остатки модели динамики темпа роста ставки по депозитам.
реклама
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики Факультет экономических наук Образовательная программа «Экономика и статистика» Специализация «Статистика и анализ данных» БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА «Анализ актуарных стохастических инвестиционных моделей» Выполнил студент группы 41САД Волкова Виктория Викторовна Научный руководитель доцент к.т.н. Миронкина Юлия Николаевна Москва 2015 1 Оглавление Введение……………………………………………………………………………..…..3 Глава 1. Исследование инвестиционной деятельности страховых компаний…………………………………………………………………………..……6 1.1. Анализ инвестиционной деятельности российских страховщиков………….…..…6 1.2. Правовые основы инвестиционной деятельности СК……………………….….......9 1.3. Анализ подходов мировой актуарной науки в построении стохастических инвестиционных моделей……………………………………………………….…….13 1.3.1. Основные принципа построения стохастической модели Уилки………….….15 1.3.2. Модификация модели Уилки американским актуарием Луиз Фрэнсис (Louise Francis)……………………………………………………………………….…...….19 Глава 2. Применение стохастической модели Уилки к данным российского фондового рынка, макроэкономическим показателям и банковским инструментам ............................................................................................................................................................................24 2.1. Теоретические основы моделей временных рядов………………………….…….24 2.2. Построение стохастической инвестиционной модели для российского рынка…...27 Глава 3. Симуляция сценариев инвестиционной деятельности российских страховых компаний ......................................................................................................................................................43 3.1. Теоретическое обоснование симуляции структуры инвестиционного портфеля страховой компании…………………………………………………………………...43 3.2. Результаты симуляции инвестиционного дохода страховой компании…………..45 Заключение .................................................................................................................................................52 Список использованных источников ............................................................................................55 ПРИЛОЖЕНИЯ ................................................................................... Error! Bookmark not defined. Приложение 1. Результаты, полученные в модели Wilkie.. Error! Bookmark not defined. Приложение 2. Результаты, полученные в модели Francis Error! Bookmark not defined. Приложение 3. Состав портфеля ОПИФ «Добрыня Никитич»Error! defined. 2 Bookmark not Приложение 4. Функции распределения показателей в динамикеError! Bookmark not defined. Введение Доход от вложений средств страховых резервов является одним из важных источников дохода страховой компании, но по причине рискованности инвестиционного процесса стратегия должна составляться максимально тщательно и с использованием всей необходимой актуальной информации о состоянии экономики, о возможных доходах и потерях, о правилах размещения резервов, действующих в конкретной стране. Инвестиционная модель Уилки, применяемая в данной работе, широко используется страховыми компаниями, консультантами и учеными- исследователями в Великобритании и в других странах для актуарных расчетов, моделирования инвестиционных рисков и принятия портфельных решений. В нашей стране вопрос инвестиций страховщиков развит очень слабо, имеют место мошенничества и обращение активов низкого качества в промежутках между отчетными периодами, когда фиктивные и ненадежные ценные бумаги на время сменяются приемлемыми. Поэтому новые исследования и применение зарубежных практик к изучению вопроса платежеспособности и инвестиционного дохода очень актуальны, особенно в связи с текущими изменениями в российской экономике. В данной работе модель Уилки преобразована для анализа ежемесячных наблюдений по параметрам, характеризующим финансовый рынок, банковский сектор и общую экономическую ситуацию в России. Объектом исследования является структура инвестиционного портфеля страховой компании. Предмет исследования – совокупность показателей, влияющих на платежеспособность страховых компаний. 3 Цель данного исследования – изучить степень влияния состава инвестиционного портфеля на платежеспособность страховой компании и составить рекомендации по структурированию портфеля. Для достижения цели работы необходимо выполнить следующие задачи: Проанализировать основные тенденции в инвестиционной деятельности российских страховщиков; Составить группу моделей для российских макроэкономических показателей и финансовых данных, аналогичную инвестиционной модели Уилки (Wilkie), проведя необходимые корректировки состава переменных; Оценить коэффициенты и построить прогнозы по всем моделям, предварительно проверив их адекватность; Провести симуляцию суммы к инвестированию гипотетической страховой компании в динамике и в вероятностном распределении. В первой главе приводится анализ инвестиционных стратегий российских страховых компаний и процесс их изменения. Освещены основные правовые акты, регламентирующие финансовые вложения страховщиков в России и за рубежом. В рамках анализа литературы представлены основные труды по теме, подробно изучена и описана стохастическая модель Уилки, построенная в данной работе. Во второй главе на основе российских данных была построена каскадная модель, аналогичная модели Уилки, рассчитаны прогноз для доходностей все финансовых и банковских инструментов. Многомерный анализ осуществлялся с помощью временных моделей с передаточной функцией. В третьей главе спрогнозированные значения доходностей использовались в динамической симуляции различных сценариев размещения резервов гипотетической российской страховой компании, специализирующейся на страховании ином, чем страхование жизни. Цель симуляции заключалась в оценке величины 4 изначальной суммы к инвестированию, долей тех или иных активов в портфеле, гарантирующих стабильный доход от инвестиционной деятельности в долгосрочном периоде. Информационную базу исследования составили статистические данные Единого архива экономических и социологических данных, Единой межведомственной информационно-статистической системы ЕМИСС, архивы сайтов «Сбербанк Управление Активами», Московской Биржи, Центрального банка РФ, Министерства финансов, публикации рейтинговых агентств и ежегодная финансовая отчетность лидеров российского страхового рынка. Методологическую эконометрические статистики, смеси базу методы составили анализа одномерные временных распределений, табличные рядов, и и многомерные дескриптивные графические методы представления данных. Обработка данных осуществлялась в прикладной программе Microsoft Excel и статистических программах JMP, EViews, SPSS, STATA. Всего в работе был использован 31 источник, в том числе учебные пособия, годовые отчеты компаний, правовые акты, научные публикации зарубежных авторов, аналитические статьи и статистические архивы. 5 Глава 1. Исследование инвестиционной деятельности страховых компаний 1.1. Анализ инвестиционной деятельности российских страховщиков Анализ финансовой отчетности российских страховых компаний показывает, что инвестиционную стратегию многих страховщиков можно назвать умеренной и консервативной. Компании не преследуют цель получения максимально возможного инвестиционного дохода на рынке; гораздо важнее для них собственная платежеспособность. Поэтому страховщики стремятся гарантировать получение некоторой целевой доходности, инвестируя в высоколиквидные активы с постоянной доходностью с минимальной степенью риска. Положение страховых компаний осложняется наличием целого ряда рисков помимо инвестиционных; необходимостью одновременно вести страховой портфель и портфель ценных бумаг, выполняя требования Центрального банка РФ и Министерства финансов РФ. К надежным инструментам с низкой волатильностью обычно относят банковские депозиты и долговые ценные бумаги, такие как векселя и облигации. Паи паевых инвестиционных фондов и акции компаний считаются более рисковыми способами размещения средств. Степень инвестиционной консервативности различается в разных компаниях. Доля относительно более надежных банковских инструментов составляет, как правило, около половины инвестиционного портфеля, но, к примеру, в компании ВСК в 2013 году она составила 88%.[14] На рис. 1 изображены графики динамики структуры финансовых вложений страховых компаний «АльфаСтрахование» и «РЕСО-Гарантия». Очевидно, что руководство «АльфаСтрахование» избрало более осторожную стратегию и не уменьшало долю надежных банковских депозитов, в то время как в портфеле «РЕСО-Гарантия» в период с 2012 по 2014 год она уменьшилась более чем в два раза. Также существует разное отношение к рисковым активам: например, акции могут составлять четверть всех вложений, как в «РЕСОГарантия», а могут быть почти 6 полностью проигнорированными страховщиками и занимать менее 1% инвестиций. Возможно, это связано с устойчивым состоянием, стабильным прогнозом и рекордами прибыли ОСАО «РЕСО-Гарантия» по итогу 2012 года. АльфаСтрахование 80% 70% 71% 66% 65% 60% 50% 40% 31% 30% 21% 20% 20% 13% 7% 10% менее 1% 1% менее 1% менее 1% 0% Депозиты Государственные и муниципальные ценные бумаги, облигации Акции на начало 2012 Векселя на начало 2013 Предоставленные займы, вклады в УК Паи ПИФ на начало 2014 РЕСО-Гарантия 70% 64% 60% 50% 42% 40% 30% 29% 25% 24% 28% 19% 20% 15% 14% 9% 9% 6% 10% 1% 7% 6% 0% 1% 0% 0% Депозиты Государственные и муниципальные ценные бумаги, облигации Акции Векселя Предоставленные займы, ипотечные сертификаты, вклады в УК Паи ПИФ Рис. 1. Динамика изменения структуры инвестиционного портфеля страховых компаний «АльфаСтрахование» (на верхней гистограмме)[25] и «РЕСОГарантия» (на нижней гистограмме), 2012-2014 гг.[24] 7 По данным опубликованных в 2014 году годовых отчетов компаний «Ингосстрах» и «СОГАЗ» доходность по банковским инструментам составила в 2013 году 7,7%, в то время как средняя доходность инструментов фондового рынка достигала 9,8% годовых.[15] Это позволило компаниям добиться получения инвестиционного дохода в 8,8% и 8,5% соответственно.[17] Зачастую страховые компании передают часть портфеля в доверительное управление, чтобы добиться более активного управления портфелем в целом. К примеру, на начало 2012 года около 11% инвестиционного портфеля страховой группы «СОГАЗ» находилась в доверительном управлении с целью диверсификации инвестиционных стратегий на фондовом рынке.[16] Согласно исследованию, проведенному РА Эксперт по данным 100 страховых компаний, суммарная рыночная доля которых составила порядка 80%, в среднем по рынку треть инвестиций страховых компаний приходится на банковские депозиты, четверть активов содержится в виде денежных средств и их эквивалентов. На акции и облигации приходится по 10% инвестиций соответственно.[26] Рис. 2. Структура инвестиций российских страховщиков на 31.03.2013 Согласно аналитическому докладу рейтингового агентства «Эксперт» качество инвестиционных портфелей страховых компаний в России значительно повысилось за последние 10 лет. Помимо снижения удельного веса фиктивных вложений произошли и другие изменения: повышен общий уровень рейтингов инвестиций, большинство активов в портфелях высоколиквидны. 8 Повышена степень диверсификации портфелей – крупнейший объект вложений составляет в среднем треть всех инвестированных средств.[26] Определение курса инвестиционной стратегии российских страховых компаний производится посредством фундаментального анализа с долгосрочным прогнозом, актуарных моделей; непрерывное корректирование соответственно состоянию компании и краткосрочным целям производится на основе технического анализа. На все разновидности вложений распространяются серьезные ограничения: к инвестированию принимаются только активы институтов, имеющих высокие рейтинги российских и международных кредитно- рейтинговых агентств. Ограничения устанавливают руководства и финансовые аналитики компаний в соответствии с законодательно установленными требованиями. 1.2. Правовые основы инвестиционной деятельности СК В Европе платежеспособность компаний должна быть оценена в соответствии с директивой, утвержденной Европейским парламентом. Первая директива Solvency I вышла в 1973 г. и действовала на протяжении нескольких десятилетий, но мировой финансовый кризис показал, что она нуждается в обновлении и доработке в области анализа рисков, и работа по созданию Solvency II резко ускорилась. Новая директива состоит из трех частей: требования к капиталу; стандарты риск-менеджмента и внутреннего управления в компании; стандарты отчетности и раскрытия информации.[9] Solvency II была подписана в ноябре 2009 года [4] и должна была вступить в силу 1 января 2013, но в силу неготовности большинства европейских страховщиков (Solvency II будет действовать в 30 странах) к новым требованиям начало действия было перенесено, и сейчас действует первая директива. Переход на новую систему оценки платежеспособности подразумевает коренные изменения и занимает долгое время. Тем не менее, прогресс компаний отмечают уже сейчас. 9 Возможность перехода российских страховщиков на Solvency II оценивается по-разному: некоторые считают это очень важным шагом к стабильности систем в целом. Большинство выступает против, так как уровень страхового регулирования в России еще далек от европейского. Страховая сфера в России должна реформироваться, но начиная с более глубоких проблем. Сейчас страховщики обязаны проводить инвестиционную политику в соответствии с Указанием Банка России от 16 ноября 2014 г. № 3444-У “О порядке инвестирования средств страховых резервов и перечне разрешенных для инвестирования активов”.[21] Указание вступило в силу 11.01.2015 года после признания утратившим силу приказа Министерства финансов Российской Федерации от 2 июля 2012 года № 100н “Об утверждении Порядка размещения страховщиками средств страховых резервов”.[20] Указание [21] внесло изменения в порядок размещения страховых резервов страховых компаний. Одним из самых важных изменений стал запрет на инвестирование в векселя. В начале 2014 года Министерство финансов РФ запретило страховщикам вкладывать средства в векселя. Считается, что с их помощью многие страховые компании выводили активы. Запрет вызвал недовольство в страховой сфере, неоднократно высказывались требования ослабить ограничение. В сентябре 2014 в проекте указаний по размещению страховых резервов было указано, что страховым компаниям разрешат вкладывать до 15% собственных средств в простые векселя юридических лиц и до 10% в простые векселя банков, отвечающих необходимым требованиям по уровню кредитных оценок.[29] Однако среди установленных действующим Указанием видов вложений векселей нет. Указание [21] содержит перечень требований, которые Банк России и Минфин предъявляют к качеству активов. Например, в случае инвестирования в паевые инвестиционные фонды (ПИФ) необходимо, чтобы его внутренние правила доверительного управления были зарегистрированы Банком России и имели инвестиционную декларацию, включающую весь перечень активов. В 10 свою очередь недвижимость, выступающая в качестве объекта инвестирования, не может быть под арестом, под запретом на продажу и иное отчуждение; слитки и изделия из драгметаллов должны храниться в банках с соответствующей лицензией. Ужесточения требований к активам страховщиков должны привести к повышению общего уровня качества инвестиционных портфелей. Помимо норм рейтингов и требований к уровню институтов, выпускающих ценные бумаги в Указании [21] и Приказе [20] приведены максимальные доли от страховых резервов, которые могут быть инвестированы в тот или иной актив. Изменения, представленные в действующем документе, расширяют возможность инвестирования в высоколиквидные банковские инструменты и ориентированы на более консервативную инвестиционную стратегию. К примеру, увеличены доли стоимости государственных ценных бумаг и сумма средств, размещенных в депозиты. В табл. 1 представлена характеристика основных требований к структуре инвестиционного портфеля. С 1 июля 2015 страховым компаниям необходимо перейти на систему спецдепозитариев – специальных институтов учета, хранения ценных бумаг страховщиков и контроля над исполнением требований к активам. Изначально в нашей стране спецдепозитарии создавались для контроля деятельности ПИФов. Приблизительным аналогом за рубежом является администратор фонда. Закон 234-ФЗ «Об организации страхового дела в Российской Федерации», в котором в статье 26.2 представлены требования относительно использования услуг спецдепозитариев, вышел чуть менее двух лет назад, 23 июля 2013 года. Тем не менее, по заявлениям как страховщиков, так и официальных представителей Банка России, российская страховая система на данный момент не готова к переходу на систему спецдепозитариев. Таблица 1 Различия в ограничениях на размещение средств страховых резервов в активы, в Приказе № 100н от 2 июля 2012 года и в Указании № 3444-У от 16 ноября 2014 года 11 Предельный разрешенный процент от суммарной величины страховых резервов № 100н от 2 июля № 3444-У от 16 2012 года ноября 2014 г. Стоимость государственных ценных не более 40% не более 45% бумаг субъектов Российской страхование жизни; Федерации и муниципальных не более 30% ценных бумаг страхование иное, чем страхование жизни Стоимость государственных ценных не более 15% не более 40% бумаг одного субъекта РФ Стоимость муниципальных ценных не более 10% не более 40% бумаг одного органа местного самоуправления Максимальная сумма денежных не более 50% не более 60% средств, размещенных в депозиты Максимальная стоимость не более 25% не более 25% банковских вкладов (депозитов) в одном банке Стоимость акций не более 20% не более 20% Стоимость облигаций (кроме не более 45% не более 45% государственных, муниципальных и ипотечных ценных бумаг) Стоимость простых векселей банков не более 10% Стоимость жилищных сертификатов не более 5% не более 10% Стоимость инвестиционных паев не более 15% не более 15% паевых инвестиционных фондов и страхование жизни; страхование жизни; сертификатов долевого участия в не более 10% не более 10% общих фондах банковского страхование иное, чем страхование иное, управления страхование жизни чем страхование жизни Стоимость недвижимого имущества не более 25% не более 25% страхование жизни; страхование жизни; не более 20% не более 20% страхование иное, чем страхование иное, страхование жизни чем страхование жизни Стоимость слитков золота, серебра, не более 10% не более 15% платины и палладия, памятных монет РФ из драгметаллов Стоимость ипотечных ценных бумаг не более 5% не более 10% Виды активов, принимаемых для покрытия страховых резервов Большинство страховщиков уверены, что работа со спецдепозитариями, которые возьмут под свой контроль около 90% всех инвестиционных операций компаний, чревата значительными дополнительными затратами. Тем не менее, в долгосрочном периоде данная мера должна привести к более безопасной и честной инвестиционной политике страховых компаний. 12 1.3. Анализ подходов мировой актуарной науки в построении стохастических инвестиционных моделей Изучение проблемы платежеспособности страховых компаний началось с появлением самого института страхования. С 1970-х годов эта проблема стала объектом пенсионные многочисленных фонды обыкновенные акции и научно-исследовательских страховые в большем компании объеме, начали чем работ, так инвестировать раньше. В связи как в с продолжающимся ростом инфляции розничных цен и фиксированных процентных ставок проблема стала актуальной. Две школы, британская (the British Solvency Working Party) и финская (the Finnish Working Party on Solvency), исследовали стохастический подход и разработали первые модели для прогнозирования вероятности банкротства страховых компаний, опираясь в первую очередь на анализ рисков. Стохастическая модель Уилки оказалась наиболее подходящей для анализа инвестиционного климата в России по сравнению с моделью финской школы или другими, не столь универсальными. В основу работы легла идея необходимости предварительного анализа основных параметров рынка. Инвестиционная модель Уилки (1986) была представлена British Solvency Working Party [12] для моделирования активов страховой компании и впоследствии стала одним из самых популярных алгоритмов в актуарном моделировании. Она по-прежнему изучается, постоянно модифицируется и строится на данных из разных стран множеством исследователей. В последние годы многие авторы описывали, критиковали и сравнивали модель Уилки. Кроме того, обсуждения и комментарии, опубликованные вместе со статьями Уилки, считаются наиболее значимыми замечаниями по модели. Представители Finnish Working Party ввели более обширную модель [7], задействовавшую более широкий спектр активов. В разное время модель была построена на данных из целого ряда различных стран, включая Канаду и Соединенные Штаты. Claasen and Huber [2] и Claasen [3] обнаружили структуру модели неадекватной для Южной Африки, а Thomson [11] предложил 13 статистическую методологию для выявления структуры модели, и его версия модели получила название модели Томсона. Несколько североамериканских исследователей, таких как Vasicek (1977), Boyle (1978), Cox, Ingersoll & Ross (1978), Brennan & Schwartz (1983), представили свои инвестиционные модели для процентных ставок до Уилки, но, по мнению Уилки, построенные в их работах модели не доказали, что инфляция может являться движущей силой инвестиционных процессов. Стохастическая инвестиционная модель, введенная A.D.Уилки, была описана полностью в следующих работах: первоначально в ”A Stochastic Investment Model For Actuarial Use” в 1986году, а затем в ”More On A Stochastic Asset Model For Actuarial Use” в 1995 году в расширенной форме. Исходная модель Уилки была основана на британских данных за период с 1919 по 1982 годы. Модель состоит из четырех взаимосвязанных моделей инфляции цен, дивидендов по акциям, дивидендной доходности акций и долгосрочных процентных ставок. В следующей статье [13] Уилки ввел авторегрессионную модель с условной гетероскедастичностью для инфляции цен, добавил в качестве переменных инфляцию заработной платы, краткосрочные процентные ставки и показатели рынка недвижимости. Hardy [5] описывает модель Уилки как многомерную модель для долгосрочных актуарных расчетов, содержащую несколько взаимосвязанных временных рядов и демонстрирующую взаимосвязь цен на акции и темпов инфляции или фиксированных процентных доходов. Согласно предпосылке, сделанной в исследованиях, проведенных Finnish Working Party, все переменные кроме инвестиционных были детерминированными. Как было отмечено выше, финскую модель отличает от британской то, что она позволила включить более широкий спектр активов в анализ, став при этом менее универсальной в использовании. В последних работах авторы, в том числе A.D.Уилки [8] протестировали модель Уилки с обновленным диапазоном параметров, оценили параметры и их 14 доверительные интервалы для изучения их стабильности в моделях ARCH и были удовлетворены оценкой моделей на новых данных. Итак, рассмотрим более подробно модель Уилки. 1.3.1. Основные принципа построения стохастической модели Уилки (Wilkie) Модели, построенные впервые Уилки, до сих пор являются одним из самых популярных способов моделирования инвестиционного дохода. Данная модель создавалась для комплексного анализа платежеспособности компании на основе долгосрочного прогноза поведения рыночных ставок. Модель Уилки включает четыре взаимосвязанных компонента: индекс потребительских цен, индекс валовых дивидендов, валовый дивидендный доход и валовый доход рассматривается в по консолям. Индекс потребительских цен модели качестве независимой переменной при моделировании остальных рядов. Методология инвестиционной модели Уилки опирается на теорию моделей временных рядов Дж. Бокса и Г. Дженкинса [1]. Включенные процессы, как правило, стационарные авторегрессионные модели (autoregressive) AR(1) или интегрированные авторегрессии порядка один (autoregressive integrated moving average) ARIMA(1,1,0). В последних версиях модели инфляция цен была описана ARCH-процессом авторегрессионной условной гетероскедастичности (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity). Изначально автор планировал реализовать VAR-модель, но из-за наличия множества незначимых параметров перешел к каскадной структуре, изображенной на рис. 3: Инфляция Дивидендная доходность акций Дивиденды по акциям Цены акций 15 Долгосрочные процентные ставки Краткосрочные процентные ставки Рис. 3. Структура модели Уилки В финальную модель были включены следующие уравнения: 1. Модель инфляции 𝑖𝑡 = 𝜇 + 𝜑𝑖 (𝑖𝑡−1 − 𝜇) + 𝑒𝑡𝑖 , 𝑖𝑡 = 𝑙𝑛𝑄𝑡 − 𝑙𝑛𝑄𝑡−1 , где 𝑄𝑡 - индекс потребительских цен (или его предшественники); 𝑖𝑡 – темп инфляции за период от 𝑡 − 1 до 𝑡, 𝜇 – среднее значение инфляции за период, 𝜑𝑖 – коэффициент, описывающий влияние значения темпа инфляции предыдущего периода на текущий темп инфляции, 𝑒𝑡𝑖 – нормально распределенные остатки модели. Для моделирования темпа инфляции автор выбрал авторегрессионную модель стационарного временного ряда AR(1), для которой в долгосрочном периоде среднее значение и вариация признака постоянны. Остатки моделей случайны. Результаты моделирования представлены в Приложении 1. Из модели следует, что очередное значение инфляции равно среднему значению за весь период, скорректированному на некоторую долю отклонения инфляции предыдущего периода от среднего значения, а также на случайные колебания со средним значением 0 и постоянным стандартным отклонением. В одной из последних статей были проанализированы ежегодные значения индекса потребительских цен в период с 1923 по 2007 годы. Уилки предположил, что инфляция является движущей силой ставок и других инвестиционных переменных. Утверждения о наличии двусторонней связи не опровергались в работе, но и не были отнесены к необходимым усложнениям модели. 2. Модель дивидендной доходности акций 𝑙𝑛(𝑌𝑡 ) = 𝑙𝑛(𝜇𝑌 ) + 𝜑𝑌,𝑖𝑡 𝑖𝑡 + 𝑒𝑡𝑌 , 16 где 𝑌𝑡 - дивидендная доходность обыкновенных акций в момент 𝑡, 𝜇𝑌 – среднее значение дивидендной доходности, 𝜑𝑌,𝑖𝑡 – коэффициент, описывающий влияние значения темпа инфляции на дивидендную доходность обыкновенных акций, 𝑒𝑡𝑌 – нормально распределенные остатки модели. Расчет дивидендной доходности по обыкновенным акциям осуществлялся на основе значений индекса FTSE Actuaries All-Share Index. Подобная статистика в РФ не рассчитывается, поэтому анализ в данной работе осуществлялся на основе другого показателя. 3. Модель дивидендов по акциям 𝑌 𝐷 𝐷 𝑙𝑛(𝐷𝑡 ) − 𝑙𝑛(𝐷𝑡−1 ) = 𝜇𝐷 + 𝜑𝐷,𝐸(𝑖𝑡) 𝐸(𝑖𝑡 ) + 𝜑𝐷,𝑖𝑡 𝑖𝑡 + 𝛿𝐷,𝑒𝑡𝑌 𝑒𝑡−1 + 𝛿𝐷,𝑒𝑡−1 𝐷 𝑒𝑡−1 + 𝑒𝑡 где 𝐷𝑡 – индекс дивидендов по акциям в период 𝑡, 𝜇𝐷 – константа в модели дивидендов, 𝐸(𝑖𝑡 ) – ожидаемая инфляция, 𝑌 𝑒𝑡−1 – остатки модели дивидендной доходности предыдущего периода, 𝐷 𝑒𝑡−1 – остатки модели дивидендов по акциям предыдущего периода, 𝑒𝑡𝐷 – остатки модели дивидендов по акциям, 𝜑𝐷,𝐸(𝑖𝑡 ) , 𝜑𝐷,𝑖𝑡 , 𝛿𝐷,𝑒𝑡𝑌 и 𝛿𝐷,𝑒𝑡−1 – коэффициенты, описывающие влияние на 𝐷 разность логарифмов текущей и предыдущей величин дивидендов, оказываемое текущими инфляционными ожиданиями, текущим темпом инфляции, остатками модели дивидендной доходности и остатками модели дивидендов по акциям предыдущих периодов. Согласно модели разность логарифмов значений индекса дивидендов по акциям положительно зависит от среднего значения индекса, ожидаемой инфляции, полученной как экспоненциально взвешенное скользящее среднее, текущей инфляции и индекса дивидендов в предшествующий момент времени 𝑡 − 1, а также отрицательно от остатков моделей дивидендной доходности. 4. Модель долгосрочной процентной ставки 𝐶𝑡 = 𝜑𝐶,𝐸(𝑖𝑡 ) 𝐸(𝑖𝑡 ) + 𝜇𝐶 exp(𝑋𝑡 ) , 17 𝑌 где 𝑋𝑡 = 𝜑𝐶,𝑋 𝑋𝑡−1 + 𝛿𝐶,𝑒 𝑌 𝑒𝑡−1 + 𝑒𝑡𝐶 – «реальная» часть доходности, фактор, не зависящий от инфляции; 𝐶𝑡 – доходность 2,5% консолей, разновидности британских бессрочных государственных ценных бумаг (англ. Consol, сокращенное consolidated annuity), которые рассматриваются здесь в качестве меры общего уровня фиксированных процентных доходов на рынке. [6] 𝜇𝐶 – константа в модели долгосрочной процентной ставки, 𝜑𝐶,𝐸(𝑖𝑡) – коэффициент, описывающий влияние инфляционных ожиданий на фиксированную доходность на рынке, 𝜑𝐶,𝑋 – авторегрессионный коэффициент первого порядка, связывающий текущее значение реальной доходности с предыдущим, 𝛿𝐶,𝑒 𝑌 – коэффициент, связывающий реальную часть доходности консолей с предыдущими значениями остатков модели дивидендной доходности, 𝑒𝑡𝐶 – остатки модели консолей. При близком к 1 значении 𝜑𝐶,𝐸(𝑖𝑡) модель полностью учитывает так называемый эффект Фишера, смысл которого заключается в том, что номинальная доходность облигации отражает и инфляционные ожидания, и реальную ставку. С целью избежать чрезмерных упрощений Уилки раздельно моделирует краткосрочные и долгосрочные процентные ставки, представленные консолями. Резкий рост процентных ставок в течение последних 50 лет экономисты объясняют тем, что номинальная ставка складывается не только из реальной ставки, для которой допустимо колебание в 3 процента, но и зависит также от инфляционных ожиданий, учитывающих колебания реальной инфляции в предыдущие периоды.[6] Так, при росте инфляционных ожиданий растут и ставки. Поэтому в модели консолей зависимый показатель реагирует на изменения инфляции с задержкой. 5. Модель краткосрочной процентной ставки 𝐷 𝐵 𝐵𝑡 = 𝐶𝑡 exp(−𝐵𝑡𝐷 ) , 𝐵𝑡𝐷 = 𝜇𝐵 + 𝜑𝐵,𝐵𝑡−1 𝐷 (𝐵𝑡−1 − 𝜇𝐵 ) + 𝑒𝑡 , 18 где 𝐵𝑡 – краткосрочная процентная ставка, 𝐵𝑡𝐷 – компонент входящий в модель в качестве убывающей функции. Это объясняется тем, что краткосрочные ставки в среднем ниже долгосрочных. 𝜇𝐵 – константа в модели краткосрочной процентной ставки, 𝜑𝐵,𝐵𝑡−1 – коэффициент, описывающий влияние предыдущего значения 𝐷 корректирующего компонента краткосрочной процентной ставки на его текущее значение, 𝑒𝑡𝐵 – остатки модели краткосрочной процентной ставки. В модели Уилки компания считается неплатежеспособной, если доход от страховых премий и инвестиций меньше, чем сумма, покрывающая страховые выплаты и расходы. Так, при предпосылке, что инвестиционные процессы не влияют на способность страховой компании отвечать по обязательствам перед страховщиками, вероятность банкротства в варьировалась от 0,007 до 0,045. После включения в анализ заявленных убытков вероятность выросла и варьировалась от 0,03 до 0,076 при низкой доле рисковых активов в портфеле страховой компании. [6] 1.3.2. Модификация модели Уилки американским актуарием Луиз Фрэнсис (Louise Francis) Работы British Working party и Finnish Working Party, посвященные моделированию стоимости и доходности активов стали основой для ряда исследований Луиз Фрэнсис (Louise Francis), члена Американской академии актуариев и экзаменационной комиссии CAS. Результаты ее работы представлены в статье “Modelling Asset Variability in Assessing Insurer Solvency” [6] и включают модели, построенные на данных о финансовых рынках США. Хотя некоторые данные, используемые в модели на британских данных, не имеют аналогов в Соединенных Штатах, модель имеет аналогичное каскадной структуре модели Уилки строение и ту же логику построения моделей временных рядов. Целью работы Фрэнсис было продемонстрировать методы, которые используются европейскими актуариями для моделирования инвестиционного 19 дохода, оценить модели на реальных данных и провести анализ влияния разнообразия активов на платежеспособность компании. Для каждого компонента модели была построена стохастическая модель, на основе прогноза по этим моделям осуществляется симуляция инвестиционной деятельности гипотетической страховой компании. Так, исследование Фрэнсис включало построение следующих моделей: 1. Модель инфляции 𝑖𝑡 − 𝜇 = 𝜑𝑖 (𝑖𝑡−1 − 𝜇) + 𝑒𝑡𝑖 , где 𝑖𝑡 = 𝑙𝑛 ( 𝐶𝑃𝐼𝑡 𝐶𝑃𝐼𝑡−1 ) – темп инфляции в США на момент 𝑡, 𝐶𝑃𝐼𝑡 – индекс потребительских цен, 𝜇 – среднее значение инфляции за весь анализируемый период, 𝑒𝑡𝑖 – остатки модели инфляции. Модель была построена на ряд ежегодных данных с 1926 года Ряд инфляции описан процессом AR(1), как и в модели Retail Price Index в работах Уилки. Как и в модели Уилки, доходности всех активов здесь связаны с инфляцией и, в некоторых случаях с доходностями других ценных бумаг и активов. 2. Модель дивидендного дохода 𝑙𝑛(𝑆𝐼𝑡 ) = 𝜇𝑆𝐼 + 𝜑𝑆𝐼,𝐸(𝑖𝑡−1) 𝐸(𝑖𝑡−1 ) + 𝑒𝑡𝑆𝐼 , где 𝑆𝐼𝑡 – дивидендный доход на рынке акций на момент 𝑡, 𝜇𝑆𝐼 – константа в модели дивидендного дохода, 𝜑𝑆𝐼,𝐸(𝑖𝑡−1) – коэффициент, описывающий влияние инфляционных ожиданий на дивидендный доход по обыкновенным акциям, 𝑒𝑡𝑆𝐼 – остатки модели дивидендного дохода. Были получены коэффициенты регрессионной модели. В ходе построения модели было доказано, что дивидендная доходность в большей мере зависит от инфляционных инфляции. Ряд ожиданий предыдущего инфляционных периода, ожиданий был чем от рассчитан экспоненциально взвешенного скользящего среднего по формуле 20 фактической по методу 𝐸(𝑖𝑡 ) = 𝛼𝑖𝑡−1 + (1 − 𝛼)𝐸(𝑖𝑡−1 ). 3. Модель доходности акций 𝑆&𝑃𝑡 = 𝜇𝑆&𝑃 + 𝑒𝑡𝑆&𝑃 , где 𝑆&𝑃𝑡 – значение индекса S&P500 в момент времени 𝑡, 𝑒𝑡𝑆&𝑃 – белый шум. Изменение индекса S&P500 использовано здесь в качестве меры роста фондового рынка. Предварительный анализ кросс-корреляций не обнаружил значимой связи данного показателя с инфляцией, вывод об отсутствии влияния инфляции на доходность акций не подтвердил гипотезы других исследователей. Коэффициенты корреляции также оказались незначимыми, поэтому ряд был смоделирован в виде белого шума. 4. Модель доходности долгосрочных государственных облигаций 𝐵𝐶𝐴𝑡 = 𝜑𝐵𝐶𝐴,𝑖𝑡 (𝑖𝑡 − 𝜇𝑖 ) + 𝑒𝑡𝐵𝐶𝐴 , где 𝐵𝐶𝐴𝑡 – рост рынка долгосрочных облигаций на момент 𝑡, 𝜑𝐵𝐶𝐴,𝑖𝑡 – коэффициент, описывающий влияние текущего темпа инфляции на доходность долгосрочных государственных облигаций, 𝑒𝑡𝐵𝐶𝐴 – остатки в модели доходности долгосрочных государственных облигаций. Результаты оценки модели показали обратную зависимость рыночной стоимости облигаций от инфляции. 5. Модель доходности купонных облигаций 𝑙𝑛(𝐼𝑁𝐶𝑡 ) = 𝜇𝐼𝑁𝐶 + 𝜑𝐼𝑁𝐶,𝐸(𝑖𝑡 ) 𝐸(𝑖𝑡 ) + 𝛿𝐼𝑁𝐶,𝜀𝑡𝑆𝐼 𝑒𝑡𝑆𝐼 + 𝜑𝐼𝑁𝐶,𝑖𝑡−1 𝑖𝑡−1 + 𝑒𝑡𝐼𝑁𝐶 , где 𝐼𝑁𝐶𝑡 – купонный доход в момент 𝑡, 𝜇𝐼𝑁𝐶 – константа в модели купонной доходности, 𝜑𝐼𝑁𝐶,𝐸(𝑖𝑡 ) – коэффициент, описывающий влияние инфляционных ожиданий текущего периода на доходность купонных облигаций, 𝛿𝐼𝑁𝐶,𝑒𝑡𝑆𝐼 – коэффициент, описывающий зависимость ставки купонного дохода от остатков модели дивидендного дохода, 21 𝜑𝐼𝑁𝐶,𝑖𝑡−1 – коэффициент, описывающий влияние предыдущего темпа инфляции на доходность купонных облигаций, 𝑒𝑡𝑆𝐼 – остатки модели дивидендной доходности по акциям. В работе Фрэнсис модель доходности долгосрочных купонных облигаций построена аналогично модели доходности консолей в работах Уилки, в которой доходность консолей зависит от текущей инфляции, инфляционных ожиданий и остатков от модели дивидендной доходности акций. Так как спектр активов, разрешенных к размещению американскими страховыми компаниями, достаточно широк, в работе так же построены аналогичные модели для краткосрочных и среднесрочных государственных облигаций и корпоративных облигаций. Результаты оценки коэффициентов моделей представлены в Приложении 2. Параллельно в работе Фрэнсис производится построение модели финской школы. На основе построенных прогнозов по моделям Фрэнсис произвела симуляцию различных сценариев размещения активов страховой компании по четырем возможным видам активов: краткосрочным инвестициям, среднесрочным и долгосрочным государственным облигациям, а также по акциям крупных компаний. В процессе симуляции в каждой итерации сумма для вложения определялась как рыночная стоимость всех активов в текущем периоде за вычетом начисленной премии за период. Результатом симуляции является набор спрогнозированных сценариев, на основе которых сделаны выводы о распределении вероятностей банкротства страховой компании в зависимости от конкретного состава ее инвестиционного портфеля. Так, при низкой доле акций и умеренной доле долгосрочных облигаций вероятность обанкротиться составляла бы ежегодно менее 0,01. [6] В случае увеличения доли акций компаний в портфеле вероятность краха также возрастала. Таким образом, в работе Фрэнсис подтвердились результаты, полученные в работах Уилки: повышение степени риска портфеля значительно увеличивает вероятность неплатежеспособности компании. 22 Среди рекомендаций Фрэнсис относительно будущих исследований было включение в портфель большего числа активов. В данной работе помимо перечисленных видов вложений рассмотрены банковские депозиты, отдельно смоделированы доходности для купонных и бескупонных государственных облигаций. 23 Глава 2. Применение стохастической модели Уилки к данным российского фондового рынка, макроэкономическим показателям и банковским инструментам Построение модели на данных любой страны, кроме Великобритании, осложняется тем, что некоторые переменные из модели Уилки являются специфичными и не имеют аналогов в других странах. Например, в России нет аналогов консолей; общий индекс дивидендной доходности не рассчитывается ни государственными органами, ни агентствами. Поэтому, как и в исследовании L.Фрэнсис, в данной работе модель Уилки будет видоизменена с целью точного отображения ситуаций на российских рынках. Аналогично оригинальному исследованию инфляция потребительских цен будет рассмотрена здесь в качестве первичного импульса, вызывающего изменения на фондовом рынке, в банковской сфере и в макроэкономической политике. В свою очередь, сезонные колебания, потенциальное взаимное влияние показателей, а также связь с предыдущими значениями отражается в моделях наряду с зависимостью от инфляции. В силу необходимости анализа особенных зависимостей между показателями анализ взаимосвязи временных рядов осуществим с помощью многомерных моделей с передаточными функциями (transfer function). 2.1. Теоретические основы моделей временных рядов Авторегрессионные модели Авторегрессионными (AR) называются cтохастические модели, в которых текущее значение процесса выражается в виде конечной линейной совокупности предыдущих значений процесса и случайного шока 𝑧𝑡 . Обозначим значения ряда в равноотстоящих моментах t, t-1, t-2,… как 𝑧𝑡 , 𝑧𝑡−1 , 𝑧𝑡−2 ,… Пусть 𝑥̃𝑡 = 𝑥𝑡 − 𝜇 - ряд отклонений от 𝜇. Тогда процесс 𝑥̃𝑡 = 𝜑1 𝑥̃𝑡−1 + 𝜑2 𝑥̃𝑡−2 + 𝜑3 𝑥̃𝑡−3 + ⋯ + 𝜑𝑝 𝑥̃𝑡−𝑝 + 𝑧𝑡 или, используя обозначение лагового оператора, 24 (1 − 𝜑1 𝐵 − 𝜑2 𝐵2 − ⋯ − 𝜑𝑝 𝐵𝑝 )𝑥̃𝑡 = 𝑧𝑡 называется авторегрессией (AR) порядка р. Авторегрессионные процессы могут быть стационарными или нестационарными. Необходимое условие стационарности заключается в том, что авторегрессионный оператор 𝜑(𝐵) = 1 − 𝜑1 𝐵 − 𝜑2 𝐵2 − ⋯ − 𝜑𝑝 𝐵𝑝 должен иметь все корни характеристического уравнения 𝜑(𝐵) = 0 по модулю больше единицы. Для AR процесса первого порядка 𝑥̃𝑡 = 𝜑1 𝑥̃𝑡−1 + 𝑧𝑡 условие сводится к требованию, что |𝜑1 | < 1. Модель авторегрессии с сезонностью Модель SAR(12) является частным случаем модели AR(12), в которой первые 11 коэффициентов равны нулю. Таким образом, модель отражает связь с данными только одноименного месяца предыдущего года и имеет вид 𝑥𝑡 = 𝜑12 𝑥𝑡−12 + 𝑧𝑡 . Модель, объединяющая в себе сезонность с элементами модели авторегрессии и скользящего среднего, согласно методологии Бокса-Дженкинса носит название SARIMA. В данной работе для моделирования инфляции потребительских цен на основе анализа автокорреляционных функций и сравнения построенных моделей было принято решение о включении в модель уравнения SARIMA(1,0,0)(1,0,0)12, принимающего вид (1 − 𝜑1 𝐵)(1 − 𝜑12 𝐵 𝑠 )𝑖̃𝑡 = 𝑧𝑡 , где 𝑖̃𝑡 = 𝑖𝑡 − 𝜇𝑖 – ежемесячный темп роста инфляции. Многомерная модель временного ряда с передаточной функцией В многомерных моделях временных рядов с передаточной функцией (transfer function) в случае дискретных данных вариации зависимого признака 𝑌𝑡 и независимой переменной 𝑋𝑡 от соответствующих средних значений с равным временным интервалом связаны линейным разностным уравнением. С использованием лаговых операторов поведение такой системы описывается уравнением вида 25 (1 − 𝜑1 𝐵 − 𝜑2 𝐵2 − ⋯ − 𝜑𝑝 𝐵𝑝 )𝑌𝑡 = (𝜔0 − 𝜔1 𝐵 − 𝜔2 𝐵2 − ⋯ − 𝜔𝑠 𝐵 𝑠 )𝑋𝑡−𝑏 = (𝜔0 𝐵 − 𝜔1 𝐵𝑏+1 − ⋯ − 𝜔𝑠 𝐵𝑏+𝑠 )𝑋𝑡 [1] Другими словами, 𝑌𝑡 и 𝑋𝑡 связаны линейным отношением 𝑌𝑡 = 𝜈0 𝑋𝑡 + 𝜈1 𝑋𝑡−1 + 𝜈2 𝑋𝑡−2 + ⋯ = 𝜈(𝐵)𝑋𝑡 , где 𝜈(𝐵) = 𝜈0 + 𝜈1 𝐵 + 𝜈2 𝐵2 + ⋯ = 𝜔(𝐵)𝐵𝑏 𝜑(𝐵) – передаточная функция. Последовательность весов 𝜈0 , 𝜈1 , 𝜈2 , … называется функцией импульсного отклика. Первые значения независимой переменной могут быть пропущены, если ряд 𝑌𝑡 не реагирует на 𝑋𝑡 в 𝑡 = 0. Исследования с экономической тематикой в России и за рубежом неоднократно подтверждали высокое качество моделирования временных рядов с помощью модели с передаточной функции относительно одномерных и многомерных моделей. [10] В данной работе модель с передаточной функцией была включена во все уравнения за исключением моделирования инфляции. Она позволила добиться наиболее полного моделирования взаимосвязи между параметрами доходности или рентабельности разных ценных бумаг с динамикой инфляции потребительских цен, друг с другом, а также с предыдущими значениями самого зависимого показателя, включая сезонные колебания в случае моделирования динамики купонной ставки по государственным купонным облигациям. С учетом того, что MA-составляющая, как правило, не включалась, в общем виде модель, использованная в работе, может быть записана как 𝑌𝑡 − 𝜇 = (𝜔0 − 𝜔1 𝐵 − ⋯ − 𝜔𝑠 𝐵𝑝 )𝑋𝑡−𝑏 + (1−𝜑 1 1 𝐵−⋯−𝜑𝑟 𝐵 𝑝) 𝑒𝑡 , где 𝜑(𝐵) – авторегрессионный характеристический полином для модели ARIMA, 𝜔(𝐵) – числитель передаточной функции. 26 2.2. Построение стохастической инвестиционной модели для российского рынка В качестве меры доходности того или иного актива использовался показатель темпа роста; таким образом каждый показатель, за исключением инфляции и ожидаемой инфляции был рассчитан по формуле 𝐴𝑡 = 𝑌𝑡 𝑌𝑡−1 , где 𝐴𝑡 – итоговый временной ряд для моделирования, 𝑌𝑡 и 𝑌𝑡−1 – значения целевого показателя в момент 𝑡 и 𝑡 − 1 соответственно. Итоговая модель включила в себя два вспомогательных уравнения для моделирования инфляции и инфляционных ожиданий и пять основных уравнений, по результатам оценки и прогнозирования которых была проведена симуляция сценариев инвестирования средств страховых резервов и собственных средств гипотетической страховой компании. Итоговая совокупная модель представлена следующими уравнениями: 1. Модель инфляции (1 − 𝜑i,1 𝐵)(1 − 𝜑i,12 𝐵12 )(𝑖𝑡 − 𝜇) = 𝑒𝑡𝑖 , где 𝑖𝑡 – месячная инфляция в России на момент 𝑡, выраженная в процентах относительно предыдущего периода; 𝜇 – среднее значение инфляции за весь анализируемый период с февраля 1999 года по настоящее время, 𝑒𝑡𝑖 – остатки модели инфляции. Расчет текущей инфляции осуществляется на основе статистики индекса потребительских цен. Данные для анализа были взяты из Единого архива экономических и социологических данных НИУ ВШЭ. [19] Ряд инфляции описан процессом SARIMA(1,0,0)(1,0,0)12, поскольку предварительный анализ коэффициентов автокорреляции показал очевидное наличие сезонности в данных по инфляции. Наличие выброса на 2 лаге также предполагает построение модели AR(2), но по всем критериям модель с 27 сезонностью оказалась лучшей для прогнозирования и моделирования. Графики АКФ и ЧАКФ со значениями представлены в табл. 2. На двенадцатом лаге явно присутствует автокорреляция, таким образом, существует зависимость значений инфляции со значением в аналогичный период предыдущего года. Соответствующая сезонная компонента была включена в модель. Исходный ряд был проверен на стационарность с применением процедуры Доладо. На первом шаге гипотеза о наличии единичного корня в тесте Дики-Фуллера для ряда с трендом и константой была отвергнута с вероятностью ошибки 𝛼 = 0,05, ряд инфляции стационарен, и это согласуется с результатами Уилки и Фрэнсис. Средняя ежемесячная инфляция за рассматриваемый период составляет 0,9% в месяц. Результаты оценки коэффициентов модели представлены в табл. 3 Таблица 3 Характеристики модели инфляции SARIMA(1,0,0)(1,0,0)12 Автокорреляция остатков 0,009 𝜇 Lag АКФ Ljung-Box ЧАКФ 𝜑𝑖,1 0,72 (0,00) 0 1,000 1,00 p-value 𝜑i,12 0,58 (0,00) 1 -0,100 0,1604 -0,10 2 -0,020 0,3589 -0,03 Оценка качества 0,0036 3 -0,039 0,5024 -0,04 𝑀𝐴𝐸 AIC -1509,2 4 0,057 0,5590 0,05 BIC -1502,7 5 0,024 0,6835 0,03 6 -0,080 0,6227 -0,07 7 -0,032 0,7076 -0,04 Анализ остатков 𝜎𝑒 𝑖 0,005 8 -0,062 0,7145 -0,08 𝑡 K-S normality test (Prob) 0,11 9 -0,014 0,7949 -0,04 DF one-root test (Prob) 0,00 10 0,024 0,8514 0,02 Согласно построенной модели скорость инфляции в каждом 𝒊𝒕 последующем месяце положительно зависит от ее предыдущего значения, а также от значения в аналогичный период предыдущего года. Остатки модели нормальны (гипотеза о нормальности не отвергается тестом КолмогороваСмирнова при 𝛼 = 0,05), стационарны (тест Дики-Фуллера отвергает гипотезу 28 о наличии единичного корня при 𝛼 = 0,05), коэффициенты автокорреляции не значимы. На рис. 4 изображена фактическая динамика темпа инфляции в России и спрогнозированный по модели ряд. Графический анализ подтверждает результаты оценки модели (см. рис. 4): имеют место циклические колебания темпа инфляции в начале каждого года. Это объясняется повышением цен и платы по фиксированным контрактам, происходящим ежегодно в начале периода. Темп инфляции 0.045 0.035 0.025 0.015 0.005 -0.005 Прогноз SARIMA(1,0,0)(1,0,0)12 Инфляция в период с февраля 1999 по настоящее время Рис. 4. Динамика темпа инфляции в России и прогноз темпа инфляции по модели SARIMA(1,0,0)(1,0,0)12, период с января 1999 по январь 2019 Для комплексной проверки адекватности построенных моделей были проведены некоторые тесты. Остатки моделей были проверены на наличие в них автокорреляции с помощью Ljung-Box Q-теста, для которого статистика имеет 𝜒 2 -распределение и рассчитывается по формуле ℎ 𝜌̂𝑘2 𝑄 = 𝑛(𝑛 + 1) ∑ ~𝜒 2 (𝛼, ℎ − 𝑝 − 𝑞), 𝑛−𝑘 𝑘=1 где h – число тестируемых коэффициентов автокорреляции, p – число ARпараметров в модели, q – число MA-параметров в модели. Автокорреляция остатков модели не значимо отличается от нуля. Также была проверена гипотеза о нормальном распределении остатков. По 29 одновыборочному критерию Колмогорова-Смирнова нулевая гипотеза не отвергается, поскольку его точная вероятность ошибки не является значимой. Процедура Доладо на остатках модели также показала, что они стационарны. Все коэффициенты при переменных значимы; в табл. 3 приведена характеристика общего качества модели: средняя абсолютная ошибка (MAE). 2. Модель динамики темпа роста цены пая ПИФ 𝐷𝑁𝑡 − 𝜇𝐷𝑁 = 𝜑𝐷𝑁,𝐸(𝑖𝑡−1) 𝐸(𝑖𝑡−1 ) + 1 𝑒 𝐷𝑁 (1−𝜑𝐷𝑁 𝐵) 𝑡 , где 𝐷𝑁𝑡 – изменение стоимости пая ПИФ акций «Добрыня Никитич», рассчитанное в виде темпов роста, 𝜇𝐷𝑁 – константа в модели динамики темпа роста цены пая ПИФ, 𝜑𝐷𝑁,𝐸(𝑖𝑡−1) – коэффициент, описывающий влияние ожидаемой инфляции на изменение стоимости пая ПИФ, 𝐸(𝑖𝑡−1 ) – экспоненциально сглаженный ряд инфляции, отражающий инфляционные ожидания, 𝜑𝐷𝑁 𝐵 – коэффициент, описывающий связь динамики стоимости пая ПИФ в текущий период с ее значением в предыдущий момент, 𝑒𝑡𝐷𝑁 – остатки модели динамики цены пая ПИФ. Цена пая паевого инвестиционного фонда использована здесь в качестве переменной, заменяющей индекс дивидендной доходности, использованный в оригинальной модели. Индексы дивидендной доходности в России не рассчитываются ни государственными службами, ни авторитетными аналитическими агентствами. Как и индексы доходности акций, показатель динамики цены пая ПИФ отражает доходность некоторого портфеля акций компаний. Источник данных о стоимости пая - сайт «Сбербанк Управление Активами». [28] Данный фонд акций был учрежден в УК «Тройка Диалог», до вхождения управляющей компании в 2012 году в состав Sberbank CIB. ПИФ содержит акции российских компаний, преимущественно ликвидные. Текущий состав портфеля изображен в Приложении 3. 30 Модель была построена в предположении о том, что стоимость пая паевых инвестиционных фондов зависит от своего поведения в предыдущие периоды и от ожиданий инфляции. Частная автокорреляционная функция имела пик на первом лаге, в связи с этим было предположено наличие автокорреляции первого порядка. Ряд инфляционных ожиданий, зависящий от предыдущих значений фактической инфляции и инфляционных ожиданий, рассчитан по формуле 𝐸(𝑖𝑡 ) = 𝑖𝑡−1 + 𝛼(𝑖𝑡−1 − 𝐸(𝑖𝑡−1 )). Далее была проведена процедура grid search с целью найти оптимальный параметр 𝛼, минимизирующий сумму квадратов остатков. Ряд инфляционных ожиданий рассчитывался для 𝛼 = 0,3 и изображен на рис. 5: 0.035 Темп инфляции 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 Фактическая динамика темпа инфляции Aug-18 Nov-17 Feb-17 Aug-15 May-16 Nov-14 Feb-14 May-13 Aug-12 Nov-11 Feb-11 May-10 Aug-09 Nov-08 Feb-08 May-07 Aug-06 Nov-05 Feb-05 May-04 Aug-03 Nov-02 Feb-02 May-01 Aug-00 Feb-99 Nov-99 -0.005 Инфляционные ожидания Рис. 5. Динамика темпа инфляции в России и инфляционные ожидания, период с января 1999 по январь 2019 Результаты оценки коэффициентов модели с передаточной функцией представлены в табл. 4. Согласно результатам модели на динамику стоимости в каждом последующем месяце оказывают прямое по знаку влияние инфляционные ожидания предыдущего периода, а также относительное изменение стоимости в предыдущем месяце. Константа в модели имеет значение 0,97. 31 Таблица 4 Характеристики модели динамики темпа роста стоимости пая ПИФ «Добрыня Никитич» Автокорреляция остатков 0,97 (0,00) Lag АКФ Ljung-Box ЧАКФ 𝜇𝐷𝑁 𝜑𝐷𝑁,𝐸(𝑖𝑡−1) 5,38 (0,00) 0 1 p-value 1 0,23 (0,00) 1 -0,006 0,9297 -0,006 𝜑𝐷𝑁 2 0,04 0,8709 0,037 Оценка качества MAPE 7,35% 3 -0,113 0,4237 -0,113 0,07 4 0,005 0,5912 0,003 𝑀𝐴𝐸 AIC -324,13 5 -0,137 0,2567 -0,13 BIC -314,34 6 -0,07 0,2751 -0,086 7 0,016 0,3713 0,025 Анализ остатков 𝜎𝑒𝑡𝐷𝑁 0,1037 8 0,045 0,4337 0,021 K-S normality test (Prob) 0,052 9 -0,007 0,5334 -0,025 DF one-root test (Prob) 0,000 10 0,1409 0,2791 0,132 Остатки модели не коррелированы, нормально распределены 𝑫𝑵𝒕 стационарны по результатам первого шага процедуры Доладо. и Все коэффициенты при переменных значимы; средний абсолютный процент ошибки модели составляет 7,35%. Результаты прогнозирования представлены на рис. 6. Пики в конце 1999 года и в середине 2009 года отразились не полноценно. Тем не менее, построенная модель описывает основные изменения, достаточно точно моделирует колебания стоимости пая. 1.7 1.3 1.1 0.9 0.7 Mar-99 Nov-99 Jul-00 Mar-01 Nov-01 Jul-02 Mar-03 Nov-03 Jul-04 Mar-05 Nov-05 Jul-06 Mar-07 Nov-07 Jul-08 Mar-09 Nov-09 Jul-10 Mar-11 Nov-11 Jul-12 Mar-13 Nov-13 Jul-14 Mar-15 Nov-15 Jul-16 Mar-17 Nov-17 Jul-18 Темп роста 1.5 Модель динамики с использованияем передаточной функции Динамика стоимости пая ПИФ "Добрыня Никитич" Рис. 6. Динамика темпа роста стоимости пая ПИФ и прогноз по модели с передаточной функцией на период с января 1999 по январь 2019 32 3. Модель динамики темпа роста индекса ММВБ 𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋𝑡 − 𝜇𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 = 𝜑𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋,𝑖𝑡 𝑖𝑡 + 1 (1 − 𝜑𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 𝐵) 𝑒𝑡𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 , где 𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋𝑡 – динамика темпа роста индекса ММВБ, 𝜇𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 – константа, оцененная по модели динамики темпа роста индекса ММВБ, 𝜑𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋,𝑖𝑡 – коэффициент, описывающий влияние текущего темпа инфляции на динамику индекса ММВБ, 𝜑𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 – коэффициент, показывающий связь динамики темпа роста индекса ММВБ в текущий период с ее значением в предыдущий момент времени t, 𝑒𝑡𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 – остатки модели динамики темпа роста индекса ММВБ. Изменение индекса акций ММВБ (MICEX), используется в качестве общей меры удорожания фондового рынка в РФ, рассчитанной в виде темпов роста. Индекс ММВБ рассчитывается как композитный индекс цен акций 50 компаний, ведущих наиболее успешную деятельность в основных секторах экономики, взвешенных по рыночной капитализации. Данные о динамике индекса ММВБ взяты с сайта Московской Биржи.[23] Согласно спецификации модели стоимость акций зависит от среднего значения показателя, предыдущих колебаний, текущего значения инфляции и случайных шоков. На основе анализа частной автокорреляционной функции в модель была включена AR-компонента первого порядка. Результаты оценки коэффициентов модели с передаточной функцией представлены в табл. 5. Все коэффициенты при переменных значимы с вероятностью ошибки 𝛼 = 0,05; средняя абсолютная ошибка модели составляет 0,07. Остатки модели распределены нормально, автокорреляции не значимы. Остатки стационарны по результатам первого шага процедуры Доладо, как и исходный ряд. Таблица 5 Характеристики модели динамики темпа роста индекса ММВБ 33 Автокорреляция остатков 0,99 (0,00) Lag АКФ Ljung-Box ЧАКФ 𝜇𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 𝜑𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋,𝑖𝑡 3,66 (0,01) 0 1 p-value 1 0,15 (0,03) 1 -0,0108 0,8804 -0,01 𝜑𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 2 0,0808 0,5216 0,08 Оценка качества MAPE 7,85% 3 -0,065 0,5448 -0,06 0,07 4 0,0242 0,6897 0,02 𝑀𝐴𝐸 AIC -315,77 5 -0,0617 0,6985 -0,05 BIC -306 6 -0,1209 0,4305 -0,13 7 0,0067 0,5463 0,02 Анализ остатков 𝜎𝑒𝑡𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 0,1055 8 -0,0202 0,6442 -0,01 𝑴𝑰𝑪𝑬𝑿𝒕 K-S normality test (Prob) 0,731 9 0,0338 0,7137 DF one-root test (Prob) 0,000 10 0,1339 0,8804 Результаты прогнозирования представлены на Рис. 7: 0,02 0,15 1.5 Темп роста 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 Feb-99 Oct-99 Jun-00 Feb-01 Oct-01 Jun-02 Feb-03 Oct-03 Jun-04 Feb-05 Oct-05 Jun-06 Feb-07 Oct-07 Jun-08 Feb-09 Oct-09 Jun-10 Feb-11 Oct-11 Jun-12 Feb-13 Oct-13 Jun-14 Feb-15 Oct-15 Jun-16 Feb-17 Oct-17 Jun-18 0.7 Фактическая динамика темпов роста индекса ММВБ Модель динамики с использованием передаточной функции Рис. 7. Динамика темпа роста индекса ММВБ и прогноз по модели с передаточной функцией на период с января 1999 по январь 2019 По причине включения в уравнение взаимосвязи показателя с инфляцией модель прогнозирует сезонные колебания доходностей. Менее волатильный прогноз компенсируется при симуляции построением распределения с СКО исходного ряда. 4. Модель динамики темпа роста индекса государственных облигаций 34 𝑅𝐺𝐵𝐼𝑡 − 𝜇𝑅𝐺𝐵𝐼 = 𝜑𝑅𝐺𝐵𝐼,𝑖𝑡 𝑖𝑡 + 1 𝑒𝑡𝑅𝐺𝐵𝐼 , (1 − 𝜑𝑅𝐺𝐵𝐼 𝐵) где 𝑅𝐺𝐵𝐼𝑡 – динамика темпа роста индекса государственных облигаций, 𝜇𝑅𝐺𝐵𝐼 – константа, оцененная по модели динамики темпа роста индекса государственных облигаций, 𝜑𝑅𝐺𝐵𝐼,𝑖𝑡 – коэффициент, описывающий влияние текущего темпа инфляции на динамику индекса государственных облигаций, 𝜑𝑅𝐺𝐵𝐼 – коэффициент, показывающий связь динамики темпа роста индекса государственных облигаций в текущий период с ее значением в предыдущий момент времени t, 𝑒𝑡𝑅𝐺𝐵𝐼 – остатки модели динамики темпа роста индекса государственных облигаций. Изменение ценового индекса государственных облигаций, рассчитанное в виде темпов роста, используется в качестве общей меры удорожания рынка государственных ценных бумаг РФ. Данные о динамике индекса государственных облигаций предоставлены сайтом Московской Биржи. [23] При построении модели была принята предпосылка о зависимости текущего темпа роста индекса государственных облигаций от его среднего значения за весь период, от предыдущих значений, а также от темпа инфляции. Результаты построения модели и характеристики качества модели представлены в табл. 6. Коэффициенты при переменных значимо отличаются от нуля; средняя абсолютная ошибка модели составляет 0,01, средний абсолютный процент ошибки - 1,22%. Остатки подчиняются нормальному закону распределения, коэффициенты автокорреляции не значимы. При проведении теста ДикиФуллера гипотеза о наличии единичного корня отвергается с вероятностью ошибки 𝛼 = 0,05, ряд остатков стационарен. Таблица 6 Характеристики модели динамики темпа роста индекса государственных облигаций 35 Автокорреляция остатков 0,99 (0,00) Lag АКФ Ljung-Box ЧАКФ 𝜇𝑅𝐺𝐵𝐼 𝜑𝑅𝐺𝐵𝐼,𝑖𝑡 1,15 (0,00) 0 1 p-value 1 0,25 (0,00) 1 -0,0242 0,77 -0,02 𝜑𝑅𝐺𝐵𝐼 2 0,0254 0,9114 0,025 Оценка качества MAPE 1,22% 3 0,0445 0,9219 0,05 MAE 0,01 4 -0,0551 0,9171 -0,05 AIC -749,13 5 0,1103 0,7267 0,11 BIC -740,18 6 -0,0279 0,8154 -0,02 7 -0,1269 0,603 -0,13 Анализ остатков 𝜎𝑒𝑡𝑅𝐺𝐵𝐼 0,0184 8 0,1639 0,2866 0,15 K-S normality test (Prob) 0,274 9 0,098 0,2605 0,13 DF one-root test (Prob) 0,000 10 -0,021 0,3349 -0,04 Результаты прогнозирования представлены на Рис. 8: 𝑹𝑮𝑩𝑰𝒕 1.10 Темп роста 1.05 1.00 0.95 0.90 Oct-18 Mar-18 Aug-17 Jan-17 Jun-16 Nov-15 Apr-15 Sep-14 Jul-13 Feb-14 Dec-12 May-12 Oct-11 Mar-11 Aug-10 Jan-10 Jun-09 Nov-08 Apr-08 Sep-07 Jul-06 Feb-07 Dec-05 May-05 Oct-04 Mar-04 Aug-03 Jan-03 0.85 Фактическая динамика темпа роста индекса государственных облигаций Прогноз по модели с передаточной функцией Рис. 8. Динамика темпа роста индекса государственных облигаций и прогноз по модели на период с января 2003 по январь 2019 Спрогнозированный ряд моделирует основные изменения в динамике, в прогнозе на будущие периоды присутствуют ежегодные сезонные колебания, вызванные прогнозируемыми изменениями инфляции. 5. Модель динамики темпа роста купонной доходности 𝐶𝐼𝑛𝑐𝑡 − 𝜇𝐶𝐼𝑛𝑐 = 𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐,𝑖𝑡−1 𝑖𝑡−1 + 1 𝑒 𝐶𝐼𝑛𝑐 , (1−𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐,1 𝐵−𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐,2 𝐵2 )(1−𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐,12 𝐵12 ) 𝑡 36 где 𝐶𝐼𝑛𝑐𝑡 – динамика темпа роста купонной доходности государственных купонных облигаций, рассчитанная в виде темпов роста, 𝜇𝐶𝐼𝑛𝑐 – константа, оцененная по модели динамики темпа роста ставки купонной доходности, 𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐,𝑖𝑡−1 – коэффициент, описывающий влияние значения темпа инфляции в предыдущий момент времени t на динамику темпа роста ставки купонного дохода, 𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐,1 , 𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐,2 – коэффициенты, показывающие связь динамики темпа роста купонной доходности в текущий период с ее значениями в два предыдущих момента времени t, 𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐,12 – коэффициент, отражающий сезонные колебания купонной доходности с периодом в 12 месяцев, 𝑒𝑡𝐶𝐼𝑛𝑐 – остатки модели динамики темпа роста купонной доходности. Данные о ставках купонного дохода получены с сайтов Центрального банка РФ (до 26.12.2012) [31] и Министерства финансов (с 09.01.2013). [22] Средняя ставка купонного дохода, согласно построенной модели с передаточной функцией, зависит от предыдущего значения инфляции, а также собственных предыдущих значений, включая сезонное колебание – значение аналогичного периода предшествовавшего года. Сезонность была введена после анализа автокорреляционных функций; в силу специфики показателя его динамика проявляет некоторую цикличность благодаря определенному порядку погашений. В табл. 7 отображены все параметры модели, а также оценка ее качества и анализ остатков. Все коэффициенты при переменных значимы с вероятностью ошибки 𝛼 = 0,05; средняя абсолютная ошибка модели составляет 0,095. Остатки модели не коррелированы и распределены нормально. Гипотеза о наличии единичного корня отвергается на уровне значимости 𝛼 = 0,05, остатки стационарны после первого шага процедуры Доладо. Таблица 7 37 Характеристики модели динамики темпа роста годовой доходности купонных облигаций 𝜇𝐶𝐼𝑛𝑐 𝑪𝑰𝒏𝒄𝒕 1,01 (0,00) 𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐,𝑖𝑡−1 0,58 (0,07) 𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐,1 -0,54 (0,00) 𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐,2 -0,37 (0,00) 𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐,12 0,74 (0,00) Оценка качества MAPE 9,47% 0,095 𝑀𝐴𝐸 AIC -171,8 BIC -156,6 Анализ остатков 𝜎𝑒𝑡𝐶𝐼𝑛𝑐 0,132 K-S normality test (Prob) 0,25 DF one-root test (Prob) 0,000 На Рис. 9 изображена Автокорреляция остатков Lag АКФ Ljung-Box ЧАКФ p-value 0 1 1 1 -0,0112 0,8877 -0,01 2 -0,0729 0,6486 -0,07 3 -0,1047 0,454 -0,11 4 -0,1332 0,2415 -0,14 5 -0,0577 0,3044 -0,08 6 0,0857 0,3012 0,05 7 0,0356 0,3859 -0,001 8 0,1259 0,2616 0,11 9 0,053 0,3103 0,07 10 -0,0216 0,39 0,02 11 -0,0885 0,3698 -0,04 фактическая динамика и результат ее моделирования. Модель точно повторяет пики и основные тенденции в исходном ряде, характеризующемся высокой вариацией. 2 Темп роста 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 Sep-18 Jan-18 May-17 Sep-16 Jan-16 May-15 Sep-14 Jan-14 May-13 Sep-12 Jan-12 May-11 Sep-10 Jan-10 May-09 Sep-08 Jan-08 May-07 Sep-06 Jan-06 May-05 Sep-04 Jan-04 May-03 Sep-02 Jan-02 0.6 Прогноз по модели с передаточной фукнцией Фактическая динамика темпа роста купонной ставки Рис. 9. Динамика темпа роста годовой ставки купонного дохода и прогноз по модели с передаточной функцией на период с января 2002 по январь 2019 Для симуляции инвестиционных сценариев в Главе 3 согласно принципу сложного процента по формуле 12 𝑦𝑒𝑎𝑟 𝑟𝑎𝑡𝑒𝑡𝑚𝑜𝑛𝑡ℎ = ( √1 + 𝑟𝑎𝑡𝑒𝑡 − 1) ∙ 100% 38 были получены ежемесячные ставки и, соответственно, построен ряд темпов роста, позволяющий рассчитать ежемесячный доход от инвестиций в данный вид вложений. На Рис. 10 изображена фактическая динамика ежемесячной Месячная ставка купонной доходности, % ставки купонного дохода и рассчитанный по модели ряд. 1.35 1.15 0.95 0.75 0.55 Sep-18 Jan-18 May-17 Sep-16 Jan-16 May-15 Sep-14 Jan-14 May-13 Sep-12 Jan-12 May-11 Sep-10 Jan-10 May-09 Sep-08 Jan-08 May-07 Sep-06 Jan-06 May-05 Sep-04 Jan-04 May-03 Sep-02 Jan-02 0.35 Рассчитанная по прогнозным значениям ежемесячная ставка Фактическая ежемесячная ставка купонного дохода Рис. 10. Динамика месячной ставки купонного дохода и прогноз по модели с передаточной функцией на период с января 2002 по январь 2019 Прогноз по модели предсказывает в будущие периоды повышение ежемесячной средней ставки до 1,3%, сопровождаемое краткосрочными спадами. 6. Модель динамики темпа роста средней ставки по депозитам 𝐷𝑒𝑝𝑜𝑡 − 𝜇𝐷𝑒𝑝𝑜 = (𝜑𝐷𝑒𝑝𝑜,𝑖𝑡 − 𝜑𝐷𝑒𝑝𝑜,𝑖𝑡,1 𝐵)𝑖𝑡−1 + 1 𝐷𝑒𝑝𝑜 𝑒 , (1−𝜑𝐷𝑒𝑝𝑜 𝐵) 𝑡 где 𝐷𝑒𝑝𝑜𝑡 - динамика средневзвешенной ставки по депозитам, рассчитанная в виде темпов роста, 𝜇𝐷𝑒𝑝𝑜 – константа, оцененная по модели динамики темпа роста средней ставки депозитов, 𝜑𝐷𝑒𝑝𝑜,𝑖𝑡 , 𝜑𝐷𝑒𝑝𝑜,𝑖𝑡,1 – коэффициенты, описывающие влияние значений темпа инфляции в текущий и предыдущий моменты времени t, t-1 на динамику темпа роста ставки по депозитам, 39 𝜑𝐷𝑒𝑝𝑜 – коэффициент, показывающий связь динамики темпа роста средней ставки по депозитам в текущий период с ее значением в предыдущий момент времени t-1, 𝐷𝑒𝑝𝑜 𝑒𝑡 – остатки модели динамики темпа роста ставки по депозитам. Данные о средневзвешенных межведомственной ставках, размещенные информационно-статистической в Единой системе ЕМИСС, подготовлены Департаментом информации и исследований ЦБ РФ. [31] При построении модели была принята предпосылка о зависимости текущего темпа роста средней ставки депозитов от ее среднего значения за весь период, от предыдущего значения, включенного в модель после анализа ЧАКФ (автокорреляция первого порядка для исходного ряда значима с вероятностью ошибки 𝛼 = 0,05), и ряда предшествовавших значений темпа инфляции. Результаты построения модели и характеристики качества модели представлены в табл. 8. Таблица 8 Характеристики модели динамики темпа роста ставки по депозитам Автокорреляция остатков 𝜇𝐷𝑒𝑝𝑜 1,02 (0,00) Lag АКФ Ljung-Box ЧАКФ 𝜑𝐷𝑒𝑝𝑜 0,12 (0,01) 0 1 p-value 1 𝜑𝐷𝑒𝑝𝑜,𝑖𝑡 1,99 (0,04) 1 -0,0733 0,57 -0,0733 𝜑𝐷𝑒𝑝𝑜,𝑖𝑡,1 3,64 (0,04) 2 -0,1823 0,3081 -0,1887 3 -0,0206 0,4971 -0,0525 Оценка качества MAPE 8,59% 4 -0,0061 0,6656 -0,0493 0,09 5 0,1554 0,5574 0,1431 𝑀𝐴𝐸 AIC -69,7 6 -0,0822 0,624 -0,0701 BIC -53,6 7 0,0052 0,7337 0,0511 8 -0,0122 0,8191 -0,032 Анализ остатков 𝜎𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑜 0,13 9 0,0579 0,8647 0,0752 𝑡 K-S normality test (Prob) 0,567 10 -0,0165 0,9129 -0,0446 DF one-root test (Prob) 0,000 11 -0,0237 0,9449 0,023 Коэффициенты при переменных значимо отличаются от нуля с 𝑫𝒆𝒑𝒐𝒕 вероятностью ошибки 𝛼 = 0,05. Средняя абсолютная ошибка модели составляет 0,09, средний абсолютный процент ошибки - 8,59%. Гипотеза о 40 нормальном распределении не отвергается на основе теста КолмогороваСмирнова, коэффициенты автокорреляции не значимы; гипотеза о нестационарности отвергается на уровне значимости 𝛼 = 0,05, остатки стационарны. Oct-18 Jun-18 Feb-18 Oct-17 Jun-17 Feb-17 Jun-16 Oct-16 Feb-16 Oct-15 Jun-15 Feb-15 Oct-14 Jun-14 Oct-13 Feb-14 Jun-13 Feb-13 Oct-12 Jun-12 Feb-12 Oct-11 Jun-11 Oct-10 Feb-11 Jun-10 1.65 1.55 1.45 1.35 1.25 1.15 1.05 0.95 0.85 0.75 0.65 Feb-10 Темп роста На Рис. 11 представлены результаты моделирования. Фактическая динамика темпа роста ставки депозитов для ЮЛ Прогноз по модели с передаточной функцией Рис. 11. Динамика темпа роста годовой ставки депозитов и прогноз по модели с передаточной функцией на период с января 2010 по январь 2019 Модель достаточно точно описывает фактические изменения, не отраженный моделью скачок осенью 2014 года вызван резким повышением ставки в сентябре. Поскольку ставка по депозитам годовая, то, как и в случае с купонными облигациями, для целей дальнейшего анализа были получены ежемесячные ставки и, соответственно, построен ряд темпов роста по формуле 12 𝑦𝑒𝑎𝑟 𝑟𝑎𝑡𝑒𝑡𝑚𝑜𝑛𝑡ℎ = ( √1 + 𝑟𝑎𝑡𝑒𝑡 − 1) ∗ 100%. На Рис. 12 для сравнения изображены фактическая ежемесячной ставки депозитов и рассчитанный по модели ряд. 41 динамика 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 Jun-18 Oct-18 Feb-18 Jun-17 Oct-17 Jun-16 Oct-16 Feb-17 Oct-15 Feb-16 Feb-15 Jun-15 Oct-14 Feb-14 Jun-14 Jun-13 Oct-13 Oct-12 Feb-13 Jun-12 Oct-11 Feb-12 Feb-11 Jun-11 Oct-10 0.5 Feb-10 Jun-10 Месячная ставка по депозитам, % 0.9 Фактическая динамика месячной ставки депозитов для ЮЛ Рассчитанная по спрогнозированному ряду месячная ставка Рис. 12. Динамика месячной ставки депозитов и расчет по прогнозу модели с передаточной функцией на период с января 2010 по январь 2019 Рассчитанный по прогнозу ряд ежемесячных доходностей имеет тенденцию к корректировке позиции после скачка осенью 2014 года и выходу на уровень 0,75% в месяц с незначительными сезонными колебаниями. Построенные ряды прогнозов темпов роста по всем активам, рассматриваемым в работе, являются также темпами роста инвестируемых средств и составляют базу для симуляции инвестиционного дохода страховой компании, осуществляемой в следующей главе. 42 Глава 3. Симуляция сценариев инвестиционной деятельности российских страховых компаний На основе построенных прогнозов проведем симуляции для разных сценариев инвестиционной деятельности страховщиков. Страховые компании вправе самостоятельно определять свою инвестиционную стратегию и свободно покупать и продавать ценные бумаги другие активы, но в рамках установленных Банком России и Министерство финансов РФ ограничений на их качество и количество. 3.1. Теоретическое обоснование симуляции структуры инвестиционного портфеля страховой компании Правовыми актами приоритет в инвестиционном портфеле отдается высоколиквидным активам с невысокими доходностями, а доля рисковых высокодоходных ценных бумаг сильно ограничена. Некоторые из этих ограничений были перечислены в табл. 1 главы 1. В зависимости от того, какую политику избирает руководство компании, средства страховых резервов и собственные средства компании распределяются по разным видам вложений, и, соответственно, определяется инвестиционный доход. Главной гипотезой для процедуры симуляции можно назвать предположение о том, что в России, как и в других странах из исследований Уилки, Фрэнсис и пр., компания, желающая приобрести значительное количество рисковых активов, должна обладать большей изначальной суммой вложений, чтобы снизить вероятность собственного банкротства. Симуляция инвестиционного дохода представляет собой моделирование различных сценариев, при которых инвестиционные средства распределяются по вложениям в разных пропорциях, удовлетворяющих текущим требованиям, прописанным в законодательстве. Для сравнения двух правовых актов и оценки возможного влияния новой версии на инвестиционные стратегии страховщиков также были составлены портфели, выполняющие требования текущего 43 Указания 3444-У [21], но нарушающие Приказ 100н [20]. Сценарии, моделируемые в следующем параграфе, представлены в Табл 9. Таблица 9 Сценарии структуры инвестиционного портфеля страховой компании № п/п Паи Купонные Акции, Облигации, ПИФ, 𝝋𝑫𝑵 𝝋𝑴𝑰𝑪𝑬𝑿 𝝋𝑹𝑮𝑩𝑰 облигации, Депозиты, 𝝋𝑫𝒆𝒑𝒐 𝝋𝑪𝑰𝒏𝒄 100н 3444У 1 0% 0% 20% 20% 60% - 2 10% 20% 30% 15% 25% - 3 10% 5% 30% 15% 40% - 4 10% 5% 20% 10% 55% Очевидно, что наиболее рисковый портфель сформируется при втором сценарии, где доли паев ПИФ и акций равны максимально разрешенным Указанием [21]. Наиболее безопасным для страховщика видится первый сценарий, исключающий инвестирование в рисковые активы, максимально используя банковские инструменты и малодоходные облигации. При этом первые три сценария были бы запрещены предшествовавшим Приказом [20]. Таким образом, однозначного вывода относительно влияния нового порядка размещения средств страховщиком сделать нельзя, поскольку он позволяет сформировать как более, так и менее рисковую стратегию. Расчет вероятности возникновения риска неплатежеспособности производился на основе ранее построенных для каждого ряда прогнозов и средних квадратических отклонений рядов. Были рассчитаны функции распределения темпов роста доходности по портфелю активов для всего периода прогноза в предположении модели Уилки, что ряды динамики темпов роста каждого из активов распределены нормально со средними значениями, равными значениям прогноза из Главы 2, и СКО фактических рядов динамики. Значит, по свойству математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по нормальному закону, для смесей независимых случайных величин выполняются свойства: 𝜇(𝛼 ∙ 𝑋 + (1 − 𝛼) ∙ 𝑌) = 𝛼 ∙ 𝜇𝑋 + (1 − 𝛼) ∙ 𝜇𝑌 44 𝜎(𝛼 ∙ 𝑋 + (1 − 𝛼) ∙ 𝑌) = √𝛼 2 ∙ 𝜎𝑋2 + (1 − 𝛼)2 ∙ 𝜎𝑌2 Таким образом, в каждый период 𝑡 среднее значение и СКО для каждого портфеля, рассматриваемого в данном случае как смесь распределений, согласно предпосылке о нормальном распределении рассчитывались по формулам: 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝜇𝑡𝑛 = 𝜑𝐷𝑁 ∙ 𝐷𝑁𝑡 + 𝜑𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 ∙ 𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋𝑡 + 𝜑𝑅𝐺𝐵𝐼 ∙ 𝑅𝐺𝐵𝐼𝑡 + 𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐 ∙ 𝐶𝐼𝑛𝑐𝑡 + 𝜑𝐷𝑒𝑝𝑜 ∙ 𝐷𝑒𝑝𝑜𝑡 2 2 2 2 2 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2 2 2 2 2 𝜎𝑡𝑛 = √𝜑𝐷𝑁 ∙ 𝜎𝐷𝑁 + 𝜑𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 ∙ 𝜎𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 + 𝜑𝑅𝐺𝐵𝐼 ∙ 𝜎𝑅𝐺𝐵𝐼 + 𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐 ∙ 𝜎𝐶𝐼𝑛𝑐 + 𝜑𝐷𝑒𝑝𝑜 ∙ 𝜎𝐷𝑒𝑝𝑜 , ̅̅̅̅ – номер сценария; где 𝑛 = 1,4 𝜑𝐷𝑁 , 𝜑𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 , 𝜑𝑅𝐺𝐵𝐼 , 𝜑𝐶𝐼𝑛𝑐 , 𝜑𝐷𝑒𝑝𝑜 – доли активов, указанные в табл. 9; 𝐷𝑁𝑡 , 𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋𝑡 , 𝑅𝐺𝐵𝐼𝑡 , 𝐶𝐼𝑛𝑐𝑡 , 𝐷𝑒𝑝𝑜𝑡 – значения прогноза по динамике темпов роста доходностей активов в момент 𝑡; 𝜎𝐷𝑁 , 𝜎𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋 , 𝜎𝑅𝐺𝐵𝐼 , 𝜎𝐶𝐼𝑛𝑐 , 𝜎𝐷𝑒𝑝𝑜 – стандартные отклонения рядов фактической динамики темпов роста доходностей активов. Результатом расчетов стали четыре таблицы, содержащие значения функции распределения темпов роста вложенных средств в каждый момент 𝑡 прогнозируемого периода с апреля 2015 года по январь 2019 включительно для каждого сценария. В данном случае функция распределения интерпретируется с точки зрения вероятности. К примеру, что в апреле 2015 вероятность получить менее 3% дохода к вкладывающего изначальной сумме средства первый в инвестирования портфель, для равна страховщика, 0,01. Таблицы представлены в Приложении 4. 3.2. Результаты симуляции инвестиционного дохода страховой компании Согласно Указанию [21] общая стоимость активов, в которые инвестированы средства страховых резервов, должна быть равна суммарной величине страховых резервов страховщика. Большинство страховщиков хранят некоторую часть страховых резервов на счетах в банках, оставшуюся часть инвестируют. Также страховая компания вправе инвестировать собственные 45 средства, с тем ограничением, что средства страховых резервов не могут быть вложены в активы, приобретенные за счет собственных средств, и наоборот. В данном исследовании изначальная сумма, направляемая на инвестиции, определялась на основе самых актуальных данных о выплатах, премиях и резервах ТОП-10 российских страховых компаний по версии рейтингового агентства «Эксперт», а также на основе годовой финансовой отчетности страховщиков. В табл. 9 представлен вышеупомянутый список страховщиков с их суммарными страховыми резервами и выплатами на конец 2014 года, а также со средними значениями для каждого из параметров. Таблица 9 Страховые резервы [27], выплаты и премии [30] ТОП-10 российских страховщиков по версии «Эксперт РА», млн рублей № п/п Рег. № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 977 1208 928 1209 2239 621 3398 1307 290 10 Наименование организации РОСГОССТРАХ СОГАЗ ИНГОССТРАХ РЕСО-ГАРАНТИЯ АЛЬФАСТРАХОВАНИЕ ВСК ВТБ СТРАХОВАНИЕ СОГЛАСИЕ АЛЬЯНС ГРУППА РЕНЕССАНС 1284 СТРАХОВАНИЕ В среднем в расчете на 1 месяц Резервы на 31.12.2014 Выплаты за 2014 год Премии за 2014 год 97 797 136 396 68 306 46 897 38 930 29 086 22 806 12 212 19 056 55061,4 42172,8 48396,4 38295,8 24799,5 20820,3 14581,9 26999,5 21553,4 129866,3 105229,9 65774,5 65252,2 47780,0 37680,2 36631,0 33856,5 24650,3 15 338 13796,4 19460,9 48 682 2553,978 4718,18 В рамках модели сумма, инвестируемая в первом периоде прогноза – апреле 2015 – равна сумме страховых резервов и собственных средств. По предпосылке модели инвестиционного она дохода ежемесячно (либо убытка), корректируется на величину увеличивается на среднюю заработанную премию от страхования иного, чем страхование жизни и уменьшается на среднемесячную сумму выплат и расходов на ведение страховых операция по страхованию иному, чем страхование жизни. 46 Страхование жизни не рассматривалось в данной работе по причине различий в максимально разрешенных долях активов в портфеле и порядке размещения резервов. В качестве объекта исследования была выбрана компания ООО «Росгосстрах» - лидер российского страхового рынка, и ее финансовые результаты по страхованию иному, чем страхование жизни за 2014 год. [15] Суммарный страховой резерв компании составил 97797,174 миллионов рублей, заработанная страховая премия – 108124,848 миллионов рублей, сумма страховых выплат и расходов на ведение страховых операций – 87364,348 миллионов рублей. Собственные средства компании на 31.12.2014 насчитывали 2525 миллионов рублей. Предполагается, что данные параметры детерминированы и не зависят от внешних переменных. Для первого момента прогноза из суммы резервов и собственных средств за первые три месяца 2015 года была прибавлена трехкратная величина страховых премий и вычтена трехкратная величина средних ежемесячных страховых выплат и расходов по ведению операций, сумма к инвестированию на начало апреля 2015 составила 105 512 миллионов рублей. В каждый последующий период 𝑡 на величину темпа роста, выплат и премий корректируется сумма, полученная в предыдущем периоде. Итак, получена таблица, аналогичная представленной в Приложении 4. В данном случае вероятностям соответствуют не темпы роста, а итоговые суммы резервов и собственных средств с учетом инвестиционного дохода. Результаты расчетов представлены в Приложении 5. В табл. 10 для каждого из сценариев указаны вероятности, при которых к началу 2019 года компанией может быть получен определенный уровень инвестиционного дохода. Гипотезы, поставленные ранее, подтвердились: портфель без паев ПИФ и акций гарантирует рост дохода, в среднем доход увеличится более, чем в 2,5 раза. Наиболее рисковый портфель в среднем дает четырехкратное увеличение изначальной суммы, но также и допускает 5%-ную вероятность его снижения. 47 Третий и четвертый сценарии имеют большую степень риска, чем первый, за счет присутствия в нем акций и паев ПИФ «Добрыня Никитич». Уровень дохода, который гарантированно получит страховщик, для них ниже, но в среднем они являются более доходными, в среднем обеспечивая 3,5кратное увеличение суммы к началу 2019 года. Таблица 10 Итоги симуляции сценариев; прирост суммы инвестирования и финальный темп роста на январь 2019 относительно апреля 2015 F(X) 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,85 0,9 0,95 0,99 Сценарий 1 Прирост Темп суммы роста 94 179 1,94 114 220 2,14 125 843 2,25 140 865 2,40 152 383 2,52 162 706 2,62 172 774 2,72 183 266 2,83 194 982 2,94 209 365 3,09 218 574 3,18 230 584 3,30 249 292 3,48 287 521 3,87 Сценарий 2 Прирост Темп суммы роста -42 859 0,57 -4 659 0,95 29 158 1,29 90 958 1,91 156 470 2,56 232 277 3,32 325 264 4,24 446 276 5,45 616 422 7,14 887 124 9,84 1 103 400 12,00 1 445 571 15,41 2 142 464 22,36 4 413 070 44,99 Сценарий 3 Прирост Темп суммы роста 15 673 1,16 59 582 1,59 90 760 1,90 138 086 2,38 180 262 2,80 222 791 3,22 268 886 3,68 322 086 4,21 388 121 4,87 479 448 5,78 544 234 6,42 636 595 7,35 799 377 8,97 1 211 512 13,08 Сценарий 4 Прирост Темп суммы роста 16 279 1,16 57 697 1,58 86 672 1,86 130 129 2,30 168 429 2,68 206 713 3,06 247 885 3,47 295 044 3,94 353 125 4,52 432 751 5,31 488 814 5,87 568 218 6,66 706 904 8,05 1 052 558 11,49 Рассмотрим подробно каждый из четырех сценариев. Динамика средств для инвестирования по вероятностям изображена на Рис. 13, по которому можно оценить, что при непрерывной работе по страховым операциям, ежемесячных поступлениях и выплатах, с такой консервативной политикой можно добиться в среднем двукратного увеличения суммы, практически не рискуя при этом потерять изначальную сумму. 48 350000 300000 250000 200000 150000 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,85 0,9 0,95 0,99 Dec-18 Oct-18 Aug-18 Jun-18 Apr-18 Feb-18 Dec-17 Oct-17 Aug-17 Jun-17 Apr-17 Feb-17 Dec-16 Oct-16 Aug-16 Jun-16 Apr-16 Feb-16 Dec-15 Oct-15 Aug-15 Jun-15 100000 Apr-15 Сумма с учетом инвестиций, млн рублей 400000 Рис. 13. Динамика изменения суммы к инвестированию по вероятностям с апреля 2015 по январь 2019, сценарий 1 Совсем иные перспективы демонстрирует Рис. 14, на котором аналогичное распределение представлено для второго, наиболее рискового сценария, который допускает значительную вероятность отрицательной динамики. Сумма с учетом инвестиций, млн рублей 300000 250000 200000 150000 100000 0,01 0,6 0,05 0,7 0,1 0,8 0,2 0,85 0,3 0,9 0,4 0,95 Dec-18 Oct-18 Aug-18 Jun-18 Apr-18 Feb-18 Dec-17 Oct-17 Aug-17 Jun-17 Apr-17 Feb-17 Dec-16 Oct-16 Aug-16 Jun-16 Apr-16 Feb-16 Dec-15 Oct-15 Aug-15 Jun-15 Apr-15 50000 0,5 0,99 Рис. 14. Динамика изменения суммы к инвестированию по вероятностям с апреля 2015 по январь 2019, сценарий 2 Третий и четвертый сценарии приводят к практически идентичным результатам, динамика изображена на Рис. 15. Портфель достаточно надежен и в среднем приносит больший доход, чем абсолютно безрисковый первый. 49 300000 280000 260000 240000 220000 200000 180000 160000 140000 120000 Dec-18 Oct-18 Aug-18 Jun-18 Apr-18 Feb-18 Dec-17 Oct-17 Aug-17 Jun-17 Apr-17 Feb-17 Dec-16 Oct-16 Aug-16 Jun-16 Apr-16 Feb-16 Dec-15 Oct-15 Aug-15 Jun-15 Apr-15 100000 Рис. 15. Динамика изменения суммы к инвестированию по вероятностям с апреля 2015 по январь 2019, сценарии 3 и 4 (пунктиром) Третий и четвертый сценарии являются некоторым компромиссом, способом со значительной степенью вероятности увеличить изначальную сумму резерва в среднем в 3,5 раза, в 1,88 раза относительно суммы резерва к январе 2019 вообще без инвестирования, сохраняя платежеспособность по страховым операциям. Портфель третьего сценария в среднем приносит больший доход при приблизительно равной степени риска отрицательной динамики по сравнению с четвертым. На Рис. 16 изображены функции распределения дохода для третьего сценария. F(X) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 F(X) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 105500 106800 108100 109400 110700 112000 сумма к инвестированию, млн рублей 100000 300000 500000 700000 900000 1100000 сумма к инвестированию, млн рублей В апреле 2015 В январе 2019 Рис. 16. Функция распределения суммы с учетом инвестиций в апреле 2015 и в январе 2019, сценарий 3 50 Графики на Рис. 16 демонстрируют, что в сравнении с первыми периодами средний доход к 2019 году значительно выше при практически нулевой вероятности потери собственных средств. Результаты симуляции показали, что инвестиционный риск может быть значимым для положения страховых компаний на рынке, и увеличение доли рисковых активов в портфеле увеличивает также вероятность краха компании. Таким образом, компания, инвестирующая в рисковые активы, должна иметь больший резерв, чтобы сохранить способность отвечать обязательствам, включая выплаты по договорам страхования. 51 по всем Заключение Страховые компании сталкиваются с крупными рисками, поскольку им приходится иметь дело одновременно и с рисками от размещения резервов, и с обязательствами по страховым выплатам, случайным и по времени наступления, и по величине. Поэтому определение оптимального состава портфеля, позволяющего получать максимальный инвестиционный доход, как можно меньше рискуя собственными средствами и деньгами страхователей, является одной из важных задач страховщиков. В работе была построена группа взаимосвязанных моделей, аналогичная стохастической инвестиционной модели британского актуария Уилки (Wilkie). Моделирование оптимального портфеля в данной работе осуществлялось на основе предварительного анализа и прогнозирования временных рядов темпов роста различных процентных ставок, значений индексов и других параметров доходностей активов на будущие периоды в предположении, что инфляция является движущей силой для всех инвестиционных показателей. Для моделирования взаимосвязей между разными динамическими показателями с помощью статистических приложений были построены многомерные модели с передаточными функциями, на основе которых осуществлялся прогноз на период с апреля 2015 года по январь 2019 года. Результат построения модели на российских данных, как и ожидалось, подтвердил гипотезы о наличии взаимосвязи между рыночными показателями и инфляцией; кросс-корреляции и многомерные модели временных рядов отразили силу и направление связи между анализируемыми показателями рынков, такими как стоимость паев ПИФ, акций, доходность облигаций и банковских депозитов. Активы, получившие еще в начале работы высокую предварительную оценку риска, в динамике показали большую волатильность относительно менее доходных активов, характеризующихся и меньшей вариацией признака. Вероятность убыточности инвестиционной стратегии страховой компании рассчитывалась с помощью симуляции разных сценариев состава 52 портфеля. Сценарии варьировались от практически безрисковых, включающих только государственные облигации и банковские депозиты, до портфелей с максимально допустимыми долями акций и паев ПИФ. Доходность инвестиций и изменения стоимости активов моделировались в работе как стохастические переменные; премии, резервы, собственные средства и страховые выплаты считались детерминированными. Результатом работы является анализ вероятностей, для которых прирост инвестиционной суммы становится отрицательным, и появляется вероятность возникновения проблемы неплатежеспособности. Расчеты для разных сценариев - вариантов структуры портфеля - позволили сравнить между собой доходность и надежность разных активов. Из расчетов следует, что изначальная величина суммы к инвестированию для компании, выбирающей относительно более рисковый состав портфеля, должна быть существенно выше, чем для более консервативных компаний. Иначе компания не только не получит никакой инвестиционный доход, но и потеряет вложенные средства. Тем не менее, симуляция продемонстрировала, что для безопасного инвестирования собственных средств и средств страховых резервов не обязательно полностью исключать из портфеля акции и паи паевых инвестиционных фондов. Умеренная инвестиционная политика, включающая вложения в акции компаний и паи ПИФ в небольшом объеме, в среднем принесет дополнительно 40-80% к сумме страховых резервов и собственных средств по состоянию на январь 2019. Результаты проведенных процедур моделирования и симуляции статистически значимы, модель с необходимыми поправками изначальных значений резерва, собственных средств, выплат и премий можно использовать для решения практических задач по оценке суммы и инструментов инвестирования, гарантирующих заданную вероятность того, что страховая компания или пенсионный фонд сохранит стабильность и платежеспособность в течение определенного периода времени. Моделирование позволит вычислить целевые показатели для инвестиционной деятельности, такие как 53 изначальная сумма резервов для инвестирования и доли активов в портфеле, гарантирующие доход от инвестиционной деятельности в долгосрочном периоде. Исследование показало, что с необходимыми корректировками в наборе переменных модель Уилки вполне применима к данным российских рынков и в итоге позволяет оценить доходность разных портфелей. В будущих исследованиях модель может быть дополнена уравнениями, описывающими динамику цен на недвижимость, динамику доходности муниципальных и корпоративных облигаций. Страховые премии и выплаты по договорам страхования, а также расходы на ведение страховых операций могут быть включены в качестве стохастических переменных, моделируемых относительно инфляции и внешних шоков. 54 Список использованных источников 1. Box G. E. P., Jenkins G. M. , Reinsel G. C. Time Series Analysis. John Wiley and Sons Ltd, United Kingdom, 2008. 2. Claasen, M.S. & Huber, P.P. Integrating pension fund assets and liabilities: techniques for the 1990’s. Transactions of the Actuarial Society of South Africa, 9. 1992, с. 209-224. 3. Claasen, M.S. A systematic approach to the financial management and risk control of employee benefit funds. 3rd AFIR International Colloquium, 1993 4. Directive 2009/138/EC of the European Parliament and of the Council of 25 November 2009 [https://www.abi.org.uk/~/media/Files/Documents/Publications/Public/Migrated/Solv ency%20II/Solvency%20II%20Directive.pdf] 5. Hardy, M. Investment Guarantees. John Wiley & Sons, Inc., 2003 6. Фрэнсис, Louise A. (1992). Modelling Asset Variability in Assessing Insurer Solvency. Casualty Actuarial Society Discussion Paper Program, 2. 1992, c. 585– 656. 7. Pentikainen, T., Bonsdoff, H., Pesonen, M., Rantala, I., Ruohonen, M. Insurance Solvency and Financial Strength. Finnish Insurance Training and Publishing Company Ltd., 1989 8. Sahin S., Cairns A., Kleinow T., Уилки A. D. Revisiting the Уилки Investment Model. Conference paper AFIR 2008, с. 4-24. 9. Solvency II: A closer look at the evolving process transforming the global insurance industry. KPMG LLP, 2011. [https://www.kpmg.com/US/en/IssuesAndInsights/ArticlesPublications/Documents/s olvency-II.pdf] 10. Thomakos D.D., Guerard J.B. Naı̈ ve, ARIMA, nonparametric, transfer function and VAR models: A comparison of forecasting performance. International Journal of Forecasting, 2004. 11. Thomson, R.J. Stochastic investment modelling - the case of South Africa. British Actuarial Journal, 2. 1996, с. 765-802. 55 12. Уилки, A. D. A Stochastic Investment Model for Actuarial Use. Transactions of the Faculty of Actuaries, 39. 1986, с. 341-403. 13. Уилки, A. D. More on a Stochastic Asset Model for Actuarial Use. British Actuarial Journal, 1. 1995, с.777-964. 14. Годовой отчет компании «ВСК», 2013, с.19. [http://www.vsk.ru/about/today/annual_reports/files/Anrep_2013.pdfhttp://www.vsk. ru/about/today/annual_reports/files/Anrep_2013.pdf] 15. Годовой отчет компании «Ингосстрах», 2013, с.48. [http://www.ingos.ru/upload/info/annual_report/igs_annual_report_2013_rus.pdf] 16. Годовой отчет компании «СОГАЗ», 2011, с.45. [https://www.sogaz.ru/upload/iblock/d0d/sogaz_annual_report_2011.pdf] 17. Годовой отчет компании «СОГАЗ», 2013, с.67. [https://www.sogaz.ru/upload/iblock/2c5/sogaz_godovoy_2013_rus.pdf] 18. Единая межведомственная информационно-статистическая система ЕМИСС [http://www.fedstat.ru/indicator/data.do?id=41039] 19. Единый архив экономических и социологических данных НИУ ВШЭ [http://sophist.hse.ru/exes/tables/CPI_M_CHI.htm] 20. Информационно-правовой портал «Гарант». Приказ Минфина РФ от 2 июля 2012 г. N 100н «Об утверждении Порядка размещения страховщиками средств страховых резервов» [http://www.garant.ru/hotlaw/federal/412835/] 21. Информационно-правовой портал «Гарант». Указание Банка России от 16 ноября 2014 г. № 3444-У «О порядке инвестирования средств страховых резервов и перечне разрешенных для инвестирования активов» [http://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/70730020/#ixzz3ZqbAeJBa] 22. Министерство финансов РФ [http://www.minfin.ru/ru/perfomance/public_debt/internal/operations/payments/] 23. Московская биржа [http://www.micex.ru/marketdata/indices/data/archive] 24. Пояснения к бухгалтерскому балансу ОСАО «РЕСО-Гарантия» за 2014 год (форма №5) с.20. [http://www.reso.ru/Shareholders/Finance/f5_2014.pdf] 56 25. Пояснения к бухгалтерскому балансу страховщика и отчету о финансовых результатах страховщика (табличная форма) за 2014 год, с.24. [http://www.alfastrah.ru/upload/iblock/100/100d9b014ae2289b3bfc7a0172ec618b.pd f] 26. Рейтинговое агентство «Эксперт». Инвестиции российских страховых компаний в 2012-2013 годах: где деньги? [http://raexpert.by/related_activities/researches/insurance] 27. Рейтинговое агентство «Эксперт». Индексы страхового рынка [http://www.raexpert.ru/indices/ind] 28. Сбербанк Управление Активами [http://www.sberbankam.ru/rus/Individuals/Mutual_Funds/Dobrynia_Nikitich/index.wbp] 29. Система «КонсультантПлюс». Проект Указания Банка России "О порядке инвестирования средств страховых резервов и перечне разрешенных для инвестирования активов" (по состоянию на 09.09.2014) (подготовлен Банком России) (Указание подписано Банком России 16.11.2014 N 3444-У) [http://base.consultant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc;base=PNPA;n=6141] 30. Страхование в России. Итоги 2014 года: Кризис пока не достиг дна. Информационное агентство "Интерфакс-АФИ". Москва, 2015 31. Центральный банк РФ [http://www.cbr.ru/archive/?PrtId=vcoupons] 57
