Графические методы решения задач 2. Построение графиков циклов идеального газа Пусть требуется построить график цикла идеального газа, заданный в каких-либо двух координатных осях из тройки р, V, Т (например, показанный на рис. 1), в другой паре осей. Рис.1 Как безошибочно выполнить такое построение? Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева. pV m RT (1) Если масса газа не изменяется (т = const), то уравнение состояния может быть записано в виде: pV c, T (2) где c m R- константа для данной задачи. Уравнение (2) называется уравнением Клапейрона, именно оно является нашей главной рабочей формулой и справедливо в каждой точке заданного и искомых графиков. Вспомним, как выглядят графики изопроцессов и как на них влияет третий (отсутствующий параметр а) Изотермы. Рис.2 б) Изобары. в) Изохоры. а) Изотермы: чем выше Т, тем выше идёт гипербола pV cT б) Изобары: чем выше р, тем меньше наклон прямой V c T . p в) Изохоры: чем больше V, тем меньше наклон прямой p c T . V 2.Если график цикла задан в координатах V, Т, новые координаты логичнее расположить так, как показано, на рис. 3. Рис.3 Пусть цикл идеального газа задан в координатах р, Т. Требуется найти вид этого цикла в координатах р, V и V, Т. Строим новые координаты удобным образом, записываем соответствующие каждому участку графика формулы, используя уравнение (2), переносим заданные значения рi и Тi (рис.4) Находим точку или линию, где третий (отсутствующий, на исходном графике) параметр имеет максимальное значение. В нашем. случае, это объём: Vmax V2 . Задаём масштаб по координате V, проводя линии V V2 в координатах p,V и V,Tи определяя тем самым положение точки 2 в этих координатах. Процесс 1-2 в координатах V,T -это прямая линия c T , V p1.2 которая проходит через начало координат и точку 2. Проводим её и находим точку 1 на пересечении этой линий с вертикалью T T1.4 . Отмечаем значение V1 в координатах- V,T и p,V. Теперь самое трудное: в координатах р, V надо построить две гиперболы, проходящие через точки 1и 2. Проще всего выполнить это построение по клеткам: в точке 2 pV 6 2 12 клеток. Так как для каждой точки искомой. гиперболы должно выполняться: pV = 12, легко найти следующие точки,: (р = 6, V = 2); (р = 4, V = 3); (р= 3, V = 4). Строим по этим точкам гиперболу и на её пересечении с линией p p3.4 находим тояку 3. Чуть труднее построение для точки 1, т.к. p1V1 3 : (р = 3, V = 1); (р = 6, V= 0,5) и т.д. - находим точку 4 .Значения V3 и V4 наносим, на ось.V в координатах V,Т. и p,V (рис. 5). Если гиперболы построены правильно, то эти точки должны оказаться- на одной -прямой, проходящей через начало координат. Рис.5 4, График цикла идеального газа, изображённый на рис. 6 в координатах р,V, надо построить в координатах р,Т и V,T. Рис. 6 Переход 1-2 не является изопроцессом, все три параметра р,V и Т являются переменными, и в координатах р,V и V,T этот, переход уже не будет описываться прямой линией. Тем не менее наши действия и их последовательность остаются прежними. Ясно, что Тmaх = Т2, процесс 2-3 отображается прямой линией c T V p2.3 в координатах V, T; c T V1.3 Процесс 1 – 3 – прямой линией V в координатах p,T. Уравнений процесса 1—2 в координатах р,V задаётся уравнением p V , где - константа(тангенс угла наклона заданной прямой): V 1 p, так, что уравнение (2) можно записать как Отсюда получаем Из pV p2 c T T V c получаем T , т.е. V ~ p T c , Т pV V 2 c. T T . т.e. р ~ Т . Теперь можно через точки 1 и 2 и начало координат провести приблизительные кривые р ~ Т в координатах р, Т и V ~ Т . в координатах V, Т и получить искомые графики (рис. 7). Рис.7 5. График цикла идеального газа, изображённый на рис. 8 в координатах р,V, построить в координатах р,Т и V,Т. Изображаем все три системы координат. Записываем уравнения переходов 1-2 и 43: p1, 2 1V ; p3, 4 2V V1.2 p 1 ; V3.4 p 2 , где 1 и 2 - константы (наклоны линий 1-2 и 4-3, 1 > 2 ). Из уравнения Клапейрона (2) получаем: p1.2V1.2 1V12.2 c c ; V1.2 T T T 1 ; p3.4V3.4 2V32.4 c c ; V3.4 T. T T 2 Легко видеть, что с c , так 1 2 что в координатах V, Т кривая 1-2 пройдёт ниже кривой 4-3. Далее получаем из (2): p1, 2 T 1c p3, 4 T 2 c Задаём масштаб по Т: проводим линию Т = Т2, находим положение линии Т = Т1,. Достраиваем остальные кривые. 6: График цикла идеального газа, изображённый на рис. 9 в координатах р, V, построить в координатах р, Т и V, Т. Ход решения - записать уравнение линии 2-3, выразить р(V) и V(p) и с помощью уравнения Клапейрона (2).найти вид функций р(Т) и V(T). Для каждой точки М(р, V), принадлежащей линии 2-3, из подобия треугольников (заштрихованного и цикла 1-2-3) можно записать: p p1 p 2 p1 tg V3 V V3 V1 p p1 p 2 p1 p p1 V3 2 V V 3V1 V 3V1 p p p p 2 1 2 1 Отсюда: p V V V3 p1 V V V p0 k1V 3 1 3 1 где p0 p2 p1 p p1 V3 p1 ; k1 2 V 3V1 V 3V1 . Вообще, зная общий вид уравнения прямой 2-3 в координатах р,V, можно было сразу записать р = р0 – k1V и, аналогично, V = VQ – k2p, где р0 и V0 - точки, в которых прямая 2-3 пересекает оси р и V (рис. 10). Подставим р = р0 – k1V в уравнение (2) Рис.10 pV V p0 k1V c p0V k1V 2 cT T T p k k p T 1 V 2 0 V V 0 1 V c c c c В координатах V, Т - это парабола, проходящая через начало координат и пересекающая ось V в двух точках: V1 = 0 и V2 = p0 . k1 Очевидно, что вершина этой, параболы Ттах определяется из соотошения V V1 V2 p0 или, по правилу T V 0 . 2 2k1 p p 2k1 V 0 0 V 0 c c 2k1 В этой задаче лучше не искать Ттаx, а из вида заданного цикла задать Tmin. Очевидно, что Тmin= Т1 Итак: - располагаем новые оси р, Т и V, Т; - переносим на них известные данные; - определяем для каждого участка вид функций р(Т), V(T) и Т(V); - задаём, масштаб по температуре, проводя вертикаль Г = Т1 (находим точку 1); c T V1.2 - строим прямые p c T ; p1.3 и V - находим точки 2 и 3 в координатах р,Т иV,Т; - в координатах р,Т через точки 2, 3 И начало координат проводим (приблизительно) параболу и, проведя касательную к её вершине, находим. Тmax; - завершаем построение параболой в координатах V,Т через точки 2, 3 и начало координат с касанием в точке Ттax.