Пособие по математике по нестандартным задачам

Методическое пособие по математике
Нестандартные задачи по математике, как эффективное
средство повторения программного материала.
Автор: Давыдова Вероника Борисовна
Место работы: МБОУ «Лицей №1» г. Перми.
2014г.
1
Оглавление.
1. Введение……………………………………………………………….3
2. Глава 1. «Задачи с параметрами для учащихся 7 – 9 классов».........4
3. Глава 2. «Нестандартные задачи для учащихся 10 – 11 классов»…10
4. Заключение…………………………………………………………….24
2
Введение.
Я разработала пособие, основная цель которого: расширить возможности учащихся 7 –
9 и 10 – 11 классов в решении задач и тем самым содействовать развитию мыслительных
способностей. Задачи должны быть нацелены на выявление и развитие творческого
потенциала школьников. То есть, я подобрала задания, которые позволят учащимся 7 – 9 и
10 – 11 классов повторить программный материал изученных тем по математике на более
высоком теоретическом и практическом уровне. Такие задания можно назвать «нестандартные творческие задания». При составлении этого пособия я поставила перед
собой следующие задачи:
1. Задачи подбирать не слишком простые, которые решаются немедленно без
всяких размышлений и усилия. Уверенно справиться с ними может лишь тот,
кто глубоко владеет материалом программы и имеет достаточную практику в
решении элементарных задач.
2. Задания должны быть такими, что бы их решение на уроке занимало 20 – 30
минут.
3. Провести апробацию данных заданий в учебных классах.
Из собранных заданий скомпоновать методическое пособие с
указаниями,
рекомендациями и решениями некоторых.
Я изучила варианты вступительных работ в различные вузы Российской Федерации,
просмотрела подборку журнала «Квант» за 1975-1995 года и выбрала, на мой взгляд особо
интересные задания, решила их и скомпоновала по разделам. Для 7-9 классов рассмотрела
задачи с параметрами. Составила три варианта разного уровня сложности задач с
параметрами для 9 –х классов.
Надеюсь, что данное пособие может оказать реальную помощь как учащимся, так и
их учителям при изучении математики.
3
Глава 1.
«Задачи с параметрами для учащихся 7 – 9 классов».
Основная задача моей работы: как можно полнее развить творческие способности
каждого учащегося, не ограничивая заранее уровень сложности используемого материала.
Многие учащиеся средней школы не способны к длительной умственной
деятельности. Из процесса решения задачи у них выпадает этап поиска решения.
Практически все применяют стандартный алгоритм решения, и если его не находят, то
перестают решать задачу, считая ее слишком сложной. Редко встречаются ученики,
которые способны обдумывать решение задачи в течение длительного времени, прежде чем
суметь решить ее.
Каждая задача имеет свою трудность. Есть задачи, в которых главное – найти идею
решения, а технический этап решения достаточно прост. Есть задачи, в которых путь
решения достаточно очевиден, однако техника решения требует большой вычислительной
работы. И есть задачи, в которых путь решения и техническая часть примерно равнозначны.
Задачи этих типов в больших количествах встречаются в ЕГЭ.
Задачи с параметрами являются одним из тех типов задач, которые вызывают
трудности практически у всех учащихся. И не случайно эти задачи стоят последними в ЕГЭ.
В школе решению задач с параметрами отводится очень мало внимания. Поэтому не стоит
рассчитывать на то, что учащиеся, которые не подготавливались к решению задач такого
типа, успешно справятся с ними на экзамене. Совершенно очевидно, что к решению таких
задач нужно специально готовиться, при чем желательно начинать подготовку как можно
раньше (с 7-8 класса).
С параметрами учащиеся встречаются при изучении функций: y  kx , y  kx  m ,
y
k
(х и у – переменные, k, m - параметры).
x
К задачам с параметрами в школьном курсе можно отнести не только поиск
решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества
корней в зависимости от значений параметров, но и исследование функций и их свойств в
зависимости от параметров.
При изучении темы «Линейная функция», «Обратная пропорциональность»
учащимся желательно предложить задания следующего типа:
1. Возьмем на координатной плоскости точку М(2; 1) и рассмотрим все прямые,
проходящие через эту точку. Можно ли утверждать, что каждая из них является
4
2.
3.
4.
5.
6.
графиком линейной функции y  kx  m ? Что можно сказать о коэффициентах k
и m этих функций? Связаны ли они между собой? Если да, то как?
При каких значениях коэффициентов k и m график функции y  kx  m
пересекает положительную часть и оси абсцисс и оси ординат? Какие еще
возможны случаи пересечения осей с графиком линейной функции? Какие
значения k и m им соответствуют?
k
Сформулируйте подобные задачи для функций y  kx , y  .
x
Графики линейных функций y  kx  m и y  ax  b пересекаются в точке,
лежащей внутри третьего координатного угла координатной плоскости xOy .
Определите знаки коэффициентов k , m, a, b , если известно, что прямая y  kx  m
не проходит через второй координатный угол, а прямая y  ax  b проходит через
начало координат.
Какие значения могут принимать коэффициенты k и m функций y  kx ,
k
y  kx  m , y  , если известно, что:
x
1) эти функции являются убывающими во всей области определения;
2) y  0 при x  0 ?
Существует ли такое значение k , при котором графики всех этих функций не
пересекаются?
Известно, что линейная функция y  kx  m принимает значение равное нулю,
при x  3 , и график образует с осью Ox угол 60  . Найдите площадь фигуры,
ограниченной графиком этой функции и осями координат.
Какие значения должен принимать коэффициент k , чтобы график линейной
4
функции y  kx  2 не пересекал графика функции y  ?
x
При изучении темы «Квадратичная функция» учащимся желательно предложить
задания следующего типа:
1. Найдите значение коэффициента с и постройте график функции y  x 2  6 x  c ,
если известно, что наименьшее значение функции равно 1.
2. Найдите значение коэффициента с, если известно, что график функции
у  х 2  4 х  с пересекает ось ординат в точке А (0; 2).
3. Найдите значение коэффициента а, если известно, что график функции
у  ах 2  4 х  5 пересекает ось абсцисс в точке М (-10; 0).
4. Найдите значение коэффициента в, если известно, что осью симметрии графика
функции у  х 2  вх  4 является прямая х=1.
5. Найдите значение коэффициента в, если известно, что осью симметрии графика
функции у  2 х 2  вх  3 является прямая х=-4.
6. Найдите значение а, если известно, что прямая х=2 является осью симметрии
графика функции у  ах 2  (а  6) х  9.
7. При каком значении коэффициента с вершина параболы у  х 2  6 х  с
находится на расстоянии 5 от начала координат?
8. При каких значениях коэффициентов в и с точка А(1; -2) является вершиной
параболы у  х 2  вх  с ?
5
9. Найдите значение коэффициентов а, в и с, если известно, что точка А(1; -2)
является вершиной параболы у  ах 2  вх  с и что парабола пересекает ось
ординат в точке В (0; 2).
10. Найдите значение коэффициентов в и с, если известно, что график функции
у  х 2  вх  с проходит через точки (0; 8) и (3; -1).
11. Найдите формулу квадратичной функции, если известно, что ее график проходит
через точки (-2; 3), (-1; 0) и (0;-9).
При изучении темы «Квадратные уравнения и неравенства» учащимся желательно
предложить задания следующего типа:
1. При каких значениях параметра р заданное уравнение x 2  6 x  8  p :
1) не имеет корней;
2) имеет один корень;
3) имеет два корня?
2. При каких значениях параметра р заданное уравнение является неполным
квадратным уравнением? Решите уравнение при найденных значениях параметра:
1) 6 х 2   р  1х  2  4 р  0;
2)  р  2х 2  3х  р  0;
3) 3х 2  2 р  3х  2  р  0;
4) 6  р х 2  2 р  6х  12  0.
3. При каких значениях параметра р уравнение 2 р  3х 2  3 р  6х  р 2  9  0
является:
1) приведенным квадратным уравнением;
2) неполным неприведенным квадратным уравнением;
3) неполным приведенным квадратным уравнением;
4) линейным уравнением?
4. При каких значениях параметра р уравнение х 2  рх  24  0 имеет корень,
равный 6.
5. При каких значениях параметра m имеет один корень уравнение:
1) х 2  mх  9  0 ;
2) х 2  3mх  m  0 ?
6. Докажите, что при любом значении параметра p уравнение 3х 2  рх  2  0 имеет
два корня.
7. Решите уравнение с параметром р :
2p  3
p
х 0;
1) х 2  2 p  2x  р 2  2 p  0 ;
2) х 2 
6
6
2
3)  p  4х  2 p  4х  p  0 .
8. Пусть х1 и х2 - корни уравнения х 2  9 х  17  0 . Не решая уравнения,
вычислите:
1) х12  х22 ;
2) х12 х2  х1 х22 .
9. Дано уравнение х 2  2 р 2  р  6 х  8 р  1  0. Известно, что сумма его корней
равна -5. Найдите значение параметра р.
10. Дано уравнение х 2   р  1х  2 р 2  9 р  12  0. Известно, что произведение его
корней равно -21. Найдите значение параметра р.
11. При некотором значении параметра р корни квадратного уравнения
2 рх 2  р 2  9 х  5 р  2  0 являются противоположными числами. Найдите эти
корни.
12. При некотором значении параметра р корни квадратного уравнения
2 рх 2  5 х  р  1  0 являются взаимно обратными числами. Найдите эти корни.






6


13. Дано уравнение х 2  3 р  5х  3 р 2  11 р  6  0. Известно, что сумма квадратов
его корней равна 65. Найдите значение параметра р и корни уравнения.
14. Разность корней уравнения 2 х 2  15 х  р  0 равна 2,5. Найдите значение
параметра р и корни уравнения.
15. Один из корней квадратного уравнения 2 х 2  14 х  р  0 больше другого в 2,5
раза. Найдите значение параметра р и корни уравнения.
16. Найдите все значения параметра р , при которых имеет действительные корни
квадратное уравнение  p  1х 2  2 p  3х  p  5  0 .
17. При каких целочисленных значениях параметра р неравенство x  2x  p  0
имеет три целочисленных решения?
18. При каких значениях параметра р неравенство x 2  9 p 2 имеет одно
целочисленное решение?
19. При каких значениях параметра p неравенство  p  2х 2   p  4х  3 p  2  0 :
1) не имеет решений;
2) выполняется при любых значениях x ?
20. Для каждого значения параметра решите неравенство:
1) ax 2  2a  3x  a  1  0 ;
2) 3a  7x  5a  3 ;
xa
0.
3)
2x  1
21. Укажите все значения параметра p , при которых решением системы неравенств
 x  3,
является промежуток: 1) 5; ;
2) 3; .

x  p
22. При каком значении параметра p пара чисел (1; -2) является решением системы
уравнений
 p 2 x  y  2,
?
 2
 x  y 2  p  3
23. При каком значении параметра p система уравнений
решения;
 y  x 2  p,
имеет 1) три
 2
 x  y 2  4
2) одно решение?
7
Предлагаю три варианта заданий с параметрами для учащихся 9 – х классов.
Вариант №1.
1. Найти значения а, если корни уравнения х 2  2ах  а  2  0 равны.
2. При каких значениях параметра а, сумма корней квадратного уравнения
4 х 2  4(а  1) х  1  0 отрицательна?
3. Найдите все значения параметра а, при которых, корни уравнения
x 2  2(a  1) x  2a  1  0 имеют разные знаки и каждый по модулю меньше 4?
4. Найти положительный коэффициент а, при котором сумма квадратов корней уравнения
х 2  ах  а  0 равна 63.
5. При каких значениях а, неравенство ах 2  4 х  1  3a выполняется при всех значениях
х?
6. При каких значениях параметра с, уравнение х 2  2 х  3  с имеет три решения?
7. Найти все действительные значения c, для которых все числа из области значений
2
функции f x   x 2  сx  1 принадлежат интервалу (-1, 2).
2 x  3x  2
Ответы:1)  1; 2; 2)  ;0 ; 3)  0,9;0,5 ; 4) 9 ; 5)  4 ;  ; 6) 4 ; 7)
3

3  2
3;6  2 15
.
Вариант №2.
1. Найдите наименьшее значение а, при котором уравнение (а  13) х 2  2(а  1) х  а  3  0 имеет
один корень.
2. При каких значениях параметра p оба корня уравнения  p  3,5x 2  2 p  3x  p  0
положительны?
3. При каких значениях p корни уравнения px 2  2 p  1x  p  3  0 удовлетворяют
условию x1  x2  2 ?
4. Найти коэффициенты уравнения x 2  px  q  0 при условии, что разность корней
уравнения равна 5, а разность их кубов равна 35.
5. Найти все значения параметра m, при которых неравенство mx 2  4 x  3m  1  0
выполняется для всех действительных значений х.
6. При каких значениях параметра с, уравнение х 2  4 х  5  с имеет три решения?
7. Найти все действительные значения b, для которых все числа из области значений
2
функции f  y   2 y2  by  1 принадлежат интервалу (-2, 3).
y  2y  2
Ответы:1)  13 ; 2)  0; 9  ; 3)   ;  1  5     1  5 ;1 ; 4) p  1, q  6 ; 5) 1; ; 6) 9 ;



2   2
 26 


7) 4  4
3;6  2 7
.
8
Вариант №3.
1. При каком целом положительном значении с уравнение х 2  (4  2с) х  5  4с  0 имеет
равные корни.
2. При каких значениях параметра m оба корня уравнения m  2x 2  2mx  m  3  0
положительны?
3. При каких значениях параметра p корни уравнения x 2  px  p  0 удовлетворяют
неравенству x1  x2  x1  1 ?
4. Найдите наименьшее значение параметра а, при котором корни х1 и х 2 уравнения
х 2  ах  6  0 удовлетворяют условию х12  х 22  13 .
5. Найти все значения параметра k, при которых неравенство (k  2) x 2  2kx  2k  3  0
выполняется для всех действительных значений х.
6. При каких значениях параметра с, уравнение х 2  2 х  3  с имеет три решения?
7. Найти все действительные значения a, для которых все числа из области значений
2
функции f x   x 2  2ax  4 принадлежат интервалу (-3, 2).
x  2x  3
Ответы: 1) 1 ;2)  ;3  2;6 ;3)
2 
 
5 ;0  4;2  5
 ;4)  5 ;5)  ;2;6) 4 ;7) 3  2
5 ;2  5
.
9
Глава 2.
«Нестандартные задачи для учащихся 10 – 11 классов».
Под
нестандартными
задачами
я
понимаю
задачи,
которые
традиционными методами и преобразованиями не решаются. Они, как
правило, в варианте бывают последними и могут быть условно названы
задачами «на пятёрку».
Отмечу то, что, несмотря на нестандартность, такие задачи не выходят
за рамки школьной программы, поскольку могут быть решены школьными
методами. Другое дело, что бывает крайне трудно за ограниченное время
найти решение.
Каждый год предметные комиссии придумывают задачи, решение
которых требует принципиально нового подхода, так что исчерпать все типы
таких задач просто невозможно. Зато возможно набраться опыта в решении
подобных задач и, по крайней мере, не впадать в панику, если вдруг такая
задача попадётся на экзамене. Я изучила некоторые методы, которые помогут
если не решить, то хотя бы упростить задачу. Методы следующие: метод
мажорант, функционально-графический метод, метод удачной подстановки
или группировки, геометрический подход.
Тема: «Использование
свойств
элементарных
функций
при
решении
уравнений и неравенств».
Цель:
проверка, оценка и коррекция знаний, умений и навыков учащихся, связанных с числовыми
функциями,
графиками
функций,
преобразованиями
графиков,
элементарным
исследованием функций (чётность, нечётность, периодичность, монотонность, промежутки
знакопостоянства функции, точки экстремума).
Проверка знания учащимися фактического материала, умения объяснять сущность
основных понятий осуществляется в процессе беседы с последующим выполнением
заданий.
10
Задание №1.
Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечётной, периодической с
периодом 4 и на промежутке  2  х  0 её значения вычисляются по правилу
2 f (3  x)  3
f ( x)  2 x( x  2) . Решить уравнение
 x 3
f   2
 2 4
 0.
Решение:
Известно, что:
1. D(f)=R.
2. f(x)=- f(-x) на D(f), f(x)-нечётная функция.
3. T=4, f(x)-периодическая функция.
4. При x   2;0 f ( x)  2x( x  2). В силу нечётности функции f(x), она задаётся на
отрезке
0;2
формулой
f ( x)   f ( x)  2( x)(  x  2)  2 x(2  x).
Построив
график данной функции на отрезке  2;2, продолжим его на всю числовую ось,
используя то, что функция f(x) – периодическая, с периодом 4.
Теперь перейдём к решению уравнения.
  x 3
 f     2  0;
 2 4
Область допустимых значений уравнения: 
 f  x  3   0;
  2 4 

2 f (3  x)  3
 x 3
f   2
 2 4
 0  2 f (3  x)  3  0  f (3  x) 
3
.
2
11
Обозначим  3  x  t и решим уравнение f (t ) 
при t   2;0 , то можно считать, что
4t 2  8t  3  0; t1 
t1 
имеют вид
t  0;2 . Тогда
f (t )  2t 2  t  
3
2
или
1
3
, t 2  . В силу периодичности f (t ) с периодом T=4 общие решения
2
2
1
3
 4k , t 2   4n, k , n  Z .
2
2
Теперь можно найти
 3  x1 
3
при t   2;2. Так как f (t )  0
2
х:
1
7
3
9
 4k , x1    4k ;  3  x2   4n, x2    4n, k , n  Z .
2
2
2
2
Проверим, входят ли эти решения в ОДЗ. Для этого решим второе неравенство и для
найденных значений х проверим выполнение первого условия системы.
Для первой серии решений имеем
x1 3
7 3
     2k  1  2k . Из второго
2 4
4 4
неравенства следует, что k - нечётно, т.е. k  2l  1, l  Z , но f (1  4l )  f (1)  2 , т.е. первая
серия не входит в ОДЗ. Аналогичные рассуждения проводим для второй серии решений,
здесь получаем
ОДЗ.
С
x2 3
9 3
3
     2n    2n , и убеждаемся, что эта серия входит в
2 4
4 4
2
учётом
второго
x2 3
3
1
    2  4k   4k ,
2 4
2
2
x2  
неравенства,
причём
получаем,
что
1

1 3
f   4k   f     2 .
2

2 2
n  2k  1
Легко
и
найти
1
 8k , k  Z .
2
Ответ: 
1
 8k , k  Z .
2
Задание №2.
Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечётной, периодической с
периодом 4 и на промежутке  2  х  0 её значения вычисляются по правилу
f ( x)  3 x( x  2) . Решить уравнение
3 f (5  x)  5
 x 2
f   3
 2 3
0.
12
Ответ: 
2
 8k , k  Z .
3
Задание №3.
Функция f (x) определена на всей числовой прямой, является нечётной, периодической с
периодом 4 и на промежутке
0  x  2 её значения вычисляются по правилу
f ( x)  1  x  1. Решить уравнение 2 f ( x)  f ( x  8)  5 f ( x  12)  2  0.
Ответ: 
3
1
 4n,   4k ; n, k  Z .
2
2
Задание №4.
Покажите, что функции f ( x)  x 2  x  1, x 
решите уравнение x 2  x  1 
1
3
1
и g ( x)   x  взаимно обратные, и
2
2
4
1
3
 x .
2
4
Решение:
2
1
3

1

функция y  x  x  1   x    возрастает при х   ;  , причём, при изменении
2
4

2

2
3

3

x в указанном промежутке у   ;  . Следовательно, в промежутке  ;  определена
4

4

обратная
функция
x   ( y ), при x 
(согласно
теореме
существовании
обратной
функции)
1
2
, которая находится из уравнения y  x  x  1 . Решая уравнение
2
относительно x , получаем x   ( y) 
y  g ( x) 
о
1
3
 y  . Заменяя х на у и у на х, получим
2
4
1
3
 x  , что и требовалось доказать.
2
4
Решим уравнение
x2  x 1 
1
3
 x  . Так как графики прямой и обратной
2
4
функций могут пересекаться только на прямой y  x , то решая уравнение x 2  x  1  x ,
находим x  1.
13
Задание №5.


Найти все числа k для которых функция у( x)  k 2 sin x  cos 2 x  1 не принимает значений,
больших 3.
Ответ:  3;1
Решение:
Рассмотрим
функцию
f ( x)  2 sin x  cos 2 x  1  sin x  1  3,
2
 
f max  f    3,
2
 
f min  f     1.
 2
Требование kf x  3 для всех х: а) при k  0 означает k  f max  3  3k  3  k  1; б) при
k  0 выполняется автоматически; в) при k  0 равносильно требованию  k    f x  3
для всех х то есть  k    f min   3  k 1  3  k  3. Собираем полученные значения
0  k  1
 3  k  1.
k вместе: k  0
 3  k  0
Задание №6.
Известно, что y  5x  2  5x  3. Найти min x  y .
Ответ:
23 .
5
2

 x   5  y  5 x  2  5 x  3  10 x  1

2
3
Решение:   x   y  5 x  2  5 x  3  5
, построив данную совокупность, легко
 5
5

 x  3  y  5 x  2  5 x  3  10 x  1
5

 2 
видеть, что минимум х+у достигается в точке с координатами   ;5  . Следовательно,
 5 
2
23
min( x  y )    5 
.
5
5
Задание №7. Известно, что y   8  4 x  16  4 x . Найти max 5x  y  .
Ответ: 12.
14
Задание №8.
координатной
Множество точек, рас положенных внутри фигуры F, задано на
 10 y  24  y 2 
  0. Множества F(t)
плоскости условием log  x 2 1039  


850

 1147  


получаются из F поворотом вокруг начала координат против часовой стрелки на угол t .
Найти площадь фигуры, образованной точками, каждая из которых при некотором t  0; 
принадлежит множеству F(t).
Ответ: 112  12 3.
Решение: Определим сначала вид фигуры F . Рассмотрим два случая. 1) Если основание
x 2  1039
логарифма меньше 1, то есть 0 
 1, то должно выполняться двойное неравенство
1147
10 y  24  y 2
x 2  1039
справедливо для
0
 1. Так как x 2  1039  0, то неравенство 0 
1147
850
x 2  1039
всех
действительных
х.
Решим
неравенство
 1.
1147
10 y  24  y 2
x 2  1039  1147, x 2  108,  6 3  x  6 3. Неравенство 0 
выполняется при
850
10 y  24  y 2
4  y  6, а неравенство
 1 выполняется при всех действительных у
850
x 2  1039
,поскольку 10 y  24  y 2  850  y 2  10 y  874  ( y  5)2  849  0. 2)
 1, должно
1147
10 y  24  y 2
2
быть
 1  y 2  10 y  874   y  5  849  0, что невозможно. Итак, во
850
втором случае решений нет.
Мы получили, что множество решений данного неравенства совпадает с
внутренностью прямоугольника, ограниченного прямыми x  6 3 , x  6 3 , y  4, y  6.
В процессе вращения против часовой стрелки вокруг начала координат на угол t  
прямоугольник «заметает» фигуру, изображённую на рисунке.
15
Другими словами, эта фигура представляет собой объединение множеств Ft при t  0; .
Её площадь можно найти как сумму площади полукольца AEE1 A1 и удвоенной площади
фигуры
Итак,
AECD.
2



S AEE1 A1  R22  R12   OB 2  BC 2  OA 2    62  6 3  42   64 . Площадь фигуры

2
2
2
AECD равна сумме площадей полусегмента BCE и прямоугольника ABCD. Найдём
площадь
полусегмента
BCE :
2

1
1
6 3 2
1
S BCE  Sсект . EOC  S OBC   OC 2  OB  BC  аrctg
 6  6 3    6  6 3  24  18 3.


2
2
2
6
2
Далее, S AECD  SBCE  S ABCD  24  6 3. Окончательно получаем S  112  12 3.
 
 
Задание №9. Множество точек, расположенных внутри фигуры G, задано на координатной
 x 2  1994 
  0. Множества G(t) получаются из G
плоскости условием log  5 y  y 2  6  


1997 
 1147  


поворотом вокруг начала координат против часовой стрелки на угол t . Найти площадь
фигуры, образованной точками, каждая из которых при некотором t  0;  принадлежит
множеству G(t).
Ответ: 6  3.
Задание №10.
График функции у  f (x) ; где f ( x)  2 x3  8ax 2  4а 2 х  5, а  0, и прямая l , заданная
уравнением y  4a 2 x  5 , имеют ровно две общие точки. 1) Найдите а, если площадь
фигуры, ограниченная графиком функции
у  f (x) и прямой l , равна
27
. 2)
2
Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции у  f (x) в точке
с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу
в точке с наименьшей ординатой. Найти эту ординату.
3
Ответ: а   , уmin  11.
2
Задание №11.
График функции у  f (x) ; где
f ( x)  x 3  2ax 2 
5 2
а х  1,
4
а  0, и прямая
l , заданная
a 2 x , имеют ровно две общие точки. 1) Найдите а, если площадь
1
4
27
фигуры, ограниченная графиком функции
. 2)
у  f (x) и прямой l , равна
4
уравнением
y
Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции у  f (x) в точке
с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу
в точке с наибольшей ординатой. Найти эту ординату.
Ответ: а  3, уmax  9.
16
Задание №12.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у  arcsin 3 x  arccos 3 x .
Решение:
Введем
обозначения
arcsin x   , arccos x   .
 3   3     3  3     
3
8

 
Поскольку

2
,
то
3
 .
2
Наименьшее значение данной функции соответствует наибольшему значению
произведения  . Так как   0 , то наибольшее значение  необходимо искать при

   
.
  0 . В этом случае   0 ,   0 можно записать, что   
 
16
 2 
2
Наибольшее значение  достигается при    
значение исходной функции достигается при x 
1
2

4
2
. Следовательно, наименьшее
и равно
3
3 3  3
.


8
32
32
Наименьшее значение произведения  , где   0 , достигается при условии, что   0 ,
причем необходимо, чтобы абсолютные величины  и  были наибольшими. При x  1
будет   

2
,    . Именно в этой точке произведение  достигает минимума, так
как  принимает минимальное, а  - максимальное из возможных значений. Итак, при
x  1 исходная функция имеет наибольшее значение
Ответ:
 3 7 3
32
;
8
3
8

3 
7 3
  
.
2 2
8
.
Задание №13.
Найти область определения функции y  log 3 sin x .
Решение:
С одной стороны, log 3 sin x  0 , так как sin x  1 , а с другой стороны log 3 sin x  0 , так как
стоит
под
знаком
log 3 sin x  0 , sin x  1 , x 
квадратного

2
корня.
Остаётся
одна
возможность:
 2n, n  Z .
17
Ответ:
 4n  1
2
, nZ .
Задание №14.


Найти область определения функции у  arccos x 2  3x  1  tg 2 x .
Решение:


Чтобы существовал arccos x 2  3x  1 , необходимо и достаточно, чтобы  1  x 2  3x  1  1
, то есть 0  x  1, 2  x  3 .
Из найденных интервалов нужно исключить точки, в которых tg2 x не существует, то есть
числа вида x 

4


2
n, n  Z . Два из этих чисел: x 

4
и x
3
лежат в найденных
4
интервалах.
       3
Ответ: x  0;    ;1  2;
 4 4   4
  3 
   ;3.
  4 
Задание №15.
Доказать, что функция y  cos x 2 не является периодической.
Решение:
найдем корни функции cos x 2
x2 

2
2n  1,
x  
2n  1
, n  0, 1, 2,...
2
Рассмотрим положительные корни xn   
2n  1
.
2
Предположим, что T  0 - период функции. Тогда, если при x  x1 функция равна нулю, то
и при x  x1  T она тоже равна нулю, то есть x1  T  xm . Аналогично x2  T  xk . Вычитая
одно равенство из другого, получим
 5
 2k  1
3
2m  1 
 
 , то есть





2
2
2
2




 
5  3  2k  1  2m  1 . Возведем в квадрат:
вторичного
возведения
k  m  32  15  2k  m  3
в
15  k  m  3 
2k  12m  1 . После
квадрат
получим
15  2k  12m  1 .
18
15 k  m  3  0 , так как все остальные его
Это равенство возможно лишь при
элементы – целые.
Однако числа k и m выбраны так, что k  3 и m  2 , то есть k  m  3 .
Что и требовалось доказать.
Тема: «Решение уравнений и систем уравнений».
Задание №16.
Сколько решений системы уравнений
  y  1
   x  2
3tg
 tg
 3 1

удовлетворяют

12
4

9tg   x  2   2tg   y  1  3 3  2


12
4
условию x2  y 2  4 3x  7 y  33 ?
Ответ: 10 решений.
Задание №17.
Сколько решений системы уравнений
 1   x  1
  y  2
3
 tg

1
 tg
удовлетворяют
3
3
4
3

3tg   x  1  tg   y  2   3 3  1

3
4
условию x2  y 2  10x  2 y  17 ?
Ответ: 3 решения.
   y  2
 x  1 
tg

1
  n
 x  2  3n

 3
4
3



Решение:    x  1
 y  1  4k
  y  2     k
tg
 3

 4
3
4
x 2  y 2  10 x  2 y  17  x  5   y  1  9 - круг, с центром 5;1 и радиусом 3 .
2
Отсюда
2
 x  52   y  12  9

. Построив данный круг и отметив точки, перебирая n и
 x  2  3n, n  Z
 y  1  4k , k  Z

k, убеждаемся, что три решения системы уравнений удовлетворяют плоскости круга.
Задание №18.
Решить уравнение tgctgx  ctgtgx .
Решение:


ctgx  2n  1 ; n  z
2

tgx  m ; m  z
ОДЗ:
19
1

ctgx  n  ;
2

tgx  m
1

ctgx  n 
2

tgx  m
ctgx 

2
m, n  Z
.
1
1
  tgx  k ,
tgx 2
 tgx  k ;
k Z
;
1

tg 2 x   k  tgx  1  0
2

, так как tgx  0 и ctgx  0 не являются корнями
tg1, 2 x 
2k  1 
4k 2  4k  15
28
; 4k 2  4k  15  0 ; k1, 2 
.
4
4
Теперь необходимо
 5 3
  ; ; т.е. k  2 ;1; 0 ;1
исключить целые k, лежащие в промежутке  2 2 
Заметим, что если
одна из частей данного уравнения обращается в бесконечность, то и вторая должна быть
бесконечностью, то есть достаточно проверить, чтобы tgx  m , где m Z . Чтобы k было
целым, необходимо, чтобы m  2 . При этом получаем k  2 ; k  3 .


k2 ;
tgx1, 2
k  3 ;
Ответ: xk ,n 

53
;
4
tgx1  2
(не подходит),
tgx1, 2   5  3 ; tgx1  2
4
(не подходит)
n  arctg 2k  1  4k 2  4k  15
x n  n  arctg
4
tgx2  1
2
tgx2

1
2.
, где n, k  Z , k  0;1;2;3 ;
1
, где n  Z .
2
Задание№19.
Решить уравнение 3tgtgx  cos tgx  4ctgx  3ctgx4ctgx.
Ответ:
xk ,n  n  arctg
1  2k 
1  2k 2  64
4
k  0;1;2;3 ; xn  n  arctg
n, k  Z ,
1
, n  Z.
2
20
Тема: «Решение неравенств».
Задание№20.
 x
arccos  
 4 .
x 3  5 x  3
Решить неравенство

Решение:
Для того чтобы подступиться к этому неравенству, посмотрим, как ведут себя функции в
 x
arccos  
 4 .
3
его левой и правой частей f1 ( x) 
x  3  5  x , f 2 ( x) 
Поскольку должно быть  1  
x
 1 , то  4  x  4 . На отрезке
4

arccos 


 4;4
функция
x
 монотонно возрастает, поэтому функция f 2 ( x) монотонно убывает на этом
4
отрезке. Отсюда следует, что наименьшее значение функции f 2 ( x) достигается в точке
x  4 ; при этом f 2 (4)  2 . Таким образом, правая часть неравенства больше или равна 2.
С другой стороны, покажем, что функция f1 ( x) , определённая на отрезке 3;5, не
превосходит
'
f 1 ( x) 
1
2 x3
Действительно,
2.

1
2 5 x

5 x  x3
2 x3 5 x
найдём
критические
точки
f 1 ( x) :
.
f1 ( x)  0  5  x  x  3  0, x  3;5  x  4.
'
В критической точке x  4 функция f1' ( x). меняет знак с плюса на минус, следовательно,
функция f1 ( x) достигает максимума в точке x  4 и f1 (4)  2 .
Итак, мы показали, что для всех допустимых значений x : 2  f 2 ( x)  f1 ( x)  2 , при
этом равенства достигаются лишь в точке x  4 . Отсюда следует, что у исходного
неравенства лишь одно решение x  4 .
Ответ: x  4 .
Задание №21.
Решить неравенство arctg x  arccos1  x  .
21
Решение:
Если 1  x  0 , то неравенство не выполняется, так как arccos1  x  
время как arctg x всегда меньше
интервале от 0 до
2
, если 1  x  0 , в то

. При 1  x  0 обе части неравенства оказываются в
2

, где все тригонометрические функции монотонны.
2
 
Так как косинус в 0; 
 2


убывает, то данное неравенство равносильно такому:

cos arctg x  cosarccos1  x  .
Чтобы arccos1  x существовал, необходимо 1  x  1, а так как мы рассматриваем случай
1  x  0 , то получим 0  x  1 .
 1
 1  x,

cos arctg x 

  1 x
1 x
1  tg 2 arctg x
0  x  1.



1

1

1  1  x 2 1  x ,
 x 3  x 2  x  0,
Так как 0  x  1 , то 
 
 решений нет.
0  x  1,
0  x  1,
Ответ: нет решений.
Задание №22.


arccos x 2  3x  2
0
8 x 2  10 x  3
Решить неравенство
.
Ответ:
3  5   x  1 ,
2
2


3
3 5
x
.
4
2
Задание №23.




Решить неравенство 4 x  x 2  3 log 2 cos 2 x  1  1 .
Решение:
так как
cos 2 x  1  1,
то второй сомножитель неотрицателен при всех значениях х.
Неравенство выполняется лишь при положительном значении сомножителей. Один из них
при этом должен быть не меньше 1. Однако второй не превышает 1. Для первого множителя
2
условие 4 x  x 2  3  1 равносильно требованию   х  2   0 , что возможно лишь при
22
х  2 . Одновременно должно выполняться неравенство log 2 cos 2 x  1  1 , которому
удовлетворяют числа x  n (n  Z ) . Из них выбираем то, которое обеспечивает равенство
единице первого сомножителя.
Ответ: х  2 .
23
Заключение.
В заключение проделанной мною работы можно сделать следующие выводы,
основанные на собственном опыте, на опыте моих коллег:
1.
Задания подобного вида позволяют повторить программный материал на более
высоком теоретическом и практическом уровне.
2.
У
учащихся
формируются
исследовательские
навыки,
определённая
сообразительность, свободное владение различными разделами математики,
высокая логическая культура, психологическая подготовленность к решению
сложных задач.
3.
Помимо необходимого объёма информации и технических навыков, учащиеся
овладевают
культурой
математических
рассуждений,
то
есть
учатся
самостоятельно пользоваться известными им методами в нестандартных
ситуациях.
Я надеюсь, что данное пособие принесёт несомненную пользу, как ученикам, так и
учителям,
желающим
повысить
свою
квалификацию
в
области
решения
математических задач.
Задачи данного пособия расширяют возможности учащихся в решении задач,
содействуют развитию мыслительных способностей. Задачи нацелены на выявление и
развитие творческого потенциала школьников.
24