Практическая работа Анализ рядов динамики
реклама
Практическая работа № 5. Анализ рядов динамики 1.1 Понятие, виды и условия сопоставимости ряда динамики 1.2 Анализ показателей ряда динамики 1.3 Вычисление средних показателей анализа ряда динамики 1.4 Определение основной тенденции развития ряда динамики 1.5 Экстраполяция в рядах динамики 1.5 Выявление сезонности в рядах динамики Введение Одной из задач статистики является изучение развития общественных явлений во времени. Для отображения динамики строятся ряды динамики (хронологические, временные), которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке. В динамическом ряду процесс экономического развития изображается в виде совокупности перерывов непрерывного, позволяющих детально проанализировать особенности развития при помощи характеристик, которое отражают изменение параметров экономической системы во времени. Особую актуальность приобретает анализ информации при принятии стратегически важных решений в настоящее время, так как основные характеристики ряда динамики очень помогают в анализе статистических данных на любом предприятии, а также в прогнозировании, продлевая в будущее тенденции, наблюдавшиеся в прошлом. Целью работы является ознакомление с динамическими рядами, имеющими широкое применение в статистике. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи: - изучить понятие и рассмотреть классификацию рядов динамики; - рассмотреть требования, предъявляемые к рядам динамики; - назвать основные характеристики рядов, показать их назначение; - ознакомиться с методами выявления основной тенденции развития в рядах динамики; - освоить методы выявления сезонности. 1 Теоретические подходы к анализу рядов динамики 1.1 Понятие, виды и условия сопоставимости ряда динамики Термин «временные ряды» в статистике России пока непривычен. В учебниках по общей теории статистики преобладают термины «ряды динамики», «динамические ряды», статистическое изучение динамики. В зарубежной англоязычной литературе принят термин time series, в немецкой - zeitreihen analyze. Оба термина ближе всего передаются по-русски как временные ряды или анализ временных рядов. Одной из причин, препятствовавших принятию отечественной статистикой данного термина, служит особенность русского языка - сближение по звучанию и написанию совершенно разных по смыслу слова временной, т.е. относящийся ко времени, связанный со временем, происходящий во времени, и слова временный, т.е. непостоянный, преходящий, малосущественный. В европейских языках это разные слова: в немецком, например, временный - provisorisch, во французском provisoire, в английском provisional, т.е. эти слова происходят не от корня «время». Опасение, что студенты (учащиеся) воспримут термин временной ряд как временный, заставило предпочесть новый для статистики и неточный по существу термин динамический ряд, ряд динамики. Ряд динамики – это ряд изменяющихся во времени числовых значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке. Ряд динамики включает два обязательных элемента: во-первых, время (t) и, во-вторых, конкретное значение показателя, или уровень ряда (y). Ряды различаются по следующим признакам: 1)по времени - моментные и интервальные. Интервальный ряд (табл. 1, пример 1) - последовательность, в которой уровень явления относят к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени. Если же уровень ряда характеризует изучаемое явление в конкретный момент времени, то совокупность уровней образует моментный ряд (табл. 1, пример 2) . Важное отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный показатель (например, общий выпуск продукции за год), уровни моментного ряда во избежание повторного счета не складываются. 2) по форме представления уровней - ряды абсолютных (табл. 1, пример 1, 5), относительных (табл. 1, пример 3) и средних (табл. 1, пример 4) величин. 3) по расстоянию между датами или интервалами времени выделяют ряды с равноотстоящими уровнями (полные ряды) и с неравноотстоящими уровнями (неполные ряды). Полные ряды (табл. 1, примеры 1, 3, 4, 5)имеют место, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами, неполные (табл. 1, примеры 2, 6) - когда принцип равных интервалов не соблюдается. 4) по содержанию показателей - ряды частных и агрегированных показателей. Частные показатели характеризуют изучаемое явление односторонне, изолированно. Например, объем экспорта продукции (табл. 1, пример 1) дает возможность оценить динамику данного показателя конкретного предприятия. Агрегированные показатели основаны на частных показателях и характеризуют изучаемый процесс комплексно. Так, динамика уровня Пример 6 Пример 5 Пример 4 Пример 3 Пример 2 Пример 1 безработицы населения Новгородской области (табл. 1, пример 3) позволяет анализировать тенденции развития экономики региона, а так же оценить региональную политику в области занятости. 4) по стационарности ряда выделяют стационарные и нестационарные ряды. Ряд динамики стационарен, если порождающий его механизм не меняется при сдвиге во времени, а соответствующий случайный процесс достиг статистического равновесия. Формально стационарный ряд динамики определяется как такой случайный процесс, для которого математическое ожиданиие, дисперсия и ковариации между отдельными членами ряда случайно варьируют вокруг постоянного, не зависящего от времени уровня. Простейшим примером стационарного временного ряда является "белый шум" - чисто случайный процесс, значения которого в различные моменты времени независимы и одинаково распределены. Следует отметить, что практически все ряды динамики экономических показателей нестационарны (табл.1, все примеры), так как имеют тенденцию, сезонные или циклические колебания. Таблица 1 – Примеры динамических рядов социально-экономических показателей Год 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Объем экспорта 1200 1350 1400 1370 1350 1380 1310 продукции предприятия, тыс. долл. США Месяц Январь Февраль Май Август Ноябрь Декабрь Январь 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2012 Товарные запасы 283,7 356,4 334,8 427,1 405,2 454,6 437,2 магазина, на начало месяца, тыс. руб. Год 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Уровень безработицы населения Новгородской области, % 5,0 6,2 5,8 5,5 5,2 4,9 6,4 Месяц Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Средняя заработная 26,5 27,9 26,3 26,8 28,1 27,3 плата работников предприятия, тыс. руб. Месяц Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь Средняя заработная 27,9 28,1 27,3 27,6 28,5 28,9 плата работников предприятия, тыс. руб. Месяц Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Списочная численность 253 259 258 262 264 269 271 работников предприятия (на начало месяца), чел. Период 1995 - 2004 2005 - 2007 2008 - 2009 2010 Производство молока в 43,8 37,3 39,2 38,7 среднем за период, тыс. тонн Важнейшим условием правильного формирования рядов динамики является сопоставимость уровней, образующих ряд. Уровни ряда, подлежащие изучению, должны быть однородны по экономическому содержанию и учитывать существо изучаемого явления и цель исследования. Статистические данные, представленные в виде временных рядов, должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, моменту регистрации, методике расчета, ценам, достоверности. Несопоставимость по территории возникает в результате изменений границ стран, регионов, хозяйств и т.п. Для приведения данных к сравнимому виду производится пересчет прежних данных с учетом новых границ. Полнота охвата различных частей явления - важнейшее условие сопоставимости уровней ряда. Требование одинаковой полноты охвата разных частей изучаемого объекта означает, что уровни ряда за отдельные периоды должны характеризовать размер того или иного явления по одному и тому же кругу входящих в состав его частей. При определении сравниваемых уровней ряда необходимо использовать единую методику их расчета. Особенно часто эта проблема возникает при международных сопоставлениях. Несопоставимость показателей, возникающая в силу неодинаковости применяемых единиц измерения, сама по себе очевидна. С различием применяемых единиц измерения приходится встречаться при изучении динамики: производственных ресурсов, когда они представляются то в стоимостном, то в трудовом исчислении; энергетических мощностей (кВт-ч, л.с.); производство тканей (м2, погонный метр) и т.д. При сравнении данных возникает несопоставимость по времени регистрации. Так, уровни моментного ряда следует приводить на одну и ту же дату, а интервальный ряд следует анализировать с равноотстоящими уровнями. При анализе показателей в стоимостном выражении следует учитывать, что с течением времени происходит непрерывное изменение цен. В этой связи при характеристике стоимостных показателей объема продукции во времени должно быть устранено влияние изменения цен. Для решения этой задачи количество продукции, произведенное в разные периоды, оценивают в ценах одного периода, которые называют фиксированными или в определенных статистических органах - сопоставимыми ценами. Широкое использование в статистических исследованиях выборочного метода требует учитывать достоверность количественных и качественных характеристик изучаемых явлений в динамике. Различная репрезентативность выборки по периодам внесет существенные погрешности в величины уровней ряда. Так, рейтинг политических деятелей в средствах массовой информации России очень часто определяют по разному числу респондентов. Одним из условий сопоставимости уровней интервального ряда, кроме равенства периодов, за которые приводятся данные, является однородность этапов, в пределах которых показатель подчиняется одному закону развития. В этих случаях проводят периодизацию временных рядов, типологическую группировку во времени. Все вышеназванные обстоятельства следует учитывать при подготовке информации для анализа изменений явлений во времени (таблица 2). Таблица 2 - Причины несопоставимости данных и пути их устранения Причина несопоставимости Необходимые аналитические действия Различные единицы измерения Приведение данных к одинаковым единицам измерения с помощью специально рассчитанных коэффициентов. Различные территориальные или Выделение одного и того же круга единиц изучаемой совокупности путем административно-ведомственные включения дополнительных либо устранения лишних объектов, а затем границы объекта в различные периоды пересчет новых уровней ряда для единых территориальных или времени административно-ведомственных границ, либо применение вторичных группировок, либо применение метода смыкания, либо приведение к единому основанию. Различная методология исчисления Пересчет значений признака по единой методологии с помощью получения значений показатели в различные первичных расчетных данных и применения новой методологии, либо периоды времени применение метода смыкания. Различное денежное выражение Пересчет в единые, неизменные цены с помощью дополнительно показателя определяемого индекса цен. Различная структура статистических Пересчет данных по одинаковой структуре (стандартизация) совокупностей Несопоставимость итоговых В отдельных случаях, возможно: (суммарных) показателей - сопоставление по средним показателям; - использование метода группировок. Различные показатели, выраженные в Расчет относительных величин динамики (темпов роста или прироста) для абсолютных величинах каждого ряда, а затем их сопоставление (прием приведения к единому основанию). Несопоставимость ввиду возникших за Перегруппировка динамического ряда и создание нескольких рядов исследуемый период качественных динамики, или определение специального коэффициента пересчета. различий в изучаемом предмете Одним из приемов приведения данных к сопоставимому виду является «смыкание динамических рядов». Он применяется в случае расчета уровней ряда по различной методологии, по различным территориям или по объему анализируемых объектов. Для применения смыкания обязательным является наличие данных, рассчитанных по различным методикам (территориям и т.д.) для одного и того же периода времени. Сущность приема заключается в определении коэффициента пересчета значений, рассчитанных по новой методике в значения, рассчитанные по старой методике. Недостатком приема смыкания является возможное отсутствие или недоступность данных рассчитанных по двум методикам одновременно: либо пересчетом никто не занимался, тогда исследователю необходимо самостоятельно корректно определить множитель; либо статистические органы по разным причинам не предоставляют информацию о коэффициенте пересчета. В качестве дополнительной сложности применения смыкания нужно отметить низкое качество статистической информации, доступной для анализа, соответственно, наличие высокой вероятности ошибочного самостоятельного определения коэффициента пересчета. Пример 7. Имеются данные, характеризующие общий объем продукции ОАО «Возрождение». Следует отметить, что до 2008 года в состав акционерного общества входило три дочерних предприятия, а с 2008 года – вошло еще одно. Таблица 3 – Производство промышленной продукции ОАО «Возрождение», млн. руб. Годы Производство продукции 2005 2006 2007 2008 2009 2010 При n=3 20,1 20,7 21,0 21,2 При n=4 23,8 24,6 25,5 2011 27,2 Для приведения ряда динамики к сопоставимому виду для 2008 г. определим коэффициент соотношения уровней двух рядов: 23,8 1,12 21,2 Умножая на этот коэффициент уровни первого ряда, получаем их сопоставимость (в абсолютном выражении) с уровнями второго ряда (таблица 4): 2005 г. – 20,1 * 1,12 = 22,5 млн. руб.; 2006 г. – 20,7 * 1,12 = 23,2 млн. руб.; 2007 г. – 21,0 * 1,12 = 23,5 млн. руб. Другой способ смыкания рядов динамики заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения (в нашем примере уровни 2008 г.), принимаются за 100%, а остальные – пересчитываются в процентах по отношению к этим уровням соответственно. В результате получается сомкнутый ряд в относительном выражении. Таблица 4 – Производство промышленной продукции ОАО «Возрождение» (сопоставимый ряд), млн. руб. Годы Производство продукции 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Производство промышленной продукции в 22,5 23,2 23,5 23,8 24,6 25,5 27,2 абсолютном выражении, млн. руб. Производство промышленной продукции в 94,8 97,6 99,1 100 103,4 107,2 114,3 относительном выражении, % При изучении рядов динамики возникает необходимость получения сравнительных характеристик направления и интенсивности роста одновременно развивающихся во времени явлений. Это достигается путем приведения рядов динамики к общему (единому) основанию. По исходным уровням рядов динамики определяются относительные величины – базисные темпы роста (прироста). Пример 8. Имеются данные о производстве колбасных изделий в двух регионах. Таблица 5 – Динамика производства колбасных изделий, тыс.т. Регион Годы 2007 2008 2009 2010 2011 А 45,5 72,4 95,2 122,0 128,0 Б 56,1 65,1 66,5 65,0 67,0 Различные значения абсолютных уровней приведенных рядов динамики затрудняют выявление особенностей производства колбасных изделий в регионе А и регионе Б. Приведем абсолютные уровни рядов динамики к общему основанию, приняв за постоянную базу сравнения 2007 г., и получим данные, в процентах к 2007 г. Таблица 6 – Расчет темпов роста объемов производства колбасных изделий, тыс. т. Регион Годы 2007 2008 2009 2010 2011 А 100,0 159,1 209,2 268,1 281,3 Б 100,0 116,0 118,5 115,9 119,4 Из этих данных видно, что производство колбасных изделий в регионе А непрерывно и быстро возрастает, значительно превосходя темпы роста в регионе Б. Если в 2011 г. производство колбасных изделий в регионе А возросло по сравнению с 2007 г. в 2,8 раза, то в регионе Б оно увеличилось за это же время в 1,19 раза. Большую наглядность и доходчивость получают параллельные ряды, если их изобразить графически, что представлено на рисунке 1. 300 281,3 268,1 250 209,2 % 200 159,1 150 118,5 116 100 119,4 115,9 100 50 0 2007 2008 2009 Регион А 2010 2011 Регион Б Рисунок 1 – Темпы роста производства колбасных изделий в регионах А и Б (в процентах к 2007 году). Сопоставив базисные темпы роста производства колбасных изделий в регионе А и регионе Б, получим коэффициент опережения – относительный показатель, характеризующий опережение (больше единицы) или отставание (меньше единицы) в развитии регионов: К 2,813 2,36 раза, т.е. производство колбасных изделий в 1,194 регионе А развивалось за 2007 – 2011гг. в 2,36 раза быстрее, чем в регионе Б. 1.2 Анализ показателей ряда динамики Анализ скорости и интенсивности развития явления во времени осуществляется с помощью аналитических показателей, которые получаются в результате сравнения уровней ряда динамики между собой. При этом сравниваемый уровень называется отчетным, а уровень, с которым производится сравнение, базисным. В зависимости от базы сравнения различают показатели с постоянной и переменной базами сравнения. Если эта база непосредственно предыдущий уровень, показатель называют цепным, если за базу взят, например, начальный уровень, показатель называют базисным. y Абсолютный прирост ( ) – это размер увеличения (уменьшения) сравниваемого уровня по сравнению с уровнем более раннего периода, принятым за базу сравнения. Если абсолютное изменение отрицательно, его следует называть абсолютным сокращением. цепной базисный y á yi y0 y ö yi yi 1 где уц - абсолютный прирост; уi - текущий уровень ряда; уi - 1 - предшествующий уровень; i - номер уровня. Соотношение между цепными и базисными показателями: сумма цепных абсолютных приростов равна базисному абсолютному приросту за весь анализируемый период времени: y ц y б . Абсолютное ускорение — это разность между абсолютным приростом за данный период и абсолютным приростом за предыдущий период равной длительности: у уi yi 1 Показатель абсолютного ускорения применяется только в цепном варианте и показывает, насколько данная скорость больше (меньше) предыдущей. Система показателей должна содержать не только абсолютные, но и относительные статистические показатели. Относительные показатели динамики необходимы для сравнения развития разных объектов, особенно если их абсолютные характеристики различны. Относительное ускорение – отношение абсолютного ускорения к абсолютному приросту, принятому за базу: y y , y 0 т.е. относительное ускорение есть темп прироста абсолютного прироста. Оно вычисляется лишь в том случае, если абсолютный прирост, принятый за базу сравнения, число положительное. Коэффициент роста (темп роста) – характеризует интенсивность изменения уровней ряда. Если показатель исчислен в долях единицы, его принято называть коэффициентом роста, если в процентах – темпом роста. цепной базисный Коэффициент роста Темп роста K цр T рц yi y i 1 К рб yi 100 yi 1 T рб yi y0 yi 100 y0 Следует отметить, что не нужно пользоваться двумя формами (темпом и коэффициентом) показателей одновременно, так как они по существу идентичны. Соотношение между цепными и базисными показателями: произведение цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста за весь анализируемый период времени: П К Р К Р . Коэффициент (темп) прироста – характеризует относительную скорость изменения уровня ряда за определенный период времени. Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше (меньше) уровня, принятого за базу сравнения. цепной базисный ц Коэффициент прироста Темп прироста ц K пр ц Т пр y ц i K цр 1 yi 1 y ц i Т цр 100 yi 1 б б K пр б Т пр y б i К рб 1 y0 y б i Т рб 100 y0 Темп прироста может быть положительным, отрицательным значением или равным нулю. Темпы прироста нельзя складывать между собой. Важно! Если уровень ряда динамики принимает положительные и отрицательные значения, темп роста и темп прироста применять нельзя, так как они не имеют экономической интерпретации. В этом случае сохраняют смысл только абсолютные показатели динамики. Абсолютное значение 1 % прироста – позволяет рассчитать абсолютный прирост уровня за рассматриваемый период, т.е. показывает, сколько абсолютных единиц приходится на 1% прироста (уменьшения). % y ц 0,01 yi 1 ц Т пр Темп наращивания – измеряет наращивание во времени экономического потенциала. yiö TH 100 y0 Рассчитаем показатели анализа ряда динамики в таблице 7. Особенности показателей для рядов, состоящих из относительных уровней: 1. Абсолютный прирост выражается в пунктах. Например, уровень безработицы населения Новгородской области (табл.1, пример 3) в 2009 году по сравнению с 2008 годом увеличился на 1,5 пункта. 2. При анализе показателей структуры необходимо учитывать, что сумма всех долей в любой период равна единице, или 100%. Изменение, происшедшее с одной из долей, неизбежно меняет и доли всех других частей целого, если даже по абсолютной величине эти части не изменились. 3. Если признак варьирует альтернативно, то увеличение доли одной группы равно уменьшению доли другой группы в пунктах, то темпы изменения долей в процентах при этом могут сильно различаться. Темп больше у той доли, которая в базисном периоде была меньше. В общем виде коэффициент роста одной из альтернативных долей зависит от коэффициента роста другой доли следующим образом: k2 1 k1 x0 1 x0 где x о – доля в базисном периоде одного из альтернативных значений признака; к1 – коэффициент роста этой доли к2 - коэффициент изменения доли второго альтернативного значения признака. 4. Темпы роста и темпы прироста (или сокращения) прямого и обратного показателей не совпадают. Понимание разного поведения показателей динамики прямых и обратных мер эффективности очень важно для экономиста и статистика. Таблица 7 – Анализ объема экспорта продукции предприятия (по данным табл.1, пример 1) Год 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Объем экпорта, тыс. долл. США 1200 1350 1400 1370 1350 1380 1310 Абсолютный прирост, тыс. долл. США цепной базисный 150 50 -30 -20 30 -70 110 150 200 170 150 180 110 Ускорение Коэффициент роста Темп прироста, % абсолютное, тыс. долл. относительное цепной базисный цепной базисный -100,0 -80,0 10,0 50,0 -100,0 -0,67 -0,53 0,07 0,33 -0,67 1,125 1,037 0,979 0,985 1,022 0,949 П=1,092 1,125 1,167 1,142 1,125 1,150 1,092 12,5 3,7 -2,1 -1,5 2,2 -5,1 12,5 16,7 14,2 12,5 15,0 9,2 220.0 Абсолютное значение 1 % прироста, тыс. долл. США Темп наращивания, % 12 13,5 14 13,7 13,5 13,8 12,50 4,17 -2,50 -1,67 2,50 -5,83 1.3 Вычисление средних показателей анализа ряда динамики 1. Средний уровень ряда. Вычисление данного показателя зависит от вида ряда динамики и расстоянию между уровнями. Средний уровень интервального ряда с равноотстоящими уровнями динамики определяется как средняя арифметическая простая из уровней за равные промежутки времени: у y , i n Например, средний объем экспорта продукции предприятия (табл.1, пример1) составит: у 1200 1350 1400 1370 1350 1380 1310 1337.1 тыс. долл. США 7 Средний уровень интервального ряда с неравноотстоящими уровнями динамики определяется как средняя арифметическая взвешенная из уровней за неравные промежутки времени, длительность которых и является весами: y yt , t i i i Например, среднегодовое производство молока (табл.1, пример 6) составит: y 43,8 10 37,3 3 39,2 2 38,7 1 41,7 тыс. тонн 10 3 2 1 Средний уровень моментного ряда с равноотстоящими уровнями динамики средняя хронологическая простая: y определяется как 1 / 2 y1 y2 y3 y4 ... yn 1 1 / 2 yn n 1 Например, среднесписочная численность работников предприятия (табл.1, пример 5) составят: y 1 / 2 253 259 258 262 264 269 1 / 2 271 262 чел. 7 1 Средний уровень моментного ряда с неравноотстоящими уровнями динамики определяется как средняя хронологическая взвешенная: y y1 y2 t1 y2 y3 t2 y3 y4 t3 ... yn 1 yn tn 1 2 ti Например, средние товарные запасы магазина (табл.1, пример 2) составят: 283,7 356,4 1 356,4 334,8 2 334,8 427,1 4 (427,1 405,2) 3 (405,2 454,6) 1 454,6 437,2 1 y 2 (1 2 4 3 1 1) 388,2 тыс. руб. Средний абсолютный прирост ( y ) показывает, на сколько в среднем за единицу времени изменился уровень ряда динамики: y y ц n 1 y y б n 1 где n – число уровней ряда. Для правильной интерпретации показатель среднего абсолютного прироста должен сопровождаться указанием двух единиц времени: 1) времени, за которое он вычислен, к которому относится и которое он характеризует; 2) время, на которое показатель рассчитан. Например, за период с 2005 по 2011 годы объем экспорта продукции предприятия (табл.1, пример 1) в среднем ежегодно увеличивался на 18,3 тыс. долл. США. Средний коэффициент (темп) роста показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменился уровень динамического ряда: K p n1 К цр 1 К цр 2 ....... К цр n1 n1 yn y0 Т р К p 100 Средний темп роста так же, как средний прирост, следует сопровождать указанием двух единиц времени: периода, который им характеризуется, и периода, на который рассчитан темп. K p n1 К рб 6 1310 1.015 1200 Т р 1.015 100 101.5% Средний темп прироста показывает, на сколько процентов в среднем за единицу времени изменился уровень динамического ряда: Т пр Т р 100 или K пр К р 1 Например, за период с 2005 по 2011 годы объем экспорта продукции предприятия (табл.1, пример 1) в среднем ежегодно увеличивался на 1,5%. Средняя величина абсолютного значения 1 % прироста: % y ц Т пр Например, за период с 2005 по 2011 годы в 1% объема экспорта продукции предприятия (табл.1, пример 1) в среднем ежегодно присутствует 12,2 тыс.долл. 1.4 Определение основной тенденции развития ряда динамики В изучении рядов динамики большое место занимает вопрос о закономерностях их движения на протяжении длительного периода. Познание закономерностей изменений во времени - сложная и трудоемкая процедура исследования, так как любое изучаемое явление формирует множество факторов, действующих в разных направлениях. По характеру непосредственного воздействия эти факторы могут быть разделены на две группы. К п е р в о й группе относятся факторы, определяющие основную тенденцию динамики (рост или снижение уровней). В т о р а я группа факторов, вызывающая случайные колебания, отклоняет уровни от тенденции то в одном, то в другом направлении. Основной тенденцией, или трендом, называется характеристика процесса изменения явления за длительное время, освобожденная от случайных колебаний. При выявлении общей тенденции развития явления применяются различные приемы и методы выравнивания: а) усреднение по левой и правой половине; б) укрупнение интервалов; в) сглаживание рядов динамики на основе скользящих средних; г) аналитическое выравнивание и др. Метод усреднения по левой и правой половине – простейший метод определения тренда, заключающийся в разделении ряда на две равные (примерно равные) части, определении для каждой из них среднего значения и отражении линии тренда на графике. Пример. Разделим ряд объема экспорта продукции предприятия (табл.1, пример 1) на 2 части: 2005 – 2008 гг, 2009 – 2011 гг. Средние значения для каждой части: 1200 1350 1400 1370 1330 4 1350 1380 1310 у 1347 3 у1 1350 тыс.долл. США 1345 1340 1335 1330 1325 1320 2005-2008 2009-2011 Рисунок 2 – Основная тенденция развития объема экспорта продукции предприятия Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. В отдельных случаях (в зависимости от экономической сущности исследуемых показателей) целесообразно при укрупнении уровней рассчитывать средние значения. Пример. Определим тенденцию развития средней заработной платы работников предприятия (табл.1, пример 4). Месячные уровни заработной платы укрупним в квартальные, определив средние значения. Таблица 8 – Динамика среднемесячной заработной платы работников предприятия Квартал 1 2 3 4 Итого за квартал 80,7 82,2 83,3 85,0 В среднем 26,9 27,4 27,8 28,3 28,5 тыс. руб. 28,0 27,5 27,0 26,5 26,0 1 2 3 4 квартал Рисунок 3 – Основная тенденция развития среднемесячной заработной платы работников предприятия Сглаживание рядов динамики на основе скользящих средних основано на вычислении звеньев подвижной средней из такого числа уровней ряда, которая соответствует длительности наблюдаемых в ряду динамики циклов. То есть изначально выбирается период скольжения, равный двум, трем, четырем и т.д. периодам. Например, трехчленная скользящая средняя исчисляется по следующей схеме: y1 y1 y 2 y 3 3 y 2 y3 y 4 3 y3 y 4 y5 y3 3 y2 (первая средняя), (вторая средняя), (третья средняя) и т.д. А для ряда внутригодовой динамики применяется чаще всего четырехчленные скользящие средние. Их расчет состоит в определении средних величин из четырех уровней ряда с отбрасыванием при вычислении каждой новой средней одного уровня ряда слева и присоединением одного уровня справа: y1 y1 y 2 y3 y 4 4 y 2 y3 y 4 y5 4 y y y y y3 3 4 5 6 4 y2 (первая средняя), (вторая средняя), (третья средняя) и т.д. Чтобы отнести скользящую среднюю к определенному периоду необходимо провести центрирование расчетных средних, определяемых как простая средняя арифметическая из 2-х рядом лежащих скользящих средних: y1 y 2 (1-й сглаженный средний уровень), 2 y y3 (2-й сглаженный средний уровень) 2 2 y y4 (3-й сглаженный средний уровень) и т.д. 3 2 y1ценр y 2ценр y3ценр Пример. Определим тенденцию развития средней заработной платы работников предприятия (табл.1, пример 4). Таблица 9 – Динамика средней заработной платы работников предприятия Месяц Средняя Четырехмесячная скользящая средняя заработная плата, нецентрированная центрированная тыс. руб. Январь 26,5 Февраль 27,9 26,88 Март 26,3 27,28 27,08 Апрель 26,8 27,13 27,20 Май 28,1 27,53 27,33 Июнь 27,3 27,85 27,69 Июль 27,9 27,65 27,75 Август 28,1 27,73 27,69 Сентябрь 27,3 27,88 27,80 Октябрь 27,6 28,08 27,98 Ноябрь 28,5 Декабрь 28,9 Центрированные средние наносят на график с эмпирическими данными. 29,5 29 28,5 тыс. руб. 28 27,5 27 26,5 26 25,5 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 месяц эмпирические данные скользящие средние Рисунок 4 – Основная тенденция развития среднемесячной заработной платы работников предприятия Особенность способа сглаживания рядов динамики на основе скользящих средних заключается в том, что полученные средние не дают теоретических рядов, в основе которых лежала бы определенная математическая закономерность. Более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. Оно основано на допущении, что изменения в рядах динамики могут быть выражены определенным математическим законом. На основе теоретического анализа выявляется характер явления во времени и на этой основе выбирается то или иное математическое выражение типа закономерности изменения явления: - линейная функция yt a b t - полином второго порядка yt a b t c t 2 - полином третьего порядка yt a b t c t 2 d t 3 - степенная функция yt a t b - показательная функция yt a bt и другие. Данный прием сводится к следующему: а) на основе экономического анализа явления за рассматриваемый период времени выявляется его характер; б) исходя из характера явления выбирается то или иное математическое уравнение; в) определяются параметры уравнения; г) рассчитываются теоретические (выровненные) уровни ряда динамики, которые наносятся на график эмпирических значений; д) прогнозируются уровни динамического ряда на основе аппроксимирующей модели на предстоящий период. Для нахождения параметров уравнений используют метод наименьших квадратов (в случае линейной, параболической, гиперболической зависимостей) или линеаризации переменных (степенная, показательная и др.). Смысл метода наименьших квадратов состоит в том, что вычисленная линия теоретических уровней должна проходить в максимальной близости к фактическим уровням ряда, то есть ( y y ) 2 t где min y – исходные (эмпирические) уровни динамического ряда; yt - расчетные (теоретические) уровни ряда динамики. Рассмотрим выравнивание ряда динамики по прямой (таблица 10): y t a bt где y – исходные (эмпирические) уровни ряда динамики a и b – параметры уравнения, t – время Параметры уравнения находятся на основе системы уравнений: y a n b t , 2 yt a t b t . Расчет параметров заметно упрощается, если перенести начало отсчета времени в середину исходного ряда (что бы t 0 ). Причем, если число уровней ряда нечетное, нумерация t следующая: …- 3, -2, -1, 0, +1, +2, +3…. ; а если число уровней ряда четное, нумерация t будет следующая: …-5, -3, -1, +1, +3, +5…. При условии, что t=0 (графа 2 таблицы 10) исходные нормальные уравнения принимают вид: y a n 2 , yt b t . y a n отсюда . yt b t 2 Необходимые величины рассчитаны в графах 3 и 4 таблицы 10. Параметризованное уравнение, рассчитанное по данным таблицы 1, пример 1, имеет вид y t 1337,14 12,14 t . В полученное параметризованное уравнение подставляют значения t и получают расчетные значения результативного признака y t (графа 5 таблицы 10), которые и являются тенденцией данного явления. Их наносят на график с эмпирическими данными. Год А Таблица 10 - Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой Объем экспорта, тыс. Условные t2 y*t ŷ t долл. США, (y) обозначения времени (t) 1 2 3 4 5 y yt y 6 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Всего 1200 1350 1400 1370 1350 1380 1310 9360 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 9 4 1 0 1 4 9 28 -3600 -2700 -1400 0 1350 2760 3930 340 1301 1313 1325 1337 1349 1361 1374 9360 0,08393 0,02751 0,05357 0,02399 0,00053 0,01346 0,04852 0,25152 1450 1400 тыс. долл. США 1350 1300 1250 1200 1150 1100 2005 2006 2007 2008 фактические значения 2009 2010 2011 теоретические значения Рис. 5. Динамика эмпирических и теоретических уровней ряда динамики объема экспорта продукции предприятия Рассмотрим выравнивание ряда динамики по полиному второго порядка (таблица 11): y t a bt ct 2 где y – исходные (эмпирические) уровни ряда динамики a, b и с– параметры уравнения, t – время Параметры уравнения находятся на основе системы уравнений: y a n b t c t 2 , 2 3 yt a t b t c t . 2 2 3 4 yt a t b t c t При условии, что t=0 (графа В таблицы 11) исходные нормальные уравнения принимают вид: y a n c t 2 , yt b t 2 . 2 2 4 yt a t c t Необходимые величины рассчитаны в графах 3, 4, 5, 6 таблицы 11. Параметризованное уравнение, рассчитанное по данным таблицы 1, пример 1, имеет вид y t 1393,34 12,14 t 14.05 t 2 В полученное параметризованное уравнение подставляют значения t и получают расчетные значения результативного признака y t (графа 7 таблицы 11), которые и являются тенденцией данного явления. Их так же наносят на график с эмпирическими данными. Год Таблица 11 - Аналитическое выравнивание ряда динамики по полиному второго порядка Объем Условные t2 t4 y*t y*t2 y ŷ t экспорта, обозначе тыс. долл. ния США, (y) времени yt y А 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Всего 1 1200 1350 1400 1370 1350 1380 1310 9360 (t) 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 3 9 4 1 0 1 4 9 28 4 81 16 1 0 1 16 81 196 5 -3600 -2700 -1400 0 1350 2760 3930 340 6 10800 5400 1400 0 1350 5520 11790 36260 7 1230 1313 1367 1393 1391 1361 1303 9360 8 0,0254 0,0275 0,0235 0,0170 0,0307 0,0135 0,0051 0,1427 1450 1400 1350 1300 1250 1200 1150 1100 2005 2006 2007 2008 фактические значения 2009 2010 2011 теоретические значения Рис. 6 Динамика эмпирических и теоретических уровней ряда динамики объема экспорта продукции предприятия Рассмотрим выравнивание ряда динамики по степенной функции (таблица 12): yt a t b где y – исходные (эмпирические) уровни ряда динамики a, b – параметры уравнения, t – время В данном случае необходимо провести линеаризацию переменных, то есть привести степенную функцию к линейному виду путем логарифмирования обеих частей уравнения (для удобства используются логарифмы с постоянным основанием – натуральный или десятичный). Воспользуемся натуральным логарифмом и получим линейную функцию, параметры которой определяются МНК, а в качестве расчетных данных используются не исходные уровни, а их натуральные логарифмы (графа 3 и 4 таблицы 12): ln y ln a t b или ln y ln a b ln t Согласно МНК, построим систему нормальных уравнений: ln y ln a n b ln t , 2 ln y ln t ln a ln t b (ln t ) . Подставим необходимые величины, рассчитанные в графах 5, 6 таблицы 12, и получим: 50,38 ln a 7 b 8,5252 ln a 8,5252 b 13,196 61,4894 . Проведя преобразования, получим линейное уравнение: ln y 7,14 0,0466 ln t Для перехода обратно к степенной функции выполняется потенцирование, т.е.: е ln y е 7 ,14 0, 0466ln t . Таким образом, параметризованное уравнение, рассчитанное по данным таблицы 1, пример 1, имеет вид у 1234,243 t 0,0466 В полученное параметризованное уравнение подставляют значения t и получают расчетные значения результативного признака y t (графа 7 таблицы 12), которые и являются тенденцией данного явления. Их так же наносят на график с эмпирическими данными. Таблица 12 - Расчетная таблица для аналитического выравнивания ряда динамики по степенной функции Год Объем Условные экспорта, обозначен y yt 2 ln y ln y ln t тыс. долл. ия ŷ t (ln t ) ln t y США, (y) времени (t) А 1 2 3 4 5 6 7 8 2005 1200 1 7,0901 0,0000 0,0000 0,0000 1234 0,028536 2006 1350 2 7,2079 0,6931 0,4805 4,9961 1275 0,055733 2007 1400 3 7,2442 1,0986 1,2069 7,9586 1299 0,072089 2008 1370 4 7,2226 1,3863 1,9218 10,0126 1317 0,038972 2009 1350 5 7,2079 1,6094 2,5903 11,6006 1330 0,01454 2010 1380 6 7,2298 1,7918 3,2104 12,9541 1342 0,027738 2011 1310 7 7,1778 1,9459 3,7866 13,9673 1351 0,031599 Всего 9360 28 50,38 8,5252 13,1965 61,4894 9148 0,269206 1450 1400 тыс. долл. США 1350 1300 1250 1200 1150 1100 2005 2006 2007 2008 фактические значения 2009 2010 2011 теоретические значения Рис. 7 Динамика эмпирических и теоретических уровней ряда динамики объема экспорта продукции предприятия Критерием выбора параметризованного (лучшего для прогнозирования) уравнения является наименьшая ошибка аппроксимации: Ea y yˆ t 1 * * 100 n y Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 10%. Рассчитаем ошибки аппроксимации для анализируемых функций (графа 6 таблицы 10; графа 8 таблицы 11; графа 8 таблицы 12): 1 0.25152 100 3.59% - для линейной функции 7 1 E a 0.1427 100 2.04% - для полинома второго порядка 7 1 E a 0.2692 100 3.85% - для степенной функции. 7 Ea Так как все функции имеют ошибку аппроксимации в пределах средней, для прогнозирования можно выбрать любую. В данном случае отдадим приоритет линейной, как наиболее простой. 1.5 Экстраполяция в рядах динамики Экстраполяция – это продление закономерности развития, наблюдавшейся в прошлом, в прогнозируемое будущее. Для выполнения точечного прогноза в параметризованную модель подставляют перспективные значения t и получают расчетное значение ŷ t . Поскольку рассматриваемые методы являются вероятностными, прогнозные значения должны рассчитываться с доверительным интервалом, определяемым по формуле: =t где - предельная ошибка или доверительный интервал; t – коэффициент доверия, соответствующий определенной вероятности, так для вероятности 0,954 t=2, для вероятности 0,997 t=3. - средняя ошибка или ошибка репрезентативности. Ошибка репрезентативности определяется: где y2 y2 n , - дисперсия y; n - число уровней ряда. Прогнозные значения должны быть даны в интервале: от ( ŷ t -t) до ( ŷ t +t). Воспользуемся полученным уравнением линейного тренда y t 1337,14 12,14 t и выполним прогноз на 2012 год (t=4). Точечный прогноз составит: y t 1337,14 12,14 4 1385.7 тыс. долл. США. Интервальный прогноз выполним с вероятностью 95,4% (коэффициент доверия равен 2), дисперсия равна y2 y 2 y 2 1791771 1337.14 2 3820.4 . Отсюда ошибка репрезентативности: y2 n 3820.4 23.4 7 Прогнозные значения будут лежать в интервале: 1385.7 2 23.4 y прогн 1385.7 2 23.4 1338.9 y прогн 1432.5 . Таким образом, с вероятностью 95,4% можно утверждать, что прогнозные значения объема экспорта продукции предприятия будут находиться в интервале от 1338,9 до 1432,5 тыс. долл. США. 1.5 Выявление сезонности в рядах динамики Сезонные колебания - периодические колебания, имеющие определенный и постоянный период, равный годовому промежутку. Измерение сезонных колебаний производится с помощью индексов сезонности. Для выявления сезонных колебаний данные берут за несколько лет, распределенные по месяцам (кварталам). Следует отметить, что средний индекс сезонности всегда равен 100%, следовательно, сумма индексов сезонности по месячным данным равна 1200, а по квартальным данным – 400. В зависимости от существующих в ряду динамики тенденций используются различные правила построения индексов. 1. Ряд динамики не имеет общей тенденции развития либо она невелика. Индекс сезонности: Is yi 100 y y где i — средний уровень ряда, полученный в результате осреднения уровней ряда за одноименные периоды времени; y — общий средний уровень ряда за все время наблюдения. Пример. Для расчета индексов сезонности воспользуемся данными объема экспорта продукции предприятия за 2009 – 2011 годы (табл.1, пример 1), распределенные по месяцам. Таблица 13 – Динамика объема экспорта продукции предприятия Месяц Объем экспорта продукции предприятия, тыс. долл. США 2008 г. 2009 г. 2010 г. В среднем за 3 года, тыс. долл. США yi Индекс сезонности, % Январь 97 99 96 97,3 86,7 Февраль 93 94 97 94,7 84,4 Март 102 100 102 101,3 90,3 Апрель 105 111 108 108,0 96,2 Май 124 128 124 125,3 111,7 Июнь 128 131 126 128,3 114,4 Июль 135 144 129 136,0 121,2 Август 130 138 131 133,0 118,5 Сентябрь 127 125 110 120,7 107,5 Октябрь 114 109 95 106,0 94,5 Ноябрь 100 103 97 100,0 89,1 Декабрь 95 98 95 96,0 85,5 Итого 1350 1380 1310 1346,7 1200,0 112,22 100,0 Общий средний уровень ряда за все время наблюдения y Для наглядного представления сезонной волны индексы сезонности отражают в прямоугольной или полярной системе координат. Построим график в полярной системе координат. декабрь январь 150,0 февраль 100,0 ноябрь март 50,0 октябрь апрель 0,0 сентябрь май август июнь июль Рисунок 8 – Динамика индексов сезонности объема экспорта продукции предприятия 2. Ряд динамики имеет общую тенденцию, и она определена либо методом скользящего среднего, либо методом аналитического выравнивания. При использовании способа аналитического выравнивания алгоритм вычислений индексов сезонности следующий: - по соответствующему полиному вычисляют для каждого месяца (квартала) теоретические уровни yt (графа Д таблицы 14); - определяют отношения фактических месячных (квартальных) данных теоретическим уровням yt (графа Е таблицы 14): yi к соответствующим y I i i 100 yt - находят средние арифметические из процентных соотношений, рассчитанных по одноименным периодам в процентах. I s ( I 1 I 2 .... I n ) : n Пример. Для расчета индексов сезонности воспользуемся данными о производстве молока в регионе, распределенные поквартально. Для определения теоретических уровней выявлен линейный тренд y t 166,05 2,3647 t Год (методика определения тренда рассматривалась ранее) Таблица 14 – Динамика производства молока в регионе Квартал Порядковый Фактические номер периода, t уровни y , тыс. i Теоретические уровни yt Индекс сезонности по каждому тонн кварталу года, % А Б 1 2 3 4 2009 I 1 151,3 163,7 92,4 II 2 162,4 161,3 100,7 III 3 178,5 159,0 112,3 IV 4 161,5 156,6 103,1 2010 I 5 141,3 154,2 91,6 II 6 154,8 151,9 101,9 III 7 164,3 149,5 109,9 IV 8 127,5 147,1 86,7 2011 I 9 134,5 144,8 92,9 II 10 142,2 142,3 99,9 III 11 158,6 140,0 113,3 IV 12 131,2 137,7 95,3 Итого 1808,1 1808,1 1200,0 Определим средние арифметические из процентных соотношений, рассчитанных по одноименным периодам в таблице 15. Таблица 15 – Расчет индексов сезонности Квартал Индексы сезонности, % Средний индекс сезонности, % 2009 г. 2010 г. 2011 г. I 92,4 91,6 92,9 92,3 II 100,7 101,9 99,9 100,8 III 112,3 109,9 113,3 111,8 IV 103,1 86,7 95,3 95,0 Итого 400,0 Для наглядного представления сезонной волны построим график в прямоугольной системе координат. 115,0 110,0 105,0 % 100,0 95,0 90,0 85,0 80,0 1 2 3 квартал Рисунок 9– Динамика индексов сезонности производства молока в регионе 4
