Л. Сердюкова, Геометрический смысл производной Задания по графику функции Демонстрационный вариант
advertisement
Л. Сердюкова, г. Сочи, Краснодарский край Геометрический смысл производной Задания по графику функции Демонстрационный вариант Сделай по образцу и проверь себя На рисунке изображен график функции На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–9; 8). у = f(x), определенной на интервале (–8; 7). Используя рисунок, выполните задания 1–3. Используя рисунок, выполните задания 1–3. Задание 1. Найдите количество точек на Задание 1. Найдите количество точек, в отрезке [–8; 3], в которых касательная к которых касательная к графику функции графику функции параллельна прямой у = 3. параллельна прямой у = –2. Решение. Нарисуем прямую у = 3. Решение. Нарисуем прямую у = ___. Проведем касательные к графику функции, параллельные прямой у = 3. По рисунку найдем число этих касательных, а следовательно, и искомых точек. Оно равно 6. Ответ: 6. Проведем касательные к графику функции, ______________________ прямой у = –2. По рисунку найдем число этих __________, а следовательно, и искомых __________ Оно равно ___. Задание 2. Определите количество точек с целыми отрицательными абсциссами, в которых производная функции положительна. Задание 2. Определите количество точек с целыми положительными абсциссами, в которых производная функции отрицательна. Решение. Производная функции положительна, если функция возрастает. Значит, нас интересуют те точки с отрицательными целыми абсциссами, где функция возрастает, то есть точки х = –8; – 7; –5; –4. Их количество равно 4. Решение. Производная функции отрицательна, если функция __________. Значит, нас интересуют те точки с __________________ целыми ___________, где функция ____________, то есть точки х = ___; ______ Их количество равно ___. Ответ: 4. Ответ: ____. Ответ: ____. Задание 3. Найдите количество точек экстремума функции. Решение. Точки экстремума функции — это точки максимума и минимума («холмики» и «впадинки»). В нашем случае их 9. Ответ: 9. Задание 3. Найдите количество точек экстремума функции. Решение. Точки экстремума функции — это точки минимума и __________________ (_______ и «холмики»). Всего их ___. Ответ: ___. Задание 4. На рисунке изображен график Задание 4. На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0. производной функции f(x) в точке х0. Решение. f´(x) = tg , где — угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох. Решение. f´(x) = __________, где — угол, который образует касательная с ______________________ направлением оси _____. В точке х0 функция убывает, следовательно, ее производная отрицательна и касательная образует тупой угол с положительным направлением оси Ох. Из прямоугольного треугольника найдем тангенс угла , смежного с углом . Вспомним, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к 6 прилежащему: t g 2. Поскольку 3 + = 180, то tg = tg (180 – ) = –tg = –2. Ответ: –2. В точке х0 функция _____________, следовательно, ее производная ___________ _______ и касательная образует __________ угол с положительным направлением оси Ох. Из прямоугольного треугольника найдем тангенс угла _____. tg = _____. Ответ: ____. Геометрический смысл производной Задания по графику производной Демонстрационный вариант Сделай по образцу и проверь себя На рисунке изображен график производной функции y = f´(x), определенной на интервале (– 7,5; 7). Используя рисунок, выполните задания 5–8. На рисунке изображен график производной функции y = f´(x), определенной на интервале (–5; 4). Используя рисунок, выполните задания 5–8. Задание 5. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции у = f(x) параллельна прямой у = х + 1 или совпадает с ней. Решение. Касательная к графику функции у = f(x) параллельна или совпадает с прямой у = х + 1, если ее угловой коэффициент k = 1. Но значение углового коэффициента касательной равно значению производной в точке касания, то есть нам нужно найти точки, в которых f´(x) = 1. Построим прямую у = 1, параллельную оси Ох. Эта прямая и график функции имеют 5 общих точек. Значит, в этих точках f´(x)= 1, и в них касательная к графику функции у = f(x) параллельна или совпадает с прямой у = х + 1. Ответ: 5. Задание 5. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции у = f(x) параллельна прямой у = 2х + 14 или совпадает с ней. Решение. Касательная к графику функции у = f(x) параллельна или совпадает с прямой у = 2х + 14, если ее угловой коэффициент k = ____. Но значение углового коэффициента касательной равно значению _________________ в точке касания, то есть нам нужно найти точки, в которых f´(x) = _____. Построим прямую у = ____, параллельную оси _____. Эта прямая и график функции имеют ____ общие точки. Значит, в этих ___________ точках f´(x) = 2, их касательная к графику функции у = f(x) _________________ или совпадает с прямой у = 2х + 14. Ответ: ____. Задание 6. Найдите количество точек экстремума функции f(x) на этом промежутке. Решение. Точка является точкой экстремума непрерывной функции, если при прохождении через эту точку производная меняет знак, то есть график производной пересекает ось Ох. На данном промежутке производная функции y = f´(x) меняет знак 1 раз, поэтому и количество точек экстремума функции у = f(x) на данном промежутке равно 1. Ответ: 1. Задание 6. Найдите количество точек экстремума функции f(x) на этом промежутке. Решение. Точка является точкой экстремума __________________ функции, если при прохождении через эту точку ее производная ________ знак, то есть график производной пересекает ось ____. На данном промежутке производная функции y = f´(x) меняет знак ____ раза, поэтому количество точек экстремума функции у = f(x) на данном промежутке равно ____. Ответ: ____. Задание 7. Найдите количество промежутков убывания функции. Решение. Функция убывает на промежутках, где ее производная отрицательна (ниже оси Ох). По рисунку видно, что количество промежутков, где производная отрицательна, равно 1, следовательно, и количество промежутков убывания функции равно 1. Ответ: 1. Задание 7. Найдите количество промежутков возрастания функции. Решение. Функция возрастает на промежутках, где ее производная _________________. По рисунку видно, что количество промежутков, где производная ___________________, равно ____, следовательно, и количество промежутков возрастания функции равно ___. Ответ: ____. Задание 8. В какой точке отрезка [–5; –2] функция f(x) принимает наименьшее значение? Решение. На отрезке [–5; –2] производная положительна, следовательно, функция f(x) возрастает на этом отрезке и принимает наименьшее значение при наименьшем значении х, то есть в левом конце отрезка при х = – 5. Ответ: –5. Задание 8. В какой точке отрезка [–4; 0] функция f(x) принимает наибольшее значение? Решение. На отрезке [–4; 0] производная __________________, следовательно, функция f(x) ____________ на этом отрезке и принимает наибольшее значение при __________________ значении х, то есть при х = _____. Ответ: _________.