского конденсатора, коэффициент
пропорциональности обозначается как
 0
.
(5.8)
С
 (U )
Эту емкость называют зарядной (барьерной) емкостью р-n-перехода.
(Поскольку мы рассматриваем плотность тока смещения, то и емкость мы
получили на единицу площади). Во внешней цепи протекает ток
проводимости
j
Q
.
t
(5.9)
Сравнивая этот ток с током смещения, находим
C
Q
Q
.
 lim
 t U 0 U
(5.10)
Заметим, что заряд Q - есть либо заряд электронов, которые
содержатся в слое толщиной n, либо равный ему заряд дырок, которые
содержатся в слое толщиной р. Поэтому формула (5.10) может быть
записана в виде
qN D  n

 qN D n .
U  0
U
U
С  lim
(5.11)
Подставляя в формулу (5.11) выражение для n (5.2), можно получить
ту же самую формулу для емкости, которую получили раньше и которую
часто записывают в виде
 0qN D
.
(5.12)
Сб .р езк 
2(  k  U )
Для ступенчатого р-n-перехода с небольшой разницей NA и ND емкость
определяется как
Сб .р езк 
 0 qN A N D
.
2( N A  N D )( k  U )
58
(5.13)
Для резкого несимметричного р-n-перехода часто используется
формула
Cб . резк 
 0
,,
2 n  n (k  U )
(5.14)
где n - подвижность электронов,
n - удельное сопротивление.
Для р-n-перехода с линейным законом распределения примеси
зарядная емкость может быть представлена формулой
Cб . лин  3
( 0 ) 2 q
.
12(k  U )
(5.15)
Как было указано выше, два случая законов распределения
концентрации примеси в области объемного заряда - ступенчатое и линейное
распределение, не исчерпывают всех возможных случаев и сами по себе
являются идеализациями. Специальными методами могут быть
осуществлены другие профили распределения примесей. Интересным
представляется случай обратного градиента концентрации примеси, когда по
мере увеличения толщины запирающего слоя концентрация примесей у его
границ уменьшается. Такие р-n-переходы называются сверхрезкими потому,
что для них характерно еще более резкое уменьшение емкости с ростом
обратного напряжения, чем для резкого р-n-перехода (такие переходы
используются для создания варикапов с высоким коэффициентом
перекрытия, который представляет собой отношение максимальной и
минимальной емкостей варикапа, соответствующих минимальному и
максимальному приложенным напряжениям).
Рассмотрим, что могло бы дать экспериментальное исследование
зависимости барьерной емкости от напряжения. По своему существу
расчетные формулы (5.12-5.15) могут быть использованы лишь при обратных
смещениях, поскольку при их выводе предполагалось, что через слой
объемного заряда протекает только ток смещения и не протекает ток
проводимости.
Перепишем выражения (5.13) и (5.15) в виде:
С б .р езк 
59
B1
к U
,
(5.16)
С б . линк 
B2
3
к U
,
(5.17)
Логарифмируя эти выражения, получаем:
1
lqCб .р ез  lqB1  lq(  k  U ) ,
2
(5.18)
1
lqCб . лин  lqB2  lq(  k  U ) .
3
(5.19)
Таким образом, построение экспериментальной вольтфарадной
характеристики в логарифмическом масштабе позволяет сделать вывод (по
тангенсу угла наклона) о том, является переход резким или линейным.
Рисукок5.6 − Зависимость C=f(U) , построенная в логарифмическом масштабе для
резкого и плавного p-n- переходов
Строго говоря, для построения графика в логарифмическом масштабе
необходимо знать контактную разность потенциалов. Однако, как правило,
к лежит в пределах 0,3-0,6 В, в то время как эксперимент проводится при
напряжениях
/U/>2В,
поэтому
при
построении
графика
lqCба р  f [lq(  k  U )] величиной к можно пренебречь. Дальнейшая
обработка экспериментальной зависимости позволяет определить величину
к. Действительно, перепишем формулы (5.16) и (5.17) в виде:
1
 В1 2 (  k  U ) ,
2
Сба р
60
(5.20)
1
 В2 3 (  k  U ) ,
3
Сба р
где В1 2 
(5.20)
12
2( N A  N D ) В  3 
,
,
2
3
S q(  0 ) 2 а
S 2q 0 N A N D
S - площадь перехода.
Рисунок 5.7 − Зависимость С -2 = f(U) для резкого p-n- перехода.
Построение вольфарадной характеристики в координатах Сбар-2 = f(U)
для резкого перехода (рис.5.7) позволяет по тангенсу угла наклона
определить концентрацию одной из примесей, если известна другая (для р +n-перехода сразу определяется концентрация ND, для n+-р-концентрация NA),
а построение характеристики в координатах Сбар-3 = f(U) для линейного
перехода позволяет определить градиент концентрации а. Кроме того,
аппроксимация прямолинейного графика до пересечения с осью абсцисс дает
напряжение отсечки, равное контактной разности потенциалов как для
резкого, так и для линейного переходов. Если закон распределения
концентрации примеси более сложный, то исследование вольтфарадной
характеристики позволяет определить профиль распределения концентрации
примеси. Часто решается и обратная задача, т.е. необходимо заранее
выяснить, какой закон распределения концентрации примеси должен иметь
место, чтобы получить требуемый закон изменения емкости от напряжения.
В заключении отметим, что барьерная емкость, исследованием
которой мы занимались, не единственная емкость, определяющая реактивные
свойства р-n-перехода. При смещениях р-n-перехода в прямом направлении,
кроме емкостного эффекта, обусловленного протеканием тока смещения в
области объемного заряда, возникает другой емкостной эффект,
описываемый с помощью так называемой диффузионной емкости, связанной
61
с явлением инжекции. Протекание прямого тока через переход
сопровождается попаданием неосновных носителей заряда - дырок в nобласть, а электронов в р-область. Процесс введения неосновных носителей
заряда называется инжекцией. Принципиальной особенностью поведения
инжектированных носителей заряда является их сравнительно большое время
жизни до рекомбинации с основными носителями заряда.
Если в течение времени жизни носителей напряжение на
переходе изменить с прямого (при котором происходит инжекция) на
обратное, то инжектированные носители заряда могут быть вновь
возвращены через переход в ту область, из которой они пришли. Этот
процесс называется экстракцией носителей заряда.
Чем больше прямой ток через переход, тем больше
инжектируется носителей заряда, следовательно, тем большее их количество
может быть экстрагировано при изменении полярности напряжения и
пройдет в виде импульса тока во внешней цепи.
Рисунок5.8 − Схема измерения емкости p-n- перехода методом емкостно омического делителя: а - включение диода в схему, б - эквивалентная схема перехода.
Описанные процессы аналогичны заряду и разряду конденсатора
некоторой емкости. Обусловленная инжекцией неосновных носителей заряда
емкость перехода называется диффузионной.
Из соотношения для вольтамперной характеристики р-n-перехода
I  Sq(
Pn0 D p
Lp

n р 0 Dn
Ln
)( e
qU
kT
 1)  I 0 ( e
qU
kT
 1)
(5.22)
можно сделать вывод, что доля р тока, переносимого одним типом
носителей заряда (например, дырками), по отношению к полному току равна
62
p 
Ip
I p  In

1
1
(5.23)
 p Lp
 n Ln
(студентам предлагается самим вывести это соотношение).
Величина р называется коэффициентом инжекции. Если выполняется
условие p << n , то р  1. Это означает, что полный инжектированный заряд
почти целиком образуется дырочной составляющей тока. При этих условиях
выражение вольтамперной характеристики принимает вид
I  Sq
qU
( e kT
Lp Pn0
p
 1)  I0
qU
( e kT
 1) .
(5.24)
Используя соотношение для избыточной концентрации неосновных
носителей заряда (дырок или электронов) на границе от приложенного к
переходу внешнего напряжения
p n  p n0 ( e
n p  n p0
qU
kT
qU
( e kT
 1) ,
(5.25)
 1) ,
можно сделать вывод о том, что величина SqLp pn0
(5.26)
qU
( e kT
 1) в выражении (5.24)
представляет полный заряд Qр, образуемый инжектированными дырками в nобласти. Ток через переход будет равен
I
Qp
p
.
(5.27)
Из соотношения (5.27) легко получить выражение для дифузионной
емкости перехода
Сдиф 
dQ p
dU
 p
q
dI
  p ( I  I0 )
.
dU
kT
(5.28)
Как видим, величина диффузионной емкости пропорциональна току
через переход. Она становится малой, когда на переход подано обратное
напряжение, т.е. при I  -I0 . В этом случае основную роль играет барьерная
63
емкость перехода Сбар. Наоборот, при больших прямых токах емкость
перехода определяется величиной диффузионной емкости Сдиф, которая
значительно превышает барьерную. Например, если р = 5 мкс, I = 10 мА, то
Сдиф = 2 мкф. Такие значения на несколько порядков превосходят величину
барьерной емкости. Диффузионная емкость зависит от частоты переменного
сигнала; эта зависимость особенно заметна на частотах, соизмеримых с
временем жизни неосновных носителей в базе диода.
Барьерная емкость остается постоянной вплоть до частот,
определяемых максвелловским временем релаксации    0 , величина
которого в зависимости от удельного сопротивления  обычно лежит в
пределах 10-11 - 10-15 с. Поэтому в диапазоне частот от низких до частоты
диэлектрической релаксации материала f  
1 , т.е. до 1011- 1015 Гц
2 0
барьерная емкость практически не зависит от частоты. Однако этот вывод
справедлив лишь в том случае, если в слое объемного заряда нет примесных
центров с глубокими уровнями, в противном случае наблюдается частотная
зависимость барьерной емкости, обусловленная инерционностью процесса
заряда и разряда этих глубоких центров.
Методика измерений и измерительная аппаратура
Измерение барьерной емкости р-n-перехода представляет собой более
сложную задачу по сравнению с аналогичными измерениями емкости
конденсаторов, поскольку барьерная емкость меняется нелинейно в
зависимости от положения рабочей точки (величины внешнего
приложенного напряжения). Поэтому точность измерения барьерной емкости
определяется точностью задания рабочей точки, в которой измеряется
емкость, и точностью измерения переменного напряжения, при помощи
которого осуществляется это измерение.
Величина относительной погрешности измерения емкости в
зависимости от источника задания рабочей точки равна:
для диодов с резким переходом
1С(U )
1 U ;
(5.30)

C(U )
2 U  k
для диодов с плавным переходом
1С(U )
1 U
.

C(U )
3 U  k
64
(5.31)
Погрешность, вызываемая конечной величиной переменного сигнала,
определяется соотношением
 2С(U )
U m2
,

C(U )
(U   k )2
(5.30)
где Um - амплитуда переменного напряжения,
U - напряжение смещения, при котором измеряется емкость.
Из выражений (5.30-5.32) следует, что для уменьшения погрешности
измерения емкости точность установки заданной рабочей точки должна быть
не ниже чем 2-1,5 %, амплитуда переменного сигнала при смещении на диоде
менее 1 В не должна превышать 50 мВ. При напряжении смещения больше 1
В амплитуда переменного напряжения может быть увеличена, но не должна
превышать 2 % от величины смещения.
В практике измерения емкости полупроводниковых приборов
наибольшее распространение получили метод емкостно-омического
делителя, резонансный метод и мостовые схемы измерения. При всех
методах измерения определяют суммарную емкость корпуса и перехода
Сд = Ск + Сn .
В данной работе для измерения барьерной емкости р-n-перехода
применяется метод емкостно-омического делителя. Схема включения диода
при измерении емкости этим методом показывает, что если частота
измерения выбрана таким образом, что ток в цепи определяется реактивным
сопротивлением емкости (рис. 5.8.)
Хс 
1
,
2fC Д
то напряжение на резисторе Rн будет пропорционально величине емкости Сд.
Действительно,
Uн 
Rн
Rн  x с
 U вх , при хс >> Rн ,
U н  2fRнU вх C Д , откуда
СД 
где Uн - напряжение на резисторе Rн,
Uвн - входное напряжение.
65
Uн
,
2fRнU вх
(5.33)
Установив вместо измеряемого диода эталонный конденсатор, можно
отградуировать вольтметр, измеряющий напряжение на нагрузке Rн в
единицах емкости. Значение измеряемой емкости при этом методе измерения
определяется из соотношения
С Д  СЭ
UД
UЭ
,
(5.34)
где Сэ - величина емкости эталонного конденсатора,
Uэ - напряжение на резисторе Rн при включении эталонного
конденсатора,
Uд - напряжение на резисторе Rн при включении измеряемой емкости.
Частоту f, на которой производится измерение емкости диода,
внутреннее сопротивление генератора Ri и сопротивление нагрузки Rн
выбирают исходя из следующих условий:
f 
1
2C Д R Д
Ri  Rн 
С
2( С ДД )1
1
4fC Д
(
,
С Д
С Д )2
(5.35)
,
(5.36)
где (Сд/Сд)1 - допустимая относительная погрешность, обусловленная
шунтированием измеряемой емкости сопротивлением Rд запертого перехода;
(Сд/Сд)2 - допустимая относительная погрешность, обусловленная тем, что
сумма сопротивления Ri и Rн соизмерима с реактивным сопротивлением
измеряемой емкости на частоте f.
Емкость СВЧ диодов, имеющих невысокое дифференциальное
сопротивление при обратном смещении, необходимо измерять на частотах
50-180 мГц. Емкость других типов полупроводниковых приборов измеряют
обычно при частоте 10 мГц.
66
Рисунок 5.9 − Блок-схема прибора для измерения емкости p-n- перехода
Блок-схема прибора для измерения емкости р-n-переходов
(рис.
5.9), разработанного и изготовленного в лаборатории полупроводниковых
приборов кафедры ЭП, состоит из 6 функциональных узлов:
1 - высокочастотный генератор,
2 - милливольтметр переменного тока,
3 - измерительная цепь,
4 - источник смещения,
5 - вольтметр постоянного тока,
6 - блок питания.
1. ВЧ генератор имеет десять фиксированных частот от 1 до 10 мГц и
регулировку амплитуды выходного напряжения "грубо" и "плавно".
Служит для подачи ВЧ напряжения на измерительную цепь.
2. Высокочастотный милливольтметр предназначен для измерения ВЧ
напряжения на сопротивлении нагрузки измерительной цепи. Предел
измерения: 0,5-10 пф, 10-100 пф, 100-1000 пф.
3. Измерительная цепь служит для выделения ВЧ напряжения
пропорционально емкости измеряемого p-n-перехода.
4. Источник смещения служит для подачи напряжения смещения на
исследуемый p-n-переход. Напряжение регулируется в пределах 0 - 80 В
"плавно" и "грубо".
5. Вольтметр постоянного тока служит для контроля напряжения смещения
на p-n-переходе. Пределы измерения 0 - 0,5 В, 0,5 - 1 В, 1 - 5 В, 5 - 10 В, 50
- 100 В. Входное сопротивление вольтметра 10 мОм.
6. Блок питания предназначен для питания ВЧ генератора, милливольтметра
постоянного тока.
67
Порядок работы с прибором
Перед включением прибора необходимо:
1. Тумблер "измерение"-"калибр" установить в положение "калибр".
2. Ручки потенциометров "установка Uсмещ" установить в крайнее левое
положение.
3. Ручки потенциометров "калибр"-"плавно", "грубо" также установить в
крайнее левое положение.
4. Установить исследуемый полупроводниковый прибор в измерительную
цепь. Для этого необходимо снять колпачок с надписью С х и, соблюдая
полярность, подключить исследуемый прибор к клеммам "+", "-", помня,
что p-n-переход должен быть смещен в обратном направлении.
5. Тумблером "сеть" включают прибор и после двухминутного прогрева он
готов к работе.
6. Переключатель "частоты" устанавливают на необходимую частоту.
7.Переключатель "калибровка" Сх ставится в положение требуемого
диапазона измерения емкости. Ручками потенциометров "калибровка"
"грубо", "плавно" устанавливают стрелку прибора Сх на последнее деление
шкалы.
8. Ручкой потенциометра установки "0" вольтметра устанавливают стрелку
прибора вольтметра на нулевое деление, предварительно выбрав
необходимый предел измерения вольтметра.
9.Ручками потенциометров "установка Uсмещ" задают необходимое
напряжение смещения.
10.Тумблер "калибр" - "измерение" ставят в положение "измерение" и
производят отсчет емкости по шкале прибора "Сх".
Порядок проведения эксперимента
1.Ознакомиться со схемой измерительной установки и порядком работы.
2. Получить у преподавателя полупроводниковые приборы: диоды типа Д7 и
Д223, транзисторы типа МП20, КТ601.
3. Провести измерение барьерной емкости p-n-переходов при изменении
обратного смещения от 0 до 1 В с шагом 0,1В, от 1 до 10В с шагом 1В.
4. Результаты всех измерений представить в виде таблицы (см. приложение,
табл. 5.1).
68
Оформление экспериментальных данных и
обработка результатов
1.Построить зависимость lg C = f(lg U) по данным эксперимента для
каждой серии измерений. Определить тангенс угла наклона для каждого
графика.
2. Построить по экспериментальным данным для тех приборов, у
которых в п. 1 тангенс угла наклона равен 1/2, зависимость C-2 = f(U) , а для
приборов с тангенсом угла наклона 1/3 - зависимость C-3 = f(U).
3.Определить из построенных в п. 2 графиков контактную разность
потенциалов x. Сравнить полученную величину с теоретической (см.
приложение).
4.Определить по наклону зависимостей C-2=f(U) и C-3=f(U),
построенных в п. 2, концентрацию легирующей примеси в
слаболегированной области р+ - n-перехода или градиент концентрации.
Величина диаметра контакта для расчета площади p-n-перехода дается в
табл. 5.2. (см. приложение).
5.Оценить величину максвелловского времени релаксации для
исследуемых переходов.
Приложение
При оформлении лабораторной
представить все расчеты в виде таблиц:
Таблица 5.1
U, B
lg U
C, пф
C 2 , ф 2
lg C
69
работы
рекомендуется
C 3 , ф 3
примечание
Таблица 5.2
Данные
Диаметр p-nперехода, мм
Марка
материала
базы
Д7
Тип прибора
Д223
МП20
КТ601
1,0
0,3
0,8
0,7
ГЭС26/1,5
КЭФ7,5/5,0
ГЭС3/07
КЭФ4/0,5
Примечания
1. Марка материала ГЭС 26/1,5 означает: германий электронный,
легированный сурьмой с удельным сопротивлением  = 26 Ом.см,
диффузионная длина дырок Lp = 1,5 мм (КЭФ - кремний электронный,
легированный фосфором).
kT N D N A
2. При расчете к использовать формулу k 
и считать, что
ln
q
ni2
концентрация акцепторов в р+ области составляет 1019 см-3.
Контрольные вопросы:
1. Чем обусловлено наличие емкости p-n-перехода?
2. В каком смысле можно представить себе емкость p-n-перехода как емкость
плоского конденсатора?
3. Почему емкость p-n-перехода
является функцией приложенного
напряжения?
4. В чем состоит различие между барьерной и диффузионной емкостью p-nперехода?
5. Какие методы могут быть использованы для измерения емкости p-nпереходов?
6. В чем заключается метод измерения емкости с помощью емкостноомического делителя?
7. Какие сведения о структуре запирающего слоя могут быть получены из
измерения зависимости емкости p-n-перехода от напряжения?
70
Литература
1. Ю.А. Байков, В.М. Кузнецов “Физика конденсированного состояния” М,
Бином, 2011.
2. Г.И. Епифанов “Физика твёрдого тела” СП. б. Лань. 2009.
3. В.Л. Матухин, В.Л. Ермаков “ Физика твёрдого тела ” СП. б. Лань. 2009
4.В.В. Пасынков, Чиркин Л.К. Полупроводниковые приборы. М., ВШ, 2014
71
Приложение 1. Параметры германия, кремния и арсенида галлия
Ge
Si
GaAs
Плотность, г/см3.
5.32
2.33
5.32
Атомная масса
72.60
28.1
144.6
4.4*1022
5*1022
2.2*1022
16
12
11
при Т=0К
0.785
1.21
1.52
при Т=300К
0.72
1.12
1.43
0.12
0.26
0.068
0.28
0.49
0.12
3900
1400
8500
1900
500
400
2.5*1013
1.4*1010
1.3*107
Параметр
Плотность атомов, см-3.
Относительная диэлектрическая проницаемость
Ширина запрещенной зоны,эВ
Эффективная масса m*/m0
Электронов
дырок
Подвижность электронов,
см2/(В с).
Подвижность дырок, см2/(В с).
Собственная концентрация носителей ni
(Т=300К), см-3.
Электрическое поле пробоя Екр,кВ/см
100
300
Собственное удельное сопро- тивление Ом см
(при Т=300К)
47
2*105
5*106
Коэффициент диффузии электро- нов, см2/с.
99
34
212.5
Коэффициент диффузии дырок, см2/с.
47
13
10
0.64
1.45
0.46
6*106
107
107
6*106
8*106
-----
Nc (T=300К)
1.04*1019
2.8*1019
4.4*1017
Nv (T=300К)
6.1*1018
1.02*1019
8.6*1018
Коэффициент теплопроводности
 , Вт/(К см).
Дрейфовая скорость насыщения, см/c
электронов
Дырок
400
Эффективная плотность состояний, см-3.
72
Приложение 2 . Фундаментальные физические постоянные
Масса покоя электрона
m0=9.1*10-31 кг
Заряд электрона
e= 1.6*10-19 Кл
Магнитная проницаемость
вакуума
0=4*10-7Гн/м
Диэлектрическая проницаемость
свободного пространства
0=1/ 0*c2=8.85*10-14 Ф/см
Скорость света в вакууме
с=2.99*1010 см/с
Постоянная Планка
h=6.62*10-34 Дж с= 4.14*10-15эВ с
Постоянная (число) Авогадро
NАВ=6.02*1023 1/моль
Универсальная газовая
постоянная
Постоянная Больцмана
R=8.31 Дж/ (моль К)
k= R/NAВ= 1.38*10-23 Дж/к=8.6*10-5 эВ/к
Постоянная СтефанаБольцмана
1эВ=1.6*10-19 Дж,
=5.67*10-8 Вт/(м2*К4)
1 Ом*см= 104Ом*мм2/м
73