Анализ методов цифровой голографии

Лекция 2
Оптические системы, выполняющие преобразование Фурье
С помощью сферической линзы можно создавать картину, являющуюся фурьеобразом входного изображения. Благодаря этому устройству, а также возможности
применения линз для формирования пучков излучения требуемой конфигурации они
находят широкое применение в оптических системах хранения и обработки информации.
Рассмотрим простейшую оптическую систему (рис. 1), состоящую из одной тонкой
сферической линзы с фокусным расстоянием f помещенной в плоскости z = 0, и
расположенного вплотную к ней транспаранта с комплексным амплитудным
пропусканием
t (х0, у0).
Линзу называют тонкой, если луч, входящий в точку с координатами (x0, y0)
выходит из нее на противоположной поверхности в точке примерно с теми же
координатами. Это означает, что смещением луча внутри линзы можно пренебречь:
линза задерживает фронт падающей волны на значение, пропорциональное толщине
линзы в каждой точке. Следовательно, тонкую линзу можно рассматривать как
транспарант,
осуществляющий
пропускания вида
фазовую
модуляцию
и
имеющий
функцию
, где функция Δφ(х, у) пропорциональна
толщине линзы в точке с координатами (х, у). Нетрудно показать, что
1
(1)
{Таким
образом,
свет
в
тонкой
линзе
проходит
оптический
путь,
пропорциональный толщине линзы в данной точке. Обратимся к рис. а. Проведем
две параллельные плоскости, прижатые к линзе с обеих сторон. Луч А проходит
через линзу оптический путь nD0 (где п —- показатель преломления материала
линзы; D0 — ее максимальная толщина), а луч В часть пути между плоскостями
проходит в воздухе, а часть — в стекле, поэтому пройденный им оптический путь
равен пD(х, у) - (D0 - D(х, у)), где D(х, у) — толщина стеклянной части линзы в соответствующей точке.
Рис. а. Линза как фазовая задержка
Этому оптическому пути соответствует изменение фазы световой волны, равное
Тогда коэффициент пропускания линзы как объекта, сформированного двумя
параллельными плоскостями,
2
(1.1)
При этом мы учли, что линза абсолютно прозрачна, поэтому коэффициент
амплитудного пропускания равен единице, а все изменения содержатся в показателе
экспоненты.
Необходимо определить значение D(х, у). При этом мы будем учитывать правило
знаков: радиус кривизны поверхности считается положительным, если эта
поверхность выпуклая для луча, идущего слева направо. Разделим линзу на две
части (см. рис. а) и проанализируем их по отдельности.
Представим
толщину
линзы
как
сумму
толщин
двух
ее
половинок
D(x,y)=D1(x,y)+D2(x,y). Каждая из этих величин может быть выражена через
соответствующий радиус кривизны, как это видно из рис. а:
В уравнениях учитывался знак радиусов кривизны.
Складываем полученные величины и получаем толщину линзы в произвольной
точке
(1.2)
Будем рассматривать только лучи, идущие под небольшими углами к оси линзы
(параксиальное приближение), поэтому в (1.2) корни можно разложить в ряд,
оставив только нулевой и первый члены ряда
Подставляя это разложение в (1.2), получаем
3
(1.3)
Теперь преобразуем к явному виду (1.4)
Воспользовавшись формулой линзы, окончательно получим
}
Таким образом, соответствующее тонкой сферической линзе комплексное
пропускание
(2)
Допустим, что на рассматриваемую оптическую систему (рис. 1) падает плоская
волна амплитудой A0, распространяющаяся в положительном направлении оси z.
Комплексная амплитуда света непосредственно вблизй линзы справа от нее равна
произведению функции пропускания транспаранта и линзы:
(3)
Далее волна распространяется в свободном пространстве, поэтому комплексная
амплитуда света на любом расстоянии от линзы может быть рассчитана с помощью
интеграла Френеля — Кирхгофа.
Для расчета распределения комплексных амплитуд света на расстоянии z = d от
линзы воспользуемся приближением Френеля
Тогда
4
(4)
Интегрирование производят по всей поверхности линзы. Подставим в (4)
выражение (3), опустив несущественный для дальнейшего анализа постоянный
фазовый множитель
ехр (— ikd),
(5)
В результате упрощения данного интеграла путем разложения квадратов (х —
х0)2 и (у — y0)2 , получим
(6)
5
Если d = f т. е. рассматривается распределение комплексных амплитуд света в
задней фокальной плоскости линзы, то выражение (6) еще более упрощается и
принимает следующий вид:
(7)
где.
Интеграл в данном выражении представляет собой двумерное преобразование
Фурье функции t (х, у) при условии, что функция t (х, у) тождественно равна нулю за
пределами
поверхности
линзы.
Это
условие
позволяет
расширить
пределы
интегрирования до бесконечности, что и требуется для преобразования Фурье.
Таким образом, если на тонкую сферическую линзу с примыкающим к ней
транспарантом падает плоская световая волна,то в задней фокальной плоскости линзы
образуется поле с распределением комплексных амплитуд, пропорциональным
произведению
квадратичного
фазового
множителя
и
фурье-образа
функции
пропускания транспаранта.
В тех случаях, когда важна только интенсивность света, квадратичный фазовый
множитель в выражении (1.48) не учитывают.
Эффект, обусловленный этим множителем, эквивалентен действию тонкой
рассеивающей (вогнутой)
линзы с фокусным расстоянием - f, помещенной в
плоскости z =f. Если в плоскость z=f поместить тонкую собирающую линзу с
фокусным расстоянием f то этот фазовый множитель будет компенсирован. В
результате получают оптическую систему (рис. 1.8), выполняющую точное преобразование Фурье:
6
Предполагается, что за пределами поверхности транспаранта t (х, у) == 0. Если
линза имеет неограниченные размеры, а транспарант совершенно прозрачен, т. е. t (х,
у) =1, то
Следовательно, падающая на линзу плоская световая волна фокусируется в точку на
задней фокальной плоскости линзы. Линза конечных размеров образует световое
пятно малых, но все же конечных размеров, что и наблюдается на практике.
Анализ методов цифровой голографии
Анализ
проведен
с
учетом
задачи
построения
комбинированного
стеганографического метода защиты изображений. Направление анализа обусловлено
тем, что ставится задача использовать известных методы обработки изображений для
их защиты.
Одним из основных подходов для получения оптических голограмм
является добавление к световой волне, рассеянной объектом, опорной волны.
Цифровые голограммы Фурье представляют собой запись пространственного
преобразования Фурье от рассеянного предметом светового поля со сдвинутой
пространственной несущей. В общем случае голограмму можно представить как
комплексную
функцию.
Комплексное
преобразование
Фурье
от
функции,
описывающей распределение контраста в изображении водяного знака W’(u,v) в
плоскости записи голограммы представим в форме: w( x, y)  w( x, y) exp( j( x, y)) , где
Ф(x,y) – аргумент комплексной функции w(x,y). Добавим к волновому полю w(x,y)
опорную когерентную волну exp{ j ( xM  yN )} , где M и N – углы падения волны по
нормали к плоскости регистрации голограммы.
7
Распределение интенсивности в плоскости регистрации представляет собой квадрат
модуля суммы волнового поля w(x,y) и опорной волны:
2
h( x, y )   w( x, y ) exp{ j( x, y)}  exp{ j ( xM  yN )}  w( x, y) 
2
 w( x, y ) cos  xM  yN  ( x, y )  1.
Первый член в этом выражении характеризует дополнительную засветку
голограммы пучком света от объекта и обычно опускается. Этот член не содержит
фазовой характеристики и не несет никакой информации о восстановленном
изображении. Следовательно, получаем:
h( x, y)  A0  w( x, y) cos  xM  yN  ( x, y) ,
где постоянная составляющая A0 – максимальное значение w(x,y)=w(0,0). Таким
образом, функция h(x,y) является вещественной, положительной и содержит полную
информацию (как амплитудную, так и фазовую) об изображении ЦВЗ W(u,v).
Преобразование Фурье от полученной функции голограммы h(x,y) будет состоять из
суммы двух изображений водяного знака W(u,v), смещенных относительно начала
осей координат на величины несущих частот M и N:
h( x, y)  W (u, v)  W (u  M , v  N )  W (u  M , v  N )  A(u, v) ,
где  – оператор Фурье-преобразования, A(u,v) – автокорреляционная функция
ЦВЗ. Автокорреляция A(u,v) располагается в начале координат и подавляется как в
цифровой голографии, так и в оптической. Второе изображение W(-u-M,-v-N) является
зеркальным отображением W(u-M,v-N) относительно центра осей координат.
Алгоритм синтеза изображения ЦВЗ для получения голограммы h(x,y):
1)
В предметной области (x,y) изготавливается изображение ЦВЗ W(x,y);
2)
ЦВЗ переносится в плоскость пространственных частот (u,v) со смещением
относительно осей координат на значения M, N: W(u-M,v-N);
3)
Создается зеркальное изображение ЦВЗ и получается сумма двух изображений:
h( x, y)  W (u, v)   W (u  M , v  N )   W (u  M , v  N ) , где γ – коэффициент усиления;
4)
Для получения исходного распределения h(x,y) выполняется обратное
преобразование
Фурье:


h( x, y )  1 W (u, v) ,
где
1
–
оператор
обратного
преобразования Фурье. Следует отметить, что предельные размеры изображения ЦВЗ
8
не должны превышать размеры квадранта частотной плоскости. Так как в противном
случае произойдет перекрывание сигналов W(u-M,v-N) и W(-u-M,-v-N). При выборе
оптимального размера ЦВЗ необходимо учитывать заметность вносимых возмущений
в изображение-контейнер и устойчивость ЦВЗ к искажениям. Другим важным
фактором выбора размера ЦВЗ является функция передачи модуляции (ФПМ)
сквозного оптико-электронного тракта, включающего фотопринтер, фотоноситель и
сканер на ПЗС (прибор с зарядовой связью (CCD)). Размеры W(u,v) должны
укладываться в области определения ФПМ сквозного тракта. Это означает, что
функция W(u,v) должна быть узкополосной.
В радиотехнике с целью повышения эффективности передатчиков широко
применяется метод передачи сообщений с одной боковой полосой (ОБП), при этом,
вторая боковая полоса и несущая подавляются. Следовательно, чтобы избежать
избыточности представления водяного знака W (u, v) , целесообразно поступить
аналогично. Тогда h( x, y)  1 W (u  M , v  N ) , где h(x,y) – комплексная голограмма,
которая состоит из вещественной и мнимой частей:
h( x, y )  hc ( x, y )  jhc ( x, y ) 
1
j
w( x, y ) cos  xM  yN   w( x, y ) sin  xM  yN   A0 .
2
2
Так как спектральные сигналы W(u,v) должны быть узкополосными, первые два
члена этого выражения связаны между собой преобразованием Гильберта (разложение
на амплитудную и фазовую составляющие). Для восстановления W (u, v) из голограммы
будет
достаточно
выполнить
преобразование
Фурье
только
вещественной
(косинусной), или только мнимой (синусной) части комплексной голограммы h(x,y).
Обратное преобразование Фурье для восстановления изображения ЦВЗ, для этого
случая будет иметь вид:
1
1
1 h( x, y )  W (u  M , v  N )  W (u  M , v  N )  A(u , v) .
2
2
,
9