10-ый класс Задача 1. Лепестки ромашки. Девочка идет по берегу вдоль быстрого ручья по направлению течения со скоростью V1 = 4 км/ч и непрерывно бросает в воду лепестки ромашек. Ее подружка сидит на берегу и вылавливает все проплывающие мимо лепестки. Чему равна скорость течения в ручье V2, если за одну минуту подружка собирает в 3 раза больше лепестков, чем девочка бросает каждую минуту? Решение: Решение следует из сравнения скоростей девочки и подружки относительно воды: 3(V2 - V1) = V2, V2 = 3V1/2 = 6 км/ч, где учтено что относительно воды, на поверхности которой лепестки покоятся, скорости девочки и подружки соответственно равны (V2 - V1) и V2. Ответ: V2 = 3V1/2 = 6 км/ч. Критерии оценивания: Шаги выполнения задания 3(V2 - V1) = V2 Решение и ответ Сумма баллов: Число баллов 6 4 10 Задача 2. Падение с высоты. С какой высоты H упало тело без начальной скорости, если последние h = 200 м оно прошло за время t = 4 с? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2, сопротивлением воздуха можно пренебречь. Решение: Из условия того, что время падения с высоты H равно сумме времени падения с высоты (H - h) и времени t на участке h, получаем: (2H/g)1/2 = [2(H - h)/g]1/2 + t, 2H/g = 2(H - h)/g + 2t[2(H - h)/g]1/2 + t2, 2h/g - t2 = 2t[2(H - h)/g]1/2, (2h/g - t2)2 = 8t2(H - h)/g, H = (gt2 + 2h)2/(8gt2). Ответ: H = (gt2 + 2h)2/(8gt2) = 245 м. Критерии оценивания: Шаги выполнения задания 1/2 Время (2H/g) Время [2(H - h)/g]1/2 Уравнение (2H/g)1/2 = [2(H - h)/g]1/2 + t Решение и ответ Сумма баллов: Число баллов 1 1 4 4 10 Задача 3. Конструкция с пружинами. Верхняя планка прикреплена к потолку тремя пружинами. К ней на двух пружинах прикреплена нижняя планка. К нижней планке прикреплена одна пружина. Когда к нижнему концу нижней пружины подвесили некоторый груз, то этот конец сместился вниз на h = 22 мм. На какую величину при этом от своих положений равновесия сместились верхняя h1 и нижняя h2 планки? Все пружины одинаковые. Зависит ли ответ, если планки не являются невесомыми и имеют некоторые массы? Решение: Из геометрии системы следует, что растяжение верхних пружин равно h1, средних - (h2 h1) и нижней - (h - h2). Если k - коэффициент жесткости каждой пружины, то с учетом закона Гука для пружин условие равновесия верхней и нижней планок записывается соответственно в виде: 3kh1 = 2k(h2 - h1), 2k(h2 - h1) = k(h - h2). После сокращения k в этой системе двух уравнений ее решение дает h1 = 2h/11 = 4 мм, h2 = 5h/11 = 10 мм. Поскольку здесь h, h1 и h2 - величины дополнительного смещения концов пружин при подвесе шара, то ответ от массы планок не зависит. Ответ: h1 = 2h/11 = 4 мм, h2 = 5h/11 = 10 мм, от массы планок не зависит. Критерии оценивания: Шаги выполнения задания растяжение средних пружин (h2 - h1) растяжение нижней - (h - h2). 3kh1 = 2k(h2 - h1) 2k(h2 - h1) = k(h - h2). Решение и ответ Сумма баллов: Число баллов 2 2 2 2 2 10 Задача 4. Стрельба по движущейся цели. В деревянный брусок массой m1 = 80 г, вертикально движущийся со скоростью V1 = 20 м/с, попадает и застревает в нем пуля массой m2 = 20 г, которая летит горизонтально со скоростью V2 = 100 м/с. Найдите а) модуль скорости V бруска после столкновения, б) количество теплоты Q, выделившееся при столкновении. Решение: Из закона сохранения импульса в горизонтальном и вертикальном направлениях m2V2 = (m1 + m2)Vx, m1V1 = (m1 + m2)Vy находим проекции скорости бруска на горизонтальную Vx и вертикальную Vy оси и модуль его скорости V = (Vx2 + Vy2)1/2 = [(m1V1)2 + (m2V2)2]1/2/(m1 + m2) = 25,6 м/с. Из закона сохранения энергии получаем Q = m1V12/2 + m2V22/2 - (m1 + m2)V2/2 = m1m2(V12 + V22)/[2(m1 + m2)] = 83,2 Дж. Ответ: а) V = [(m1V1)2 + (m2V2) 2]1/2/(m1 + m2) = 25,6 м/с; б) Q = m1m2(V12 + V22)/[2(m1 + m2)] = 83,2 Дж. Критерии оценивания: Шаги выполнения задания m2V2 = (m1 + m2)Vx m1V1 = (m1 + m2)Vy V = (Vx2 + Vy2)1/2 = [(m1V1)2 + (m2V2)2]1/2/(m1 + m2) = 25,6 м/с Закон сохранения энергии Q = m1V12/2 + m2V22/2 - (m1 + m2)V2/2 = m1m2(V12 + V22)/[2(m1 + m2)] = 83,2 Дж. Сумма баллов: Число баллов 2 2 2 1 3 10 Задача 5. Нагревание воды. В таз с водой при температуре t1 = 20 °С вливают чайник кипятка при температуре t0 = 100 °С и температура воды становится равной t2 = 40 °С. Сколько N всего чайников кипятка потребуется вылить в таз, чтобы температура воды в нем стала равной t3 = 70 °С? Во сколько раз первоначальная масса воды в тазу больше массы воды в чайнике? Решение: Пусть M и m - масса первоначальной воды в тазу и чайнике соответственно, c - удельная теплоемкость воды. Тогда уравнения теплового баланса для двух случаев "заливки" одного и N чайников записываются в виде: Mct1 + mct0 = (M + m)ct2, Mct1 + Nmct0 = (M + Nm)ct3. Из решения системы этих двух уравнений относительно N и M получаем: N = (t0 - t2)(t3 - t1)/[(t0 - t3)(t2 - t1)] = 5, M = m(t0 - t2)/(t2 - t1), M/m = (t0 - t2)/(t2 - t1) = 3. Ответ: N = (t0 - t2)(t3 - t1)/[(t0 - t3)(t2 - t1)] = 5, M/m = (t0 - t2)/(t2 - t1) = 3. Критерии оценивания: Шаги выполнения задания Mct1 + mct0 = (M + m)ct2 Mct1 + Nmct0 = (M + Nm)ct3 Решение для M = m(t0 - t2)/(t2 - t1) Решение для M = m(t0 - t2)/(t2 - t1) Решение для M/m = (t0 - t2)/(t2 - t1) = 3 Сумма баллов: Число баллов 2 3 2 2 1 10