Элементарный электрический заряд

1
Электричество и электромагнетизм
Электрический заряд и его свойства
Электрический заряд - Физическая величина, характеризующая способность тел
или частиц к электромагнитным взаимодействиям.
Единица электрического заряда - 1 Кл(кулон)
1Кл-электрический заряд,
проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с.
1 Кл = 1 А • с
Элементарный
электрический
заряд
-
наименьший
электрический
заряд,
положительный или отрицательный, равный величине заряда электрона:
e= 1,6• 10-19Кл .
Носители элементарного электрического заряда:
Электрон-носитель элементарного отрицательного заряда; me = 9,11 • 10-31кг.
Протон- носитель элементарного положительного заряда; m p = 1,67 • 10-27 кг.
Фундаментальные свойства электрических зарядов
♦ Существует в двух видах: положительный и отрицательный. Одноименные заряды
отталкиваются, разноименные — притягиваются.
♦ Электрический заряд инвариантен (его величина не зависит от системы отсчета, т.
е. не зависит от того, движется он или покоится).
♦ Электрический заряд дискретен, т. е. заряд любого тела составляет целое кратное
от элементарного электрического заряда е.
♦ Электрический заряд аддитивен (заряд любой системы тел (частиц) равен сумме
зарядов тел (частиц), входящих в систему).
♦ Электрический заряд подчиняется закону сохранения заряда:
алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы остается
неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри данной системы.
2
Закон Кулона
Сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами,
находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам Q1 и Q2 и обратно
пропорционально квадрату расстояния R между ними
F=
1
Q1Q2
4 0
r2
 0  8,85  10 12 Ф м - электрическая постоянная, относится к числу фундаментальных
физических постоянных;
1
4 0
 9  10 9 м Ф
Закон Кулона в векторной форме

F12 
Q1 Q2 r12
40 r 2 r
1

где F12 - сила, действующая на заряд Q1 со стороны заряда; r12 – радиус-вектор,
соединяющий заряд с зарядом ;

F21 
Q1 Q2 r21
40 r 2 r
1
- сила, действующая на заряд со стороны заряда Q1 ; r21 –
радиус-вектор, соединяющий заряд с зарядом.
Кулоновская сила направлена вдоль прямой, соединяющей
взаимодействующие заряды (является центральной силой) и
соответствует притяжению (F < 0) в случае разноименных
зарядов и отталкиванию (F > 0) в случае одноименных зарядов.
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И ЕГО НАПРЯЖЕННОСТЬ
Электрическое поле - силовое поле, посредством которого взаимодействуют
электрические заряды.
Электростатическое поле - поле, создаваемое неподвижными электрическими
зарядами.
Пробный точечный положительный заряд - заряд, используемый для обнаружения
и опытного исследования электростатического поля и не искажающий исследуемое
поле (не вызывает перераспределения зарядов, создающих поле).
3
Напряженность электростатического поля Физическая
величина,
определяемая
силой,
действующей
на
единичный
положительный заряд, помещенный в данную точку поля:

 F
[Н/Кл = В/м]

Q0
Напряженность
электростатического
поля
—
силовая
векторная
ха-
рактеристика.

Направление вектора E совпадает с направлением силы,
действующей на положительный заряд. Если поле
создается
положительным
зарядом,
то
вектор E
направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее
пространство (отталкивание пробного положительного заряда); если поле создается
отрицательным зарядом, то вектор Е направлен к заряду.
Линии напряженности электростатического поля
Линии напряженности электростатического поля (силовые линии) - линии,

касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора E .
Линиям напряженности приписывается направление, совпадающее с направлением
вектора напряженности. Линии напряженности никогда не
пересекаются, поскольку в каждой данной точке пространства
вектор Е имеет лишь одно направление.
В случае однородного поля (для него вектор напряженности в любой точке
постоянен по модулю и направлению) линии напряженности параллельны вектору
напряженности.
В
случае
радиальные
точечного
прямые,
заряда
линии
выходящие
из
напряженности
заряда,
если
—
он
положителен, и входящие в него, если заряд отрицателен.
Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей:

Напряженность E результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна
геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым
4


из зарядов в отдельности. E =  E i .
i
Электрический диполь
Электрический диполь - система двух равных по модулю
разноименных точечных зарядов (+Q, -Q), расстояние l
между которыми значительно меньше расстояния до
рассматриваемых точек поля.

Плечо диполя - вектор l , направленный по оси диполя (прямой, проходящей через
оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию
между ними.

Электрический момент диполя – вектор p , совпадающий по направлению с плечом

диполя и равный произведению модуля заряда Q на плечо l :


p  Ql
Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.
Поток вектора напряженности электростатического поля
Чтобы линии напряженности характеризовали не только направление,
но и
значение напряженности электростатического поля, их проводят с определенной
густотой: число линий напряженности, пронизывающих единицу площади
поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно

модулю вектора E .
Поток вектора напряженности сквозь площадку dS:
 
d E  EdS  En dS


d S = dS • n — вектор, модуль которого равен dS, а направление вектора совпадает с


направлением n к площадке. Выбор направления вектора n (а следовательно, и dS)
условен.
5
Поток вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность S
 
 E   E n dS   EdS
S
S
Интеграл берется по замкнутой поверхности S. Поток вектора Е — скалярная

величина (зависит от конфигурации поля и от выбора направления n ).
Для
замкнутых
поверхностей
за
положительное
направление
нормали
принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль, направленная наружу области,
охватываемой поверхностью.
Пусть точечный заряд Q охватывает сферическая поверхность радиуса r, тогда
поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность:
Ф𝐸 = ∮ 𝐸𝑛 𝑑𝑆 =
𝑆
𝑄
𝑄
2
4𝜋𝑟
=
.
4𝜋𝜀0 𝑟 2
𝜀0
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Если
замкнутая поверхность любой формы охватывает заряд, то при пересечении любой
выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из
нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечной счете сводится
к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии
напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в
поверхность.
Рассмотрим случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В
соответствии с принципом суперпозиции напряженность ⃗Е поля, создаваемого
всеми зарядами, равна сумме напряженностей ⃗⃗⃗
𝐸𝑖 полей, создаваемых каждым
зарядом в отдельности. Поэтому:
Ф𝐸 = ∮ 𝐸⃗ 𝑑𝑆 = ∮ (∑ ⃗⃗⃗
𝐸𝑖 ) 𝑑𝑆 = ∑ ∮ ⃗⃗⃗
𝐸𝑖 𝑑𝑆
𝑆
𝑆
𝑖
𝑖
𝑆
6
Каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен
𝑄
𝜀0
.
Следовательно:
𝑛
1
∮ 𝐸⃗ 𝑑𝑆 = ∮ 𝐸𝑛 𝑑𝑆 = ∑ 𝑄𝑖
𝜀0
𝑠
𝑖=1
𝑆
Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора
напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную
замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой
поверхности зарядов, деленной на 𝜀0 .
В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой
объемной плотностью 𝜌 =
𝑑𝑄
𝑑𝑉
, различной в разных местах пространства, тогда
теорема Остроградского-Гаусса будет иметь вид:
∮ 𝐸⃗ 𝑑𝑆 = ∮ 𝐸𝑛 𝑑𝑆 =
𝑆
𝑆
1
∫ 𝜌𝑑𝑉
𝜀0
𝑉
Поверхностная плотность заряда - физическая величина, определяемая зарядом,
приходящимся на единицу поверхности:

dQ
dS
Линейная плотность заряда - физическая величина, определяемая зарядом,
приходящимся на единицу длины:

dQ
dl
Работа перемещения заряда в электростатическом поле
Работа при перемещении заряда Qo из точки 1 в точку 2 в поле заряда Q
 
1 QQ0
dA  Fdl cos 
dr
4 0 r 2
7
(учли, что dl cos   dr ).
r2
QQ0 r dr
1 QQ0 QQ0
A12   dA 

(

).

2
4 0 r r
4 0 r1
r2
r
2
1
1
Электростатическое поле — потенциально, т.е. A12 не зависит от траектории
перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек.
Из формулы для работы следует, что работа, совершаемая при перемещении заряда
во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю,
т.е.
∮ 𝑑𝐴 = 0
𝐿

Теорема о циркуляции вектора E
Элементарная работа сил поля по перемещению единичного заряда на пути dl
 
Edl  El dl

где El - проекция вектора E на направление элементарного перемещения
 

E
Интеграл вида  dl   El dl называется циркуляцией вектора E
L
L
Интегрирование производится по любому замкнутому пути L.
 

E
Теорема о циркуляции вектора E :  dl   El dl  0
L
L
Равенство нулю означает, что электростатическое поле потенциально.
Линии
напряженности электростатического поля начинаются и кончаются на зарядах или
же уходят в бесконечность.
 
E
Формула  dl   El dl  0 справедлива только для электростатического поля.
L
L
Потенциальная энергия заряда
Потенциальная энергия заряда Qo в поле заряда Q на расстоянии r от него:
U
1 QQ0
4 0 r
Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии, т. е.
А12 можно представить как разность потенциальных энергий заряда Q0 в начальной
8
и конечной точках поля заряда Q:
A12 
1
4 0
(
QQ0 QQ0

)  U1  U 2 .
r1
r2
В формуле для А12 приняли, что при r   потенциал U=0, C=0.
Потенциал. Принцип суперпозиции. разность потенциалов.
Потенциал электростатического поля - физическая величина, определяемая
потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в
данную точку поля:

U
Q0
[В = Дж/Кл]
Потенциал электростатического поля — энергетическая скалярная характеристика.
Потенциал поля точечного заряда:

1 Q
4 0 r
где r — расстояние от данной точки до заряда Q, создающего поле;  0 —
электрическая постоянная.
Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей:
Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов
равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов.
n
   i 
i 1
1
n
Qi
r
4
0 i 1
i
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда Qo из точки 1 в
точку 2 равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в
начальной и конечной точках
Разность потенциалов определяется работой, совершаемой силами поля при
перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.
1   2 
A12
Q0
9
  2
1   2   Edl   El dl
2
1
1
Работа сил поля при перемещении заряда Qo из точки 1в точку 2 может быть
2
 
записана в виде А12 =  Q0 Edl , где интегрирование можно производить вдоль любой
1
линии, соединяющей точки 1 и 2, так как работа сил электростатического поля не
зависит от траектории перемещения (электростатическое поле потенциально).
Еще одна формулировка потенциала электростатического поля:
Потенциал - физическая величина, определяемая работой сил поля по перемещению
единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в
бесконечность:

A
Q0
.
Если перемещать заряд Qo из произвольной точки за пределы поля, т. е. в
бесконечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил
электростатического поля, согласно формуле А12 = Q0 1   2  , A  Q0 .
Связь между напряженностью и разностью потенциалов.
Работа по перемещению единичного точечного заряда из одной точки в другую
вдоль оси x при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и
x2  x1  dx :
A  E x dx .
С другой стороны та же работа равна:
A  1   2  d .
Приравняв оба выражения получим E x  
где
символ
частной
производной

,
x
подчеркивает,
что
дифференцирование
производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, имеем


       
E   i 
j
k  или E   grad ,
y
z 
 x
10
 

где j , i , k  единичные векторы осей x,y,z). Знак минус показывает, что вектор E
направлен в сторону убывания потенциала.
Эквипотенциальные поверхности поверхности, во всех точках которых потенциал  электростатического поля имеет
одно и то же значение.
Потенциал точечного заряда:

1 Q
,
4 0 r
т. е. эквипотенциальные поверхности — сферы. Линии напряженности —
радиальные прямые. Поэтому для точечного заряда линии напряженности
перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям.
Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый
потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна
нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по
нормалям к эквипотенциальным поверхностям.
Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы
зарядов можно провести бесчисленное множество. Обычно проводят так, чтобы
разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными
поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей
наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти
поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.