Документ 430552

ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
5.4.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
И ФИЗИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №1
1. Составить уравнение касательной к параболе
пересечения с осью ОХ.
y  x 2  4 x в точках
t3
2. Тело движется по прямой ОХ по закону x   2 t 2  3t . Определить
3
скорость и ускорение движения. В какие моменты тело меняет направление?
3. Имеется 200 метров железной решетки, которой надо огородить с трех
сторон площадку, примыкающую четвертой стороной к длинной каменной
стене. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы она имела
наибольшую площадь?
Вариант №2
1. Составить уравнение нормали к окружности x 2  y 2  2 x  4 y  3  0 в
правой точке пересечения ее с осью ОХ.
2. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за t сек.
поворачивается на угол   а  bt  ct 2 , где а, в, с – положительные
постоянные. Определить угловую скорость и ускорение вращения. Когда
колесо остановится?
3. Кровельщику надо сделать открытый желоб, поперечное сечение которого
имеет форму равнобочной трапеции. Как дно, так и бока желоба имеют
ширину 10 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он
вмещал наибольшее возможное количество воды?
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №3
1. Составить уравнение касательной к циклоиде Х  t  sin t , Y  1  cos t в
точке, где t 

2
.
2. Зависимость между количеством х вещества, получаемого в некоторой
химической реакции и временем t выражается уравнением X  A(1  e kt ) .
Определить скорость реакции.
3. Консервная коробка цилиндрической формы с дном и крышкой должна
вмещать V см в кубе. Каковы должны быть размеры коробки, чтобы на ее
изготовление пошло наименьшее количество материала?
Вариант №4
1. В какой точке параболы y  2 x 2  3 x  4 касательная перпендикулярна
прямой 2 x  3 y  4  0 .
2. Тело движется прямолинейно так, что S 2  5t . Определить ускорение
движения в конце 5 секунды.
3. Бак без крышки с квадратным основанием должен вмещать V литров воды.
Каковы должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление было
затрачено наименьшее количество материала?
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №5
1. В какой точке эллипса
коэффициент, равный (-2)?
9 x 2  4 y 2  36
касательная имеет угловой
2. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону
2
x  A sin  t . Определить скорость и ускорение движения точки при t 
.

3. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытый
сверху ящик. Для этой цели по углам листа вырезают равные квадраты и
образовавшиеся края загибают сверху. Какого размера следует сделать
вырезы, чтобы полученный ящик имел наибольшую вместимость?
Вариант №6
1. На окружности x 2  y 2  25 найти точки, где касательная параллельна
прямой 3 x  4 y  12  0 .
2. Тело движется по параболе y  5  x 2 так, что ее абсцисса изменяется с
течением времени t по закону x  at 2 . С какой скоростью изменяется
ордината точки.
3. Полотняный шатер объемом V имеет форму прямого кругового конуса.
Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы
на шатер ушло наименьшее количество полотна?
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №7
1. Составить уравнение касательной к эллипсу X  2 cost , Y  3 sin t в точке,
где t 

6
.
2. Движение точки по оси
Ох определяется формулой X  (t  2) 2 e  t .
Определить скорость движения точки.
3. Из полосы жести шириной 60 см, требуется сделать открытый сверху
желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции.
Дно желоба должно иметь ширину 10 см. Каков должен быть угол,
образуемый стенками желоба с дном, чтобы он вмещал наибольшее
количество воды?
Вариант №8
1. На кривой y  x  x найти точки, где касательная параллельна оси Ох.
2. Точка массы m колеблется по оси Ох так, что в момент времени t ее
отклонение х от положения равновесия определяется уравнением
х  Аe  at cos( at  b) . Найти скорость движения точки.
3. Стрела прогиба балки прямоугольного поперечного сечения обратно
пропорциональна произведению ширины этого сечения на куб его высоты.
Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого
бревна диаметром d, с наименьшей стрелой прогиба (наибольшей
жесткости)?
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №9
1. Составить уравнение нормали к кривой y 
8
в точке х=2.
4  x2
2. Точка движется прямолинейно так, что V 2  2ax , где V – скорость, х –
пройденный путь, а =const. Найти ускорение движения.
3. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб
пропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат его
высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из
круглого бревна диаметром d, чтобы ее сопротивление на изгиб было
наибольшим?
Вариант №10
1. Составить уравнение касательной
пересечения ее с осью Ох.
к
кривой
y 2  (4  x ) 3
в
точке
2. Тело массой в 3 кг движется прямолинейно по закону S  2  t 2  4t 3 ,
mv 2
определить кинетическую энергию
тела через 5 секунд после начала
2
движения.
3. На верхнее основание прямого кругового цилиндра поставлен прямой конус
с таким же основанием. Высота конуса равна радиусу основания. Сумма
боковых поверхностей цилиндра и конуса равна 625 см. Когда объем тела,
составленного цилиндром и конусом, будет наибольшим?
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №11
1. В какой точке параболы y  x 2  2 x  5 нужно провести касательную,
чтобы она была перпендикулярна к биссектрисе первого координатного
угла?
2. Зависимость количества вещества, получаемого в химической реакции, от
времени t определяется формулой Q  a (1  be  mt ) . Определить скорость
и ускорение реакции.
3. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка вместимости
V будет иметь наименьшую полную поверхность?
Вариант №12
1. Составить уравнение нормали к кривой y  ln x в точке пересечения ее с
осью Ох.
2. Угол
 , на который поворачивается колесо через t сек., равен
2
  at  bt  c , где а, в, с – положительные постоянные. Найти угловую
скорость движения колеса. Через сколько времени угловая скорость будет
равна 0?
3. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, который можно
вписать в эллипс с осями 2а и 2в.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №13
1. Составить уравнение касательной к кривой
пересечения ее с осью Оу.
y  1 ex/2
в точке
2. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента
времени t=0, дается формулой Q  2 t 2  3t  1 (кулонов). Найти силу тока в
конце 5-ой секунды.
3. Через точку А(3;5) провести прямую с отрицательным угловым
коэффициентом так, чтобы S – площадь треугольника, образованного ею с
осями координат, была наименьшей.
Вариант №14
1. В какой точке касательная к параболе y 2  3 x параллельна хорде,
соединяющей точки А(-1;1) и В(3;9)?
2. Угол поворота шкива в зависимости от времени t
α  3t 2  5 t  3 . Найти угловую скорость при t=5 сек.
задан функцией
3. Каковы должны быть размеры открытого чана цилиндрической формы при
заданной емкости V, чтобы на изготовление его было затрачено наименьшее
количество материала?
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №15
1. Составить уравнение касательных к эллипсу 2 x 2  3 y 2  11 в точке с
абсциссой х=1.
2. Точка движется по прямой так, что расстояние S от начального пункта
1
через t секунд равно S  t 4  4 t 3  16 t 2 . Найти скорость и ускорение
4
движения. В какой момент скорость равна 0?
3. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом.
Периметр сечения тоннеля а метров. При каком радиусе полукруга
площадь сечения будет наибольшей?
Вариант №16
1. На окружности
прямой y=x.
x 2  y 2  16 найти точки, где касательная параллельна
2. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону
x  A cos t . Определить скорость и ускорение движения точки при t 

10
.
3. Из трех досок одинаковой ширины а см, сколачивается желоб. При каком
угле наклона боковых стенок площадь сечения желоба будет наибольшей?
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №17
1. В какой точке параболы
прямой 3 x  y  4  0 .
y  3 x 2  5 x  1 нормаль перпендикулярна
t3
 2 t 2  3t . Определить
3
скорость и ускорение движения. В какие моменты тело меняет направление?
2. Тело движется по прямой ОХ по закону x 
3. Имеется 400 метров железной решетки, которой надо огородить с трех
сторон площадку, примыкающую четвертой стороной к длинной каменной
стене. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы она имела
наибольшую площадь?
Вариант №18
1. Составить уравнение нормали к окружности x 2  y 2  2 x  4 y  3  0 в
правой точке пересечения ее с осью ОХ.
2. Зависимость между количеством Х вещества, получаемого в некоторой
химической реакции и временем t выражается уравнением X  A(1  e kt ) .
Определить скорость реакции.
3. Бак без крышки с квадратным основанием должен вмещать V литров воды.
Каковы должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление было
затрачено наименьшее количество материала?
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №19
1. Составить уравнение касательной к циклоиде Х  t  sin t , Y  1  cos t в
точке, где t 

2
.
2. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за t сек.
поворачивается на угол   а  bt  ct 2 , где а, в, с – положительные
постоянные. Определить угловую скорость и ускорение вращения. Когда
колесо остановится?
3. Консервная коробка цилиндрической формы с дном и крышкой должна
вмещать V см в кубе. Каковы должны быть размеры коробки, чтобы на ее
изготовление пошло наименьшее количество материала?
Вариант №20
1. В какой точке параболы y  2 x 2  3 x  4 касательная перпендикулярна
прямой 2 x  3 y  4  0 .
2. Тело движется прямолинейно так, что S 2  5t . Определить ускорение
движения в конце 7 секунды.
3. Кровельщику надо сделать открытый желоб, поперечное сечение которого
имеет форму равнобочной трапеции. Как дно, так и бока желоба имеют
ширину 20 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он
вмещал наибольшее возможное количество воды?
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №21
1. В какой точке эллипса
коэффициент, равный (-2)?
9 x 2  4 y 2  36
касательная имеет угловой
2. Тело движется по параболе y  5  x 2 так, что ее абсцисса изменяется с
течением времени t по закону x  at 2 . С какой скоростью изменяется
ордината точки.
3. Полотняный шатер объемом V имеет форму прямого кругового конуса.
Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы
на шатер ушло наименьшее количество полотна?
Вариант №22
1. Составить уравнение касательной к эллипсу X  2 cost , Y  3 sin t в точке,
где t 

6
.
2. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону
2
x  A sin  t . Определить скорость и ускорение движения точки при t 
.

3. Стрела прогиба балки прямоугольного поперечного сечения обратно
пропорциональна произведению ширины этого сечения на куб его высоты.
Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого
бревна диаметром d, с наименьшей стрелой прогиба (наибольшей
жесткости)?
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №23
1. На окружности x 2  y 2  25 найти точки, где касательная параллельна
прямой 3 x  4 y  12  0 .
2. Точка массы m колеблется по оси Ох так, что в момент времени t ее
отклонение х от положения равновесия определяется уравнением
х  Аe  at cos( at  b) . Найти скорость движения точки.
3. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытый
сверху ящик. Для этой цели по углам листа вырезают равные квадраты и
образовавшиеся края загибают сверху. Какого размера следует сделать
вырезы, чтобы полученный ящик имел наибольшую вместимость?
Вариант №24
1. На кривой y  x  x найти точки, где касательная параллельна оси Ох.
2. Движение точки по оси
Ох определяется формулой X  (t  2) 2 e  t .
Определить скорость движения точки.
3. Из полосы жести шириной 60 см, требуется сделать открытый сверху
желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции.
Дно желоба должно иметь ширину 10 см. Каков должен быть угол,
образуемый стенками желоба с дном, чтобы он вмещал наибольшее
количество воды?
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №25
1. Составить уравнение касательной к кривой
пересечения ее с осью Оу.
y  1 ex/2
2. Угол поворота шкива в зависимости от времени t
α  3t 2  5 t  3 . Найти угловую скорость при t=8 сек.
в точке
задан функцией
3. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом.
Периметр сечения тоннеля c метров. При каком радиусе полукруга
площадь сечения будет наибольшей?
Вариант №26
1. В какой точке касательная к параболе y 2  3 x параллельна хорде,
соединяющей точки А(-1;1) и В(3;9)?
2. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента
времени t=0, дается формулой Q  2 t 2  3t  1 (кулонов). Найти силу тока в
конце 6-ой секунды.
3. Из трех досок одинаковой ширины b см, сколачивается желоб. При каком
угле наклона боковых стенок площадь сечения желоба будет наибольшей?
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №27
1. На окружности
прямой y=x.
x 2  y 2  16 найти точки, где касательная параллельна
2. Точка движется по прямой так, что расстояние S от начального пункта
1
через t секунд равно S  t 4  4 t 3  16 t 2 . Найти скорость и ускорение
4
движения. В какой момент скорость равна 0?
3. Через точку А(3;5) провести прямую с отрицательным угловым
коэффициентом так, чтобы S – площадь треугольника, образованного ею с
осями координат, была наименьшей.
Вариант №28
1. Составить уравнение касательных к эллипсу 2 x 2  3 y 2  11 в точке с
абсциссой х=1.
2. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону
x  A cos t . Определить скорость и ускорение движения точки при t 

10
.
3. Каковы должны быть размеры открытого чана цилиндрической формы при
заданной емкости V, чтобы на изготовление его было затрачено наименьшее
количество материала?
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления
Вариант №29
1. Составить уравнение нормали к кривой y 
8
в точке х=2.
4  x2
2. Зависимость количества вещества, получаемого в химической реакции, от
времени t определяется формулой Q  a (1  be  mt ) . Определить скорость
и ускорение реакции.
3. На верхнее основание прямого кругового цилиндра поставлен прямой конус
с таким же основанием. Высота конуса равна радиусу основания. Сумма
боковых поверхностей цилиндра и конуса равна 625 см. Когда объем тела,
составленного цилиндром и конусом, будет наибольшим?
Вариант №30
1. Составить уравнение нормали к кривой y  ln x в точке пересечения ее с
осью Ох.
2. Тело массой в 5 кг движется прямолинейно по закону S  2  t 2  4t 3 ,
mv 2
определить кинетическую энергию
тела через 3 секунды после начала
2
движения.
3. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка вместимости
V будет иметь наименьшую полную поверхность?