2 0 0 2 г №7 Тру ды ФО РА ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ СИСТЕМЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ В СЛУЧАЕ Y0 Д. К. Мамий Адыгейский государственный университет, г. Майкоп Рассматривается система дифференциальных уравнений, определяемая дифференциальным уравнением второго порядка с разрывной правой частью x f ( x, x ) . Получена топологическая классификация особых точек первой степени негрубости, не лежащих на прямой y 0. G R 2 конечная область и L — кривая, удовлетворяющая следующим условиям: k 1. L — гладкая кривая класса C , 2. L —имеет конечную длину, 3. L — делит область G на две области G1 и G2 . 4. Пересечение кривой L с прямой y 0 состоит из конечного числа компонент: точек и отПусть 2 резков. Всюду ниже будем считать ориентацию плоскости R заданной. Зададим некоторую ориентацию кривой L. Пусть касательный вектор к кривой L в некоторой ее точке, а — вектор нормали в этой точке, такой что базис , задает ориентацию, согласованную с ориентацией плоскости R2 . Тогда область, внутрь которой направлен вектор , обозначим за G1, а вторую область за G2 . Рассмотрим дифференциальное уравнение x f ( x, x ), (1) где f — функция, определенная в G , принадлежащая в каждой из областей вплоть до линии Gi классу C k , k 1, L. Уравнению (1) соответствует система F — дифференциальных уравнений в области x y , y f ( x, y ), где G (2) f ( x, y ) f i ( x, y ), ( x, y) Gi , i 1, 2. Метрическое пространство систем вида (2) с метрикой ~ ~ k ( F , F ) max f i ( x, y ) f i ( x, y ) i 1, 2 будем обозначать k U Gk , L . Свойства грубости систем (2) будем рассматривать относительно возмущений в пространстве U Gk , L , то есть возмущений, не меняющих первое уравнение системы (2). В работе [2] построена топологическая классификация грубых особых точек системы (2), не лежащих на прямой y 0. В данной работе исследуются особые точки первой степени негрубости системы (2), не лежащие на прямой y 0. © Д.К. Мамий Д.К. Мамий 38 O( x0 , y0 ), y0 0, — особая точка системы (2), лежащая на линии разрыва L , G — окрестность точки O( x0 , y0 ), и в этой окрестности L задается уравнением ( x, y ) 0, Пусть C k 1. В [2] показано, что особая точка O может иметь только типы 2 или 3 и линия разрыва L в k 1 окрестности O является в этом случае графиком функции C . Пусть G — малая окрестность точки O , тогда в этой окрестности система (2) может быть записана в следующем виде: x y , y f ( x, y ) f i ( x, y ), ( x, y ) Gi , f i ( x, y ) ci ai ( x x0 ) bi ( y y 0 ) Ai ( x x0 ) 2 Di ( y y 0 ) 2 (3) Bi ( x x0 )( y y 0 ) i ( x, y ), где i ( x, y ) o x x0 , y y 0 2 при x x , 0 y y0 , ( x, y) Gi , i 1, 2. G1 {( x, y ) G, y ( x)}, G2 {( x, y) G, y ( x)}. Линия разрыва L локально является графиком функции y ( x ) y 0 ( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) 3 o( x x0 ) 3 , x x0 , C 3 . В [2] показано, что система F локально диффеоморфна системе F следующего вида, с особой точкой O (0,1) : x y y f ( x, y) fi ( x, y), x, y U i , i 1, 2, 2 2 где f i ( x, y ) ci ai x bi ( y 1) Ai x Bi x ( y 1) Di ( y 1) i ( x, y ), где i ( x, y ) o x, y 1 2 (4) , при x 0, y 0, ( x, y) U , i 1, 2. i U1 {( x, y) U 0 , y 1}, U 2 {( x, y) U 0 , y 1}, U 0 — окрестность точки O , являющаяся диффеоморфным образом G. Точка O (0,1) имеет тип 2 относительно системы F тогда и только тогда, когда c1 0, c2 0 или c1 0, c2 0, а тип 3, если c1 0, c2 0. Исследуем сначала точки типа 2. Т е о р е м а 1 . Пусть система F U G2 , L имеет вид (4) и в точке O (0,1) выполнены условия c1 0, c2 0 или c1 0, c2 0. Если ci 0 (i 1 или i 2), то точка O имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда ai 0, Ai 0 (5) При этом особая точка имеет следующие топологические типы. а) Если c1 0, a1 0, A1 c2 0 или c2 0, a2 0, A2 c1 0, то H H (см.[1]). 2 2 2 2 б) Если с1 0, a1 0, A1 c2 0 или c2 0, a2 0, c1 A2 0, то Q Q K K . Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждения а), б) теоремы, относящиеся к топологической классифи2 кации следуют из [1]. Условия (5) говорят о том, что одна из функций 2 Fni fi (x,1) системы F име- ет нуль кратности 2 в точке x 0, а вторая функция в этой точке в нуль не обращается. Поэтому, в силу следствия 1 теоремы 2 §19[1], особая точка O (0,1) имеет первую степень негрубости в классе C 2 . Отсюда получаем, что в классе U G2 , L точка O (0,1) либо груба, либо имеет первую степень неТруды ФОРА, №7, 2002 г. © 2002 Физическое Общество РА Топологическая классификация особых точек первой степени негрубости системы… 39 грубости. В силу теоремы 1[2] при указанных в теореме 1 условиях особая точка не является грубой. Отсюда следует достаточность условий (5). Бифуркации, испытываемые исследуемыми особыми точками описаны в [1]. Они определяются бифуркациями корней функции Fni при малых возмущениях Fn1 имеет при x 0 нуль второго порядка, а Fn2 (0) 0. Тогда, если ~ ~1 система F близка системе F , то функция Fn либо не имеет корней, либо имеет корень кратности 2, либо два корня кратности 1. Поэтому особая точка O (0,1) при малых возмущениях системы F мосистемы F . Пусть функция 2 жет или сохраниться или исчезнуть или распасться на две грубые особые точки типа K K 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 H H Q Q . При этом при бифуркации особой точки H H точки типа K K и H H Q Q 2 2 и 2 соединены линейной особенностью типа AA1 (рис. 1), а при бифуркации точки Q Q K K не соединены (рис. 2). Докажем теперь необходимость условий (5). Если c1 0, c2 0, a1 0 или c2 0, c1 0, a2 0, то в силу теоремы 1[2] особая точка является грубой. Пусть теперь c1 a1 A1 0, c2 0. Рассмотрим однопараметрическое семейство систем F () : x y, x 2 f1 ( x, y ), ( x, y ) U1 , y f 2 ( x, y ), ( x, y ) U 2 . Если — мало, то системы F ( ) и F сколь угодно близки. Если c2 0, то точка O имеет тип H 2 H 2 , если же c2 0, то O имеет тип Q 2Q 2 K 2 K 2 , причем в обоих случаях точка O имеет первую степень негрубости. Следовательно, степень негрубости особой точки O системы F больше 1. Случай c2 0, a2 0, A2 0, c1 0 рассматривается аналогично. Теорема доказана. Рис. 1 Рис. 2 Выражения коэффициентов ci , ai , bi , Ai системы F через коэффициенты ci , a i , bi , Ai , Bi , Di системы F , полученные в лемме 1[2], позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия первой степени негрубости для особых точек типа 2 системы (3). Труды ФОРА, №7, 2002 г. © 2002 Физическое Общество РА Д.К. Мамий 40 F U G2 , L имеет вид (3) и в точке O( x0 , y0 ) выполнены С л е д с т в и е 1 . Пусть система условия: Если c1 y0 , c2 y0 или c1 y0 , c2 y0 . c1 y0 ( i 1 или i 2), то точка O имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда a i bi 2 Ai c i Bi 2Di 2 bi 2 bi y0 ci y0 2 y 0 , a i 2 bi 2 c i 2 ci y0 6y 02 2y 0 . Необходимое и достаточное условие первой степени негрубости особой точки мы (3) можно сформулировать и через функции С л е д с т в и е 2 . Пусть система O( x 0 , y 0 ) систе- Fni . F U G2 , L имеет вид (3) и выполняются условия Fn1 ( x0 ) 0, Fn2 ( x0 ) 0 или Fn1 ( x0 ) 0, Fn2 ( x0 ) 0. Точка O( x 0 , y 0 ) имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда x x0 является корнем кратности 2. для одной из функций Fni (i 1, 2) и не является корнем другой. Исследуем теперь особые точки типа 3. F U G2 , L имеет вид (4) и в точке O (0,1) выполнены условия: Т е о р е м а 2 . Пусть система c1 0, c2 0. Точка O имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия. 1) a1 0, a2 0. 2) Если a1 0, a2 0, то T1 T2 , где Ti Ai ai bi , i 1, 2. ai (6) Особая точка имеет следующие топологические типы: а) Если a1 a2 0, то H 2 H 2 . б) Если a1 0, a2 0, то H Q Q H Q Q . в) Если a1 0, a2 0, T1 T2 , то ( LL )1. Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждения а) и б) следуют из [1], где проведена топологическая классификация особых точек типа 3. Условие a1 0, a2 0 свидетельствует о принадлежности особой 2 2 2 2 2 2 точки классу LL . В этом случае также как в §19 [1] для особой точки определяется обобщенная функция последования . С помощью формул, полученных в §19 [1] легко показать, что 2 (T2 T1 ) x02 o( x02 ), x0 0. 3 Отсюда получаем, что если a1 0, a2 0, T1 T2 , то малая окрестность точки O не содержит замкнутых политраекторий и поэтому особая точка имеет тип ( LL )1. ( x0 ) Достаточность условий (6) следует из теоремы 4 §19[1] и теоремы 1 [2], в силу которой особые точки типа 3 не являются грубыми в классе вия U G1 , L . Бифуркация особых точек описаны в §19[1]. Усло- a1 0, a2 0 означают, что функции Fni , i 1, 2 имеют в точке x 0 простой нуль. Тогда Труды ФОРА, №7, 2002 г. © 2002 Физическое Общество РА Топологическая классификация особых точек первой степени негрубости системы… 41 ~ F U G2 , L близка F , то функции Fni обращаются в нуль либо в одной точке, либо в двух разных точках. Поэтому особая точка O при возмущениях системы F либо сохраняется, либо если система распадается на две грубые особые точки типа 2. Если a1 a2 0, то особая точка H 2 H 2 распадается на две особые точки типов K 2 K 2 и H 2 H 2Q 2Q 2 , соединенные линейной особенностью AA1 (рис.3). Если a1 0, a2 0, то особая 2 2 2 2 2 точка типа H Q Q H Q Q же 2 2 2 2 распадается на две особые точки типа H H Q Q 2 (рис.4). Если a1 0, a2 0, T1 T2 , то особая точка типа ( LL )1 распадается на две особые точки типа K 2 K 2 (рис.5). H 2H 2 Рис. 3 H 2Q 2Q 2 H 2Q 2Q 2 Рис. 4 ( LL )1 Рис. 5 a1 0, a2 0, T1 T2 . Тогда также как в тео~ 2 реме 4 §19[1] показывается, что существует сколь угодно близкая к F система F U G , L , имеющая в малой окрестности точки O замкнутую политраекторию. При этом O негрубая особая точка си~ стемы F . Следовательно, система F и ее особая точка не могут иметь первую степень негрубости. Пусть теперь a1 a2 0, например a1 0, a2 0. Рассмотрим однопараметрическое семейство систем F ( ) вида x y, x f1 ( x, y ), ( x, y ) U1 , y f ( x, y ), ( x, y ) U . 2 2 Докажем необходимость условий (6). Пусть Труды ФОРА, №7, 2002 г. © 2002 Физическое Общество РА Д.К. Мамий 42 Если a2 0, то особая точка имеет тип H 2 H 2 , если же a2 0, то особая точка имеет тип H 2Q 2Q 2 H 2Q 2Q 2 или относится к классу LL . Во всех этих случаях степень негрубости особой точки не меньше 1. Поэтому если a1 0, a2 0, то особая точка системы F имеет степень негрубости больше 1. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Теорема доказана. Сформулируем необходимые и достаточные условия первой степени негрубости для особых точек типа 3 системы (3). Сделаем это для случая y0 0. С л е д с т в и е 1 . Пусть система полнены условия F U G2 , L имеет вид (4) и в точке O( x 0 , y 0 ), y0 0 вы- c1 y 0 , c 2 y 0 . Точка O( x 0 , y 0 ) имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда выполняются ci следующие условия. 1) a i bi 2 y 0 , i 1, 2. y0 c1 c 2) Если a1 b1 2 y 0 , a 2 b2 2 2 y 0 , то T1 T2 , где y0 y0 1 2 Ai ci Bi 2Di 2 bi 2 bi a i 2 bi 2 ci y0 Ti ci a i bi 2 y 0 y0 2 ci c 1 6y 02 2y 0 a i bi i 2 y 0 bi 2 0 y0 y , i 1, 2. ci a i bi 2 y 0 y0 С л е д с т в и е 2 . Пусть система F U G2 , L имеет вид (4) и выполняются условия Fn1 ( x0 ) 0, Fn2 ( x0 ) 0. Точка O( x 0 , y 0 ) имеет первую степень негрубости тогда и только тогда, когда x x0 грубый корень каждой из функций Fni , i 1, 2. Мы провели полное исследование особых точек первой степени негрубости системы (2), не лежащих на оси y 0. Литература 1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. 2. Мамий Д.К. Топологическая классификация грубых особых точек систем определяемой дифференциальным уравнением второго порядка с разрывной правой частью в случае y 0. The topological classification of first degree unstructurally stable singular points of the system, determined by the second-order differential equation with discontinuous right-hand side in case y 0. D.K. Mami The system of differential equations determined by the second-order differential equation with discontinuous right-hand side is considered. The topological classification of first degree structurally un stable singular points, not lying on the line y 0 is given. Труды ФОРА, №7, 2002 г. © 2002 Физическое Общество РА