2. Найдите значение выражения

Формулы кратного аргумента
Имеют место следующие тождества:
cos 2𝛼 = cos 2 𝛼 − sin2 𝛼; sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼;
tg 2𝛼 =
2tg 𝛼
1−tg2 𝛼
; ctg 2𝛼 =
ctg2 𝛼−1
2ctg𝛼
Доказательство: Если в формуле cos(α+β)=cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽
заменить β на α, то получим формулу двойного аргумента для косинуса:
cos(α+α)=cos2α=cos 𝛼 cos 𝛼 − sin 𝛼 sin 𝛼=cos 2 𝛼 − sin2 𝛼.
Остальные формулы доказываются аналогично.
Если использовать основное тригонометрическое тождество cos 2 𝛼 +
sin2 𝛼 = 1, то формулу для двойного аргумента для косинуса можно записать в
виде:
cos 2𝛼 = cos 2 𝛼 − sin2 𝛼 = 1 − sin2 𝛼 − sin2 𝛼=1 − 2sin2 𝛼
cos 2𝛼 = cos 2 𝛼 − sin2 𝛼 = cos 2 𝛼 − 1 + cos 2 𝛼=2cos 2 𝛼 − 1
Имеют место следующие тождества:
𝛼
1+cos 𝛼
2
2
cos = ±√
𝛼
1−cos 𝛼
2
2
; sin = ±√
𝛼
1−cos 𝛼
2
1+cos 𝛼
; tg = ±√
𝛼
1+cos 𝛼
2
1−cos 𝛼
; ctg = ±√
𝛼
𝛼
1+cos 𝛼
2
2
2
Доказательство: cos 𝛼 = 2cos 2 − 1. Отсюда cos = ±√
.
𝛼
𝛼
2
2
Из основного тригонометрического тождества cos 2 + sin2 = 1 с
𝛼
1−cos 𝛼
2
2
учетом предыдущей формулы находим sin = ±√
.
Тангенс половинного аргумента находится как отношение синуса
половинного аргумента к косинусу половинного аргумента.
Котангенс половинного аргумента находится как отношение косинуса
половинного аргумента к синусу половинного аргумента.
Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для
𝛼
тангенса и котангенса. А именно: tg =
2
𝛼
2
𝑎
cos
2
sin
𝛼
sin 𝛼
2
1−cos 𝛼
Аналогично получается формула ctg =
=
𝛼
𝛼
2
2
𝑎
𝛼
cos cos
2
2
sin cos
=
𝛼
2
𝛼
2
2 sin cos
𝛼
2 cos2
2
=
sin 𝛼
1+cos 𝛼
.
.
Если в формулах сложения положить, например, β=2α, то получим
формулы кратного аргумента:
cos(α+2α)= cos3α = cos 𝛼 cos 2𝛼 − sin 𝛼 sin 2𝛼 =
= cos 𝛼 (2cos 2 𝛼 − 1) − sin 𝛼 2sin 𝛼 cos 𝛼= cos 𝛼 (2cos 2 𝛼 − 1) − 2sin2 𝛼 cos 𝛼 =
= cos 𝛼 (2cos 2 𝛼 − 1) − 2(1 − cos 2 ) 𝛼 cos 𝛼 = cos 𝛼 (2cos 2 𝛼 − 1 − 2+2cos 2 𝛼) =
= cos 𝛼 (4cos 2 𝛼 − 3).
Т.е. cos3α = cos 𝛼 (4cos 2 𝛼 − 3).
Аналогично получается формула sin 3𝛼 = sin 𝛼(3 − 4 sin2 𝛼)
Полученные формулы называются формулами кратного аргумента.
Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т.д.
Примеры решения задач
Пример 1. Найти значение выражения tg2p, если tgp=0,7.
Решение. tg 2𝑝 =
2tg 𝑝
1−tg2 𝑝
=
2∙0,7
1−0,49
38
=2 .
51
Ответ: 2
38
51
Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значение выражения
16 cos 4 3𝛼 + 16 sin4 3𝛼.
Решение. 16 cos 4 3𝛼 + 16 sin4 3𝛼
2 cos 2 3𝛼 sin2 3𝛼 = 16 − 8 sin2 6𝛼.
16(cos 2 3𝛼 + sin2 3𝛼)2 − 16 ∙
=
Поскольку 0 является наименьшим значением выражения sin2 6𝛼, а 1 –
наибольшим, то при sin2 6𝛼 = 0 выражение принимает значение 16, при
sin2 6𝛼 =1 – 8.
Ответ: наименьшее 8, наибольшее 16
1
Пример 3. Найти значение выражения sin2 ( arccos(−0,2)).
2
Решение. Пусть arccos(−0,2) = 𝛼, тогда cosα= - 0,2 и
𝛼 1−cos 𝛼 3
sin2 =
2
2
𝜋
2
≤ 𝛼 ≤ 𝜋. Значит,
= .
5
Ответ:
Пример 4. Вычислите tgx, если tg 2𝑥 = 2,
Решение. Так как
3𝜋
3𝜋
2
5
< 𝑥 < 2𝜋.
< 𝑥 < 2𝜋 то tgx<0. Имеем: tg 2𝑥 =
2
3
tgx=1 – tg2x  tg2x+tgx – 1=0.
2tg𝑥
1−tg2 𝑥
=2 
Делаем замену t=tgx и получаем уравнение t2+t – 1=0 корни которого 𝑡1 =
−1+√5
2
и 𝑡2 =
−1−√5
2
. Так как tgx<0, то нас интересует только отрицательный
−1−√5
корень. Следовательно, tgx=
2
.
Ответ:
Пример 5. Упростите выражение
cos 3𝑥
sin 3𝑥
cos 3𝑥
cos 𝑥
2
cos 𝑥(4 cos 𝑥−3)
−
sin 3𝑥
2
.
sin 𝑥
sin 𝑥(3−4 sin2 𝑥)
Решение.
−
=
−
cos 𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
(3 − 4 sin2 𝑥) = 4 (cos 2 𝑥 + sin2 𝑥) − 6 = 4 – 6= - 2
−1−√5
sin 𝑥
= (4 cos 2 𝑥 − 3) −
Ответ: − 2.
Упражнения
1. Преобразуйте выражение:
1) sin 4𝛼
2) tg 2 5𝛼
3) sin2 4𝛼
6) cos 2 6𝛼
7) cos 4𝛼
8) sin
𝜋
4) cos(4𝛼 − ) 5) tg 8𝛼
8
3𝛼
𝜋
9) cos 5𝛼
4
10) sin(2𝛼 + )
4
2. Найдите значение выражения:
1) 1 − 2 sin2 150
2)
5) 6 sin 750 cos 750
9) 2 cos 2
𝜋
12
6)
𝜋
12
𝜋
1−tg2
12
2tg
3) sin
𝜋
12
cos
𝜋
12
7) 4 sin2 750
sin 200 cos 200
cos 500
𝜋
𝜋
8
8
4) sin2 − cos 2
8)
1−tg2
2 tg
𝜋
8
𝜋
8
10) cos 2 150 − sin2 150
−1
3. Упростите выражение:
1) cos 4 200 − sin4 200
4) cos 2 500 − cos 2 400
7) 2 sin 500 sin 400
2) cos 4𝛼 + 2 sin2 2𝛼
3)
5) (cos 2 𝛼 + 2 sin 𝛼 cos 𝛼 − sin2 𝛼)2
8) 1 − sin2 𝛼 + cos 2𝛼
6)
9)
6tg 400
1−ctg2 500
2tg 150
1−tg2 150
10tg 650
1−tg2 1150
10) cos 4 100 − sin4 100
4. Упростите выражение:
1) 8 cos 4𝛼 cos 2𝛼 cos 𝛼 sin 𝛼
2) (cos 3 𝛼 + sin3 𝛼)(cos 𝛼 − sin 𝛼)
3) cos 4𝛼 + sin2 2𝛼
4) sin4 𝛼 + cos 4 𝛼 − cos 4𝛼
1
4
5) sin4 2𝛼 + cos 4 2𝛼 − 0,25 cos 8𝛼
7) (cos 3 𝛼 − sin3 𝛼)(cos 𝛼 + sin 𝛼)
9) √
6) √
1+cos 6𝛼
1−cos 6𝛼
8) 16 cos 8𝛼 cos 4𝛼 cos 2𝛼 sin 2𝛼
10) cos 4𝛼 − cos 2 2𝛼
1+cos 2𝛼
1−cos 2𝛼
5. Упростите выражение:
1) sin4
17𝜋
16
+cos 4
15𝜋
16
2)
3)
4) sin8
13𝜋
12
−cos 8
11𝜋
𝜋
9𝜋
8
8
7) sin6 +cos 6
10) 1 − sin2
17𝜋
16
5) sin6
12
13𝜋
12
8) 8sin2
cos 2
+cos 6
23𝜋
cos 2
24
23𝜋
12
25𝜋
24
−1
6) sin2
23𝜋
9) cos 6
17𝜋
24
+cos 2
25𝜋
−sin6
31𝜋
8
24
8
15𝜋
16
6. Найдите значение выражения:
4
1) sin 2𝛼, если sin 𝛼 =
и0<𝛼 <
5
3
𝜋
5
2
3) cos 2𝛼, если cos 𝛼 = − и
5
5) tg 2𝛼, если tg 𝛼 = −
12
5
7) ctg 2𝛼, если cos 𝛼 =
9) tg 2𝛼, если sin 𝛼 =
и
2
<𝛼<𝜋
5
6) cos 2𝛼, если sin 𝛼 =
𝜋
8) ctg 2𝛼, если sin 𝛼 =
2
𝜋
4
5
4
5
5
и
12
𝜋
2
<𝛼<𝜋
2
и0<𝛼 <
и0<𝛼 <
3
𝜋
5
2
10) sin 2𝛼, если cos 𝛼 = − и
2
𝜋
и0<𝛼 <
13
4) cos 2𝛼, если tg 𝛼 = −
<𝛼<𝜋
и0<𝛼 <
5
2) sin 2𝛼, если cos 𝛼 =
2
и0<𝛼 <
13
4
𝜋
𝜋
𝜋
2
𝜋
2
<𝛼<𝜋
7. Найдите значение выражения:
−
4
𝜋
𝛼
3
5
4
2
5
sin 4𝛼, если sin 2𝛼 = − и − < 𝛼 < 2) tg 𝛼, если cos =
1)
𝜋
и 3𝜋 < 𝛼 < 4𝜋
8
𝛼
7
2
24
3) sin , если tg 𝛼 = −
и
𝜋
2
< 2𝛼 < 𝜋
2𝛼 <
𝛼
12
2
13
5) cos 𝛼, если sin =
и𝜋 <𝛼 <
3𝜋
6)
4𝜋
2
𝛼
1
3𝜋
2
3
2
7) sin , если cos 2𝛼 = − и 𝜋 < 2𝛼 <
𝛼
12
2
13
9) sin 𝛼, если sin =
и𝜋<𝛼 <
3𝜋
2
𝛼
1
2
3
tg , если cos 2𝛼 = − и 𝜋 <
4)
3𝜋
2
𝛼
3
2
5
sin 𝛼, если cos =
𝛼
7
8) cos , если tg 𝛼 = − и
2
24
𝜋
3𝜋
8
8. Докажите тождество:
3) tg 𝛼 + ctg 𝛼 =
2
sin 2𝛼
2)
𝜋
2
10) cos 4𝛼, если cos 2𝛼 = −
𝛼<
1) cos 4 𝛼 − sin4 𝛼 = cos 2𝛼
и 3𝜋 < 𝛼 <
3𝜋
−2𝛼)
2
3𝜋
1+sin 2𝛼−sin( +2𝛼)
2
1+sin 2𝛼+sin(
= tg 𝛼
1
4) cos 4 𝛼 + sin4 𝛼 = 1 − sin2 2𝛼
2
< 2𝛼 <
5
13
и
𝜋
4
<
5) 8 cos 4 𝛼 = 3 + 4 cos 2𝛼 + cos 4𝛼
7)
9)
sin 2𝛼
+ cos 2𝛼
6) tg 𝛼 − ctg 𝛼 = 2ctg 2𝛼
8) 4 sin4 𝛼 − 4 sin2 𝛼 = cos 2 𝛼 − 1
= tg𝛼
3𝜋
+2𝛼)
2
3𝜋
1+cos 2𝛼−cos( −2𝛼)
2
1−cos 2𝛼+cos(
10) 1 − 4 sin2 𝛼 cos 2 𝛼 = cos 2 2𝛼
= tg 𝛼
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
1) 4 sin2 𝛼 cos 2 𝛼 − 1
2) 1 − 2 cos 2 ( +
3) 1 − 8 sin2 𝛼 cos 2 𝛼
4)
5) sin 2𝛼 − (sin 𝛼 − cos 𝛼)2
6)
7)
8) 2 sin2 ( −
𝜋
3𝛼
4
2
𝜋
5𝛼
4
2
)
)−1
10) (sin 𝛼 − cos 𝛼)2 + sin 2𝛼
9)
10. Найдите значение выражения:
1
5
3) cos(2 arccos )
3
4
1
5) sin(2 arcsin )
4
9) sin(2 arccos
3
2) cos(2 arccos )
1) cos(2 arctg )
√3
)
2
4
1
2
6) sin(2 arcsin )
7) cos(2 arcsin )
5
3
2
4) ctg(2 arcsin )
3
3
8) tg(2 arcsin )
4
4
10) sin(2 arctg )
3
Дополнительные задания
1. Найдите значение выражения:
1) sin
𝜋
2) tg
12
𝜋
6) cos
𝜋
12
7) cos
12
3) sin
𝜋
8) tg
8
𝜋
8
𝜋
8
4) sin 180
5) cos 120
9) cos 180
10) sin 120
4)
5)
9)
10)
2. Найдите sinα, cosα, tgα, если:
𝛼
1) tg = 3
2
𝛼
3
2
2
6) ctg =
2)
3)
7)
8) tg = 0,5
𝛼
2
3. Найдите значение выражения:
1)
18 sin 400 cos 400
sin 800
2)
12 sin 110 cos 110
sin 220
3)
258 sin 1790 cos 1790
sin 3580
4)
24(sin2 170 −cos2 170 )
5)
7)
10)
6)
cos 34 0
8)
29(sin2 300 −cos2 300 )
9)
cos 600
36 sin 1020 cos 1020
sin 204 0
15(sin2 690 −cos2 690 )
cos 1380
4. Решите уравнение:
1) cos 2 𝑥 − 0,25 = cos 2𝑥
2) cos 2 𝑥 − 0,75 = cos 2𝑥
3) cos 2𝑥 + 0,5 = cos 2 𝑥
4) cos 2𝑥 − 0,75 + sin2 𝑥 = 0
5) 2 cos 2 𝑥 + 2 sin 2𝑥 = 3
6) 6 sin2 𝑥 + sin 2𝑥 = 2
7) sin 2𝑥 + √3 sin 𝑥 = 0
8) 4 sin3 𝑥 = 3cos(𝑥 − )
9) cos 2𝑥 + sin2 𝑥 = 0,5
10) 2 cos 3 𝑥 − 2 cos 𝑥 + sin2 𝑥 = 0
𝜋
2
5. Решите уравнение:
𝜋
1) 4 cos 3 𝑥 + 3 sin(𝑥 − ) = 0
2
𝜋
3) 1 + cos ( + 𝑥) = cos 2𝑥
2
𝜋
5) 6 sin2 𝑥 + 5sin( − 𝑥) − 2 = 0
2
𝜋
7) 4 cos 2 𝑥 + 4 cos( + 𝑥) − 1 = 0
2
𝜋
9) cos 2𝑥 − sin2 ( − 𝑥) = −0,25
2
𝑥
𝑥
2
2
𝑥
𝑥
𝜋
2
2
2
2) sin2 − cos 2 = cos 2𝑥
4) cos 2 − sin2 = sin( − 2𝑥)
6)
8)
10)
6. Найдите корни уравнения:
1) cos 2 𝑥 − 0,25 = cos 2𝑥, принадлежащие отрезку [- 4; −
5𝜋
2
]
𝜋
3𝜋
2
2
2) 2 sin 2𝑥 = 4 cos 𝑥 − sin 𝑥 + 1, принадлежащие отрезку [ ;
]
𝜋
3) sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 − cos 𝑥 + 1, принадлежащие отрезку [−2𝜋; − ]
2
4) 6 sin2 x + sin 2x = 2, принадежащие отрезку [
3π
2
;
5π
2
]
π
5) 4 cos 3 x + 3 sin(x − ) = 0, принадежащие отрезку [−2π; −π]
2
6) sin 2x + √3 sin x = 0, принадежащие отрезку [
5π
2
;
7π
2
]
7) 2 cos 2 x + 2 sin 2x = 3, принадлежащие отрезку [−
3π
2
8) cos 2𝑥 − 0,75 + sin2 𝑥 = 0, принадлежащие отрезку [
9) cos 2 𝑥 − 0,75 = cos 2𝑥, принадлежащие отрезку [−
π
;− ]
2
3𝜋
9𝜋
2
2
; 3𝜋)
; −3𝜋)
𝜋
3𝜋
2
2
10) 1 + cos ( + 𝑥) = cos 2𝑥, принадлежащие отрезку [−3𝜋;
)
7. Найдите:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) −16 cos 2𝛼, если sin= - 0,4
8)
9) 24 cos 2𝛼, если sin= - 0,2
10) 14 cos 2𝛼, если sin=0,5
Формулы двойного и половинного угла
1. Найдите
значение
выражения
2. Найдите
значение
выражения
3. Найдите sin,
если
Вариант 1
Вариант 2
cos 120
sin 180
tg
tg
𝜋
12
𝛼
=3
2
сtg
ctg
𝜋
8
𝛼 3
=
2 2
4. Найдите
значение
выражения
1 − 2 sin2 150
5. Найдите
значение
выражения
𝜋
12
𝜋
1 − tg 2
12
𝜋
1 − tg 2
8
𝜋
2tg
8
6. Упростите
выражение
6tg 400
1 − ctg 2 500
10tg 650
1 − tg 2 1150
7. Упростите
выражение
8 cos 4𝛼 cos 2𝛼 cos 𝛼 sin 𝛼
16 cos 8𝛼 cos 4𝛼 cos 2𝛼 sin 2𝛼
cos2, если
4
𝜋
sin 𝛼 = и 0 < 𝛼 <
5
2
sin2, если
8. Найдите
значение
выражения
9. Докажите
тождество
10. Найдите
наибольшее и
наименьшее
значения
выражения
2tg
2 cos 2
cos 𝛼 =
𝜋
−1
12
5
𝜋
и0<𝛼 <
13
2
4 sin4 𝛼 − 4 sin2 𝛼 = cos 2 𝛼 − 1 1 − 4 sin2 𝛼 cos 2 𝛼 = cos 2 2𝛼
4 sin2 𝛼 cos 2 𝛼 − 1
1 − 8 sin2 𝛼 cos 2 𝛼