СТАТИСТИКА-ЛР

Группа 2541: Таблица 10 (стр.14) – варианты для
выполнения лабораторной работы №8.
ТЕМА ПРАКТИЧЕСКОЙ И ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТ
«ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ»
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………………………………………………..4
Практическая работа 5. Дисперсионный анализ……………………………………………………….5
Лабораторная работа 7. Однофакторный дисперсионный анализ в ППП “Microstat”
и в ППП Statistica”..……………………….….…….…………………………….……………………..21
Лабораторная работа 8. Дисперсионный анализ в MS EXCEL……………….……………………...26
Список литературы……………………………………………………………………………………...28
Приложения
3
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания по выполнению практических и лабораторных работ по статистике
содержат требования по их выполнению, порядок расчетов вручную и с использованием ППП Microstat, MS
Excel, Statistica.
В части III методических указаний представлен дисперсионный анализ, который широко
используется для планирования эксперимента и статистической обработки его данных. Он был разработан и
введен в практику английским ученым Р.А. Фишером. Если в недалеком прошлом считали, что роль
математики состоит лишь в анализе данных, то работы Р.А. Фишера коренным образом изменили эту точку
зрения, и в настоящее время статистическое планирование опыта в соответствии с требованиями
дисперсионного анализа и математическая интерпретация результатов – непременное условие успешного
получения ответов на вопросы, интересующие экспериментатора. Статистически обоснованный план
эксперимента определяет метод экономического анализа результатов. Поэтому современный эксперимент
нельзя правильно спланировать, не зная основ дисперсионного анализа.
Более доступными и наглядными методы анализа данных сделали современные пакеты
прикладных программ. Они являются быстродействующим средством для проведения дисперсионного
анализа данных пользователем, который должен обладать определенными знаниями статистических
методов, знать их свойства и уметь анализировать и использовать полученные результаты.
Цель данного пособия – ознакомление широкого круга исследователей с одним из важнейших
статистических методов анализа, и применение его на практике.
4
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Цель работы: получение практических навыков статистической обработки многовариантных,
многофакторных экспериментов, когда анализируется влияние одного, двух, трех и большего числа
факторов на изменение величины какого-либо признака.
Порядок выполнения работы:
1. Установление основных источников варьирования и определение объемов вариации по
источникам образования.
2. Определение числа степеней свободы вариации.
3. Вычисление дисперсий и анализ соотношений между ними.
4. Интерпретация полученных результатов анализа.
Дисперсионный анализ быстро вошел в употребление благодаря следующим основным
преимуществам:
1. В дисперсионном анализе используется обобщенная ошибка средних, которая опирается на
большое число наблюдений.
2. Этим методом можно обрабатывать данные простых и сложных, однолетних и многолетних,
однофакторных и многофакторных опытов.
3. Позволяет компактно в виде существенных разностей представить итоги статистической
обработки.
При дисперсионном анализе проводят расчет дисперсий:

общей (дисперсия комплекса);

межгрупповой (факторная);

внутригрупповой (остаточная).
Общая дисперсия (  2 ) измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех
факторов, обусловивших эту вариацию:
2 
 x  x 
f
i
2
 fi
.
i
Межгрупповая дисперсия (  2 ) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в
величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание
группировки.
 xi  x   f i
,
2 
fi


где x i - групповые средние,
f i - численность единиц в группе.
Внутригрупповая дисперсия (  i2 ) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации,
происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в
основание группировки:
 i2 
 i2 
 x

i
 xi 
- для несгруппированных данных;
n
 xi  xi   f i
- для сгруппированных данных.
fi

Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется следующим образом:
 i2  f i
.
 i2 
fi


Существует закон, связывающий три вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме средней из
внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:
 2   i2   2 .
Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий.
Правило сложения дисперсий широко применяется при исчислении показателей тесноты связи.
В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю
межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента
детерминации (  2 ):
5
2
.
2
Этот коэффициент показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака,
обусловленную вариацией группировочного признака.
Эмпирическое корреляционное отношение (  ) характеризует влияние признака, положенного в
основание группировки, на вариацию результативного признака:
2 
2
.
2
Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если   0 , то

группировочный признак не оказывает влияния на результативный. Если   1 , то результативный признак
изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих
факторных признаков равно нулю.
Дисперсионный анализ – метод оценки существенности различий нескольких средних. Его
применяют при статистической обработке многовариантных, многофакторных опытов.
Критерий, используемый для оценки различий между выборочными средними, назван в честь
Р.Фишера критерием F – распределения. Критерий F представляет собой отношение двух дисперсий:
F
S12
S 22
,
где S12 и S 22 - средние квадраты (дисперсии), рассчитанные по выборочным данным с учетом
числа степеней свободы вариации1.
Теоретическое значение F показывает случайную величину отношения двух дисперсий при
данном уровне вероятности суждения и соответствующем числе степеней свободы анализируемых
дисперсий. Критерий F связывают с вероятностью. Наиболее часто применяют уровни вероятности
суждения – 0,95 и 0,99 (5 и 1%-ный уровни). Это означат, что только в пяти (в одном) случаях из 100
значение F может достигать табличного уровня или быть больше него для отношения дисперсий двух
выборок, сделанных из одной и той же генеральной совокупности.
Табличное значение F используется как критерий для оценки фактических отношений дисперсий,
рассчитанных по выборочным данным. Если Fфакт > F табл, мало вероятно, что такое отношение случайное.
А, значит, и различия в вариации нельзя отнести только за счет случайного колебания их уровня, и разница
между средними существенна. В случае, когда Fфакт ≤ F табл, при данном уровне вероятности суждения и
соответствующем числе степеней свободы это означает, что различия между сравниваемыми дисперсиями
находятся в пределах возможных случайных колебаний.
Порядок проведения дисперсионного анализа идентичен при простых моделях, когда
группировочный признак один, и при сложных моделях, когда группировочных признаков два или больше.
Но с увеличением числа группировочных признаков более сложен процесс расчленения вариации по
источникам образования.
При группировке по одному признаку общий объем вариации можно разложить на вариацию,
связанную с действием группировочного признака, и вариацию внутригрупповую (остаточную):
W0  Wгр  Wост .
Исходные данные для проведения однофакторного дисперсионного анализа могут быть
представлены в виде статистической таблицы (таблица 1).
Таблица 1
Исходные данные
Вариант
Исходные данные, y
y11
y12
…
y1n
1
y21
y22
…
y2n
2
…
…
…
…
…
yi1
yi2
…
yin
i
При группировке по одному признаку группы могут быть равными и неравными, сформированы в
случайном порядке, когда наблюдения одной группы не связаны с наблюдением другой группы, или
неслучайном, когда наблюдения одной группы связаны с наблюдениями другой группы.
В опытах, где формируются группы соответственно числу повторностей по каждому варианту,
схема дисперсионного анализа предусматривает исключение из общего объема вариации тех колебаний,
1
Здесь и далее дисперсия будет обозначаться S2.
6
которые обусловлены влиянием фактора, различиями в повторах и индивидуальными различиями внутри
каждой группы.
Таким образом, общая сумма квадратов подразделяется на сумму квадратов отклонений вариантов
опыта (групповая), сумму квадратов отклонений повторений и остаточную сумму квадратов:
W0  Wгр  Wповт  Wост .
Данные для обработки такого вида комплекса можно представить в виде статистической таблицы
(таблица 2):
Таблица 2
Расположение данных в таблице для проведения дисперсионного анализа однофакторного
сопряженного статистического комплекса
Повторения
Вариант
1
2
3
…
n
y11
y12
y13
…
y1n
1
y21
y22
y23
…
y2n
2
…
…
…
…
…
…
yi1
yi2
yi3
…
yin
i
При группировке данных по двум признакам общая сумма квадратов отклонений будет иметь уже
две групповые суммы квадратов и сумму квадратов отклонений взаимодействия факторов и остаточную:
  Wгр
  Wвзаим.  Wост .
W0  Wгр
Исходные данные для проведения двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями
представлены в виде таблицы (таблица 3):
Таблица 3
Расположение данных в таблице для двухфакторного дисперсионного анализа с повторениями
Аm
Вариант
В1
В2
…
Вn
y11
y12
…
y1n
1
y21
y22
…
y2n
2
…
…
…
…
…
yi1
yi2
…
yin
i
Если формирование групп будет неслучайным, разложение сумм квадратов усложнится. В итоге
при группировке по двум признакам и неслучайном распределении повторностей по группам
дисперсионный анализ проводится по следующей схеме:
  Wгр
  Wвзаим.  Wповт  Wост .
W0  Wгр
После того, как определены суммы квадратов, необходимо установить степени свободы вариации,
соответствующие каждой сумме квадратов.
При группировке данных по одному признаку и случайному распределению повторностей в
группах общее число степеней свободы составит  общ  N  1 , для групповой вариации  гр  k  1
(количество средних k минус 1), для остаточной вариации  ост  ( N  1)  (k  1) (общее число степеней
свободы минус число степеней свободы для групповой вариации). Определение числа степеней свободы при
группировке по одному (двум) признакам и неслучайном распределении повторностей далее рассмотрено
на конкретных примерах.
После определения числа степеней свободы и суммы квадратов отклонений рассчитываются
групповая и остаточная дисперсии:
2
Дисперсия групповая ( S гр
) характеризует в среднем вариацию, обусловленную влиянием
группировочного признака и определяется так:
2
S гр

Wгр
.
k 1
2
Дисперсия остаточная ( S ост
) измеряет вариацию, обусловленную случайными причинами,
которые не учитывались при распределении данных наблюдений на группы:
Wост
2
S ост

.
( N  1)  (k  1)
7
Если групповая дисперсия значительно больше остаточной, то фактор оказывает существенное
влияние на величину признака. Фактическое отношение групповой дисперсии к остаточной ( Fфакт 
2
S гр
2
S ост
)
сравнивают с табличным значением F.
Отношение дисперсий групповой и остаточной позволяет сделать с определенной вероятностью
вывод о том, достоверны ли различия в средних. Если есть необходимость сделать заключение об отдельных
парах средних, этот вывод недостаточен.
Поэтому результаты дисперсионного анализа дополняются оценкой достоверности разности
между двумя средними.
Для этого рассчитывается средняя ошибка выборочных средних на основе остаточной дисперсии:
S2
m 2  ост .
n
Средняя ошибка разности двух средних - корень квадратный из суммы квадратов средних ошибок
сравниваемых средних, но так как m2 одинакова для всех средних,
2
S ост
S2
2
.
 ост  S ост
n
n
n
Принимая доверительный уровень вероятности по таблицам t Стьюдента, определяют
критическую величину t.
На основе средней ошибки разности двух средних m12 и tтабл вычисляют возможную
предельную ошибку этой разности:
 р  t  m1 2 .
m12 
Предельная ошибка сопоставляется с разностью двух сравниваемых средних:
 факт  x1  x 2 .
Если разница между средними больше по абсолютной величине возможной предельной ошибки,
то делается вывод о существенности разности средних. Если же  факт   р , то разница между средними
лежит в границах возможных случайных колебаний, т.е. она недостоверна.
Величину  р принято называть наименьшей существенной разностью.
Рассмотрим дисперсионный анализ на конкретных примерах.
Пример 1.
Имеются данные о заработной плате 20 работников фирмы:
Таблица 4
№п/п
З/пл,
тыс.
руб.
1
2
3
4
5
1,3
1,7
2,3
2,7
3,0
Данные о заработной плате работников фирмы
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
3,2
3,4
3,5
3,6
3,7
3,9
4,2
4,4
4,5
4,7
16
17
18
19
20
4,8
5,0
5,2
5,7
5,8
Используя правило сложения дисперсий, определить степень влияния уровня образования
работников на заработную плату, если работники со средним специальным образованием имеют заработную
плату до 3,5 тыс. руб., с высшим – более 3,5 тыс. руб.
Для определения степени влияния образования работников на их заработную плату, определяем
группировочный признак и строим таблицу. Результативным признаком является заработная плата,
факторным – образование работников.
Таблица 5
Распределение заработной платы работников в зависимости от уровня образования
8
Среднее специальное
з/пл,
xi  xi
тыс.
№ п/п
xi  xi
руб. xi
1,3
-1,3
1,69
1
1,7
-0,9
0,81
2
2,3
-0,3
0,09
3
2,7
0,1
0,01
4
3,0
0,4
0,16
5
3,2
0,6
0,36
6
3,4
0,8
0,64
7
3,5
0,9
0,81
8

Итого:
21,1
2
Высшее
з/пл,
xi  xi
тыс.
руб. xi
3,6
-1,0
3,7
-0,9
3,9
-0,7
4,2
-0,4
4,4
-0,2
4,5
-0,1
4,7
0,1
4,8
0,2
5,0
0,4
5,2
0,6
5,7
1,1
5,8
1,2
55,5
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Итого:
4,57
 x i  x i 2
1,00
0,81
0,49
0,16
0,04
0,01
0,01
0,04
0,16
0,36
1,21
1,44
5,73
Внутригрупповые дисперсии определим по формуле:
 i2 
 x
 x i 2
i
,
n
8
x1 
x
i 1
n

21,1
 2,6 тыс. руб.,
8

55,5
 4,6 тыс. руб.,
12
12
x2 
x
i 1
n
8
 12 
 x
 x1 2
i
i 1

n
12
 x
i
4,57
 0,57 ,
8
 x2 
5,73
 0,48 .
n
12
Внутригрупповые дисперсии показывают вариацию заработной платы по группам, вызванные
всеми возможными факторами (стаж работы, квалификация, должность, производительность труда и др.),
кроме образования работников.
Среднюю из внутригрупповых дисперсий определим по формуле:
 22
 i2 

i 1
  f
f
2
i


0,57  8  0,48  12 10,32

 0,52 .
20
20
Межгрупповая дисперсия исчисляется по формуле:
 x  x 

f
2

2
i
f
.
Определим общую среднюю по формуле средней арифметической простой:
x 76 ,6
x

 3,83 тыс. руб.
n
20

2 
2,6  3,83 2  8  4,6  3,83 2  12  19,16  0,96 .
20
20
Межгрупповая дисперсия показывает вариацию заработной платы, обусловленную влиянием
образования работников.
Общую дисперсию определяем на основании правила сложения дисперсий:
9
 2   i2   2 ,
 2  0,52  0,96  1,48 .
Определим долю межгрупповой дисперсии в общей с помощью эмпирического коэффициента
детерминации:
2 
2
,
2
0,96
 0,649 .
1,48
На 64,9% вариация заработной платы обусловлена влиянием уровня образования работников и на
35,1% (100-64,9) влиянием прочих факторов, не учтенных в группировке.
Эмпирическое корреляционное отношение:
2 
  0,649  0,81 .
Эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между результативным и
факторным признаком. Оно равно 0,81, следовательно, связь между заработной платой и уровнем
образования работников - тесная.
Пример 2. Дисперсионный анализ при группировке данных по одному признаку
(неслучайное распределение наблюдений в группах).
Правление фирмы решает изучить результаты продвижения на книжный рынок научной
литературы, надеясь извлечь из них информацию, которой можно было бы воспользоваться при
организации и проведении компании по распространению новых изданий.
С этой целью была выделена контрольная группа продавцов, не имеющих опыта работы. Вторая
группа имела стаж работы 1-3 года. Третью группу составляли работники со стажем более 3-х лет.
Чтобы обеспечить по всем трем вариантам выровненные условия, были сформированы пять групп,
приблизительно равноценных по показателям. Каждая группа включала 3 человека. Результаты работы
приведены в таблице 6.
Таблица 6
Количество проданной научной литературы, шт. (в среднем за месяц)
Повторности
Варианты опыта
Суммы Средние
1
2
3
4
5
347
331
335
333
327
1673
335
I группа (контр.)
373
379
366
345
349
1812
362
II группа
395
383
388
357
362
1885
377
III группа
1115 1093 1089 1035 1038
5370
358
Суммы
372
364
363
345
346
358
Х
Средние
Проведение исследования таково, что наблюдения в каждом варианте связаны общностью
условий, т.е. распределение повторностей в группах неслучайное. Порядок построения опыта делает
необходимым исключение из общей суммы квадратов отклонений вариации, определяемой стажем,
повторностями и остаточной вариацией:
W0  Wст  Wповт  Wост .
Требуется статистически оценить результаты исследований в целом и попарно сравнить средние
по стажу. Уровень вероятности суждения 0,05.
1.
2.
Решение.
Выдвинем гипотезу, что различия в средних стажа работы случайны, и рассчитаем показатели,
необходимые для заключения выдвинутой гипотезы.
Данные таблицы 6 для удобства вычислений целесообразно уменьшить на постоянную величину
(А), близкую к значению средней. Результаты занесем в таблицу 7.
Таблица 7
10
Отклонения от условного начала у = х – А, А = 350
Повторности
Сумма
Вариант опыта
1
2
3
4
5
-3
-19
-15
-17
-23
-77
I группа (контр.)
23
29
16
-5
-1
62
II группа
45
33
38
7
12
135
III группа
y
Суммы
y
65
i
43
Проверим правильность вычислений:
39
-15
х y
ij
ij
-12
120 =
y
j
ij
 N A,
где N = 15 – общее число наблюдений (N = k · n = 3 · 5 = 15),
k - число вариантов,
n – число наблюдений в каждом варианте.
5370  120  15  350 .
3. Все отклонения от условного начала, суммы по столбцам и строкам возведем в квадрат (табл. 8).
Таблица 8
Таблица квадратов
Повторности
Сумма квадратов Квадрат суммы
Вариант опыта
( yi ) 2
y 2j
1
2
3
4
5

9
I группа (контр.)
529
II группа
2025
III группа
Сумма квадратов
2563
y2

i
361
841
1089
225
256
1444
289
25
49
529
1
144
2291
1925
363
674
1849
1521
225
144
1413
1652
4751
7816
Квадрат сумм
( yi )
2

  y ij2
  ( y j ) 2
14400
7964
4225
  ( y i )
5929
3844
18225
27998
2
 ( yij ) 2
Рассчитаем суммы квадратов отклонений по данным таблицы 8.
Wст
(
y

 ( y

W0 
y ij2 
ij )
2
 7816 
N
j)
n
2
 ( y )

(
y
ij )
2
N
2
(
y
14400
 6856 ,0
15
ij )

27998 14400

 4639 ,6
5
15
2
7964 14400


 1694 ,7.
k
N
3
15
Затем определим остаточную сумму квадратов как разность:
Wост  W0  Wст  Wповт  6856 ,0  4639 ,6  1694 ,7  521,7 .
W пов т 
i

4. Далее необходимо определить число степеней свободы вариации для каждой суммы квадратов
отклонений:
W0    N  1  15  1  14
Wст   ст  k  1  3  1  2
Wповт   повт  n  1  5  1  4
Wост   ост  ( N  1)  (k  1)  (n  1)  14  2  4  8
5. Для того, чтобы определить дисперсии, следует разделить суммы квадратов отклонений на
соответствующее число степеней свободы. Результаты расчетов занесем в следующую таблицу.
Таблица 9
11
Анализ дисперсий
Источник
вариации
Стаж
Повторности
Остаточная
Общая
Сумма
Степень
Отношение дисперсии
квадратов
свободы Дисперсия
Fфакт
Fтабл
отклонений вариации
4639,6
1694,7
521,7
6856,0
2
4
8
14
2319,8
423,7
65,2
X1
35,6
6,5
1,0
4,46
3,84
2
6. Вариацию внутри групп (случайную вариацию) определяет Sост
, равная 65,2, ее и принимают
за базу сравнения.
Определим фактическое отношение дисперсий:
S2
2319 ,8

Fфакт
 2ст 
 35,6,
65,2
S ост

Fфакт


Fфакт

2
S повт
2
S ост
2
S ост
2
S ост


423 ,7
 6,5,
65,2
65,2
 1.
65,2
Проведенные расчеты показывают, что дисперсии стажа и повторностей значительно превышают
остаточную дисперсию.
7. Воспользуемся приложением А и определим Fтабл при уровне вероятности суждения 5% (0,05).
Значение Fтабл находим на пересечении столбца и строки (соответствующих степеням свободы). Например:
2
степеней свободы  2 столбец
S ст


2
S ост степеней свободы  8
строка
2
2
Таким образом, для оценки отношения S ст
: S ост
Fтабл = 4,46, а для оценки отношения
Fтабл  3,84 .
Фактические отношения дисперсий (35,6 и 6,5) значительно превышают пределы возможных
случайных колебаний (4,46 и 3,84), поэтому следует отказаться от гипотезы, что различия в средних
стажа работы несущественны.
2
2
S повт
: S ост
8. Проведенный дисперсионный анализ выявил существенность различий между средними в целом.
Приступим к оценке существенности разностей между каждой парой средних. Для этого необходимо
вычислить среднюю ошибку разности средних:
m12 
S ост 
2
2  S ост
n
2
S ост
 S ост
2
n
 8,1 
2
 8,1  0,632  5,12 шт. за месяц;
5
 65,2  8,1 шт. за месяц.
9. Обратимся к приложению Б Значение критерия t-Стьюдента.
При вероятности 0,05 и 8 степенях свободы вариации значение нормированного t равно
2,3060≈2,31. Тогда предельная ошибка составит:
 0,05  t  m12  2,31  5,12  11,8 штук.
Мы определили величину возможных случайных колебаний при заданном уровне вероятности.
Сопоставим разность объема проданной литературы, соответствующей стажу работы и размер предельной
ошибки. Если разность превышает предельную ошибку, то ее принято считать существенной.
Возможны следующие сопоставления:
x1  x 2  335  362  27
x 2  x 3  362  377  15
x1  x 3  335  377  42
1
Т.к. общая дисперсия не участвует в анализе, ее не вычисляем.
12
Полученные результаты превышают по абсолютной величине предельную ошибку. Это позволяет
нам заключить, что они существенны.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЗАДАНИЕ 1
Вариант 1.
Известны данные о прибыли 24 предприятий, млн. руб.:
26,0
30,0
27,3
38,1
30,0
28,0
31,5
40,0
30,0
21,5
33,0
35,1
29,1
20,0
33,0
31,5
30,0
29,1
25,1
34,1
29,1
30,0
33,5
22,0
Определить степень влияния опыта работы предприятий на величину прибыли, если известно, что
первые 10 предприятий имели опыт работы менее 2-х лет, а остальные 14 – более 2-х лет.
Вариант 2.
Известны данные об объеме вложений в ценные бумаги 24 банков России, млрд. руб.:
2,7
4,6
4,0
3,7
4,1
3,2
4,8
1,9
4,8
4,0
4,9
4,3
2,8
4,3
3,2
2,4
4,0
3,7
4,0
3,4
5,6
3,4
4,6
2,5
Определить степень влияния прибыли на объемы вложений в ценные бумаги, если первые 15
банков имели прибыль до 50 млрд. руб., а остальные 9 – свыше 50 млрд. руб.
Вариант 3.
Имеются данные о чистых активах 24 банков России, млрд. руб.:
39,9
49,5
44,2
54,2
42,9
39,6
43,0
35,1
42,9
39,6
48,6
41,7
48,1
41,0
49,0
43,0
39,1
51,8
39,6
45,0
39,0
39,9
49,0
39,6
Определить степень влияния прибыли на величину чистых активов, если известно, что первые 10
банков имели прибыль до 111 млрд. руб., а остальные 14 – свыше 111 млрд. руб.
Вариант 4.
Имеются данные о кредитных вложениях 24 банков России, млрд. руб.:
19,8
21,4
19,9
21,1
19,9
24,0
21,1
22,0
18,0
21,5
26,0
18,9
24,2
18,2
24,6
19,9
18,5
23,5
19,5
25,0
20,0
23,0
21,5
19,8
Определить степень влияния ставки кредитов на величину кредитных вложений банков, если
известно, что кредитные вложения до 20 млрд. руб. имели банки с минимальной ставкой кредита, а свыше
20 млрд. руб. – с максимальной ставкой кредита.
Вариант 5.
Известны данные о прибыли 24 предприятий региона, млн. руб.:
15,2
23,9
17,7
16,9
13,2
19,1
26,2
17,6
22,7
20,0
19,1
15,1
14,3
23,1
11,6
17,6
22,5
26,2
19,1
16,9
23,1
24,1
17,7
14,7
Определить степень влияния формы собственности предприятия на прибыль, если известно, что
величина прибыли до 17 млн. руб. принадлежит АО, а свыше 17 млн. руб. – кооперативам.
Вариант 6.
Известны данные о заработной плате 24 работников фирмы, тыс. руб.:
3,3
2,4
2,6
3,0
1,8
4,2
2,2
2,9
4,2
2,8
3,5
2,5
2,6
2,8
1,5
2,6
2,4
3,5
2,3
2,5
3,0
2,9
3,3
2,6
13
Определить степень влияния формы оплаты труда на заработную плату работников, если
работники со сдельной оплатой труда имели заработную плату до 3 тыс. руб., с повременной – свыше 3 тыс.
руб.
ЗАДАНИЕ 2
Необходимо проанализировать производительность труда рабочих одного из цехов НПО
“Виктория”. С этой целью была образована контрольная группа рабочих, имеющих стаж работы до 1 года,
во вторую группу вошли рабочие со стажем от 1 до 3 лет и в третью группу объединили рабочих с большим
стажем. Для чистоты эксперимента были сформированы пять групп, приблизительно равноценных по
показателям. Результаты приведены в таблице 10.
Таблица 10
Производительность труда рабочих цеха НПО “Виктория”, деталей за смену
Повторность
Номер
Вариант опыта
варианта
1
2
3
4
5
411
419
426
432
430
I группа (контр.)
460
472
478
480
470
1
II группа
475
440
500
482
495
III группа
278
285
200
256
291
I группа
330
319
344
336
327
2
II группа
378
388
391
387
399
III группа
426
440
434
442
437
I группа
540
535
560
550
552
3
II группа
552
546
564
558
560
III группа
511
519
526
532
530
I группа
560
572
578
580
570
4
II группа
575
540
600
582
595
III группа
464
470
472
468
480
I группа
478
482
500
498
502
5
II группа
530
536
540
527
534
III группа
328
336
327
319
329
I группа
423
426
411
409
411
6
II группа
456
462
468
470
457
III группа
14
Пример 3. Дисперсионный анализ при группировке данных по двум признакам
(неслучайное распределение повторностей в группе)
Проанализировав результаты по реализации литературы (пример 2), правление фирмы пришло к
выводу о необходимости продолжения эксперимента. Цель опыта состояла в том, чтобы уловить эффект
взаимодействия между стажем работы и полом сотрудников.
Участники эксперимента предварительно были разделены на 2 части (блока). Одну часть (блок)
составляли одни мужчины, другую – женщины. Каждый блок включал в себя группы по стажу работы:
контроль – проработавшие в этой сфере менее года, 1 гр. – со стажем 1 год, 2 гр. – соответственно – 2 года и
3 гр. – 3 и более лет. Опыт проведен в трехкратной повторности. Следовательно, распределение в каждом
варианте неслучайное.
Результаты эксперимента приведены в таблице 11.
Таблица 11
Количество проданной научной литературы, шт. (в среднем за месяц)
Средние
Повторности
Сумма
Пол
Вариант опыта
xj
xj
1
2
3
Женский
Мужской

Контроль
Стаж:
133
154
134
421
140
1 год
2 года
3 года
162
200
240
735
184
211
171
214
217
756
189
186
179
210
229
752
188
190
512
624
686
2243
Х
587
171
208
229
Х
187
196
1 год
2 года
3 года
Суммы
Средние по группе
222
228
235
896
224
216
214
231
847
212
214
230
246
880
220
652
672
712
2623
Х
217
224
237
Х
219
Суммы
1631
1603
1632 4866=
204
201
204
Х
203
172
170
162
Х
168
192
214
238
194
214
224
197
220
238
Х
Х
Х
194
216
233
Суммы
Средние по группе
Контроль
Стаж:
x
i
Средние по повторностям
Средние по подгруппам:
Контроль
Стаж:
1 год
2 года
3 года
x
ij
Х
Требуется оценить достоверность различий между средними по вариантам опыта, используя
дисперсионный метод анализа.
Решение.
1.
Выдвигаем гипотезу о том, что факторы не оказывают влияния на реализацию литературы.
Заключение по гипотезе сделаем с вероятностью 0,05. Количество реализуемой литературы варьировало в
зависимости от пола, стажа работы, от сочетания этих факторов, от различий в составе групп, а так же не
исключается случайное варьирование. Исходя из перечисленного, общую сумму квадратов отклонений
следует представить как сумму:
W0  Wпол  Wстаж  Wвзаим  Wповт  Wост
Разложение проведем в два этапа.
На первом этапе разложим:
W0  Wфакт  Wповт  Wост ;
а на втором -
Wполстаж  Wпол  Wстаж  Wвзаим .
15
Определим число наблюдений. Анализируются 2 части (блока), т.е. k = 2. Второй фактор – стаж
работы имеет 4 группы, l = 4. Каждый вариант представлен 3 повторами, т.е. n = 3. Общее число
наблюдений N = k · l · n = 2 · 4 · 3 = 24.
2.
Для упрощения вычислений выразим результаты эксперимента в отклонениях от
постоянной величины А. За А принимается величина, близкая к общей средней (А = 200).
Результаты занесем в таблицу 12.
Таблица 12
Таблица отклонений
Сумма
Повторности
Вариант
Пол
yj
опыта
1
2
3
Женский
Мужской

Контроль
Стаж:
1 год
2 года
3 года
Контроль
Стаж:
1 год
2 года
3 года
Сумма
y
i
-67
-46
-66
-179
-38
0
40
11
-29
14
17
-14
-21
10
29
-10
-88
24
86
-13
22
28
35
16
14
31
14
30
46
52
72
112
31
3
32
66
  y ij
3. Проверим правильность проведенных преобразований:
x  y
ij
 N  A,
ij
4866  66  24  200 .
Определим общую сумму квадратов, суммы квадратов всех вариантов опыта, повторностей:
W0  Wполстаж  Wповт  Wост .
Возводя в квадрат данные табл. 12, получим значения для определения Wполстаж и Wповт .
Результаты вычислений поместим в таблицу 13:
Таблица 13
Пол
Вариант
опыта
Женский
Мужской
Контроль
1 год
2 года
3 года
Контроль
1 год
2 года
3 года
Сумма квадратов
y
2
i
Таблица квадратов отклонений
Повторности
Сумма квадратов
y
1
2
3
4489
1444
0
1600
121
484
784
1225
2116
841
196
289
196
256
196
961
4356
441
100
841
100
196
900
2116
10147
5051
9050
961
9
1024
Квадрат сумм
( yi ) 2
Квадрат сумм
( yij ) 2
10961
2726
296
2730
417
936
1880
4302
24248 
1994 
Воспользуемся данными таблицы и рассчитаем:
16
2
j
y
32041
7744
576
7396
169
2704
5184
12544
68358 
2
ij
 ( y )
i
2
 ( y
4356  (
y
ij
j
)2
)2
W0 

y ij2 
Wпол стаж 
(
y
ij )
 24248 
N
 ( y
 (
2
n
yi ) 2
j)
2
(

(
y
y
N
ij )
4356
 24066 ,0
24
ij )
2

68358 4356

 22604 ,0
3
24
2
1994 4356


 67 ,3
k l
N
24
24
Wост  W0  Wполстаж  Wповт  24066  22604  67 ,3  1394 ,7
4. Определим число степеней свободы вариации:
 0  N  1  24  1  23
Wповт 

 пол ст  k  l  1  2  4  1  7
 повт  n  1  3  1  2
 ост   0   пол ст   повт  23  7  2  14
Проведем предварительный анализ дисперсий, разделив суммы квадратов отклонений на
соответствующее число степеней свободы (табл. 14):
Таблица 14
Предварительный анализ дисперсий
Отношение
Сумма
Степень
Источник
дисперсий
квадратов
свободы Дисперсия
вариации
отклонений вариации
Fфакт
Fтабл
22604,0
7
3229,1
32,4
2,77
Пол + стаж
67,3
2
33,7
Х
Х
Повторности
1394,7
14
99,6
1
Х
Остаточная
24066,0
23
X
Общая
( Fтабл
5. По приложению А определяем Fтабл. При 5% уровне вероятности для 7 и 14 степеней свободы
S2
7
 пол2 ст  ) F0,05  2,77 .
14
S ост
Fфак 
2
S пол
 ст
2
S ост

3229 ,1
 32,4 .
99,6
Проведя предварительный анализ существенности средних (Fфакт > Fтабл ), делаем вывод о
достоверности различий в средних и целесообразности перехода к дальнейшим расчетам.
6.
Приступим к рассмотрению вариации реализованной литературы, которая характеризуется
различиями по полу, стажу и их взаимодействием. Для этого, используя суммы отклонений по повторностям
(табл. 12), составим вспомогательную таблицу:
Таблица 15
Отклонения по вариантам опыта
Стаж работы, лет
Пол
Контроль
Сумма
1
2
3
-179
-88
24
86
-157
Мужской
-13
52
72
112
223
Женский
-192
-36
96
198
66
Сумма  
7.
Результаты вычислений возведем в квадрат и занесем в таблицу:
17
Таблица 16
Таблица квадратов отклонений по вариантам опыта
Квадрат суммы
Стаж работы, лет
Контроль
Сумма
 2
1
2
3
Пол
Мужской
Женский
32041
169
7744
2704
676
5184
7396
12544
47857
20601
Сумма
32210
10448
5860
19940
68458
36864
1296
9604
39204
Квадрат сумм
 
8.
73754=   
86968=
2
  
2
4624=
2
 y 
2
ij
Полученная таблица квадратов позволяет установить:
Wполстаж  Wстаж  Wпол  Wвзаим
Wполстаж  22604 ,0 (вычисление см. в п.3)
Wстаж 
Wпол
 ( ' ' )
2
k n
 ( ' )

2


(
(
y
y
ln
Wвзаим  Wпол ст  Wпол
9.
24025
49729
ij )
2

N
ij )
86968 4624

 14302 ,0
23
24
2
73754 4624

 5953 ,5
N
43
24
 Wстаж  22604 ,0  5953 ,5  14302 ,0  2348 ,5

Определим число степеней свободы:
 пол  k  1  2  1  1
 стаж  l  1  4  1  3
 взаим  k  l  1  k  1  l  1  7  1  3  3
10.
Перейдем к заключительному этапу анализа. Объединим результаты вычислений в общую
таблицу:
Таблица 17
Анализ дисперсий
Источник
вариации
Пол
Стаж
Взаимодействие
факторов
Повторности
Остаточная
Общая
Отношение
Сумма
Степень
квадратов свободы Дисперсия дисперсий
отклонений вариации
Fфакт Fтабл
5953,5
1
5953,5
59,7 4,60
14302,0
3
4767,3
47,8 3,34
2348,5
3
782,8
7,8
3,34
67,3
1394,7
24066,0
2
14
23
33,7
99,8
X
0,3
1,0
X
3,74
X
X
Путем сопоставлений вычислим фактическое отношение дисперсий. За базу сравнения
2
принимается S ост
. Например:

Fфакт

2
S пол
2
S ост

5953 ,5
 59,7 и т.д.
99,8
По таблице 5%-го уровня распределения F (см. приложение А) установим Fтабл (аналогично тому,
как это было сделано в примере 2).
Сопоставление Fфакт с Fтабл показывает, что существенны различия в среднем количестве
реализуемой литературы по первому и второму факторам. Значительно менялось количество литературы и в
результате взаимодействия факторов. Таким образом, приходим к выводу, что выдвинутая гипотеза о том,
что различия в количестве реализуемой литературы случайны, должна быть отвергнута.
Поскольку выдвинутая первоначально гипотеза на основании данных дисперсионного анализа
отвергнута, следует оценить достоверность различий между парами средних.
Для этого вычислим среднюю и предельную ошибки.
m12  S ост
2
n
 10 
18
2
 10  0,82  8,2 шт / в месяц,
3
E0.05  t  m12 .
При вероятности 0,05 и 14 степенях свободы вариации критическое значение нормированного
отклонения t (см. приложение Б) составляет 2,1448 ≈ 2,14.
Предельная ошибка:
 0,05  t  m12  2,14  8,2  17 ,5 шт. в месяц.
Следовательно, величина возможных случайных колебаний при данном уровне вероятности не
должна превышать 17,5 шт. в месяц.
Определим существенность разности в количестве реализованной литературы.
Выполним следующие сопоставления (см. табл. 11).
x1  x 2  140  171  31
x1  x2  196  217  21
x1  x 3  140  208  68
x1  x3  196  224  28
x1  x 4  140  229  89
x1  x4  196  237  41
x 2  x 3  171  208  37
x2  x3  217  224  7
x 2  x 4  171  229  58
x2  x4  217  237  20
x 3  x 4  208  229  21
x3  x4  224  237  13
В первом блоке, который составили одни мужчины, все разности между средним количеством
проданной литературы при меняющемся стаже работы существенны, так как превышают по абсолютной
величине предельную ошибку ε 0,05=17,5 шт. в месяц.
х 2  х 3 и х 3  х 4
Во втором блоке, представленном женщинами, две из шести разностей лежат в границах
случайных колебаний. Несущественны разности х 2  х3 и х3  х 4 то есть увеличение стажа работы с
одного года до двух и с двух до трех дают соответственно разности в количестве проданной литературы 7 и
13 шт. в месяц, что меньше предельной ошибки.
Четыре из шести приведенных разностей больше 17,5 шт. в месяц и, следовательно, они
существенны, а две – несущественны.
Таким образом, в рассмотренном примере, когда анализируется работа женщин, несколько
ослабляется воздействие стажа на объем проданной литературы.
В целом же, в десяти случаях из двенадцати разности превышают по абсолютной величине
предельную ошибку, что позволяет рассматривать их как существенные.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Проанализируйте производительность труда двух групп рабочих, чтобы выявить эффект перехода
от работы на старом оборудовании к новому и стажем участников эксперимента. Оцените достоверность
различий между средними по вариантам опыта, используя дисперсионный метод анализа. Данные для
решения задачи представлены в таблице 18.
19
Таблица 18
Производительность труда (шт. за смену)
Номер
Оборудование
варианта
1
Прежнее
Новое
2
Прежнее
Новое
3
Прежнее
Новое
4
Прежнее
Новое
5
Прежнее
Новое
6
Прежнее
Новое
Стаж работы
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
20
Повторности
I
16,7
17,7
21,0
22,3
17,4
18,8
22,6
23,9
16,0
19,5
20,0
23,7
22,9
25,5
27,0
31,1
31,1
32,2
34,1
35,2
33,4
36,3
38,7
39,9
17,6
18,9
22,4
23,7
22,6
25,5
26,8
31,1
17,0
20,5
21,0
24,7
31,3
32,4
34,3
35,2
14,3
15,3
19,0
20,3
15,3
16,8
20,5
21,7
II
16,6
18,1
21,1
22,6
16,9
18,6
23,1
23,7
18,4
28,0
21,3
22,4
22,6
28,5
28,8
29,5
29,4
30,3
33,0
35,2
32,0
35,9
37,2
40,4
16,7
18,5
23,3
23,6
22,3
28,5
28,6
29,5
19,4
29,0
22,3
22,4
29,6
30,5
33,2
35,7
14,2
16,0
19,1
20,6
14,8
16,5
21,0
21,5
III
16,2
17,4
20,1
22,5
17,6
19,8
22,9
23,8
16,8
18,9
21,7
23,9
21,6
25,7
30,0
31,2
27,2
29,4
33,4
35,9
31,5
34,1
37,3
40,2
17,8
19,8
22,7
24,0
21,3
25,7
29,9
31,2
17,8
19,9
22,7
24,4
27,4
29,6
33,6
35,6
15,8
17,2
18,1
20,5
15,5
17,7
20,8
21,6
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7
ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ В ППП “STATISTICA”
1.
Запускаем программу “Statistica”, выбирая модуль ANOVA/ MANOVA. Формируем массив
данных (Рисунок 4).
Рисунок 4 – Массив исходных данных для однофакторного дисперсионного анализа
2.
В верхней командной строке выбираем Analysis / Resume Analysis, появляется меню
ANOVA/ MANOVA.
21
Рисунок 5 – Меню дисперсионного анализа
Выбираем переменные, нажимая кнопку “Variables”, появляется диалоговое окно, в котором
задаем зависимую – Dependent variable (в нашем случае это VAR 1) и независимую – Independent variable
переменные (Рисунок 6).
Рисунок 6 – Выбор переменных
После выбора переменных нажимаем ОК, появляется диалоговое окно General ANOVA /
MANOVA, нажимаем ОК. На мониторе появляются предварительные результаты и опции дисперсионного
анализа (Рисунок 7).
Рисунок 7 – Предварительные результаты
Из опций, представленных на рисунке 7, выбираем Specific effect (Means) Graphs. Результат
дисперсионного анализа на рисунке 8.
22
Рисунок 8 – Результат дисперсионного анализа
23
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 8
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ В MS EXCEL
1.
Создать файл с исходными данными.
2.
Запустить “Пакет анализа”.
В системе электронных таблиц Microsoft Excel имеется набор инструментов для анализа данных,
называемый пакет анализа, который может быть использован для решения сложных статистических задач.
Для использования одного из этих инструментов указать входные данные и выбрать параметры; анализ
будет проведен с помощью подходящей статистической макрофункции, и результаты будут представлены в
выходном диапазоне.
В меню Сервис выберите команду Анализ данных. Если такая команда отсутствует в меню
Сервис, то необходимо установить в Microsoft Excel пакет анализа данных.
Установка производится следующим образом. В меню Сервис выберите команду Надстройки.
Если в списке надстроек нет пакета анализа данных, то нажмите кнопку “Обзор” и задайте диск, каталог и
имя файла для надстройки “Пакет анализа”, или запустите программу установки Microsoft Excel. Установите
флажок “Пакет анализа” (надстройки, установленные в Microsoft Excel, остаются доступными, пока не будут
удалены).
Выберите необходимую строку в списке “Инструменты анализа”.
Введите входной и выходной диапазоны, затем выберите необходимые параметры. Для
использования инструментов анализа исследуемые данные следует представить в виде строк или столбцов
на листе. Совокупность ячеек, содержащих анализируемые данные, называется входным диапазоном.
3.
Провести однофакторный дисперсионный анализ.
В меню Сервис выбираем команду Анализ данных.
В списке инструментов статистического анализа выбираем Однофакторный дисперсионный
анализ (Рисунок 9).
Рисунок 9 – Выбор инструмента анализа
В диалоговом окне режима (Рисунок 10) указываем входной интервал, способ группирования,
выходной интервал, метки в первой строке/ Метки в первом столбце, альфа (уровень значимости).
Рисунок 10 – Диалоговое окно однофакторного дисперсионного анализа
24
Входной диапазон – это ссылка на ячейки, содержащие анализируемые данные. Ссылка должна
состоять как минимум из двух смежных диапазонов данных, организованных в виде столбцов или строк.
Входной интервал можно задать при помощи мыши, или набрать на клавиатуре.
Группирование. Установите переключатель в положение “по столбцам” или “по строкам” в
зависимости от расположения данных во входном диапазоне.
Метки в первой строке/ Метки в первом столбце. Установите переключатель в положение
“Метки в первой строке”, если первая строка во входном диапазоне содержит названия столбцов.
Установите переключатель в положение “Метки в первом столбце”, если названия строк находятся в первом
столбце входного диапазона. Если входной диапазон не содержит меток, то необходимые заголовки в
выходном диапазоне будут созданы автоматически.
Выходной диапазон. Введите ссылку на ячейку, расположенную в левом верхнем углу выходного
диапазона. Размеры выходной области будут рассчитаны автоматически, и соответствующее сообщение
появится на экране в том случае, если выходной диапазон занимает место существующих данных или его
размеры превышают размеры листа.
Новый лист. Установите переключатель, чтобы открыть новый лист в книге и вставить результаты
анализа, начиная с ячейки А1. Если в этом есть необходимость, введите имя нового листа в поле,
расположенном напротив соответствующего положения переключателя.
Новая книга. Установите переключатель, чтобы открыть новую книгу и вставить результаты
анализа в ячейку А1 на первом листе в этой книге.
В результате обработки данных получили следующее:
Рисунок 11 – Результаты однофакторного дисперсионного анализа
Таблица ИТОГИ:
“Счет” – число повторностей. “Сумма” – сумма значений показателя по строкам. “Дисперсия” –
частная дисперсия показателя.
Таблица ANOVA представляет результаты дисперсионного анализа однофакторного
комплекса, в котором первая колонка “Источник вариации” содержит наименование дисперсий. Графа “SS”
- это сумма квадратов отклонений, “df” - степень свободы, графа “MS” - средний квадрат, “F” - критерий
фактического F – распределения. “P - значение” - вероятность того, что дисперсия, воспроизводимая
уравнением, равна дисперсии остатков. Определяет вероятность того, что полученная количественная
определенность взаимосвязи между факторами и результатом может считаться случайной. “F - критическое”
- это значение F – теоретического, которое впоследствии сравнивается с F – фактическим.
4.
Рассчитать эмпирическое корреляционное отношение и коэффициент детерминации.
Сформулировать выводы.
5.
Учитывая специфику исходных данных, провести двухфакторный дисперсионный анализ
с повторениями или без повторений в той же последовательности.
25
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Гусаров В.М. Теория статистики: Учеб. пособие для ВУЗов. – М: Аудит, ЮНИТИ, 1998. –
247 с.
2.
Доспехов Б.А. Методика полевого опыта (с основами статистической обработки
результатов исследований).-5-е изд., доп. и перераб. – М.: Агропромиздат, 1985. – С.207 – 268.
3.
Н.К. Дружинин. Логика оценки статистических гипотез. – М.: Статистика, 1973, - С. 176202.
4.
Ефимова М.Р., Рябцев В.М. Общая теория статистики. – М: Финансы и статистика, 1991. –
302 с.
5.
Кисибл Г. Как правильно пользоваться статистикой/ Пер. с английского Б.И. Клименко.М.: Финансы и статистика, 1982. – С. 218-238.
6.
Мармоза А.Т. Практикум по математической статистике: Учебное пособие. – К.: Выща
школа, 1990. – 191 с.
7.
Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой
деятельности: Учебник / А.И. Харламов, О.Э. Башина, В.Т. Пабурин. Под ред. Спирина А.А., О.Э. Башиной
/ М.: Финансы и статистика, 1994. – 296 с.
8.
Практикум по общей теории статистики и сельскохозяйственной статистике: Учебное
пособие./ И.Д. Политова, С.С. Сергеев, А.Л. Зинченко, А.М. Гатаулин. – 3-е изд., перераб. и дополн. – М.:
Статистика, 1980. – С.123-137.
9.
Практикум по общей теории статистики: Учеб. Пособие / Н.Н. Ряузов и др. – 2-е изд. – М.:
Финансы и статистика, 1981. – 278 с.
10.
Практикум по теории статистики. Под. Ред. Р.А. Шмойловой – М.: Финансы и статистика,
1999. – 414 с.
11.
Статистика: Учебное пособие./ Под ред. Проф. М.Р. Ефимовой. – М.: ИНФРА-М, 2000. –
336 с. – (Серия “Вопрос – ответ”).
12.
Теория статистики: Учебник. Под ред. Р.А. Шмойловой – М.: Финансы и статистика, 1999.
– 558 с.
13.
Эренберг А. Сводка и обработка материалов статистического наблюдения. – М.: Финансы и
статистика, 1981.–344 с.
26
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Таблица 5%-ного уровня распределения F
v2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
32
34
1
2
3
4
5
6
161
18,51
10,13
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,32
4,3
4,28
4,26
4,24
4,22
4,21
4,2
4,18
4,17
4,15
4,13
200
19,00
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,88
3,8
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,42
3,4
3,38
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
3,30
3,28
216
19,16
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,90
2,88
225
19,25
9,19
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,82
2,80,
2,78
2,76
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,67
2,65
230
19,30
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,20
3,11
3,02
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,59
2,57
2,56
2,54,
2,53
2,51
2,49
234
19,33
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,6
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,47
2,46
2,44
2,43
2,42
2,40
2,38
v1 - степени свободы для большего среднего квадрата
7
8
9
10
11
12
14
16
237
19,36
8,88
6,09
4,88
4,21
3,79
3,5
3,29
3,14
3,01
2,92
2,84
2,77
2,70
2,66
2,62
2,58
2,55
2,52
2,49
2,47
2,45
2,43
2,41
2,39
2,37
2,36
2,35
2,34
2,32
2,30
239
19,37
8,84
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
2,40
2,38
2,36
2,34
2,32
2,30
2,29
2,28
2,27
2,25
2,23
241
19,38
8,81
6
4,78
4,1
3,68
3,39
3,18
3,02
2,9
2,8
2,72
2,65
2,59
2,54
2,5
2,46
2,43
2,4
2,37
2,35
2,32
2,30
2,28
2,27
2,25
2,24
2,22
2,21
2,19
2,17
242
19,39
8,78
5,96
4,74
4,06
3,63
3,34
3,13
2,97
2,86
2,76
2,67
2,60
2,55
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,32
2,3
2,28
2,26
2,24
2,22
2,2
2,19
2,18
2,16
2,14
2,12
27
243
19,4
8,76
5,93
4,70
4,03
3,6
3,31
3,1
2,94
2,82
2,72
2,63
2,56
2,51
2,45
2,41
2,37
2,34
2,31
2,28
2,26
2,24
2,22
2,20
2,18
2,16
2,15
2,14
2,12
2,10
2,08
244
19,41
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,07
2,05
245
19,42
8,71
5,87
4,64
3,96
3,52
3,23
3,02
2,86
2,74
2,64
2,55
2,48
2,43
2,37
2,33
2,29
2,26
2,23
2,2
2,18
2,14
2,13
2,11
2,10
2,08
2,06
2,05
2,04
2,02
2,00
246
19,43
8,69
5,84
4,60
3,92
3,49
3,20
2,98
2,82
2,70
2,60
2,51
2,44
2,39
2,33
2,29
2,25
2,21
2,18
2,15
2,13
2,10
2,09
2,06
2,05
2,03
2,02
2,00
1,99
1,97
1,95
20
30
40
50
100

248
19,44
8,66
5,80
4,56
3,87
3,44
3,15
2,93
2,77
2,65
2,54
2,46
2,39
2,33
2,28
2,23
2,19
2,15
2,12
2,09
2,07
2,04
2,02
2,00
1,99
1,97
1,96
1,94
1,93
1,91
1,89
250
19,46
8,62
5,74
4,50
3,81
3,38
3,08
2,86
2,7
2,57
2,46
2,38
2,31
2,25
2,20
2,15
2,11
2,07
2,04
2,00
1,98
1,96
1,94
1,92
1,90
1,88
1,87
1,85
1,84
1,82
1,80
251
19,47
8,60
5,71
4,46
3,77
3,34
3,05
2,82
2,67
2,53
2,42
2,34
2,27
2,21
2,16
2,11
2,07
2,02
1,99
1,96
1,93
1,91
1,89
1,87
1,85
1,84
1,81
1,8
1,79
1,76
1,74
252
19,47
8,58
5,70
4,44
3,75
3,32
3,03
2,80
2,64
2,50
2,40
2,32
2,24
2,18
2,13
2,08
2,04
2,00
1,96
1,93
1,91
1,88
1,86
1,84
1,82
1,8
1,78
1,77
1,76
1,74
1,71
253
19,49
8,56
5,66
4,40
3,71
3,28
2,98
2,76
2,59
2,45
2,35
2,26
2,19
2,12
2,07
2,02
1,98
1,94
1,90
1,87
1,84
1,82
1,80
1,77
1,76
1,74
1,72
1,71
1,69
1,67
1,64
254
19,5
8,53
5,63
4,36
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
2,4
2,3
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
1,59
1,57
Продолжение приложения А
36
38
40
42
44
46
48
50
55
60
65
70
80
100
125
150
200
400
1000

4,11
4,10
4,08
4,07
4,06
4,05
4,04
4,03
4,02
4,00
3,99
3,98
3,96
3,94
3,92
3,91
3,89
3,86
3,85
3,84
3,26
3,25
3,23
3,22
3,21
3,20
3,19
3,18
3,17
3,15
3,14
3,13
3,11
3,09
3,07
3,06
3,04
3,02
3,00
2,99
2,86
2,85
2,84
2,83
2,82
2,81
2,80
2,79
2,78
2,76
2,75
2,74
2,72
2,70
2,68
2,67
2,65
2,62
2,61
2,60
2,63
2,62
2,61
2,59
2,58
2,57
2,56
2,56
2,54
2,52
2,51
2,50
2,48
2,46
2,44
2,43
2,41
2,39
2,38
2,37
2,48
2,46
2,45
2,44
2,43
2,42
2,41
2,40
2,38
2,37
2,36
2,35
2,33
2,30
2,29
2,27
2,26
2,23
2,22
2,21
2,36
2,35
2,34
2,32
2,31
2,30
2,30
2,29
2,27
2,25
2,24
2,23
2,21
2,19
2,17
2,16
2,14
2,12
2,10
2,09
2,28
2,26
2,25
2,24
2,23
2,22
2,21
2,20
2,18
2,17
2,15
2,14
2,12
2,10
2,08
2,07
2,05
2,03
2,02
2,01
2,21
2,19
2,18
2,17
2,16
2,14
2,14
2,13
2,11
2,10
2,08
2,07
2,05
2,03
2,01
2,00
1,98
1,96
1,95
1,94
2,15
2,14
2,12
2,11
2,10
2,09
2,08
2,07
2,05
2,04
2,02
2,01
1,99
1,97
1,95
1,94
1,92
1,90
1,89
1,88
2,10
2,09
2,07
2,06
2,05
2,04
2,03
2,02
2,00
1,99
1,98
1,97
1,95
1,92
1,90
1,89
1,87
1,85
1,84
1,83
28
2,06
2,05
2,04
2,02
2,01
2,00
1,99
1,98
1,97
1,95
1,94
1,93
1,91
1,88
1,86
1,85
1,83
1,81
1,80
1,79
2,03
2,02
2,00
1,99
1,98
1,97
1,96
1,95
1,93
1,92
1,90
1,89
1,88
1,85
1,83
1,82
1,80
1,78
1,76
1,75
1,98
1,96
1,95
1,94
1,92
1,91
1,90
1,90
1,88
1,86
1,85
1,84
1,82
1,79
1,77
1,76
1,74
1,72
1,70
1,69
1,93
1,92
1,90
1,89
1,88
1,87
1,86
1,85
1,83
1,81
1,80
1,79
1,77
1,75
1,72
1,71
1,69
1,67
1,65
1,64
1,87
1,85
1,84
1,82
1,81
1,80
1,79
1,78
1,76
1,75
1,73
1,72
1,70
1,68
1,65
1,64
1,62
1,60
1,58
1,57
1,78
1,76
1,74
1,73
1,72
1,71
1,70
1,69
1,67
1,65
1,63
1,62
1,60
1,57
1,55
1,54
1,52
1,49
1,47
1,46
1,72
1,71
1,69
1,68
1,66
1,65
1,64
1,63
1,61
1,59
1,57
1,56
1,54
1,51
1,49
1,47
1,45
1,42
1,41
1,40
1,69
1,67
1,66
1,64
1,63
1,62
1,61
1,60
1,58
1,56
1,54
1,53
1,51
1,48
1,45
1,44
1,42
1,38
1,36
1,35
1,62
1,60
1,59
1,57
1,56
1,54
1,53
1,52
1,50
1,48
1,46
1,45
1,42
1,39
1,36
1,34
1,32
1,28
1,26
1,25
1,55
1,53
1,51
1,49
1,48
1,46
1,45
1,44
1,41
1,39
1,37
1,35
1,32
1,28
1,25
1,22
1,19
1,13
1,08
1,00
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0,10
6,3138
2,9200
2,3534
2,1318
2,0150
1,9432
1,8946
1,8595
1,8331
1,8125
1,7959
1,7823
1,7709
1,7613
1,7530
1,7459
1,7396
P
0,05
0,01
12,7060 63,6570
4,3027 9,9248
3,1825 5,8409
2,7764 4,6041
2,5706 4,0321
2,4469 3,7074
2,3646 3,4995
2,3060 3,3554
2,2622 3,2498
2,2281 3,1693
2,2010 3,1058
2,1788 3,0545
2,1604 3,0123
2,1448 2,9768
2,1315 2,9467
2,1199 2,9208
2,1098 2,8982
29
v
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120

0,10
1,7341
1,7291
1,7247
1,7207
1,7171
1,7139
1,7109
1,7081
1,7056
1,7033
1,7011
1,6991
1,6973
1,6839
1,6707
1,6577
1,6449
P
0,05
2,1009
2,0930
2,0860
2,0796
2,0739
2,0687
2,0639
2,0595
2,0555
2,0518
2,0484
2,0452
2,0423
2,0211
2,0003
1,9799
1,9600
0,01
2,8784
2,8609
2,8453
2,8314
2,8188
2,8073
2,7969
2,7874
2,7787
2,7707
2,7633
2,7564
2,7500
2,7045
2,6603
2,6174
2,5758