Частота и период гармонических колебаний

§19. Частота и период гармонических колебаний
Период колебаний (время полного колебания) связан простой
зависимостью с частотой колебаний (числом колебаний за единицу

1
1
или T 
T

времени):
В СИ частота измеряется в герцах (в честь немецкого физика Генриха
Герца): 1 Гц = 1 с1.
Г. Герц
(1857  1894)
Объясните смысл фразы «частота колебаний равна 3 Гц».
В физике колебаний широко используется еще одна частота – циклическая частота ,
показывающая число колебаний за 2 секунд:
  2 
2

2

;T 
T
2

2-05
Проведите экспериментальное исследование колебаний математического маятника.
От каких параметров зависит период колебаний математического маятника?
2-06
Проведите экспериментальное исследование колебаний пружинного маятника. От
каких параметров зависит период колебаний пружинного маятника?
Обработать результаты экспериментов можно с использованием компьютерных
лабораторий.
Результаты экспериментов с пружинным и математическим маятниками показывают,
что частота и период колебаний не зависят от начальных условий, а определяются
только характеристиками колеблющейся системы. Например, период колебаний
математического маятника зависит от длины подвеса и не зависит от амплитуды
колебаний, начального угла, начальной скорости шарика. Этот факт позволяет сделать
предположение, что период колебаний не обязательно искать экспериментальным
путем.
Задача. Найти период гармонических незатухающих колебаний пружинного маятника
со следующими параметрами: k = 3 Н/м, m = 0,05 кг, А = 0,1 м. Сравнить теоретически
полученный результат с экспериментально определенным периодом T = 0,8 с.
Мы предположили, что для нахождения формулы периода колебаний может
пригодиться формула для расчета максимальной скорости колеблющегося тела. В
нашем классе было реализовано три способа нахождения максимальной скорости тела.
§16
Применение энергетического способа дало следующий результат:
m  A
§17
k
3
  m  0,1 
 0.8 (м/с).
m
0,05
Применение динамического (силового) способа дало другой результат:
m 
k AT
3  0,1  0,8
 m 
 1,2 (м/с).
4m
4  0,05
Применение кинематического способа дало численный результат, совпадающий с
энергетическим способом:
§18
Допустим, что ошибка допущена в силовом способе решения. Попробуем обнаружить
m 
2
2  0,1
A  m 
 0,8 (м/с )
T
0.8
ошибку, проанализировав наши действия по шагам (см. таблицу).
Перенесите таблицу в тетрадь. В последнем столбике оцените каждый шаг с
помощью значков: «+»  правильно, «»  неправильно, «?»  не знаю, сомневаюсь.
1. Второй закон Ньютона в проекции на ось X
Fупр = ma
2. Закон Гука
Fупр = kА
3. Формула для ускорения тела
a
4. Вычисление ускорения
kA
m
5. Определение ускорения
a = 6 м/с2


  2  1
a
t
6. Определение максимальной скорости
m = at
7. Вычисление времени движения
t = T/4 = 0,2 (с)
8. Вычисление максимальной скорости
m = 1,2 м/с
Проверьте себя. При поиске ошибки надо рассмотреть

ограничения, в которых можно применять тот или иной закон,
формулу. Закон Гука справедлив при упругих деформациях – мы
исходим из этого предположения. Второй закон Ньютона
применим в инерциальных системах отсчета – тоже поступили
правомерно. Сумма трех сил действительно равна силе упругости –
следовательно, второй закон Ньютона применили правильно.
t
Определение ускорения справедливо для равноускоренного
движения – мы имеем дело с переменной силой, следовательно,
ускорение меняется. Колеблющееся тело только в первый момент имело ускорение 6
м/с2. За время T/4 это ускорение уменьшилось до 0 (кусок синусоиды), мы же считали,
что оно осталось прежним (кусок прямой) – см. рисунок.
Вывод: там, где сила изменяется с течением времени, динамический подход
может дать ошибочный результат (это «ошибкоопасное место»).
Воспользуйтесь схемой, в которой объединены результаты энергетического и
кинематического способов, и получите формулы для периода T, циклической частоты
, частоты  гармонических колебаний.
Энергетический способ
=
m  A
k
m
T  2
m 
m
k
2
A
T
Кинематический способ
=
Экспериментальная задача. Возьмите разные пружины и грузики. С помощью
формулы рассчитайте периоды колебаний разных пружинных маятников и затем
проверьте свои результаты экспериментально.
Опыт №
k, Н/м
m, кг
Tтеор, c
Tэксп, c