лабораторная работа n 2 - Томский политехнический университет

Федеральное агентство по образованию РФ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Томский политехнический университет
УТВЕРЖДАЮ
Декан АВТФ
_____________С.А. Гайворонский
«___»_________________2008г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ
Методические указания к выполнению лабораторной работы № 1
«Прохождение сигналов через линейные звенья и системы»
по дисциплине
«Математические основы общей теории систем»
для студентов направления 010500
«Прикладная математика и информатика»
Томск 2008г.
УДК 681.513.2
Математические основы общей теории систем. Методические указания к выполнению
лабораторной работы № 1. «Прохождение сигналов через линейные звенья и системы »
по дисциплине «Математические основы общей теории системе» для студентов
направления 010500 «Прикладная математика и информатика». – Томск: Изд. ТПУ, 2008.
- 6с.
Составители – доц. канд. техн. наук Ю. В. Бабушкин
Резензент – доц. канд. техн. наук В. Г. Гальченко
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изучению методическим
семинаром кафедры прикладной математики «___»_________2008г.
Зав. кафедрой
Проф. д-р физ. -мат. наук _________________Григорьев В.П.
2
Лабораторная работа N 1
Тема: прохождение сигналов через линейные звенья и системы
1. Цель работы
Целью лабораторной работы является изучение системных функций и
приобретение практических навыков по определению сигналов, получающихся на
выходе линейных звеньев и систем при подаче на их вход типовых воздействий.
2. Основные теоретические положения
Пусть дано линейное звено или система (далее система) с одной входной f ( t ) и
одной выходной y(t) переменными, описываемая линейным дифференциальным
уравнением вида
d n y( t )
d n 1 y( t )
dy( t )
b0
 b1
 ..., b n 1
 b n y( t ) 
n
n 1
dt
dt
dt
d m f (t)
d m 1f ( t )
df ( t )
a0

a

...,

a
 a m f (t) ,
(1)
1
m

1
dt m
dt m 1
dt
где b i , i  0,...,n; a i , i  0,...,m - коэффициенты, характеризующие параметры системы.
Начальные условия нулевые.
Используя прямое одностороннее преобразование Лапласа

Y (p)   y( t )e  pt dt

и
F(p)   f ( t )e pt dt ,
0
(2)
0
где p    j - комплексная переменная, можно записать
b0 Y(p)p n  b1Y(p)p n 1  ...,b n 1Y(p)p  b n Y(p) 
a 0 F(p)p m  a1F(p)p m1  ...,a m1F(p)p  a m F(p)
или
(b0 p n  b1p n 1  ...,b n 1p  b n )Y(p)  (a 0 p m  a1p m1  ...,a m1p  a m )F(p)
Откуда
a p m  a 1p m 1  ..., a m 1p  a m
Y ( p)
 W ( p)  0 n
.
F(p)
b 0 p  b1p n 1  ..., b n 1 p  b n
(3)
Отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по
Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной
функцией звена (системы) W (p) .
3
Знаменатель данного выражения называется характеристическим уравнением
системы.
На структурных схемах звенья изображаются в виде блоков
F(p)
f(t)
Y(p)
y(t)
W ( p)
При исследовании систем используются следующие типовые сигналы:
- f ( t )  ( t ) - дельта-функция (функция Дирака),
- f ( t )  1( t ) - единичная функция (функция Хевисайда),
- f (t )  t k - линейная функция,
- f ( t )  A sin( t ) - гармоническая функция,
- f (t )  e  at - показательная функция и другие, а также их комбинации.
Реакция системы на входной единичный сигнал типа ( t ) называется весовой
функцией или импульсной переходной характеристикой системы.
Реакция системы на входной сигнал типа 1(t) называется переходной
характеристикой системы.
Гармонические сигналы используются для определения частотных характеристик
звеньев и систем.
Для определения y(t) используется обратное преобразование Лапласа
y( t ) 
c  j
 Y ( p )e
pt
dp ,
(4)
c  j
где с - абсцисса абсолютной сходимости функции Y(p).
Изображения по Лапласу некоторых типовых сигналов представлены в таблице 1.
Таблица 1
N
f (t )
F(p)
1
( t )
1
2
1(t)
1/ p
3
A sin( t )
A /(p 2  2 )
4
Ae at
A /( p  a )
На практике для определения обратного преобразования Лапласа нашли
применение следующие методы:
- непосредственное вычисление интеграла (4),
- использование теоремы разложения,
4
- использование таблиц соответствия преобразования Лапласа,
- использование специализированнных пакетов программ.
A ( p)
Если функция Y(p) 
, где B(p) имеет простые различные полюса p i , то
B(p)
согласно теории вычетов, у(t) может быть получена по формуле разложения вида
A(p i ) p t
e ,
'
i 1 B ( p i )
n
y( t )  
(5)
i
dB
;
dp
n - число простых полюсов функции В(p) (корней уравнения В(р) = 0).
A ( p)
Если функция Y(p) 
, где B(p) имеет простые различные полюса p i , то
pB(p)
согласно теории вычетов, у(t) может быть получена по формуле разложения вида
где B' (p) 
y( t ) 
A(0) n A(p i ) p t

e .
B(0) i 1 p i B' (p i )
(6)
i
Более сложные случаи можно найти в [1-3].
3. Исходные данные
Дифференциальное уравнение, описывающее систему, имеет вид
d 3 y( t )
d 2 y( t )
dy( t )
df ( t )
b0
 b1
 b2
 b 3 y( t )  a 0
 a 1f ( t ) ,
3
2
dt
dt
dt
dt
где a 1  1, b 3  1 .
Варианты заданий исходных данных приведены в таблице 2.
Таблица 2.
П
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
b2
0.6
П
0.7
0.8
0.9
П
0.8
0.7
П
0.8
П
0.9
b1
П
0.3
П
0.2
П
0.4
0.5
П
0.25 0.12
0.1
П
0.03 0.03
П
№
b0
0.02 0.01 0.02
П
0.01 0.02
П
0.01 0.03
5
4. Порядок выполнения и содержание работы
4.1. Для заданного варианта найти аналитические выражения для определения
весовой и переходной характеристик системы в области изображений и во временной
области. Построить весовую и переходную характеристики.
Принять П: для b 1 - 0.5, для b 2 - 0.8, для b 0 - 0.01.
4.2. Запустить пакет программ ТАУ-1 на диске Х в разделе Tsoft\Tau1 файл
taу.bat.
4.3. В меню выбрать программу LINSYS - исследование линейных систем.
4.4. Задать параметры передаточной функции системы согласно заданному
варианту и получить переходные процессы.
4.5. Построить графики функций входных и выходных сигналов.
4.6. Провести исследование влияния параметра П на поведение выходного сигнала.
Построить графики выходного сигнала при различных П.
Примечание. Параметр П задается вблизи границы устойчивости. Для системы 3го порядка при b 0  0 условие устойчивости b1b 2  b 0 b 3 .
4.7. Снять и построить выходные сигналы системы при подаче на вход
синусоидального, линейного и квадратичного сигналов.
5. Контрольные вопросы
5.1. Какие функции называют системными?
5.2. Приведите условия получения весовой и переходной функций.
5.3. Существует ли связь между корнями характеристического уравнения и видом
системных функций? Если да, то поясните.
5.4. Какими особенностями обладают выходные сигналы относительно входных
сигналов?
6. Требования к отчету
В отчете должны быть представлены: цель работы, структурная схема системы,
исходные данные, результаты теоретического и экспериментального изучения системы,
ответы на контрольные вопросы, выводы.
Литература
1. Основы автоматического регулирования и управления. Под ред.В.М.
Пономарева, А.П. Литвинова, М., Высшая школа, 1974 г.
2. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. Под
ред. В.А. Бесекерского, М., Наука, 1978 г.
3. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и
управления. Под ред. Е.А. Санковского, Мн., Вышэйш. школа, 1973 г.
6