Решение задачи Коши для линейного неоднородного

Тема 6
Решение задачи Коши для линейного неоднородного
дифференциального уравнения с частными производными
второго порядка. Принцип Дюамеля.
Сначала мы хотим показать, что принцип Дюамеля для
дифференциальных уравнений с частными производными является
обобщением метода вариации произвольных постоянных для линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
Ly  y (n)  a n 1y (n 1)  ...  a 1y'  a 0 y  q(t),
(1)
где q(t) — функция, не равная нулю тождественно, и однородное уравнение
Ly=0,
(2)
соответствующее данному неоднородному.
Обозначим 1) через y(t) общее решение уравнения Ly=q(t); 2) через
~
y (t )  некоторое частное решение этого уравнения; 3) через z(t) – общее
решение уравнения (2).
Чтобы найти z(t), достаточно знать корни характеристического уравнения,
составленного для дифференциального уравнения Ly=0. А y(t) можно найти,
используя метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Ограничимся случаем, когда уравнение (1) имеет вид
(3)
Ly  y" k 2 y  q(t),
где k- некоторая положительная постоянная.
Уравнение (3) рассмотрим при t>0, а при t=0 зададим однородные начальные
условия. Иными словами, поставим задачу Коши
y"  k 2 y  q(t), t  0,

y(0)  0, y' (0)  0.
(I)
Наряду с задачей (I) рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения с
неоднородными начальными условиями (которые в дальнейшем мы будем
называть специальными)
z"  k 2 z  0, t  0,

z(0)  0, z' (0)  1.
(II)
Сначала решим задачу (II). Характеристическое уравнение r 2  k 2  0 имеет
корни r1  ki, r2   ki . Поэтому общее решение уравнения из (II)
(4)
z(t)  C1coskt  C2sinkt,
где С1 и С2 — произвольные постоянные.
1
k
Используем начальные условия из (II) и получим: C1  0, C 2  . Поэтому
решение v(t) задачи Коши (II) имеет вид
v(t) 
1
sinkt .
k
(5)
Метод вариации произвольных постоянных позволяет найти общее решение
y(t) уравнения из (I) в виде (4), предположив что С1(t) и С2(t) — пока не
известные нам функции:
(6)
y(t)  C1 (t) coskt  C2 (t) sinkt .
Для того, чтобы эти функции найти, надо решить систему из двух
линейных алгебраических уравнений, неизвестными в которых являются
производные функций Сi:
C1' coskt  C '2sinkt  0,
 '
 C1ksinkt  C '2 kcoskt  q(t).
Решением такой системы оказываются функции
1
С1' (t)   q(t) sinkt,
k
1
C'2 (t)  q(t) coskt .
k
Проинтегрируем каждое из полученных равенств и получим
С1 (t)  
1
q( ) sin k  d  ,
k
(7)
1
C 2 (t)   q( ) cos k  d  .
k
Под каждым из интегралов в формулах (7) мы понимаем сумму
соответствующей первообразной и произвольной постоянной.
Подставим выражения для C1(t) и C2(t) из (7) в (6):
 1

1

y(t)     q( ) sin k  d   cos k t    q( ) cos k  d   sin kt .
 k

k

(8)
Функция y(t) в формуле (8) представляет собой общее решение уравнения из
(I).
Найдем решение задачи Коши (I). Для этого в качестве первообразных для
функций C1(t), C2(t) рассмотрим интегралы с переменным верхним пределом
t
t
1
1
q( ) sin k  d  ,  q( ) cos k  d  ,

k0
k0
соответственно. Тогда частное решение ~y (t ) уравнения из (I)

 1 t

1 t

~
y(t)     q( ) sin k  d   cos kt    q( ) cos k  d   si nkt
 k0

k 0

(9)
и его производная
t

t

~
y' (t)    q( ) sin k  d   sin kt    q( ) cos k  d   cos kt
0

0

(10)
удовлетворяют однородным начальным условиям, поскольку все интегралы
в формулах (9) и (10) обращаются в нуль при t=0.
Следовательно, формула (9) дает решение задачи Коши (I).
Запишем ~y (t ) по-другому:
t
t
1
1
~
y(t)   q( )(  sin k  cos kt  sin kt cos k  ) d    [sin k(t   )] q( ) d  ,
k0
k
0
здесь в подынтегральном выражении стоит множитель
1
sin k(t   )  v (t   ), где v(t) — функция из формулы (5), то есть решение
k
задачи Коши (I) получается с помощью решения задачи Коши (II) по
формуле
t
~
y(t)   v(t   ) q( ) d  .
(11)
0
Формула (11) называется формулой Дюамеля.
Таким образом, можно, получив решение задачи Коши (II) со
специальными начальными условиями для однородного уравнения,
соответствующего данному неоднородному уравнению, вместо метода
вариации произвольных постоянных применить формулу Дюамеля и найти
решение задачи Коши (I) для неоднородного уравнения с однородными
начальными условиями.
Разъясним, какой физический смысл можно этому придать.
Метод импульсов. Интеграл Дюамеля
Рассмотрим бесконечное множество задач с неизвестными функциями y (t ) :
 y "ε  k 2 y ε  q ε (t), t  0,

 y ε (0)  0, y 'ε (0)  0,
(12)
где функция q(t) отлична от нуля в интервале (0, ), >0, и равна нулю вне
t

o
0
этого интервала. Предположим, что  q  (t) dt   q  (t) dt  1 (вскоре мы
придадим этому условию определенный физический смысл). По формуле
(11)
t
1
y ε (t)   sin k(t   ) q  ( ) d  .
k
0
Пусть переменная t играет роль времени и пусть q(t) — сила, действующая на
некоторую систему, а y(t) — смещение системы под действием силы q(t).
Пусть при t<0 система находилась в состоянии покоя (значит, y(0)=0) и
y’(0)=0. Пусть смещение системы происходит под действием силы q(t),
t
которую мы ввели. В физике интеграл J  (t )   q  ( ) d  называется импульсом
0
силы q(t) на промежутке времени (0, t). Будем говорить, что решение задачи
Коши (12) есть функция влияния этого импульса. По нашему предположению
J(t)=1.
Из интегрального исчисления известно, что если функция (x) непрерывна
в интервале [a, b], а функция (x) интегрируема в этом интервале, то
интеграл
b
  (x)  (x) dx
a
может быть представлен в виде
b
α(c 0 )   (x) dx,
a
где a<c0<b (обобщенная теорема о среднем).
Рассмотрим  как параметр.
Повторим формулу для y(t) и применим к интегралу из этой формулы
обобщенную теорему о среднем:
t
t
1
1
1
y ε (t)   sink(t   ) q  ( ) d   sink(t  c0 )  q  ( ) d   sink(t  c 0 ) J ε (t),
k
k
k
0
0
где с0 — число, 0< с0<. Тогда
lim y ε (t)  lim
ε 0
ε 0
1
1
sink(t  c 0 )  sinkt .
k
k
Заметим, что когда 0, сила q(t) и импульс этой силы действуют на
участке времени, стремящемся к нулю (в то же время по предположению для
1
k
любого  J(t)=1). Поэтому функцию v(t)  sinkt можно назвать функцией
влияния мгновенного импульса интенсивности 1, действующего в момент
t=0.
Замечание. Пусть y(t) — координата точки, движущейся по оси y. Если в
момент t=t0 координата точки не меняется, а скорость получает конечное
приращение, то такое воздействие на точку называется толчком
(или мгновенным ударом). Примером служит резкий удар кием по
биллиардному шару.
Итак, решение v(t) задачи Коши (II) есть функция влияния мгновенного
импульса силы интенсивности 1.
Теперь разъясним физический смысл формулы Дюамеля. Для этого
разделим интервал времени (0, t) на n равных частей точками
 0  0,  1 ,..., i ,  i 1 ,...,  n  t . Длину каждого из участков разбиения обозначим
через
t
  i   i 1 . Рассмотрим n задач
n
z "i  k 2 z i  0,

'
z i |t τi  0, z i |t τi  q(τ i ) Δτ i , i  1,..., n .
 i . Тогда  i 
Каждая из функций zi представляет собой функцию влияния мгновенного
импульса интенсивности q( i ) i . Записав zi как z i (t)  C1(i)coskt  C(i)2sinkt,
используем начальные условия и найдем тем же способом, каким мы это уже
делали в случае решения задачи (II), что
z i (t) 
1
sink(t   i ) q( i )  i .
k
Вернемся к формуле Дюамеля (11). В нашем случае
t
1
y(t)   sink(t   ) q( ) d  .
k
0
Воспользуемся определением интеграла по отрезку и запишем
n
1
sin
k(t


)
q(

)



lim
z i (t).


i
i
i
n 
n 
i 1 k
i 1
t
Напомним, что Δτ i  .
n
y(t)  lim
n
t
q(t) — непрерывно действующая на систему сила, а J(t)   q( ) d   импульс
0
этой силы. Значит, y(t) — функция влияния импульса непрерывно
действующей силы.
Если n достаточно велико, а значит, промежутки времени  i   i   i 1 малы,
можно с большой точностью считать, что
n
y(t)   z i (t).
(13)
i 1
Эта последняя формула показывает, что функция влияния импульса
непрерывно действующей силы есть сумма (суперпозиция, наложение)
функций влияния мгновенных импульсов (принцип Дюамеля); как уже
было сказано, каждое из слагаемых zi представляет собой функцию влияния
мгновенного импульса интенсивности q( i ) i в момент t=i.
После перехода к пределу получаем ( формула (11)) точное значение y(t) в
виде интеграла (континуальной суммы). Этот интеграл называется
интегралом Дюамеля.
В формуле (13) суть метода импульсов.
Если рассматриваются задачи Коши I и II для уравнения
Lyy”+p1y’+p0y=q(t), то формула Дюамеля имеет вид
t
y(t)   v(t   ) q( ) d  ,
0
где v(t) — решение задачи
L v  0,

v(0)  0, v ' (0)  1.
Итак, мы 1) решили задачу Коши I методом вариации произвольных
постоянных; 2) полученную для y(t) формулу переписали в виде интеграла
Дюамеля; 3) придавая функциям q(t), y(t), v(t) физический смысл, показали,
что метод вариации можно рассматривать как метод импульсов.
Формула Дюамеля при этом связывает между собой решение задачи Коши I
для неоднородного уравнения с однородными начальными условиями с
задачей Коши II для однородного уравнения, соответствующего данному
неоднородному, в которой сама функция (v(t)) в начальный момент времени
равна нулю, а производная v’(0)=1. Здесь v’(0) — скорость, которая
сообщается системе при t=0.
Принцип Дюамеля для дифференциальных уравнений с
частными производными
Вынужденные колебания бесконечной струны. Принцип Дюамеля
Рассмотрим дифференциальное уравнение
2 u 2 u

 f(x, t).
 t2  x2
Поставим задачу Коши
2 u 2 u
 f(x, t),
 2 
 x2
t
u(x,0)  0, u ' (x,0)  0.
t

(14)
Как и в случае обыкновенного дифференциального уравнения,
рассматриваем функцию f(x, t) как внешнюю силу, действующую на
некоторую динамическую систему. Дифференциальное уравнение в (14), в
частности, описывает колебания струны [4], поэтому под f(x, t) можно
понимать некоторую внешнюю силу, которая непрерывно (при t>0)
действует на струну.
Кроме задачи (14) рассмотрим ряд задач Коши (при различных t=) для
однородного уравнения:
  2v  2v
 0,
 2 
 x2
 t
v (x,  )  0, v ' (x,  )  f(x,  ),
t

(15)
где f(x, ) – значение функции f(x, t) из (14) при t=>0.
Чтобы подчеркнуть, что функция v зависит от , будем писать v=v(x, t, ).
При каждом 0 решение задачи (15) находится по формуле Даламбера [4].
При этом, поскольку v=0 при t=, выражение для v(x, t, ) содержит только
одно слагаемое:
v(x, t,  ) 
x t
1
f(  , ) d  .
2 xt
(16)
Решение v(x, t, ) продолжим тождественным нулем при t. v(x, t, ) –
функция влияния мгновенного импульса силы интенсивности f(x, ).
Оказывается, что решение u(x, t) задачи (16) ищется по формуле Дюамеля:
t
u(x, t)   v(x, t,  ) d 
(17)
0
(подынтегральная функция в нашем случае находится по формуле (16)).
Интеграл в формуле (17) называется интегралом Дюамеля. Если эта формула
верна, то, как и в случае с обыкновенным дифференциальным уравнением,
она показывает, что u(x, t) – функция влияния непрерывно действующей
силы– есть суперпозиция функций влияния мгновенных импульсов (принцип
Дюамеля).
Проверим, что u(x, t) из (17) является решением задачи Коши (14).
Предположим, что дифференцирование под знаком интеграла в (17) законно.
Имеем
u(x, t)
v(x, t,  )

d   v(x, t, t);
t

t
0
t
здесь v(x, t, t)=0 по первому из начальных условий задачи (15). Далее
2 u
 2v
v(x, t, t)

d 
;
2
2

t
t
t
0
t
здесь
v (x, t, t)
 f(x,  ) по второму из начальных условий задачи (15).
t
t
 2 u(x, t)
 2 v(x, t,  )

0  x 2 d .
 x2
2 u 2 u
 2 v (x, t,  )
 2 v (x, t,  )


d


f(x,
t)

0  x 2 d  
 t 2  x 2 0
 t2
t
Поэтому
t
t
  2 v (x, t,  )  2 v (x, t,  ) 
 

d   f(x, t)  f(x, t),
 t2
 x 2 
0 
поскольку v(x, t, ) – решение однородного дифференциального уравнения из
формулы (15). Следовательно, u(x, t) — решение неоднородного
дифференциального уравнения из формулы (14). Функция u(x, t)
удовлетворяет нулевым начальным условиям, поскольку

t

u(x, 0)    v (x, t,  ) d    0,
0
 t 0
t
 u(x, 0)  v (x, t,  ) 
 
d    0.
t

t
0

 t 0
Формула (17) дает математическое выражение принципа Дюамеля.
Повторим физическую интерпретацию этого принципа: результат
воздействия на систему (на частицу) непрерывно действующей силы
эквивалентен воздействию континуальной (то есть непрерывной) суммы
последовательных толчков.
Обобщенный принцип суперпозиции
Ранее мы уже упоминали о принципе суперпозиции для линейного
дифференциального уравнения.
В случае, когда i меняется от 1 до бесконечности, справедлив обобщенный
принцип суперпозиции, если только вычисление производных от ряда

u ,
i 1
i
фигурирующих в операторе Lu, можно совершить при помощи почленного
дифференцирования этого ряда.
Обобщенный принцип суперпозиции справедлив и в том случае, когда
линейное дифференциальное уравнение Lu=0 имеет бесконечно много
решений вида U(x, t, ), где – некоторый параметр. Интеграл
u(x, t)   U(x, t,  ) ( ) d  ,
где  – произвольная ограниченная функция, является решением
уравнения Lu=0, если производные, входящие в линейный
дифференциальный оператор Lu, можно вычислить при помощи
дифференцирования под знаком интеграла.
С математической точки зрения принцип Дюамеля можно рассматривать
как следствие принципа суперпозиции, и поэтому он применим к задаче
Коши только для линейного дифференциального уравнения (обыкновенного
или с частными производными).
Отметим некоторые случаи, в которых возможно применение принципа
Дюамеля.
2 u
 Δu  f(x, t) с однородными начальными условиями, если
 t2
n
2
x=(x1,…,xn) и Δ   2 .
i 1  x
1.Уравнение
2. Уравнение
2 u
 L(u)  f(x, t) с однородными начальными условиями, если
 t2
x=(x1,…,xn) и L – произвольный линейный дифференциальный оператор по x
и t с переменными коэффициентами, который может содержать
производную по t первого порядка, но не содержит производной по t более
высокого порядка.
3. Задача Коши для уравнения теплопроводности в случае, когда xR1:
 u 2 u

 f(x, t),

  t  x2
u(x, 0)  0.
4. Задача Коши
 u
 L(u)  f(x, t),

t
u(x, 0)  0,
если xRn, L(u) – произвольный линейный дифференциальный оператор по
x c переменными коэффициентами.
5. Задача Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка:
 uj
t

 a νij (x)
i 1,..., n
 1,..., k
k
 u
  bj (x) u  g j (x, t), j  1,..., k, ui ( x, 0)  0, i  1,..., k .
 x i  1
[ Эту же задачу можно сформулировать в матричной форме. Для этого
обозначим
  u1

 u1 
 t
 
u   ... , u t   ...

u 
  uk
 k
 t

 b11
 2
b
B 1
...

 bk
 1
b12
b 22
...
...
...
...
k
2
...
b
  u1 

 a 11i



 2

x
 i 


u
a
,
  ... , A i   2 i

  xi 
...

  uk 

 ak

 x 
 ki

i 

...
...
...
...
...
...
...
...
a 1ki 

a 2ki 
,
... 

a kkk 
b1k 

 g1 (x, t) 


b 2k 
,
g(x,
t)

...

.
... 
 g (x, t) 

 k

b kk 
Тогда система запишется в матричной форме:
n
u t   Ai
i 1
u
 Bu  g(x, t).
 xi
Начальные условия на ui(x, t) перейдут при этом в начальное условие для
вектор-функции u(x, t): u(x, 0)=0].
Литература та же, что в теме 1.
Расширенный вариант лекций по теме 6 и дополнительную литературу
можно найти в Приложении «Ж. Дюамель».