1) Распределение системы дискретных случайных величин (X,Y) задано таблицей Y\X 0

1) Распределение системы дискретных случайных величин (X,Y) задано
таблицей
Y\X 0
2 4 6
-2 0,15 0,05 0,1 0
0 0,05 0,1 0,2 0,15
2 0,1 0,05 0 0,05
Найти условное математическое ожидание E(X|Y) и E(Y|X), найти
математическое ожидание этих случайных величин, проверить формулу
полного математического ожидания. Построить линейную регрессию X наY
и Y на X и вычислить значения этих функций в точках xi и yj .
Решение.
Закон распределения случайной величины Х:
Х
0
2
4
6
Р
0,15+0,05+0,1=0,3 0,05+0,1+0,05=0,2 0,1+0,2+0=0,3
0+0,15+0,05=0,2
Математическое ожидание случайной величины Х по формуле M ( X )   xi  P xi 
M ( X )  0  0 ,3  2  0 ,2  4  0 ,3  6  0 ,2  2,8
Пусть Y  2 , P( Y  2 )  0 ,15  0 ,05  0 ,1  0 ,3 .
P X  0 ,Y  2  0 ,15 1
Тогда P X  0 | Y  2  


PY  2 
0 ,3 2
P X  2 ,Y  2  0 ,05 1
P X  2 | Y  2  


PY  2 
0 ,3 6
P X  4 ,Y  2  0 ,1 1
P X  4 | Y  2  


PY  2 
0 ,3 3
P X  6 ,Y  2  0
P X  6 | Y  2  

0
PY  2 
0 ,3
Поэтому
i
M  X | Y   2   0  P  X  0 | Y  2   2  P  X  2 | Y  2   4  P  X  4 | Y   2  
1
1
1
5
 6  P  X  6 | Y  2   0   2   4   6  0 
2
6
3
3
Пусть Y  0 , P( Y  0 )  0 ,05  0 ,1  0 ,2  0 ,15  0 ,5 .
P X  0 ,Y  0  0 ,05 1
Тогда P X  0 | Y  0  


PY  0 
0 ,5 10
P X  2 ,Y  0  0 ,1 1
P X  2 | Y  0  


PY  0 
0 ,5 5
P X  4 ,Y  0  0 ,2 2
P X  4 | Y  0  


PY  0 
0 ,5 5
P X  6 ,Y  0  0 ,15 3
P X  6 | Y  0  


PY  0 
0 ,5 10
Поэтому
M  X | Y  0   0  P X  0 | Y  0   2  P X  2 | Y  0   4  P X  4 | Y  0  
1
1
2
3 19
 6  P X  6 | Y  0   0   2   4   6  
10
5
5
10 5
Пусть Y  2 , P( Y  2 )  0 ,1  0 ,05  0 ,05  0 ,2 .
P X  0 ,Y  2  0 ,1 1
Тогда P X  0 | Y  2  


PY  2 
0 ,2 2
P X  2 ,Y  2  0 ,05 1
P X  2 | Y  2  


PY  2 
0 ,2 4
P X  4 ,Y  2  0
P X  4 | Y  2  

0
PY  2 
0 ,2
P X  6 ,Y  2  0 ,05 1
P X  6 | Y  2  


PY  2 
0 ,2 4
Поэтому
M  X | Y  2   0  P X  0 | Y  2   2  P X  2 | Y  2   4  P X  4 | Y  2  
1
1
1
 6  P X  6 | Y  2   0   2   4  0  6   2
2
4
4
Проверим формулу полного математического ожидания
M ( X )   M  X | Y  yi   PY  yi 
i
M( X ) 
5
19
 0 ,3 
 0 ,5  2  0 ,2  0 ,5  1,9  0 ,4  2 ,8
3
5
Закон распределения случайной величины Y :
-2
0
2
Y
Р
0,15+0,05+0,1=0,3 0,05+0,1+0,2+0,15=0,5 0,1+0,05+0,05=0,2
Математическое ожидание случайной величины Y по формуле M ( Y )   yi  P yi 
M ( Y )  2  0 ,3  0  0 ,5  2  0 ,2  0 ,2
Пусть X  0 , P( X  0 )  0 ,15  0 ,05  0 ,1  0 ,3 .
P X  0 ,Y  2  0 ,15 1
Тогда PY  2 | X  0  


P X  0 
0 ,3 2
P X  0 ,Y  0  0 ,05 1
PY  0 | X  0  


P X  0 
0 ,3 6
P X  0 ,Y  2  0 ,1 1
PY  2 | X  0  


P X  0 
0 ,3 3
i
Поэтому
M Y | X  0   2  PY  2 | X  0   0  PY  0 | X  0   2  PY  2 | X  0  
1
1
1
1
 2   0   2   
2
6
3
3
P( X  2 )  0 ,05  0 ,1  0 ,05  0 ,2 .
P X  2 ,Y  2  0 ,05 1
Тогда PY  2 | X  2  


P X  2 
0 ,2 4
P X  2 ,Y  0  0 ,1 1
PY  0 | X  2  


P X  2 
0 ,2 2
P X  2 ,Y  2  0 ,05 1
PY  2 | X  2  


P X  2 
0 ,2 4
Пусть X  2 ,
Поэтому
M Y | X  2   2  PY  2 | X  2   0  PY  0 | X  2   2  PY  2 | X  2  
1
1
1
 2   0   2   0
4
2
4
Пусть X  4 , P( X  4 )  0 ,1  0 ,2  0  0 ,3 .
P X  4 ,Y  2  0 ,1 1
Тогда PY  2 | X  4  


P X  4 
0 ,3 3
P X  4 ,Y  0  0 ,2 2
PY  0 | X  4  


P X  4 
0 ,3 3
P X  4 ,Y  2  0
PY  2 | X  4  

0
P X  4 
0 ,3
Поэтому
M Y | X  4   2  PY  2 | X  4   0  PY  0 | X  4   2  PY  2 | X  4  
1
2
2
 2   0   2  0  
3
3
3
Пусть X  6 , P( X  6 )  0 ,15  0 ,05  0 ,2 .
P X  6 ,Y  2  0
Тогда PY  2 | X  6  

0
P X  6 
0 ,2
P X  6 ,Y  0  0 ,15 3
PY  0 | X  6  


P X  6 
0 ,2 4
P X  6 ,Y  2  0 ,05 1
PY  2 | X  6  


P X  6 
0 ,2 4
Поэтому
M Y | X  6   2  PY  2 | X  6   0  PY  0 | X  6   2  PY  2 | X  6  
3
1 1
 2  0  0   2  
4
4 2
Проверим формулу полного математического ожидания
M ( Y )   M Y | X  xi   P X  xi 
i
1
2
1
M ( Y )    0 ,3  0  0 ,2   0 ,3   0 ,2  0 ,2
3
3
2
M ( XY )  0  ( 2 )  0 ,15  2  ( 2 )  0 ,05  4  ( 2 )  0 ,1  6  ( 2 )  0  0  0  0 ,05 
 2  0  0 ,1  4  0  0 ,2  6  0  0 ,15  0  2  0 ,1  2  2  0 ,05  4  2  0  6  2  0 ,05  0 ,2
M ( X 2 )  0 2  0 ,3  22  0 ,2  4 2  0 ,3  6 2  0 ,2  12 ,8
M ( Y 2 )  ( 2 )2  0 ,3  0 2  0 ,5  2 2  0 ,2  2
Уравнение парной регрессии имеет вид y  Ax  B ,
где коэффициенты корреляции могут быть вычислены по формулам
A
M ( XY )  M ( X )  M ( Y )  0 ,2  2 ,8  ( 0 ,2 ) 0 ,36


 0 ,07 ,
2
12 ,8  2 ,8 2
4 ,96
M ( X 2 )   M ( X )
B  M (Y )  A  M ( X )  0,2  0,07  2,8 ??????  0,396 .
1. Знак?
2. Зачем три знака, при такой точности A?
Следовательно, получаем уравнение парной (линейной) регрессии
y  0 ,07  x  0 ,0396 .
x
y
0
0,396
2
0,536
4
0,676
6
0,816
Уравнение парной регрессии имеет вид x  ay  b ,
где коэффициенты корреляции могут быть вычислены по формулам
M ( XY )  M ( X )  M ( Y )  0 ,2  2 ,8  ( 0 ,2 ) 0 ,36
a


 0 ,18 ,
2
2  ( 0 ,2 )2
1,96
M ( Y 2 )  M ( Y )
b  M ( X )  a  M ( Y )  2,8  0 ,18  ( 0 ,2 )  2,836 .
Следовательно, получаем уравнение парной регрессии
x  0 ,18  y  2,836 .
Y
x
-2
0
2
2,476
2,836
3,196
Результат графически.
Не нужно. Не проверяю.
2) Случайный вектор (X, Y ) задан матрицей распределения:
Y\X -1 0
2
1 0,15 0,05 0,2
2 0,05 0,1 0,15
3 0,1 0,15 0,05
Найти условные математические ожидания E(X|Y ) и E(Y |X), проверить формулу полного математического ожидания. Построить линейную регрессию X
на Y и Y на X и вычислить значения этих функций в точках xi и yj .
Геометрически сравнить значения регрессии и линейной регрессии.
Решение.
Закон распределения случайной величины Х:
Х
-1
0
2
Р
0,15+0,05+0,1=0,3 0,05+0,1+0,15=0,3 0,2+0,15+0,05=0,4
Математическое ожидание случайной величины Х по формуле M ( X )   xi  P xi 
M ( X )  1  0 ,3  0  0 ,3  2  0 ,4  0 ,5
Пусть Y  1 , P( Y  1 )  0 ,15  0 ,05  0 ,2  0 ,4 .
P X  1,Y  1 0 ,15 3
Тогда P X  1 | Y  1 


PY  1
0 ,4 8
i
P X  0 ,Y  1 0 ,05 1


PY  1
0 ,4 8
P X  2 ,Y  1 0 ,2 1
P X  2 | Y  1 


PY  1
0 ,4 2
P X  0 | Y  1 
Поэтому
M  X | Y  1  1  P X  1 | Y  1  0  P X  0 | Y  1  2  P X  2 | Y  1 
3
1
1 5
 1   0   2  
8
8
2 8
Пусть Y  2 , P( Y  2 )  0 ,05  0 ,1  0 ,15  0 ,3 .
P X  1,Y  2  0 ,05 1
Тогда P X  1 | Y  2  


PY  2
0 ,3 6
P X  0 ,Y  2  0 ,1 1
P X  0 | Y  2  


PY  2 
0 ,3 3
P X  2 ,Y  2  0 ,15 1
P X  2 | Y  2  


PY  2 
0 ,3 2
Поэтому
M  X | Y  2   1  P  X   1 | Y  2   0  P  X  0 | Y  2   2  P  X  2 | Y  2  
1
1
1 5
 1   0   2  
6
3
2 6
Пусть Y  3 , P( Y  3 )  0 ,1  0 ,15  0 ,05  0 ,3 .
P X  1,Y  3 0 ,1 1
Тогда P X  1 | Y  3 


PY  3
0 ,3 3
P X  0 ,Y  3 0 ,15 1
P X  0 | Y  3  


PY  3
0 ,3 2
P X  2 ,Y  3 0 ,05 1
P X  2 | Y  3  


PY  3
0 ,3 6
Поэтому
M  X | Y  3   1  P  X  1 | Y  3   0  P  X  0 | Y  3   2  P  X  2 | Y  3  
1
1
1
 1   0   2   0
3
2
6
Проверим формулу полного математического ожидания
M ( X )   M  X | Y  yi   PY  yi 
i
M( X ) 
5
5
 0 ,4   0 ,3  0  0 ,3  0 ,5
8
6
Закон распределения случайной величины Y :
1
2
Y
Р
0,15+0,05+0,2=0,4 0,05+0,1+0,15=0,3
3
0,1+0,15+0,05=0,3
Математическое ожидание случайной величины Y по формуле M ( Y )   yi  P yi 
M ( Y )  1  0 ,4  2  0 ,3  3  0 ,3  1,9
Пусть X  1, P( X  1 )  0 ,15  0 ,05  0 ,1  0 ,3 .
P X  1,Y  1 0 ,15 1
Тогда PY  1 | X  1 


P X  1
0 ,3 2
P X  1,Y  2  0 ,05 1
PY  2 | X  1 


P X  1
0 ,3 6
P X  1,Y  3 0 ,1 1
PY  3 | X  1 


P X  1
0 ,3 3
i
Поэтому
M Y | X  1  1  PY  1 | X  1  2  PY  2 | X  1  3  PY  3 | X  1 
1
1
1 11
 1  2   3  
2
6
3 6
P( X  0 )  0 ,05  0 ,1  0 ,15  0 ,3 .
P X  0 ,Y  1 0 ,05 1
Тогда PY  1 | X  0  


P X  0 
0 ,3 6
P X  0 ,Y  2  0 ,1 1
PY  2 | X  0  


P X  0 
0 ,3 3
P X  0 ,Y  3 0 ,15 1
PY  3 | X  0  


P X  0 
0 ,3 2
Пусть X  0 ,
Поэтому
M Y | X  0   1  PY  1 | X  0   2  PY  2 | X  0   3  PY  3 | X  0  
1
1
1 7
 1  2   3  
6
3
2 3
Пусть X  2 , P( X  2 )  0 ,2  0 ,15  0 ,05  0 ,4 .
P X  2 ,Y  1 0 ,2 1
Тогда PY  1 | X  2  


P X  2 
0 ,4 2
P X  2 ,Y  2  0 ,15 3
PY  2 | X  2  


P X  2 
0 ,4 8
P X  2 ,Y  3 0 ,05 1
PY  3 | X  2  


P X  2 
0 ,4 8
Поэтому
M Y | X  2   1  PY  1 | X  2   2  PY  2 | X  2   3  PY  3 | X  2  
1
3
1 13
 1  2   3  
2
8
8 8
Проверим формулу полного математического ожидания
M ( Y )   M Y | X  xi   P X  xi 
i
M(Y ) 
11
7
13
 0 ,3   0 ,3   0 ,4  1,9
6
3
8
M ( XY )  1  1  0 ,15  ( 1 )  2  0 ,05  ( 1 )  3  0 ,1  0  1  0 ,05 
 0  2  0 ,1  0  3  0 ,15  2  1  0 ,2  2  2  0 ,15  2  3  0 ,05  0 ,75
M ( X 2 )  ( 1 )2  0 ,3  0 2  0 ,3  2 2  0 ,4  1,9
M ( Y 2 )  12  0 ,4  2 2  0 ,3  32  0 ,3  4 ,3
Уравнение парной регрессии имеет вид y  Ax  B ,
где коэффициенты корреляции могут быть вычислены по формулам
M ( XY )  M ( X )  M ( Y ) 0 ,75  0 ,5  1,9  0 ,2
A


 0 ,12 ,
2
1,9  0 ,5 2
1,65
M ( X 2 )  M ( X )
B  M ( Y )  A  M ( X )  1,9  0 ,12  0 ,5  1,96 .
Следовательно, получаем уравнение парной регрессии
y  0 ,12  x  1,96 .
X
y
-1
0
2
2,08
1,96
1,72
Уравнение парной регрессии имеет вид x  ay  b ,
где коэффициенты корреляции могут быть вычислены по формулам
M ( XY )  M ( X )  M ( Y ) 0 ,75  0 ,5  1,9  0 ,2
a


 0 ,29 ,
2
4 ,3  1,9 2
0 ,69
M ( Y 2 )  M ( Y )
b  M ( X )  a  M ( Y )  0 ,5  0 ,29  1,9  1,051 .
Следовательно, получаем уравнение парной регрессии
x  0 ,29  y  1,051.
Y
x
1
2
3
0,761
0,471
0,181
Решение. Изобразим область распределения системы случайных величин
 X ,Y  :
cy 2 ,  x , y   L ,
Плотность распределения имеет вид f ( x , y )  
, где L
0 ,  x , y   L .
треугольник, ограниченный прямыми
x = 1, y = 0, y-x = 0.

  f ( x , y )dxdy  1 .
Найдем неизвестный параметр С из условия

 

 
1 x
1 x
f ( x , y )dxdy    cy dydx  c  
2
0 0
1
0 0
1
x
1
y3
x3
y dydx  c  
dx  c   dx 
3 0
3
0
0
2
 x4 
c
c
c
 c    
 1  0  

 1  c  12
12
12
 12  0 12
12 y 2 ,  x , y   L ,
Таким образом, f ( x , y )  
0 ,  x , y   L .
где L треугольник, ограниченный
прямыми x = 1, y = 0, y-x = 0.
Одномерные плотности распределения:

x
y3
1 ( x )   f ( x , y )dy  12   y dy  12 
3

0
x
1 ( x )  0 , если x  0;1 .
2 ( y ) 

0
1 y

 y dx  12 y
y  0;1 .
f ( x , y )dx  12 

2
2
 4 y 3  4 x 3 , если x  0;1
0
x
2
x
1 y
0
 12 y 2  1  y  , если y  0;1
0
2 ( y )  0 , если
Математическое ожидание случайной величины X :

1
1
1
x5
4
m X   x  1 ( x )dx   x  4 x dx  4  x dx  4 

50 5

0
0
3

mX 2
4
1
1
1
x6
2
  x  1 ( x )dx   x  4 x dx  4  x dx  4 

6 0 3

0
0
2
2
3
5
Дисперсия случайной величины X :
D( X )  m X 2
2 4
2
 m X     
2

3 5
2
75
Математическое ожидание случайной величины Y :

mY 
 y   ( y )dy   y  12 y  1  y dy  12 
1
1
2
2

0

mY 2 
y

0
1
2
1
 2 ( y )dy   y  12 y  1  y dy  12 
2
2
0
0
Дисперсия случайной величины Y :
D( Y )  mY 2  mY 
2
2
2  3
1
   
5 5
25
Ковариационный момент:
1
 y4 y5 
3
y  y dy  12  
  
5 0 5
 4
3

4

1
 y 5 y6 
2
y  y dy  12     
6 0 5
 5
4
5

 
4 
3 2

   x  m X  y  mY  f  x , y dxdy 12   x  5  y  5   y dydx 
K XY 
1 x
 
1
0 0


x
1


12
3

  5 x  4   5 y 4  4 y 3 dx 
  5 x  4   5 x 4  4 x 3 dx 
455 0
25 0
0
1


3

  25 x 5  40 x 4  16 x 3 dx 
25 0
1

3  25 x 6
3  25
 1

 
 8 x 5  4 x 4  
   8  4 
25  6
 50
 0 25  6
Коэффициент корреляции:
rXY
K XY


 X  Y
1
50
2
1

75
25
 0 ,61 .
Составим уравнение регрессии y  b0  b1  x
1
3 3 4
K XY
3
b1 
 50  , b0  mY  b1  m X     0 .
2
5 4 5
D( X )
4
75
3
4
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид y   x .
Линейной регрессии!!!!!
Составим уравнение регрессии x  a0  a1  y ??? Линейной.
1
4 1 3 1
K XY
1
a1 
 50  , a0  m X  a1  mY     .
1
5 2 5 2
D( Y )
2
25
1
2
1
2
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид x    y .
Рисунок должен быть соотнесён с треугольником.
Дальше ошибка. Это снова нахождение
линейной регрессии (должно совпасть с
предыдущим).
Найдем регрессию:
𝑚𝑥|𝑦 (𝑦) = 𝑟𝑥𝑦
𝜎𝑥
(𝑦 − 𝑀𝑦 ) + 𝑀𝑥
𝜎𝑦
2⁄
3
4
3
4
𝑚𝑥|𝑦 (𝑦) = 0,61 ∙ √ 75 (𝑦 − ) + = 0.498 (𝑦 − ) +
1⁄
5
5
5
5
25
𝑚𝑦|𝑥 (𝑥) = 𝑟𝑥𝑦
𝜎𝑦
(𝑥 − 𝑀𝑥 ) + 𝑀𝑦
𝜎𝑥
1⁄
4
3
3
4
𝑚𝑦|𝑥 (𝑥) = 0,61 ∙ √ 25 (𝑥 − ) + = 0,747 (𝑥 − ) +
2⁄
5
5
5
5
75
Регрессия это линия средних в сечениях (математическое ожидание Y при фикс. X).
Эта линия при 𝑥 ∈ (0,1)целиком лежит в треугольнике и может не быть прямой.
𝑓(𝑥,𝑦)
Нужно найти условную плотность 𝑓𝑌|𝑥 (𝑦|𝑥) = 𝑓 (𝑥) и
𝑚𝑌|𝑋 (𝑥) =
(сечение).
𝑏
∫𝑎 𝑦𝑓𝑌|𝑋 (𝑦|𝑥)𝑑𝑦,
𝑋
где [a,b] – отрезок прямой y=x, заключённый в треугольнике