Примеры решения задач по разделу «Электродинамика» Задача 1. 3 d

Примеры решения задач по разделу «Электродинамика»
Задача 1.
На пластины плоского конденсатора, расстояние между которыми d  3 мм, подана
разность потенциалов U  1 кВ. Пространство между пластинами заполняется
диэлектриком   7 . Найти поверхностную плотность связанных зарядов ' . На сколько
изменится поверхностная плотность заряда на пластинах при заполнении конденсатора
диэлектриком? Задачу решить, если заполнение конденсатора диэлектриком
производится: а) до отключения конденсатора от источника напряжения; б) после
отключения конденсатора от источника напряжения.
Решение
Введем обозначения:  0 и  д - поверхностные плотности заряда на пластинах
конденсатора в отсутствие и при наличии диэлектрика, соответственно. Результирующее
поле в диэлектрике определяется «эффективным» зарядом
(1)
   д  ' .
Величины  0 ,  д и  - связаны с соответствующими полями соотношениями:
в отсутствие диэлектрика

U
(2)
E1  0  1 .
0
d
Из (1) с учетом (3) имеем
U
(3)
'   0 E 2   0 E 2   0   1E 2   0   1 2
d
а) До отключения конденсатора от источника напряжения
U
мкКл
.
U1  U 2  U и '   0   1  17,7
d
м2
Изменение поверхностной плотности заряда при заполнении конденсатора диэлектриком
U
 д   0   0 Е 2   0 Е1 . Так как в данном случае Е 2  Е 1  , то
d
U
мкКл
 д   0   0   1  '  17,7
.
d
м2
Таким образом, за счет источника напряжения, на пластинах конденсатора появляются
добавочные заряды, компенсирующие изменение заряда в результате поляризации
диэлектрика.
U
б) После отключения конденсатора от источника напряжения q  const и U 2  ,

поэтому
U
U
мкКл
'   0   1 2   0   1 2  2,53
.
d
d
м2
Так как q  const , то '   0 , т.е. поверхностная плотность заряда на пластинах
конденсатора не изменяется.
Задача 2.

 
Напряженность некоторого электростатического поля имеет вид: E  3 2  e r , где  r
константа.
а) Является ли это поле однородным?
б) Найти потенциал этого поля Ur  .
Решение

а) Поскольку модуль вектора E зависит только от расстояния r от некоторой точки i






 
E  3 2 e r  3 2 , направление определяется знаком  : E  r при   0 , и E  r при
r
r
Во всех точках поверхности сферы радиуса r с
  0 , то поле не является однородным.

центром в начале координат величина E одна и та же, поэтому поле является центральносимметричным.


б) Поскольку между E и  имеется связь E  U , которая в сферических координатах
имеет вид

 U 
1 U 
1 U  
E  
er 
e 
e  ,
r sin  
r  
 r

 
то сравнение с данными задачи E  3 2 e r , означает, что поле не зависит от координат 
r
и  . Следовательно
dU

Er  
 32 .
dr
r
Откуда после интегрирования, получим

2
U   dU    E r dr    3 2  1 2  C ,
r
r
где С – константа интегрирования.
Выбрав нулевое значение потенциала на бесконечности, т.е. при r   Ur   0 ,
получим значение константы С = 0. Окончательно имеем
2
U 12 .
r
Задача 3.
Бесконечная пластина из изотропного магнетика толщиной а помещена в
перпендикулярное к ней однородное внешнее поле с индукцией

B 0 (см.рис.7.19). Магнитная проницаемость пластины изменяется
линейно от значения  1 на левой границе до  2 на правой

0
a
границе. Найти H внутри пластины как функцию х.
Решение
B0


Магнитная проницаемость внутри пластины изменяется по закону
  1
 2
x  1 .
a

Рис. 7.19
Из граничных условий для B и однородности поля имеем, что
внутри пластины индукция остается прежней и равной В0,
напряженность же магнитного поля внутри пластины



B0
B0
H

 0
   1

0  2
x  1 
a



  H x H y  H z


Из определения H 
и с учетом того, что B 0 B 0 ,0,0 , имеем
x
y
z
x
 
2


B 0  2   1    2   1
dH x B 0 d  1 



HH x x,0,0  . Поэтому H 

x  1  .

dx
 0 dx  x  
 0a
a


 
Задача 4.
Две катушки намотаны на один общий сердечник (   const ). Индуктивность первой
катушки L1  0,2 Гн, второй L 2  0,8 Гн. Сопротивление второй катушки R 2  600 Ом.
Какой средний ток I2 потечет во второй катушке, если ток I 1  0,3 А, текущий в первой
катушке, выключить в течение времени t  1 мс?
Решение.
Из формул для индуктивности катушки и взаимной индуктивности катушек, имеющих
общий сердечник:
N N
N 12
N 22
L 1   0
S; L 2   0
S; L 21   0 1 2 S;
e
e
e
dI
имеем L 21  L1 L 2 . А так как  2  L 21 1 , то средний ток во второй катушке
dt
2
L1L 2 I 1
0,2  0,8 0,3
L I
I2 
 21 1 

  3  0,2A
R2
R 2 t
R 2 t
600
10
Варианты задач для контрольной работы
Задача 1.
Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов,
  a x 2  y 2  bz 2 , где a и b – положительные константы.

а) найти напряженность поля E и ее модуль Е.
б) какую форму имеют эквипотенциальные поверхности?
в) какую форму имеют поверхности, для которых E  const ?


имеет
вид:
Задача 2.
В
помещена бесконечная
м
плоскопараллельная пластина из однородного и изотропного диэлектрика с
проницаемостью   2,00 . Пластина расположена перпендикулярно к E 0 . Определить:
а) напряженность поля Е и электрическое смещение D внутри пластины.,
б) поляризованность диэлектрика Р,
в) поверхностную плотность связанных зарядов ' .
В однородное электрическое поле с напряженностью E 0  100,0
Задача 3.
Через воображаемую замкнутую поверхность течет постоянный ток силы I. Чему он равен
и как направлен, если за промежуток времени t поток электрического смещения через
поверхность  D возрастает от значения  1 до значения  2  1   2  ?
Задача 4.
Две квадратные пластины со стороной   300 мм, закрепленные на расстоянии d  2,00
мм друг от друга, образуют плоский конденсатор, подключенный к источнику
постоянного напряжения U  250 В. Расположенные вертикально пластины погружают в
мм
сосуд с керосином со скоростью v  5,00
. Найти силу тока I, текущего при этом по
с
подводящим проводам.
Задача 5.
Найти сопротивление R трубки длиной   84 см и площадью S  5 мм2, если она
заполнена воздухом, ионизированным так, что в единице объема при равновесии
n  1013 м-3 однозарядных ионов каждого знака. Подвижности ионов
м2
м2
u   1,3  10  4
и u   1,8  10  4
.
Вс
Вс
находится
Задача 1.
Внутри прямого провода круглого сечения имеется круглая цилиндрическая полость, ось
которой параллельна оси провода. Смещение оси полости относительно провода

определяется вектором a . По проводу течет ток одинаковый по всему сечению плотности



j . Найти напряженность поля H внутри полости. Рассмотреть случай a  0 .
Задача 2.
Известно, что: 1) плотность стационарного тока j параллельна оси z и зависит только от
расстояния r до этой оси, 2) циркуляция С вектора Н по перпендикулярному к оси z
плоскому контуру радиуса r с центром на этой оси пропорциональна третьей степени r:
C  r 3 . Найти вид функции j(r).


S
B0
x
B0
Рис. 7.20
Задача 3.
Две пластины из магнетиков с проницаемостями  1 и  2
сложены вместе и помещены в перпендикулярное к ним
однородное поле с индукцией В0 (рис.7.20). Пунктиром показана
воображаемая цилиндрическая поверхность с образующими,

параллельными
и
основаниями
площади
S,
B0 ,

перпендикулярными к вектору B 0 . Чему равны поток ФВ


вектора B и поток ФН вектора H через эту поверхность?
Задача 4.
Железный сердечник, изображенный на рис.7.21 несет на себе обмотку, по которой течет
постоянный ток. В результате в сердечнике возникает поле с индукцией В.
Проницаемость железа при этих условиях равна  . Площадь поперечного сечения
сердечника равна S. Один из концов сердечника входит внутрь воображаемой замкнутой

поверхности S’. Найти для этой поверхности поток вектора ФВ вектора B и поток ФН

вектора H .
S'
B
S

Рис. 7.21
Задача 5.
Катушка с индуктивностью L = 250мГн и сопротивлением R = 0,300Ом, подключается к
источнику постоянного напряжения. Через какой промежуток времени  сила тока в
катушке достигнет а) 50%, б) 75% установившегося значения? Сопоставьте оба значения
.
Задача 6.
Первоначально  -частица движется свободно со скоростью v  0,350  10 7 м/с. В
некоторый момент времени в окрестности частицы создается перпендикулярное к ее
скорости однородное магнитное поле с индукцией В = 1,000Тл. Найти:
а) радиус r траектории частицы,
б) величину и направление ее магнитного момента pm,
в) отношение магнитного момента pm частицы к ее механическому моменту М.
Заряд  -частицы е’= 2е, масса m  6,65  10 27 кг.
Задача 7.
Рамка, площадь которой S = 16cм , вращается в однородном поле с частотой n = 2c-1. Ось
вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна к направлению магнитного
поля. Напряженность магнитного поля Н = 79,6кА/м. Найти зависимость магнитного
потока Ф, пронизывающего рамку, от времени t и наибольшее значение Фmax магнитного
потока.
2
Задача 8.
Длина железного тороида  1  1 м, длина воздушного зазора  2  1 см. Площадь
поперечного сечения сердечника S = 25см2. Сколько ампервитков потребуется для
создания магнитного потока Ф = 1,4мВб, если магнитная проницаемость сердечника
  800 ? (зависимость В от Н для железа неизвестна).
Задача 9.
Найти магнитный поток Ф, пронизывающий площадь сечения кольца предыдущей задачи,
учитывая, что магнитное поле в различных точках сечения кольца различно. Значение 
считать постоянным.
Задача 10.
Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так, что плоскость контура
перпендикулярна к направлению магнитного поля. Напряженность магнитного Н =
150кА/м. По контуру течет ток I = 2А. Радиус контура R = 2см. Какую работу А надо
совершить, чтобы повернуть контур на угол   90 o вокруг оси, совпадающей с
диаметром контура?