Snopov_Sumbatan

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к курсу
ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА
Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ УДАРНЫХ ВОЛН
для студентов дневного отделения
механико-математического факультета
г. Ростов – на – Дону
2005
Методические указания разработаны доктором технических наук,
заведующим
кафедрой
теоретической
гидроаэромеханики,
профессором
А.И. Сноповым и доктором физико-математических наук, профессором
М.А. Сумбатяном.
Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической гидроаэромеханики механико-математического факультета РГУ, протокол № _____
от _____________ 2005 г.
2
1.1 Основные допущения, понятия и
уравнения газовой динамики
Основные допущения газовой динамики
Состояние и состав газов весьма разнообразен. Их движение может
происходить и при весьма низких температурах, близких к абсолютному нулю,
и при сверхвысоких температурах, значительно превышающих температуру
поверхности Солнца, при давлениях близких к нулю и при превышающих в
тысячи раз атмосферное давление, могут сопровождаться различными
химическими и физическими процессами (реакции соединения и разложения,
фазовые переходы, ионизация, ядерные реакции и пр.). В широком смысле
слова все это является предметом исследований современной газовой
динамики. Однако в узком смысле под газовой динамикой будем понимать
раздел науки о движении газа, использующий наиболее простую модель газа,
которая не учитывает физико-химические процессы, происходящие в газах, а
сам газ рассматривает как сплошную среду, обладающую свойством сжимаемости и подчиняющуюся феноменологическим законам равновесной
термодинамики, основанной на эмпирических представлениях о температуре,
внутренней энергии, плотности, давлении и энтропии и постулате о том, что
при сохранении внешних условий неизменными неограниченное время
термодинамические параметры системы принимают постоянные значения
(система приходит в термодинамическое равновесное состояние). Исходя из
этого постулата, равновесная термодинамика допускает, что исследуемые на ее
основе термодинамические процессы настолько медленно проходят, что в
каждый момент времени систему можно рассматривать как систему,
находящуюся в термодинамическом равновесии, если время прихода системы в
равновесное состояние - время релаксации пренебрежимо мало по сравнению
со временем протекания процесса. К тому же, в основном, газ рассматривается
как идеальная жидкость, не обладающая внутренним трением, свойства
которой определены только двумя параметрами (двухпараметрический газ). Не
учитываются массовые силы, так как газовая динамика исследует, в основном,
3
такие потоки, в которых наиболее существенно проявляются эффекты
сжимаемости газа и на которые массовые силы практически не влияют.
Исходные уравнения газовой динамики
Основными уравнениями газовой динамики являются три уравнения
движения (уравнения Эйлера), уравнение неразрывности и уравнение энергии
(первый закон термодинамики), которые выведены в курсе гидроаэромеханики
[7]
 dv
grad( p )
dt
d(  )
 div( v )0
dt
(1.1)
 dE
 dq
p div( v )
dt
dt
Здесь v – вектор скорости а в последнем уравнении тепловой приток
радиационной (лучистой) энергии в единицу времени представлен, для
 dq
q

удобства, в виде rad
dt
Эта система пяти скалярных уравнений содержит шесть неизвестных
(плотность  , давление p, три компоненты вектора скорости v и внутреннюю
энергию E) и поэтому является незамкнутой. Для замыкания системы требуется
ввести дополнительные соотношения, моделирующие термодинамические
свойства газа.
Предварительно преобразуем уравнение энергии. Так как согласно
уравнению неразрывности
div( v )
d(  )
 dt
то уравнение энергии можно записать в таком виде
dq dE d(  ) p
 
dt
dt
dt 2
4
1
V

Используем понятие удельного объема
 . Уравнение энергии при этом
может быть записано так
dq dE p dV
 
dt
dt
dt
Отсюда следует, что за промежуток времени dt поступившая в частицу
газа энергия dq идет на приращение её внутренней энергии dE и на работу
внутренних сил давления по изменению её объема pdV :
dq = dE+ pdV
(1.2)
Это другая форма записи первого начала термодинамики.
Энтропия. Второе начало термодинамики
Вторым
определяемой
началом
по
термодинамики
приращению
вводится
энергии
понятие
системы
dq
энтропии
в
s,
обратимом
термодинамическом процессе по формуле
ds = dq/T , (T ds = dq ),
(1.3)
где T – температура газа.
Для
обратимых
и
необратимых
процессов
в
термодинамически
замкнутых (изолированных от притока тепла извне) материальных системах
энтропия должна являться функцией неубывающей (ds>= 0, а для обратимых
процессов ds = 0) и удовлетворять уравнению
T ds = dq + dq1
(1.4)
где обязательно dq1>= 0 (dq1 – некомпенсированное тепло), В этом заключен
смысл второго начала термодинамики применительно к моделям газа,
используемым в газовой динамике.
5
Энтальпия (теплосодержание)
В газовой динамике широко используется понятие теплосодержания
(энтальпии) h, вводимое равенством
h = E + pV,
(1.5)
или
h = E + p/ 
Другие формы записи начал термодинамики
Если учесть, что
E = h – pV, dE = dh – Vdp – pdV,
то первый закон термодинамики может быть записан в таком виде
dq = dh – Vdp
(1.6)
или
dqdh
dp

Для обратимых процессов в теплоизолированных системах dq = Tds и
можно записать уравнение для энтропии в обратимом процессе в таком виде
T ds  dh 
dp

(1.7)
Все эти уравнения являются следствиями первого и второго начал
термодинамики.
1.2 Модель совершенного (двухпараметрического) газа
В газовой динамике используется модель совершенного газа, как одна из
наиболее простых моделей реальных газов, учитывающая не только механические, но и основные термодинамические свойства реальных газов.
Термодинамическое
состояние
газов
определяется
следующими
термодинамическими параметрами: T, p,  , V, E, h, s. Не все эти параметры
являются независимыми. Например, V = 1/  . Если для газа все параметры
6
указанного списка можно выразить только через любые два из них (исключая
пару V и  ), то такой газ называют двухпараметрическим или совершенным.
Ограничения, накладываемые началами термодинамики на
газодинамические функции
а) Пусть Т и V – независимые термодинамические параметры системы.
Выясним, при каких условиях возможны равенства
p = p(Т, V), s = s(Т, V ), E = E(Т, V ), h = h(Т, V ),
(1.8)
которые называют уравнениями состояния газа, и определим их конкретный
вид. Для этого учтем те ограничения, которые накладываются на термодинамические параметры первым и вторым началами термодинамики.
В обратимых процессах энтропия согласно (1.2) – (1.3) удовлетворяет
равенству
ds = dE/T + pdV/T
(1.9)
причем, согласно принятому представлению энтропии, ds является полным
дифференциалом этой функции как функции двух переменных Т и V.
Учитывая, что согласно (1.8)
 

dE
E  dT 
E  dV
 T 
 V 
выражение для ds можно записать так
  E  dT   E

 T 
 V
p
ds 

  dV
T
T
 T
(1.10)
Условием того, чтобы правая часть этого выражения была полным дифференциалом функции двух переменных, является равенство

E
 T


V T
T
  E

 V
p 

 T
T 

После упрощений получаем

  E p0
T
p

 


 T 
 
 V 

7
(1.11)
Это дифференциальная связь между давлением и внутренней энергии,
которая должна выполняться, чтобы газ был двухпараметрическим
Установление вида уравнений состояния совершенного газа
Обращаясь к опытным данным, можем принять, что внутренняя энергия
газа зависит только от его температуры
E = E(T)
(1.12)
В этом случае условие (1.11) того, чтобы газ был двухпараметрическим,
приводит к дифференциальному уравнению для определения вида функции
p(T,V)

T
p

p0

 T 

которое легко интегрируется путем разделения переменных. Его решение имеет
вид (принимая p = 0 при Т = 0)
pC( V) T
или, учитывая, что V = 1/  ,
pc(  ) T
Вид произвольных функций C( V ) или c(  ) устанавливается на
основе опытных данных.
Вдали от критических точек, отвечающих условиям, при которых газ
может сжижаться или отвердевать, с большой степенью точности можно
принять
c(  )R 
где R – газовая постоянная, зависящая только от состава газа и выражающаяся
через универсальную газовую постоянную Ro = 8314 м 2 /(с 2 град) по формуле
R = Ro/  , где  - молекулярный вес газа (безразмерное число).
В этом случае уравнение состояния совершенного газа принимает вид
(формула Менделеева-Клапейрона)
pR T 
которое дополняет систему уравнений газовой динамики.
8
(1.13)
Так как при этом p/  = RT, то для энтальпии совершенного газа можно
дать такое представление
h = E(T) +RT,
(1.14)
что свидетельствует, что энтальпия совершенного газа зависит только от
температуры.
б) Примем теперь в качестве независимых параметров V и s. Будем
рассматривать остальные параметры газового потока как функции этих
параметров
E = E(V, s), p =p(V, s).
(1.15)
Отсюда следует, что


dE E  ds E  dV
 s 
 V 
В тоже время из уравнения (1.9) следует, что
dE = Tds –pdV
Сравнивая последние два равенства, находим

T E
s
(1.16)

p E 
 V 
В этом случае энтальпия (1.5) выражается через энергию так

hE E  V
 V 
Коэффициенты удельной теплоемкости газа
в) Если в качестве независимых термодинамических параметров принять
T и p, то надо будет принять, что
E = E(T,p), h = h(T,p),


dh h  dT  h  dp
 T 
 p 
При этом формула (1.6) преобразуется к такому виду


dq h  dT  h  dpV( T, p ) dp
 T 
 p 
9
(1.17)
Так как T и p выбраны в качестве независимых параметров, то мы можем
ими распорядиться по своему усмотрению. Сперва рассмотрим такой термодинамический процесс, при котором давление остается неизменным p = const
(dp = 0). В этом случае можно записать

dq h  dT
 T  p
Здесь коэффициент при dT обычно обозначают символом Сp и называют
коэффициентом удельной теплоемкости газа при постоянном давлении, а
формулу записывают так
dq = СpdT,
(1.18)
  
Сp =  T h 

p
(1.19)
где
Если возвратиться к случаю а), когда в качестве независимых параметров
были приняты T и V, и воспользоваться тем, что в этом случае


dE E  dT E  dV
 T 
 V 
(1.20)
то для dq в соответствии с формулой (1.2) получим выражение


dq E  dT   E p  dV
 T 
  V 

Рассматривая теперь термодинамический процесс в условиях объема
частицы газа, когда dV = 0, находим

dq  E  dT
 T V
Коэффициент при dT, стоящий в этой формуле, обозначают символом СV и
называют коэффициентом удельной теплоемкости газа при постоянном объеме.
Следовательно удельный приток тепла к частице газа при сохранении ее объема
может быть записан так
dq = CVdT
10
где
 E 
CV   
 T V
(1.21)
Используя формулы (1.19) и (1.21), можем записать
 C p dT
h=
Коэффициенты
удельных
,
E =  Cv dT
теплоемкостей
(1.22)
газа
при
умеренных
температурах можно принимать постоянными (Сp= const, CV = const). В этом
случае
h = CpT,
E =CVT
(1.23)
Связь между коэффициентами удельной теплоемкости газа
Обратимся к равенству (1.14). Из него получаем
dh = dE + RdT
(1.24)
Так как внутренняя энергия двухпараметрического газа является
функцией только температуры, то согласно этой формуле энтальпия для такого
газа является также функцией только температуры..
Из равенств (1.22) следует, что
dh = Cp dT, dE = CVdT
При этом равенство (1.24) принимает вид
CpdT = CVdT + RdT
Oтcюда следует связь между коэффициентами удельной теплоемкости газа и
газовой постоянной
Cp - CV = R
(1.25)
Энтропия совершенного газа
Уравнение (1.9) позволяет определить вид функции энтропии s для
совершенного газа, учитывая, что вид остальных уравнений состояния газа
установлен. Имеем
ds = dE/T+pdV/T.
Так как в соответствии с (1.24)
2
dE = C V dТ, dV = - d /  и pdV/T = - R d /  ,
11
то
ds  CV dT / T  Rd / 
Интегрируя это уравнение в полных дифференциалах, находим с точностью до
постоянной интегрирования
s =  CVdT/T – Rln  + const
(1.26)
В случае постоянства коэффициента CV выражение для энтропии
совершенного газа принимает вид
s = CV nT - R ln  + const
Учитывая теперь, что T = p/(R  ), это соотношение записываем так
s = CV ln p – (CV + R) ln  +const
Отсюда находим выражение для энтропии совершенного газа (с точностью до
произвольной постоянной)
s = CV ln(p/   ),
(1.27)
где  = Сp/CV.
Для обратимых процессов s = const. Поэтому обратимые процессы являются изоэнтропическими. При этом условием изэнтропичности обратимых
процессов является, очевидно, выполнение равенства
p/   = C,
(1.28)
где С = p o /  o - некоторая положительная постоянная, определяемая по
параметрам газа в той точке, где скорость потока равна нулю (параметрам
торможения).
В соответствии с формулой (1.27) второй закон термодинамики (ds  0)
влечет требование, чтобы при постоянных Сp и CV. выполнялось условие
d(p/   )  0.
12
(1.29)
1.3 Прямой скачок уплотнения
Основные соотношения для прямого скачка уплотнений
Как было выяснено, в сверхзвуковом потоке газа возможны разрывные
течения. Наиболее простым примером разрывного течения является прямой
скачок уплотнения в одномерном прямолинейном сверхзвуковом потоке газа,
когда поверхность разрыва ортогональна потоку (рисунок 1.1).
y
B
B
1
v1
A
С
С
2

A
D
O
v2
D
x
Рисунок 1.1
Пусть Oy – плоская поверхность разрыва, а поток ортогонален ей.
Примем, что всюду слева от поверхности разрыва параметры потока имеют
известные постоянные значения v1, p1, 1, T1, a1   p1 1 , а всюду справа –
значения v2, p2, 2, T2, a2   p2  2 , подлежащие определению постоянные.
Так как гидродинамические функции предполагаются разрывными, то
для определения параметров потока за скачком нельзя использовать уравнения
движения газа в дифференциальной форме, а надо обратиться к интегральной
форме записи основных законов гидромеханики и термодинамики (2.1, 2.10 и
2.27 [6]). Применим их к совокупности жидких частиц, заключенных в момент
времени t в «жидком цилиндре» ABCD с основанием, ортогональным потоку, и
с образующими, параллельными скорости потока. Выбираем этот цилиндр
13
настолько длинным, чтобы плоскость разрыва пересекала его в моменты
времени t и t +  t .
Пусть в момент времени t +  t цилиндр занимает положение ABCD.
Обратим внимание, что объем ABCD, обозначаем его *, является общим для
двух рассматриваемых положений «жидком цилиндре» и в этом объеме за
промежуток времени  t никаких изменений гидродинамических характеристик
потока не происходит.
В момент времени t объем «жидком цилиндре» равен  =  1 +   , а в
момент времени t  = t +  t   =  2 +   , где
1=Sv1t, 2=Sv2t
(1.30)
S – площадь основания цилиндра.
Из закона сохранения массы (2.1 [6]) d (   d ) / d t  0 следует равенство

 d    d

 
 
1
2
*
*
Отсюда получаем
  d    d
1
2
Учитывая постоянство подынтегральных функций в соответствующих
областях, получаем равенство, имеющее место для прямого скачка уплотнения
1v1=2v2
(1.31)
Из теоремы о количестве движения [6], примененной к «жидкому
цилиндру»
d
 v d   p ds   ( p) ds
dt 
S AB
S BC
с учетом того, что подынтегральные функции в правой части равенства
сохраняют свои постоянные значения на интервале интегрирования  t , следует
равенство
 v d    v d  p

 
 
2
*
1
*
14
1
S t  p 2 S t
В полученном соотношении интегралы по общей области интегрирования
 взаимно уничтожаются, а подынтегральные функции в объемах 1 и 2
постоянные. Учитывая формулы (1.30), теорему импульсов для скачка
уплотнения запишем в таком виде
 2 v 22  1 v12  p1  p 2
(1.32)
Используем теперь закон сохранения энергии (2.27 [6]) при условии, что
газ идеальный и нетеплопроводный, а приток энергии отсутствует. Имеем
 v2

d




C
T
V  d   pv ds   (  pv) ds


dt   2

S AB
S BC
После интегрирования этого равенства по t за промежуток времени t и
упрощений, аналогичных предыдущим, получаем равенство
v 22
v12
 2 (  CV T2 ) v 2  1 (  CV T1 ) v1  p1 v1 -p 2 v 2
2
2
Разделим обе части этого равенства на величину  1 v 1 =  2 v 2 , получим
v 22
v12
p
p
 CV T2  (  CV T1 )  1 - 2
2
2
1  2
Если учесть, что
CV T 
CV p
CV
p
1 p


R 
C p  CV    1  ,
то легко убедимся, что предыдущее соотношение есть не что иное как интеграл
Бернулли (4.15 [6])
v 22
 p 2 v12
 p1



,
2  1 2
2   1 1
(1.33)
который, как видим, справедлив и для разрывного течения типа прямого скачка
уплотнений.
Ударная адиабата
Из равенств (1.32) и (1.31) составим следующую систему уравнений
 1v12   2 v 22  p1  p2 ,
15
 2 v12   2 v 22  0 ,
1
2
из которой без труда находим
v12 
 2 p1  p 2
1 p1  p 2
2


, v2 
1 1   2
 2 1   2
При этом имеем
 1
1 

v 22  v12  ( p1  p 2 )



2 
 1
С другой стороны, из интеграла Бернулли (1.33) находим
v 22  v12  
2   p 2 p1 



  1   2 1 
Следовательно, справедливо равенство
1
2   p 2 p1 
1 
  

( p1  p 2 )  
 
ρ
ρ


1

2 
 1
 2 1 
Отсюда получаем, разделив обе части равенства на p1,


p 
2  p2
1  2 (  2  1 )  

1   2 
p1 
  1  p1


После деления на 1 обеих частей равенства находим
2
 (  1)
p2
1


p1
(  1)  (  1) 2
1
(  1)
(1.34)
Получили связь между p 2 / p 1 и 2 / 1 , называемую ударной адиабатой.
Она существенно отличается от адиабаты Пуассона p 2 / p 1 = (  2 /  1 )  (4.8 [7]),
справедливой для непрерывных изэнтропических адиабатических потоков газа.
Это свидетельствует о том, что процесс прохождения потока газа через
поверхность разрыва является процессом неизэнтропическим. А так как по
второму закону термодинамики энтропия – неубывающая функция, то
прохождение потока газа через скачок уплотнения должно сопровождаться
ростом энтропии (для совершенного газа энтропия равна С V l n (  /   )). Гра16
фики адиабаты Пуассона и ударной адиабаты пересекаются в точке
p2 p1
2
3
1
 2 1
Рисунок 1.2
1 – адиабата Пуассона, 2 – ударная адиабата, 3 – асимптота ударной адиабаты,
( = 1 . 4 )
в точке (p 2 / p 1 = 1 ,  2 /  1 = 1 ) (рисунок 1.2). Левее этой точки ударная
адиабата расположена ниже адиабаты Пуассона и содержит область, в которой
p 2 / p 1 < 0 , что физически невозможно. Следовательно, нижняя ветвь ударной
адиабаты  2 /  1 < 1 физически нереализуема.
Реальными являются процессы, отвечающие той ветви ударной адиабаты,
которая определена в области
12/1<(+1)/(–1)
Линия  2 /  1 = (  + 1 ) / (  – 1 ) является асимптотой ударной адиабаты.
В потоке, проходящем через поверхность разрыва, плотность газа возрастает ( 2 >  1 ), что и определяет название поверхности разрыва – скачок
уплотнений. Скачки разрежения невозможны.
Соотношение Л. Прандтля между скоростями в прямом скачке
уплотнения
Определим скорость потока за прямым скачком уплотнения, используя
для этого интеграл Бернулли (1.33) и теорему импульсов (1.32).
Введем в рассмотрение критическую скорость потока a*  v * , которую
определим по параметрам потока с индексом «1» на основе формулы
17
v12
 p1
 1 2


a*
2   1  1 2 (  1)
(1.35)
При этом из уравнения (1.33) следует, что справедливо и такое равенство
v 22
 p2
 1 2


a*
2   1  2 2 (  1)
(1.36)
Из записанных равенств находим
p1  1  a*2 (  1) (2  )  v 12 (  1) (2  ) 


2
2
p 2  2  a* (  1) (2  )  v 2 (  1) (2  )

(1.37)
Обратимся теперь к равенству (1.32), записав его с учетом того, что
 1 v 1 =  2 v 2 , в таком виде
v1–v2=p2/(2·v2)-p1/(1·v1)
Подставим
в
полученное
равенство
величины
p11и
p22,
определенные по формулам (1.37), имеем
   1 a*2   1     1 a*2   1 
v1  v 2  

v 2   

v1 
2

v
2

2

v
2

2
1

 

Или
v1  v 2 
  1 a*2
 1
(v1  v 2 ) 
(v1  v 2 )
2 v 1 v 2
2
Отсюда, сокращая обе части равенства на v 1 - v 2  0 , находим соотношение, связывающее скорости в прямом скачке уплотнений, установленное
Л. Прандтлем
v1v2  a*2
(1.38)
Из этой связи следует, что поток газа за прямым скачком уплотнения
всегда дозвуковой. Покажем это.
Обратимся
к
равенствам
(1.37),
из
которых,
учитывая,
a*2   p*  * , p1 1  a12  , p2  2  a22  устанавливаем, что
18
что


a*2 a12  1  M 12 (  1) 2 2 (  1) 


2
2
2
a* a 2  1  M 2 (  1) 2 2 (  1),


(1.39)

где M1 = v 1  a 1 , M2 = v 2  a 2 - числа Маха до и за прямым скачком уплотнения.
Соотношение Прандтля позволяет найти связь между M1 и M2 .
Из равенства (1.38) следует, что
( v1 a1 ) 2  ( v 2 a2 ) 2  (a*2 a12 )  (a*2 a22 )
Используем теперь формулы (1.39). Получаем уравнение



M 12 M 22  1  M 12 (  1) 2 1  M 22 (  1) 2 2 (  1) ,
2
из которого находим
M 12 (  1) 2  1
M 
,
 M 12  (  1) 2
2
2
(1.40)
Легко убедиться, что всегда M 2 < 1 (см. рисунок 1.3) и что при M 1  
M 2  (  1) 2  .
M
2
3
1
2
M
1
Рисунок 1. 3 – Зависимость числа Маха M 2 потока за прямым скачком
уплотнения от числа Маха M 1 набегающего потока.
1)  =1.33; 2)  =1.4; 3)  =1.66.
Расчет давлений, плотностей и температур за прямым
скачком уплотнений
Определим теперь изменения давления, плотности и температуры при
прохождении потоком прямого скачка уплотнения. Имеем, с учетом (1.32)
( p 2  p1 ) p1  ( 1 v12   2 v 22 ) p1  1 v12 (1  v 2 v1 ) p1 
19
  v12 (1  v1 v 2 v12 ) a12   M 12   a*2 a12
Используя первое соотношение (1.39) легко получаем
( p 2  p1 ) p1  ( M 12  1) 2 (  1) ,
Следовательно
p 2 p1 1  2 ( M 12  1) (  1)
(1.41)
Далее получаем
 2 1  v1 v 2  v12 a*2  M 12 a12 a*2
 2 1
1
p 2 p1
2
1
2
3
3
M
M
1
1
1
T2 T1
2
3
M
1
Рисунок 1.4 – Зависимости от числа Маха набегающего потока давлений,
плотностей и температур за прямым скачком. 1)  =1.33; 2)  =1.4; 3) 
=1.66.
Принимаем во внимание первую формулу (1.39), находим
2

1
 1
2
1
M 12
 1
2
M 12
Теперь, используя уравнение состояния p = R T  , легко получаем
20
(1.42)
T2
p 
2
2

  1 2  
2
 2 1 
1

M
1

M

1


1
1


T1
p1  2 (  1)M 12 
2
   1



(1.43)
Соответствующие графики представлены на рисунке 1.4.
Спутный поток
Рассмотрим теперь случай, когда прямой скачок уплотнений перемещается в пространстве по неподвижному газу. Исследовать такое явление легко на
основе представленного выше решения, если ввести в рассмотрение подвижную инерционную систему координат (x 1 , y 2 ) с осями, параллельными исe
ходной, перемещающуюся вдоль оси Ox со скоростью v1  v1 . В этой системе
координат скорость потока слева от ударной волны будет равна нулю, так как
v1r  v1  v1e . Это означает, что ударная волна в системе координат (x 1 , y 1 )
движется влево по неподвижному газу со скоростью   v1  M 1a1 . За ударной
волной все частицы газа движутся в сторону ее распространения со скоростью
V   v2 .
Определим, как влияет интенсивность ударной волны p 2 / p 1 на скорость
ее перемещения по неподвижному газу. Из формулы (1.41) следует, что
M 12  1  ( p 2 p1  1)  (  1) 2 .
Следовательно
  a1 1  ( p2 p1  1)  (  1) 2 .
(1.44)
Из полученной формулы следуют два важных вывода:
1)  > a1 при p2 > p1, 2)   a1 при p2  p1.
Это означает, что скорость распространения прямого скачка уплотнений
по неподвижному газу больше скорости звука в этом газе, и что звуковая волна – это ударная волна очень малой интенсивности.
Найдем теперь скорость спутного потока V. Имеем
V    v 2    v 2 v1 v1    a*2 v1    (a*2 a12 )  (a1  )  a1 

2   1 2  1 
2 
1 
a1 
 M 1 
a1
  M 1 
M1 
1 


1
2
M


1
M


1 
1 


21
(1.45)
На рисунке 1.5 представлен график зависимости скорости спутного потока от перепада давлений в ударной волне типа прямого скачка уплотнений
Как видим, спутные потоки, возникающие за ударными волнами большой
интенсивности, могут обладать скоростями соизмеримыми со скоростью звука.
V / a1
( p2  p1 ) / p1
Рисунок 1.5 – Зависимость скорости спутного потока от интенсивности
прямого скачка уплотнения,  =1.4.
1.4 Косой скачок уплотнения
Основные соотношения для косого скачка уплотнений
В случаях, когда прямолинейный фронт ударной волны неортогонален
потоку, имеет место косой скачок уплотнения. Такие скачки могут возникать
при сверхзвуковых обтеканиях клиньев (рисунок 1.6).


v2
v1


n

Рисунок 1.6 – Схема обтекания острого клина сверхзвуковым потоком
22
Исследование косого скачка уплотнения можно провести на основе
модели одномерного потока.
Вернемся к случаю прямого скачка уплотнения. Введем в рассмотрение
инерциальную систему координат (n ,  ) с осями параллельными неподвижным
осям (см. рисунок 1.1), перемещающуюся поступательно вдоль фронта ударной
e
0
волны со скоростью v  ( v   ) , где v  0 .
В этой системе координат в силу теоремы сложения скоростей имеем




v 1r  V1  v 1 n 0  v   0 



 
v r2  V2  v 2 n 0  v   0 
(1.46)
В подвижных осях (n ,  ) наблюдаем следующую картину относительного
течения (рисунок 1.7)


V2


v
v2
V1

v
v1
n
Рисунок 1.7 – Схема косого скачка уплотнений
Потоки перед и за ударной волной не ортогональны к ее фронту – имеет место
так называемый косой скачок уплотнений. Так как система координат (n ,  )
инерциальная, можем теперь забыть, что она перемещается, и рассматривать в

этой системе координат поток со скоростью V1 , набегающий на фронт ударной
волны под углом . За ударной волной поток поворачивается на угол  и имеет

скорость V 2 . Одно из основных свойств косого скачка вытекает из формул
(1.46).
V1 = V2 = v,
23
(1.47)
что означает, что проекции на направление фронта ударной волны векторов
скоростей потока перед и за ударной волной равны между собой.
Очевидно, что изменение системы отсчета не может привести к изменениям соотношений между физическими величинами. Поэтому и для косого
скачка уплотнений сохраняется связь между давлениями и плотностями,
даваемая ударной адиабатой (1.34).
Свойства косого скачка уплотнений можно изучить на основе формул
(1.31), (1.32), (1.33) и (1.38), если учесть, что по (1.46) v1 = V1n, v2 = V2n.
Указанные соотношения запишем в виде двух систем уравнений
 2V2 n  1V1n
 2V22n  1V12n  p1  p 2
1 2
 p1 1 2
 p2
 1 2
V1n 
 V2 n 

a*
2
  1 1 2
  1  2 2 (  1)
V2  V1 

V1nV2 n  a*2 
(1.48)
(1.49)
В эти системы уравнений входит критическая скорость «нормального»
потока a* , определяемая только по нормальной составляющей скорости потока
V1n, что неудобно.
Выразим критическую скорость a* через критическую скорость полного
потока aкр, определяемую по полной скорости потока (1.35)
 1 2 1 2
 p1
aкр  V1 
2 (  1)
2
  1 1
(1.50)
Если ко всем частям последних двух равенств системы уравнений (1.48)
прибавить величину v  2  V1 2  V2 2 , то получим интеграл Бернулли
2
2
2
для косого скачка уплотнений
1 2
 p1 1 2
 p2
 1 2 1 2
V1 
 V2 

a*  V1
2
  1 1 2
  1  2 2 (  1)
2
Из сравнения равенств (1.51) и (1.50) устанавливаем, что
24
(1.51)
 1 2 1 2
 1 2
a*  V1 
a кр
2 (  1)
2
2 (  1)
Отсюда находим
a*2  a кр2 
 1 2
V1
 1
(1.52)
При этом система уравнений (1.49) принимает вид
V2  V1
V1nV2 n


 1 2 
2
 a кр 
V1
  1 
(1.53)
Ударная поляра
Система уравнений (1.53) позволяет определить компоненты вектора
скорости V2 за косым скачком уплотнений, если положение фронта ударной
волны известно. Для этого удобно воспользоваться ортогональной системой
координат ( ,  ), ось O которой направлена параллельно скорости набегающего потока (рисунок 1.7). В этой системе координат


V1  V1 0
0


V2  V2   V2 0

Компоненты вектора скорости V 2 определяются из уравнений (1.53). Так
как (см. рисунок 1.7)



 0  sin  n 0  cos   0



 0   cos  n 0  sin   0 ,
то можно записать



V1  V1 (sin  n 0  cos   0 )





V2 V 2 (sin  n 0  cos s  0 ) V 2( cos  n 0  sin   0 ) ,
Отсюда получаем равенства, связывающие компоненты скорости в системе координат (n ,  ) с компонентами скорости в системе координат ( ,  ):
V 1n = V 1 s i n  , V 1 = V 1 c o s  ,
25
V 2n = V 2 s i n  - V 2 c o s  , V 2 = V 2 c o s  + V 2 s i n  ,
Подставляя найденные значения проекций скоростей в уравнения (1.33),
получаем систему уравнений
V2 cos   V2 sin   V1 cos 
 1 2
V2 V1 sin 2   V2V1 sin  cos   a кр2 
V1 cos 2 
 1
(1.54)
При заданных  и V 1 из этой системы уравнений могут быть определены
компоненты V 2 и V 2 вектора скорости потока за косым скачком уплотнений.

При непрерывном изменении угла  конец вектора скорости V 2 опишет
некоторую кривую – годограф скорости, которую в случае косого скачка
уплотнений называют ударной полярой.
Чтобы получить уравнение ударной поляры, достаточно исключить из
системы уравнений параметр  . Это легко сделать, если обе части первого
уравнения разделить на V 2 c o s  , а обе части второго уравнения разделить на
c o s 2  и учесть при этом, что 1 / cos
2
  1  tg 2  . Из первого уравнения
находим
tg  (V1  V2 ) V2
(1.55)
Второе уравнение принимает вид
V1V2 tg 2   V1V2 tg  a кр2 (1  tg 2  ) 
 1 2
V1
 1
Подставив в это уравнение найденное значение величины t g  , получаем
уравнение ударной поляры
V1V2
(V1  V2 ) 2
V22
 (V1  V2 ) 2
 V1 (V1  V2 )  a 1 

V22

2
кр
  1 2

V
  1 1

2
которое удобно записать в разрешенной относительно V2 форме
V
2
2
(V1  V2 ) 2 (V1  V2 ξ  a кр2 )

2
a кр2 
V12  V1  V2 ξ
 1
26
(1.56)
На рисунке 1.8 представлен общий вид ударной поляры. Кривые такого
вида носят названия: декартов лист, гипоциссоида.
К
V
D
O
A
E
F
C V
B
Рисунок 1.8 – Ударная поляра
Характерные

точки
ударной
поляры:
A(aкр2 / V1 , 0) ,
B(V1 , 0)

C (2V1 /(  1))  aкр2 / V1 ), 0 . Точки A и B определяют точки пересечения
ударной поляры с осью абсцисс (причем B – двойная точка пересечения). Точка
C определяет положение асимптоты ударной поляры.
Ударная поляра симметрична относительно горизонтальной оси. Ее
«усы», обозначенные пунктиром, не имеют физического смысла, так как
отвечают физически нереализуемому случаю V 2 > V 1 .
Каждая точка кривой, лежащая между точками A и B, дает величину и
направление скорости потока за косым скачком уплотнений.
Рассмотрим только верхнюю часть кривой. Пусть в точке D вектор V 2
касается поляры. Этому случаю отвечает максимальный угол отклонения
потока за косым скачком уплотнений 
max.
Очевидно, косые скачки уплотнений возникают при условиях
–m a x    
max
Случай  = 0 отвечает либо непрерывному потоку V 2 = V 1 (точка B), либо
прямому скачку уплотнений, когда V2  aкр /V1 (точка A).
2
27
Если   0 , но 0 <   
max,
то одному и тому же углу поворота потока 
отвечают две разные точки на ударной поляре (E и F).
В точке F имеет место слабый скачок уплотнений, в точке E – сильный,
так как V 2 E < V 2 F .
Связь угла положения фронта ударной волны с углом
поворота потока
Угол поворота потока в системе координат ( ,  ) (рисунок 1.7) может
быть определен из формулы
tg   V2 / V2
(1.57)
Для установления связи угла  с углом положения фронта ударной волны
 используем уравнение (1.55) и уравнение ударной поляры (1.56). Из
уравнения (1.55) следует, что
V2  (V1 - V2 )ctg 
(1.58)
tg   (V1 /V2 - 1)ctg 
(1.59)
тогда
Возведем в квадрат обе части уравнения (1.58) и воспользуемся уравнением (1.56), получим равенство
V1  V2ξ  a кр2
 ctg 2 
,
2
a кр2 
V12  V1  V2ξ
 1
из которого находим
V2 
2
V1ctg 2 
 1
,
V1 (1  ctg 2  )
a кр2 (1  ctg 2  ) 
2
2
Учитывая, что 1  ctg   1 / sin  , получаем
V2  (a кр2 
2
V12 cos 2  ) / V1 ,
 1
28
При найденном значении V 2 формула (1.59) принимает вид
2


tg   V12 /( a кр2 
V12 cos 2  )  1 ctg 
 1


2
Выразим здесь a кр через скорость звука a1   p1 1 в набегающем
потоке, используя формулу (1.50). Имеем




2
V1

tg  
 1ctg 
2
2
  1 2

V1 
a12 
V12 cos 2 


 1
 1
  1

Если ввести число Маха набегающего потока M 1 = V 1 / a 1 , то между
углами  и  получим связь





2


M1


  arctg 
 1ctg 

   1 M 12  2 1  M 12 cos 2 






1


1





(1.60)
Вид кривых  (  ) в зависимости от числа Маха представлен на рисунке 1.9.

M 3
2.2
1.8
1.5
M  1.2

Рисунок 1.9 – Зависимость угла поворота потока  от угла наклона косого
скачка уплотнений  к набегающему потоку ( = 1 . 4 ).
Отметим, что одному и тому же углу поворота потока при одном и том же
значении числа Маха набегающего потока отвечает два положения фронта
ударной волны 1 и 2. Если  1 <  2 , то 1 – отвечает слабой ударной волне, 2 –
29
сильной. При каждом M1 существует угол  = max, при котором возможно
только единственное положение фронта ударной волны. При  > max косой
скачок уплотнения не существует, а возникает отсоединенная криволинейная
ударная волна.
Волна Маха
Когда   0 слабая ударная волна вырождается в звуковую волну – волну
Маха, что отвечает случаю обтекания полубесконечной пластины, в которую
вырождается клин при   0 . В этом случае только передняя кромка пластины
(точка) вносит в поток бесконечно малое возмущение, вследствие чего в
сверхзвуковом потоке не возникают ударные волны, а сам поток сохраняет свои
параметры.
Звуковой волной можно аппроксимировать ударную волну малой
интенсивности, что отвечает случаю, когда в сверхзвуковом потоке имеются
малые (но не бесконечно малые) источники возмущения.
Определим положение фронта звуковой волны из уравнения (1.60),
положив в нем = 0 .
Равенство нулю правой части этого уравнения при    / 2 возможно,
если выражение в квадратных скобках равно нулю, то есть если
M 12 
 1 2
2
M1 
(1  M 12 cos 2  )
 1
 1
волна Маха
V a

A

B
волна Маха
Рисунок 1.10 – Обтекание точечного источника возмущений
сверхзвуковым потоком.  = a r c s i n ( a / V ) – угол Маха.
30
Из этого равенства находим
sin   1 / M 1
(1.61)
Угол  , определенный по формуле (1.61), называется углом Маха. Он определяет положение фронта звуковой волны в сверхзвуковом потоке (рисунок 1.10).
Криволинейные ударные волны
При обтекании клиньев с углами полураствора большими, чем max, а
также затупленных тел, возникают отсоединенные криволинейные ударные
волны (рисунок 1.11). Исследование сверхзвуковых потоков с криволинейными
скачками уплотнений требует учета неодномерности потока. Однако, и в этих
случаях могут быть использованы основные свойства косых скачков
уплотнений, выражаемые соотношениями (1.48) и (1.33). Ударная поляра (1.56)
и ударная адиабата (1.34) применимы к каждой элементарной площадке
криволинейного скачка уплотнений, так как последнюю можно рассматривать
как элемент косого скачка уплотнения.
M2 1
M2 1
 >  max
M2  1
V1  a1

M2 1
V1  a1
M2 1
Рисунок 1.11
Сохраняются понятия угла Маха и волны Маха, введенные для косого
скачка уплотнения. Например, при пространственном обтекании точечного
источника возмущений за ним образуется звуковая волна конической формы.
Угол полураствора этого конуса Маха (рисунок 1.12) определится, очевидно, по
формуле (1.61).
31
A


V1  a1
Рисунок 1.12 – Конус Маха
Более подробно плоские и пространственные сверхзвуковые течения
изучаются в газовой динамике неодномерных потоков.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. – 840 с.
2. Кочин Н.Е. Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.:
Физматгиз, т.1,2. 1963.
3. Валландер С.В. Лекции по гидромеханике. Л.: ЛГУ, 1978. – 295 с.
4. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. – 424 с.
5. Снопов А.И., Иванов А.Н. Методические указания к курсу «Механика
жидкости и газа». Раздел 1: «Кинематика жидкости». Ростов-на-Дону:
УПЛ РГУ, 1997. – 35 с.
6. Снопов А.И., Иванов А.Н. Методические указания к курсу «Механика
жидкости и газа». Раздел 2: «Основные математические модели жидких
сред». Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1997. – 35 с.
7. Снопов А.И., Иванов А.Н. Методические указания к курсу «Механика
жидкости и газа». Раздел 4: «Общие вопросы гидромеханики идеальной
жидкости». Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1999. – 29 с.
32