Дискретная математика

Аннотация рабочей программы
Дискретная математика
Дискретная математика – раздел прикладной математики, бурно развивающийся в
последние годы и являющийся базой для математической кибернетики. При изучении
данного предмета необходимо широко использовать современные методы и средства
обучения, обеспечить реализацию внутрипредметных и межпредметных связей.
Текущий контроль проводится при выполнении практических заданий по каждому
разделу в виде самостоятельных работ. Итоговый контроль осуществляется в виде
контрольной работы.
Самостоятельная работа студентов планируется в виде домашней работы по темам
программы, а также в виде выполнения рефератов по разделам.
Для проверки и оценки знаний студентов предусмотрены итоговые самостоятельные
работы, контрольные задания и экзамен. Текущий контроль осуществляется путем опроса по
материалам предыдущих тем. Также текущий контроль осуществляется посредством выставления
рейтинговой оценки.
В результате изучения дисциплины студент должен
иметь представление:



знать:
о предметах и задачах дисциплины «Дискретная математика»;
об основных направлениях развития дискретной математики;
о роли дискретной математики в профессиональной деятельности;





уметь:
основные понятия математической логики;
основные понятия теории множеств;
основные понятия теории графов;
простейшие криптографические шифры;
элементы теории автоматов;

применять полученные знания на практике.
Содержание учебной дисциплины
Введение
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:



знать:
о предметах и задачах дисциплины «Дискретная математика»;
об основных направлениях развития дискретной математики;
о роли дискретной математики в профессиональной деятельности;
 базовые понятия математики;
 историю развития математики;
 предпосылки возникновения дискретной математики;
Содержание предмета «Дискретная математика», его значение для подготовки специалиста
среднего звена, взаимосвязь с другими предметами учебного плана.
Базовые понятия математики, на которые опирается дискретная математика, история
развития математики, предпосылки возникновения и истоки развития дискретной математики.
Раздел 1. Алгебра логики. Булевы функции
Тема 1.1. Высказывания и операции над ними. Таблица истинности
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:


знать:
о сути высказываний;
об основных операциях над высказываниями;
 основные понятия алгебры высказываний;
 основные логические операции;
 таблицы истинности основных логических операций;
уметь:
 строить таблицы истинности логических операций.
Истинное и ложное высказывания. Логические операции: отрицание, конъюнкция,
дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Дополнительные операции: штрих Шеффера, стрелка
Пирса, сложение по модулю два. Таблица истинности.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям . Подготовка к
практической работе
Практическая работа №1
Тема: «Построение таблиц истинности».
Тема 1.2. Формулы. Классификация формул алгебры высказываний
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:


знать:
об алгебре высказываний;
о формулах алгебры высказываний;




уметь:
понятие тавтологии;
понятие противоречия;
понятие выполнимой формулы;
понятие опровержимой формулы;
 классифицировать формулы.
Формулы алгебры высказываний. Построение таблиц истинности для заданных формул.
Выполнимые и опровержимые формулы. Тавтология и противоречие.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 1.3. Булевы функции. Суперпозиция булевых функций
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:


знать:
об алгебре логики;
о функциях алгебры логики;






уметь:
основные понятия алгебры логики;
способы задания логической функции;
понятие базиса;
элементарные функции алгебры логики;
понятие фиктивной переменной;
понятие суперпозиции булевых функций;
 строить базис;
 строить суперпозицию булевых функций;
 строить функцию, двойственную данной.
Функция алгебры логики (логическая функция). Способы задания логической функции.
Базис. Элементарные функции алгебры логики (логические связки) двух переменных. Теорема о
числе булевых функций от n переменных. Фиктивная переменная. Суперпозиция булевых
функций. Двойственные булевы функции. Принцип двойственности.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 1.4. Элементарные конъюнкции и дизъюнкции и их свойства
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
об элементарных конъюнкциях и дизъюнкциях;
 свойства элементарной конъюнкции;
 ранг элементарной конъюнкции;
 свойства элементарной дизъюнкции.
Булева переменная. Булева константа. Понятие элементарной конъюнкции. Свойства
элементарной конъюнкции. Ранг элементарной конъюнкции. Понятие элементарной дизъюнкции.
Свойства элементарной дизъюнкции.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 1.5. Эквивалентность и преобразование формул
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
об эквивалентности;




уметь:
теоремы эквивалентности;
основные свойства логических операций;
порядок построения приведенной формулы;
принцип двойственности;
 применять свойства логических операций для преобразования формул;
 строить приведенные формулы.
Понятие эквивалентности формул. Теоремы эквивалентности. Свойства логических
операций. Преобразование формул. Приведенная формула. Порядок построения приведенной
формулы.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям . Подготовка к
практической работе
Практическая работа №2
Тема: «Эквивалентные преобразование формул».
Тема 1.6. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы. Тупиковые формы
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
о нормальных и тупиковых формах;
 теоремы о существовании ДНФ и КНФ;
 методы приведения формулы к ДНФ и КНФ;
 методы построения тупиковых форм;
уметь:
 строить СДНФ и СКНФ для заданных формул.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ). Конъюнктивная нормальная форма (КНФ).
Теорема о существовании КНФ и ДНФ.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Совершенная конъюнктивная
нормальная форма (СКНФ). Теоремы об СКНФ И СДНФ. Тупиковые формы.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 1.7. Алгоритмы построения совершенных нормальных форм
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
о возможностях построения совершенных нормальных форм;
 алгоритм построения СКНФ и СДНФ с помощью эквивалентных преобразований;
 алгоритм построения СКНФ и СДНФ с помощью таблицы истинности;
уметь:
 строить СДНФ и СКНФ для заданных формул.
Алгоритмы построения СДНФ и СКНФ с помощью таблицы истинности. Построение СДНФ и
СКНФ методом эквивалентных преобразований.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям . Подготовка к
практическим работам
Практическая работа №3
Тема: «Построение
преобразований».
совершенных
нормальных
форм
методом
эквивалентных
Практическая работа №4
Тема: «Построение совершенных нормальных форм с помощью таблиц истинности».
Тема 1.8. Полином Жегалкина. Алгоритмы построения полиномов Жегалкина
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:


уметь:
о полиномах;
алгоритм построения полинома Жегалкина с помощью эквивалентных
преобразований;
алгоритм построения полинома Жегалкина с помощью таблицы истинности;
 строить полином Жегалкина для заданных формул.
Понятие полинома Жегалкина. Теорема о существовании и единственности полинома
Жегалкина. Алгоритмы построения полинома Жегалкина с помощью таблицы истинности.
Построение полинома Жегалкина методом неопределенных коэффициентов.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям . Подготовка к
практической работе
Практическая работа №5
Тема: «Построение полинома Жегалкина методом неопределенных коэффициентов».
Практическая работа №6
Тема: «Построение полинома Жегалкина методом эквивалентных преобразований».
Тема 1.9. Операция замыкания. Основные замкнутые классы То, Т1, S, М, L
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
об операции замыкания;
 понятие замыкания;
 свойства операции замыкания;
 основные замкнутые классы;
уметь:
 определять принадлежность функции к основным замкнутым классам.
Замыкание множества. Свойства операции замыкания. Замкнутые множества. Основные
замкнутые классы То, Т1, S, М, L. Мощность множества. Понятие самодвойственной функции.
Понятие монотонной функции. Понятие линейной функции. Условия принадлежности функции
основным замкнутым классам.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 1.10. Полные системы операций
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:


знать:
о системах операций;
о полноте системы;
 понятие полной системы;
 теорему Поста;
уметь:
 исследовать систему функций на полноту.
Понятие полной системы. Необходимое и достаточное условие полноты системы булевых
функций (теорема Поста).
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям . Подготовка к
практической работе
Практическая работа №7
Тема: «Исследование системы булевых функций на полноту».
Раздел 2. Основы теории множеств
Тема 2.1. Основные положения
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
о множествах;
 основные понятия теории множеств;
 способы представления множеств;
 понятие пустого множества.
Множество. Подмножество. Элемент множества. Равные множества. Пустое множество.
Конечные, счетные, континуальные множества. Способы представления множеств.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 2.2. Теоретико-множественные операции и их связь с логическими операциями
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
о связи теоретико-множественных и логических операций;






уметь:
основные операции над множествами;
понятие диаграммы Эйлера – Венна;
свойства операций над множествами;
понятие функции принадлежности;
понятие вектора;
прямое произведение множеств;
 строить диаграммы Эйлера – Венна для заданного равенства;
 определять значения функции принадлежности для заданных операций;
 строить прямое произведение заданных множеств.
Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение (разность).
Абсолютное дополнение. Диаграммы Эйлера – Венна. Изображение операций над множествами с
помощью диаграмм Эйлера – Венна. Свойства операций над множествами. Функция
принадлежности. Определение значений функции принадлежности для заданных операций.
Векторы. Прямое произведение множеств.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям . Подготовка к
практической работе .
Практическая работа №8
Тема: «Операции над множествами и их представление в виде диаграмм Эйлера – Венна».
Раздел 3. Основы комбинаторики
Тема 3.1. Основные правила комбинаторики
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:



о разделе математики – комбинаторика;
основные понятия комбинаторики;
основные правила комбинаторики;
понятие упорядоченного множества.
Комбинаторика. Основные правила. Упорядоченные
перечисление основных комбинаторных объектов.
множества.
Алгоритмическое
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям . Подготовка реферата на
тему: «Этапы жизни великих математиков: Дж. Буль, Пост, Жегалкин, Эйлер, Форд» (2,6 ч).
Тема 3.2. Размещения, перестановки и сочетания
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
о способах подсчета элементов множества;






уметь:
понятие размещения;
формулу для вычисления числа размещений;
понятие перестановки;
формулу для вычисления числа размещений;
понятие сочетания;
формулу для вычисления числа сочетаний;
 вычислять число размещений, перестановок и сочетаний.
Размещения. Формула для вычисления числа размещений. Перестановки. Формула для
вычисления числа перестановок.
Сочетания. Формула для вычисления числа сочетаний и ее основные свойства.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям . Подготовка к
практической работе .
Практическая работа №9
Тема: «Вычисление числа размещений, перестановок и сочетаний».
Тема 3.3. Метод математической индукции
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:


знать:

о дедукции и индукции;
об областях применения математической индукции;
понятие полной индукции;
 теорему о доказательстве методом математической индукции;
 метод математической индукции;
уметь:
 доказывать различные тождества методом математической индукции.
Дедукция и индукция. Понятие математической (полной) индукции. Доказательство
методом математической индукции (теорема). Доказательства тождеств методом
математической индукции. Задачи арифметического характера. Тригонометрические и
алгебраические задачи. Задачи на доказательство неравенств. Доказательство теорем методом
математической индукции.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Проработка теоретического материала по лекциям и подготовка к итоговой контрольной
работе по разделам 1-3: «Алгебра логики. Булевы функции», «Основы теории множеств»,
«Основы комбинаторики» .
Контрольная работа: итоговая (по разделам 1-3) (2 часа)
Раздел 4. Дополнительные главы теории множеств
Тема 4.1. Матрица бинарного отношения. Специальные бинарные отношения
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
об отношениях;




уметь:
понятие бинарного отношения;
понятие матрицы бинарного отношения;
понятия симметричного и антисимметричного отношений;
понятие рефлексивного отношения;
 строить матрицу бинарного отношения.
Матрица бинарного отношения. Симметричные и антисимметричные отношения.
Рефлексивные отношения.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 4.2. Отношения эквивалентности и разбиения. Фактор-множества
В результате изучения данной темы студент должен
знать:





уметь:
понятие отношения эквивалентности;
понятие разбиения;
классы эквивалентности;
понятие вектора;
понятие фактор-множества;
 определять, к какому классу эквивалентности относится данное отношение.
Отношения эквивалентности и разбиения. Классы эквивалентности. Вектор. Фактормножества.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 4.3. Отношения порядка
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
об отношениях порядка;





уметь:
понятие предпорядка;
понятие частичного порядка;
сущность отношения Парето;
определения максимального и минимального элемента множества;
понятие изоморфизма;
 вычислять супремум и инфинум, максимальный и минимальный элементы
множества;
 строить матрицу отношения.
Предпорядок (квазипорядок). Частичный порядок. Отношение Парето. Максимальный и
минимальный элементы множества. Супремум и инфинум. Алфавит. Изоморфизм.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 4.4. Простейшие криптографические шифры
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:


знать:

о сути криптографического преобразования информации;
об областях применения криптографического преобразования информации;
основные понятия криптографического преобразования информации;
 простейшие криптографические шифры;
 математическое обоснование криптографических шифров;
уметь:
 применять простейшие криптографические алгоритмы для шифрования
информации.
Примеры простейших криптографических шифров и их математическое обоснование.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям . Подготовка реферата на
тему: «Области применения криптографического преобразования информации» (2,6 ч).
Раздел 5. Элементы теории графов
Тема 5.1. Понятие графа. Виды и способы задания графов
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:


знать:
о теории графов;
об областях применения графов;
 основные понятия теории графов;
 способы задания графов;
уметь:
 задать граф различными способами.
Граф, вершина, дуга. Мультиграф. Изображение графа. Орграф. Неорграф. Подграфы и части
графа. Полный неорграф.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 5.2. Операции над графами
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
об операциях над графами;
 основные операции над графами;
уметь:
 выполнять операции над графами.
Основные операции над графами: добавление, удаление, отождествление, дополнение,
соединение, произведение, композиция.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 5.3. Основные матрицы графов. Матрицы смежности, инцидентности и расстояний
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:


знать:
о расстояниях в графах;
о способах задания графов с помощью матриц;
 матрицы смежности для орграфа и неорграфа;
 матрицы инцидентности для орграфа и неорграфа;
 матрицы расстояний;
уметь:
 строить матрицы смежности;
 строить матрицы инцидентности;
 строить матрицы расстояний;
 выполнять действия с матрицами графов.
Матрицы смежности для орграфа и неорграфа. Матрицы инцидентности для орграфа и
неорграфа. Расстояние в графах. Матрица расстояний графов.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям . Подготовка к
практической работе
Практическая работа №10
Тема: «Вычисление основных матриц графов».
Тема 5.4. Маршруты. Достижимость. Связность.
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:




знать:
о маршрутах;
о достижимости;
о связности;
о расстояниях в графах;




уметь:
понятие маршрута и его длины;
основные понятия связных графов;
понятие матрицы достижимости;
алгоритмы нахождения кратчайших маршрутов;
 строить матрицы достижимости;
 находить кратчайшие маршруты.
Маршрут и его длина. Цепь. Простая цепь. Циклический маршрут. Цикл. Обхват неорграфа.
Контур. Связный неорграф. Связность графов. Компонента связности. Матрица достижимости.
Расстояние в графах.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 5.5. Степени вершин, обходы и остовы графов
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
о способах решения задач с применением теории графов;
 понятие степени вершин графа;
 лемму о рукопожатиях.
Степень (валентность) вершины графа. Вершины степени 1 и 0. Лемма о рукопожатиях.
Остов (каркас) графа. Ранг и коранг графа.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 5.6. Эйлеров путь. Условие существования Эйлерова пути в графе
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
о способах решения задач с применением теории графов;
 постановку и решение задачи о Кенигсбергских мостах;
 понятие Эйлерова пути;
 алгоритм построения Эйлерова пути;
уметь:
 определять наличие в графе Эйлерова пути.
Задачи, приводящие к понятию Эйлерова пути. Эйлеров путь и алгоритм для его построения.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 5.7. Гамильтонов цикл. Условие существования Гамильтонова цикла в графе
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
о способах решения задач с применением теории графов;
 понятие Гамильтонова цикла;
 теоремы о наличии Гамильтонова цикла в графе;
 постановку и решение задачи коммивояжера;
уметь:
 определять наличие в графе Гамильтонова цикла.
Гамильтонов цикл. Задача коммивояжера. Решение задачи коммивояжера.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 5.8. Методы поиска кратчайших путей в графах: метод Дейкстры, матричный метод
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
о кратчайших путях;
 метод Дейкстры поиска кратчайших путей в орграфах;
 матричный метод поиска кратчайших путей в графах;
уметь:
 решать задачи на нахождение кратчайших путей в графах.
Понятие кратчайшего пути. Метод Дейкстры поиска кратчайших путей в орграфах.
Матричный метод поиска кратчайших путей в графах, основанный на матрице весов.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям . Подготовка к
практической работе
Практическая работа №11
Тема: «Методы поиска кратчайших путей».
Тема 5.9. Понятие дерева. Способы задания деревьев. Упорядоченные и бинарные
деревья
В результате изучения данной темы студент должен
знать:





уметь:
понятие дерева;
понятие упорядоченного дерева;
понятие бинарного дерева;
понятие поддерева;
способы задания деревьев;
 находить соответствие между различными представлениями деревьев.
Дерево. Лес. Способы задания деревьев. Понятие упорядоченного дерева. Бинарное
дерево. Левое (правое) поддерево.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям . Подготовка к
практической работе
Практическая работа №12
Тема: «Способы задания деревьев».
Тема 5.10. Фундаментальные циклы. Разрезы
В результате изучения данной темы студент должен
знать:







уметь:
понятие фундаментальных циклов;
понятие разреза;
понятие внутреннего произведения векторов;
понятие границы;
понятие векторного пространства;
размерность подпространства;
понятие ортогонального подпространства;
 строить матрицу фундаментальных циклов;
 строить матрицу фундаментальных разрезов;
 находить внутреннее произведение векторов;
 вычислять размерность подпространства.
Фундаментальные циклы. Матрица фундаментальных циклов. Сеть. Поток. Разрез. Матрица
фундаментальных разрезов. Внутреннее произведение векторов. Граница. Векторные
пространства, связанные
подпространства.
с
графами.
Размерность
подпространства.
Ортогональные
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 5.11. Раскраски графов
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
о раскрасках графов;
 хроматическое число графа;
 алгоритм последовательной раскраски;
уметь:
 находить хроматическое число графа;
 использовать алгоритм последовательной раскраски.
Раскраска графа. Хроматическое число графа. Реберный мультиграф. Раскраска ребер.
Бихроматический граф. Двудольный граф. Алгоритм последовательной раскраски.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям .
Тема 5.12. Планарные графы. Условие планарности графа
В результате изучения данной темы студент должен
иметь представление:

знать:
о связи хроматического числа графа и его планарности;
 понятие планарности графа;
 условие планарности графа;
уметь:
 определять число планарности графа;
 определять толщину графа.
Плоское изображение графа. Теорема Понтрягина – Куратовского. Теорема о четырех
красках. Число планарности графа. Толщина графа.
Самостоятельная работа студента
Подготовка к устному опросу, проработка материалов по лекциям . Подготовка к
практической работе
Практическая работа №13
Тема: «Исследование графов на планарность».