Алгебра. 2ПО-МИ 3 семестр Примерные вопросы к экзамену

Алгебра. 2ПО-МИ 3 семестр
Примерные вопросы к экзамену
Группы, примеры групп. Подгруппы, примеры подгрупп, пересечение подгрупп. Порядок
группы, порядок подгруппы.
Отношение сравнимости по подгруппе. Свойства отношения сравнимости. Правые
смежные классы. Левые смежные классы.
Свойства смежных классов.
Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.
Порядок элемента группы. Свойства порядка элемента группы.
Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
Циклические группы. Изоморфизм циклической группы аддитивной группе целых чисел
или группе корней степени n из 1.
Порядок элемента конечной группы делит порядок группы. Любая конечная группа
простого порядка циклична.
Каждая подгруппа циклической группы циклична.
Нормальные делители группы. Свойства нормальных делителей.
Фактор - группы.
Ядро гомоморфизма. Ядро гомоморфизма - нормальный делитель, свойства ядра.
Теорема о гомоморфизмах групп.
Примеры колец. Кольцо целых гауссовых чисел, норма целого гауссового числа, свойства
нормы.
Идеалы кольца. Главные идеалы. Идеал порождённый элементами.
Операции над идеалами: пересечение идеалов; сумма идеалов.
Сравнения и классы вычетов по идеалу. Свойства отношения сравнимости по идеалу.
Свойства сравнений.
Фактор - кольцо. Примеры фактор - колец. Свойства фактор - колец.
Ядро гомоморфизма колец. Свойства ядра гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах
колец.
Характеристика кольца. Характеристикой области целостности является либо 0, либо
простое число.
Наименьшее подкольцо кольца. Теорема характеризующая наименьшее подкольцо кольца.
Теорема об условии того, что наименьшее подкольцо есть поле.
Теорема о существовании поля частных для любой области целостности.
Отношение делимости в области целостности и его простейшие свойства. Обратимые
элементы кольца. Ассоциированные элементы кольца.
Простые и составные элементы области целостности. Простые и обратимые элементы в
кольце целых гауссовых чисел.
Кольца главных идеалов. Свойства простых элементов в кольце главных идеалов.
Конечность возрастающей последовательности идеалов в кольце главных идеалов.
Факториальные кольца. Каноническое разложение на простые множители. Теорема о
факториальности кольца главных идеалов.
Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о факториальности кольца
главных идеалов.
Пример не факториального кольца.
Наибольший общий делитель и его простейшие свойства.
Наибольший общий делитель в кольцах главных идеалов и его свойства.
Наименьшее общее кратное и его простейшие свойства.
Наименьшее общее кратное в кольцах главных идеалов и его свойства.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в факториальных кольцах.
Наибольший общий делитель в евклидовых кольцах. Алгоритм Евклида.
Простое трансцендентное расширение кольца. Теорема о существовании простого
трансцендентного расширения коммутативного кольца.
Многочлены от одной переменной. Действия с многочленами. Интерполяционная
формула Ньютона.
p p
Равенство (
x
1
) 
x
1в кольце многочленов Z p [x ] . Теорема Лукаса о сравнениях
для биномиальных коэффициентов. Условия, при которых биномиальный коэффициент
сравним с нулём по простому модулю.
Степень многочлена. Свойства степени.
Значение многочлена. Свойства значений многочлена. Теорема Безу. Деление многочлена
на двучлен. Корни многочлена.
Теорема о наибольшем возможном числе корней многочлена в области целостности.
Интерполяционная формула Лагранжа.
Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Теорема о делении с остатком. Кольцо многочленов над полем евклидово, кольцо главных
идеалов, факториально.
Неприводимые над данным полем многочлены. Условие неприводимость многочленов
первой, второй и третьей степени. Свойства неприводимых многочленов.
2
Теорема об изоморфизме фактор - кольца R
[x]/(x 1
)полю комплексных чисел.
Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного в кольце
многочленов над полем. Свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего
кратного.
Взаимно простые многочлены и их свойства.
Формальная производная и её свойства.
Схема Горнера.
Разложение многочлена по степеням x  c . Формула Тейлора. Вычисление значений
производных с помощью схемы Горнера.
Кратность неприводимых множителей. Теорема о кратности неприводимого множителя в
производной. Критерий существования кратных неприводимых множителей.
Кратность корня многочлена. Теорема о кратности корня в производной. Критерий
существования кратного корня. Определение кратности корня с помощью схемы Горнера.
Простейшие дроби. Теорема о единственности разложения рациональной дроби в сумму
простейших дробей.
Кольцо многочленов от многих переменных. Свойства многочленов от многих
переменных.
Степень многочлена от многих переменных. Свойства степени.