Формулы кратного аргумента Имеют место следующие тождества: cos 2𝛼 = cos 2 𝛼 − sin2 𝛼; sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼; tg 2𝛼 = 2tg 𝛼 1−tg2 𝛼 ; ctg 2𝛼 = ctg2 𝛼−1 2ctg𝛼 Доказательство: Если в формуле cos(α+β)=cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 заменить β на α, то получим формулу двойного аргумента для косинуса: cos(α+α)=cos2α=cos 𝛼 cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛼=cos 2 𝛼 − sin2 𝛼. Остальные формулы доказываются аналогично. Если использовать основное тригонометрическое тождество cos 2 𝛼 + sin2 𝛼 = 1, то формулу для двойного аргумента для косинуса можно записать в виде: cos 2𝛼 = cos 2 𝛼 − sin2 𝛼 = 1 − sin2 𝛼 − sin2 𝛼=1 − 2sin2 𝛼 cos 2𝛼 = cos 2 𝛼 − sin2 𝛼 = cos 2 𝛼 − 1 + cos 2 𝛼=2cos 2 𝛼 − 1 Имеют место следующие тождества: 𝛼 1+cos 𝛼 2 2 cos = ±√ 𝛼 1−cos 𝛼 2 2 ; sin = ±√ 𝛼 1−cos 𝛼 2 1+cos 𝛼 ; tg = ±√ 𝛼 1+cos 𝛼 2 1−cos 𝛼 ; ctg = ±√ 𝛼 𝛼 1+cos 𝛼 2 2 2 Доказательство: cos 𝛼 = 2cos 2 − 1. Отсюда cos = ±√ . 𝛼 𝛼 2 2 Из основного тригонометрического тождества cos 2 + sin2 = 1 с 𝛼 1−cos 𝛼 2 2 учетом предыдущей формулы находим sin = ±√ . Тангенс половинного аргумента находится как отношение синуса половинного аргумента к косинусу половинного аргумента. Котангенс половинного аргумента находится как отношение косинуса половинного аргумента к синусу половинного аргумента. Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для 𝛼 тангенса и котангенса. А именно: tg = 2 𝛼 2 𝑎 cos 2 sin 𝛼 sin 𝛼 2 1−cos 𝛼 Аналогично получается формула ctg = = 𝛼 𝛼 2 2 𝑎 𝛼 cos cos 2 2 sin cos = 𝛼 2 𝛼 2 2 sin cos 𝛼 2 cos2 2 = sin 𝛼 1+cos 𝛼 . . Если в формулах сложения положить, например, β=2α, то получим формулы кратного аргумента: cos(α+2α)= cos3α = cos 𝛼 cos 2𝛼 − sin 𝛼 sin 2𝛼 = = cos 𝛼 (2cos 2 𝛼 − 1) − sin 𝛼 2sin 𝛼 cos 𝛼= cos 𝛼 (2cos 2 𝛼 − 1) − 2sin2 𝛼 cos 𝛼 = = cos 𝛼 (2cos 2 𝛼 − 1) − 2(1 − cos 2 ) 𝛼 cos 𝛼 = cos 𝛼 (2cos 2 𝛼 − 1 − 2+2cos 2 𝛼) = = cos 𝛼 (4cos 2 𝛼 − 3). Т.е. cos3α = cos 𝛼 (4cos 2 𝛼 − 3). Аналогично получается формула sin 3𝛼 = sin 𝛼(3 − 4 sin2 𝛼) Полученные формулы называются формулами кратного аргумента. Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т.д. Примеры решения задач Пример 1. Найти значение выражения tg2p, если tgp=0,7. Решение. tg 2𝑝 = 2tg 𝑝 1−tg2 𝑝 = 2∙0,7 1−0,49 38 =2 . 51 Ответ: 2 38 51 Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значение выражения 16 cos 4 3𝛼 + 16 sin4 3𝛼. Решение. 16 cos 4 3𝛼 + 16 sin4 3𝛼 2 cos 2 3𝛼 sin2 3𝛼 = 16 − 8 sin2 6𝛼. 16(cos 2 3𝛼 + sin2 3𝛼)2 − 16 ∙ = Поскольку 0 является наименьшим значением выражения sin2 6𝛼, а 1 – наибольшим, то при sin2 6𝛼 = 0 выражение принимает значение 16, при sin2 6𝛼 =1 – 8. Ответ: наименьшее 8, наибольшее 16 1 Пример 3. Найти значение выражения sin2 ( arccos(−0,2)). 2 Решение. Пусть arccos(−0,2) = 𝛼, тогда cosα= - 0,2 и 𝛼 1−cos 𝛼 3 sin2 = 2 2 𝜋 2 ≤ 𝛼 ≤ 𝜋. Значит, = . 5 Ответ: Пример 4. Вычислите tgx, если tg 2𝑥 = 2, Решение. Так как 3𝜋 3𝜋 2 5 < 𝑥 < 2𝜋. < 𝑥 < 2𝜋 то tgx<0. Имеем: tg 2𝑥 = 2 3 tgx=1 – tg2x tg2x+tgx – 1=0. 2tg𝑥 1−tg2 𝑥 =2 Делаем замену t=tgx и получаем уравнение t2+t – 1=0 корни которого 𝑡1 = −1+√5 2 и 𝑡2 = −1−√5 2 . Так как tgx<0, то нас интересует только отрицательный −1−√5 корень. Следовательно, tgx= 2 . Ответ: Пример 5. Упростите выражение cos 3𝑥 sin 3𝑥 cos 3𝑥 cos 𝑥 2 cos 𝑥(4 cos 𝑥−3) − sin 3𝑥 2 . sin 𝑥 sin 𝑥(3−4 sin2 𝑥) Решение. − = − cos 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 (3 − 4 sin2 𝑥) = 4 (cos 2 𝑥 + sin2 𝑥) − 6 = 4 – 6= - 2 −1−√5 sin 𝑥 = (4 cos 2 𝑥 − 3) − Ответ: − 2. Упражнения 1. Преобразуйте выражение: 1) sin 4𝛼 2) tg 2 5𝛼 3) sin2 4𝛼 6) cos 2 6𝛼 7) cos 4𝛼 8) sin 𝜋 4) cos(4𝛼 − ) 5) tg 8𝛼 8 3𝛼 𝜋 9) cos 5𝛼 4 10) sin(2𝛼 + ) 4 2. Найдите значение выражения: 1) 1 − 2 sin2 150 2) 5) 6 sin 750 cos 750 9) 2 cos 2 𝜋 12 6) 𝜋 12 𝜋 1−tg2 12 2tg 3) sin 𝜋 12 cos 𝜋 12 7) 4 sin2 750 sin 200 cos 200 cos 500 𝜋 𝜋 8 8 4) sin2 − cos 2 8) 1−tg2 2 tg 𝜋 8 𝜋 8 10) cos 2 150 − sin2 150 −1 3. Упростите выражение: 1) cos 4 200 − sin4 200 4) cos 2 500 − cos 2 400 7) 2 sin 500 sin 400 2) cos 4𝛼 + 2 sin2 2𝛼 3) 5) (cos 2 𝛼 + 2 sin 𝛼 cos 𝛼 − sin2 𝛼)2 8) 1 − sin2 𝛼 + cos 2𝛼 6) 9) 6tg 400 1−ctg2 500 2tg 150 1−tg2 150 10tg 650 1−tg2 1150 10) cos 4 100 − sin4 100 4. Упростите выражение: 1) 8 cos 4𝛼 cos 2𝛼 cos 𝛼 sin 𝛼 2) (cos 3 𝛼 + sin3 𝛼)(cos 𝛼 − sin 𝛼) 3) cos 4𝛼 + sin2 2𝛼 4) sin4 𝛼 + cos 4 𝛼 − cos 4𝛼 1 4 5) sin4 2𝛼 + cos 4 2𝛼 − 0,25 cos 8𝛼 7) (cos 3 𝛼 − sin3 𝛼)(cos 𝛼 + sin 𝛼) 9) √ 6) √ 1+cos 6𝛼 1−cos 6𝛼 8) 16 cos 8𝛼 cos 4𝛼 cos 2𝛼 sin 2𝛼 10) cos 4𝛼 − cos 2 2𝛼 1+cos 2𝛼 1−cos 2𝛼 5. Упростите выражение: 1) sin4 17𝜋 16 +cos 4 15𝜋 16 2) 3) 4) sin8 13𝜋 12 −cos 8 11𝜋 𝜋 9𝜋 8 8 7) sin6 +cos 6 10) 1 − sin2 17𝜋 16 5) sin6 12 13𝜋 12 8) 8sin2 cos 2 +cos 6 23𝜋 cos 2 24 23𝜋 12 25𝜋 24 −1 6) sin2 23𝜋 9) cos 6 17𝜋 24 +cos 2 25𝜋 −sin6 31𝜋 8 24 8 15𝜋 16 6. Найдите значение выражения: 4 1) sin 2𝛼, если sin 𝛼 = и0<𝛼 < 5 3 𝜋 5 2 3) cos 2𝛼, если cos 𝛼 = − и 5 5) tg 2𝛼, если tg 𝛼 = − 12 5 7) ctg 2𝛼, если cos 𝛼 = 9) tg 2𝛼, если sin 𝛼 = и 2 <𝛼<𝜋 5 6) cos 2𝛼, если sin 𝛼 = 𝜋 8) ctg 2𝛼, если sin 𝛼 = 2 𝜋 4 5 4 5 5 и 12 𝜋 2 <𝛼<𝜋 2 и0<𝛼 < и0<𝛼 < 3 𝜋 5 2 10) sin 2𝛼, если cos 𝛼 = − и 2 𝜋 и0<𝛼 < 13 4) cos 2𝛼, если tg 𝛼 = − <𝛼<𝜋 и0<𝛼 < 5 2) sin 2𝛼, если cos 𝛼 = 2 и0<𝛼 < 13 4 𝜋 𝜋 𝜋 2 𝜋 2 <𝛼<𝜋 7. Найдите значение выражения: − 4 𝜋 𝛼 3 5 4 2 5 sin 4𝛼, если sin 2𝛼 = − и − < 𝛼 < 2) tg 𝛼, если cos = 1) 𝜋 и 3𝜋 < 𝛼 < 4𝜋 8 𝛼 7 2 24 3) sin , если tg 𝛼 = − и 𝜋 2 < 2𝛼 < 𝜋 2𝛼 < 𝛼 12 2 13 5) cos 𝛼, если sin = и𝜋 <𝛼 < 3𝜋 6) 4𝜋 2 𝛼 1 3𝜋 2 3 2 7) sin , если cos 2𝛼 = − и 𝜋 < 2𝛼 < 𝛼 12 2 13 9) sin 𝛼, если sin = и𝜋<𝛼 < 3𝜋 2 𝛼 1 2 3 tg , если cos 2𝛼 = − и 𝜋 < 4) 3𝜋 2 𝛼 3 2 5 sin 𝛼, если cos = 𝛼 7 8) cos , если tg 𝛼 = − и 2 24 𝜋 3𝜋 8 8. Докажите тождество: 3) tg 𝛼 + ctg 𝛼 = 2 sin 2𝛼 2) 𝜋 2 10) cos 4𝛼, если cos 2𝛼 = − 𝛼< 1) cos 4 𝛼 − sin4 𝛼 = cos 2𝛼 и 3𝜋 < 𝛼 < 3𝜋 −2𝛼) 2 3𝜋 1+sin 2𝛼−sin( +2𝛼) 2 1+sin 2𝛼+sin( = tg 𝛼 1 4) cos 4 𝛼 + sin4 𝛼 = 1 − sin2 2𝛼 2 < 2𝛼 < 5 13 и 𝜋 4 < 5) 8 cos 4 𝛼 = 3 + 4 cos 2𝛼 + cos 4𝛼 7) 9) sin 2𝛼 + cos 2𝛼 6) tg 𝛼 − ctg 𝛼 = 2ctg 2𝛼 8) 4 sin4 𝛼 − 4 sin2 𝛼 = cos 2 𝛼 − 1 = tg𝛼 3𝜋 +2𝛼) 2 3𝜋 1+cos 2𝛼−cos( −2𝛼) 2 1−cos 2𝛼+cos( 10) 1 − 4 sin2 𝛼 cos 2 𝛼 = cos 2 2𝛼 = tg 𝛼 9. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения: 1) 4 sin2 𝛼 cos 2 𝛼 − 1 2) 1 − 2 cos 2 ( + 3) 1 − 8 sin2 𝛼 cos 2 𝛼 4) 5) sin 2𝛼 − (sin 𝛼 − cos 𝛼)2 6) 7) 8) 2 sin2 ( − 𝜋 3𝛼 4 2 𝜋 5𝛼 4 2 ) )−1 10) (sin 𝛼 − cos 𝛼)2 + sin 2𝛼 9) 10. Найдите значение выражения: 1 5 3) cos(2 arccos ) 3 4 1 5) sin(2 arcsin ) 4 9) sin(2 arccos 3 2) cos(2 arccos ) 1) cos(2 arctg ) √3 ) 2 4 1 2 6) sin(2 arcsin ) 7) cos(2 arcsin ) 5 3 2 4) ctg(2 arcsin ) 3 3 8) tg(2 arcsin ) 4 4 10) sin(2 arctg ) 3 Дополнительные задания 1. Найдите значение выражения: 1) sin 𝜋 2) tg 12 𝜋 6) cos 𝜋 12 7) cos 12 3) sin 𝜋 8) tg 8 𝜋 8 𝜋 8 4) sin 180 5) cos 120 9) cos 180 10) sin 120 4) 5) 9) 10) 2. Найдите sinα, cosα, tgα, если: 𝛼 1) tg = 3 2 𝛼 3 2 2 6) ctg = 2) 3) 7) 8) tg = 0,5 𝛼 2 3. Найдите значение выражения: 1) 18 sin 400 cos 400 sin 800 2) 12 sin 110 cos 110 sin 220 3) 258 sin 1790 cos 1790 sin 3580 4) 24(sin2 170 −cos2 170 ) 5) 7) 10) 6) cos 34 0 8) 29(sin2 300 −cos2 300 ) 9) cos 600 36 sin 1020 cos 1020 sin 204 0 15(sin2 690 −cos2 690 ) cos 1380 4. Решите уравнение: 1) cos 2 𝑥 − 0,25 = cos 2𝑥 2) cos 2 𝑥 − 0,75 = cos 2𝑥 3) cos 2𝑥 + 0,5 = cos 2 𝑥 4) cos 2𝑥 − 0,75 + sin2 𝑥 = 0 5) 2 cos 2 𝑥 + 2 sin 2𝑥 = 3 6) 6 sin2 𝑥 + sin 2𝑥 = 2 7) sin 2𝑥 + √3 sin 𝑥 = 0 8) 4 sin3 𝑥 = 3cos(𝑥 − ) 9) cos 2𝑥 + sin2 𝑥 = 0,5 10) 2 cos 3 𝑥 − 2 cos 𝑥 + sin2 𝑥 = 0 𝜋 2 5. Решите уравнение: 𝜋 1) 4 cos 3 𝑥 + 3 sin(𝑥 − ) = 0 2 𝜋 3) 1 + cos ( + 𝑥) = cos 2𝑥 2 𝜋 5) 6 sin2 𝑥 + 5sin( − 𝑥) − 2 = 0 2 𝜋 7) 4 cos 2 𝑥 + 4 cos( + 𝑥) − 1 = 0 2 𝜋 9) cos 2𝑥 − sin2 ( − 𝑥) = −0,25 2 𝑥 𝑥 2 2 𝑥 𝑥 𝜋 2 2 2 2) sin2 − cos 2 = cos 2𝑥 4) cos 2 − sin2 = sin( − 2𝑥) 6) 8) 10) 6. Найдите корни уравнения: 1) cos 2 𝑥 − 0,25 = cos 2𝑥, принадлежащие отрезку [- 4; − 5𝜋 2 ] 𝜋 3𝜋 2 2 2) 2 sin 2𝑥 = 4 cos 𝑥 − sin 𝑥 + 1, принадлежащие отрезку [ ; ] 𝜋 3) sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 − cos 𝑥 + 1, принадлежащие отрезку [−2𝜋; − ] 2 4) 6 sin2 x + sin 2x = 2, принадежащие отрезку [ 3π 2 ; 5π 2 ] π 5) 4 cos 3 x + 3 sin(x − ) = 0, принадежащие отрезку [−2π; −π] 2 6) sin 2x + √3 sin x = 0, принадежащие отрезку [ 5π 2 ; 7π 2 ] 7) 2 cos 2 x + 2 sin 2x = 3, принадлежащие отрезку [− 3π 2 8) cos 2𝑥 − 0,75 + sin2 𝑥 = 0, принадлежащие отрезку [ 9) cos 2 𝑥 − 0,75 = cos 2𝑥, принадлежащие отрезку [− π ;− ] 2 3𝜋 9𝜋 2 2 ; 3𝜋) ; −3𝜋) 𝜋 3𝜋 2 2 10) 1 + cos ( + 𝑥) = cos 2𝑥, принадлежащие отрезку [−3𝜋; ) 7. Найдите: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) −16 cos 2𝛼, если sin= - 0,4 8) 9) 24 cos 2𝛼, если sin= - 0,2 10) 14 cos 2𝛼, если sin=0,5 Формулы двойного и половинного угла 1. Найдите значение выражения 2. Найдите значение выражения 3. Найдите sin, если Вариант 1 Вариант 2 cos 120 sin 180 tg tg 𝜋 12 𝛼 =3 2 сtg ctg 𝜋 8 𝛼 3 = 2 2 4. Найдите значение выражения 1 − 2 sin2 150 5. Найдите значение выражения 𝜋 12 𝜋 1 − tg 2 12 𝜋 1 − tg 2 8 𝜋 2tg 8 6. Упростите выражение 6tg 400 1 − ctg 2 500 10tg 650 1 − tg 2 1150 7. Упростите выражение 8 cos 4𝛼 cos 2𝛼 cos 𝛼 sin 𝛼 16 cos 8𝛼 cos 4𝛼 cos 2𝛼 sin 2𝛼 cos2, если 4 𝜋 sin 𝛼 = и 0 < 𝛼 < 5 2 sin2, если 8. Найдите значение выражения 9. Докажите тождество 10. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 2tg 2 cos 2 cos 𝛼 = 𝜋 −1 12 5 𝜋 и0<𝛼 < 13 2 4 sin4 𝛼 − 4 sin2 𝛼 = cos 2 𝛼 − 1 1 − 4 sin2 𝛼 cos 2 𝛼 = cos 2 2𝛼 4 sin2 𝛼 cos 2 𝛼 − 1 1 − 8 sin2 𝛼 cos 2 𝛼