L9-1

Лекция 9
Закон сохранения момента импульса
Моменты импульса и силы. Уравнение моментов для системы тел.
Закон сохранения момента импульса. Закон площадей.
Собственный момент импульса. Уравнение моментов
относительно движущего начала.
Еще одной важной векторной величиной, характеризующей механическое состояние
системы, является момент импульса.
Момент импульса частицы с импульсом p относительно точки О определяется как:
L  [rp]  m[rv] ,
(9.1)
где r – радиус-вектор, характеризующий положение частицы относительно точки О
(рис. 9.1). Определенный вектор L перпендикулярен векторам r , v и составляет с
ними правую тройку. Его величина равна
Рис. 9.1
Рис. 9.2
L  pr sin   p ,
(9.2)
где ℓ – длина перпендикуляра, опущенного из точки О на направление импульса, и
называется плечом импульса (рис. 9.1). Продифференцируем момент импульса по
времени:
dL  dr

dt  dt
  dp 
p   r  .
  dt 
Первое слагаемое в правой части тождественно равно нулю как векторное
произведение параллельных векторов: [vp]  m[vv]  0 . Если точка O неподвижна в
инерциальной системе отсчета, то временная производная импульса частицы
относительно нее равна равнодействующей силе, действующей на частицу. Так что,
dL dt  [rF ] ,
(9.3)
где вектор
[rF ]  M
(9.4)
называется моментом силы, относительно точки О. Его величина равна произведению
силы на плечо силы относительно точки О (рис. 9.2):
M  Fr sin   Fd .
(9.5)
Вектор M составляет с векторами r и F правую тройку.
Значит, в ИСО момент импульса частицы относительно неподвижной точки О связан
с моментом действующей на нее силы соотношением
dL
M
dt
,
(9.6)
которое называется уравнением моментов.
Заметим, что определения (9.1), (9.4) и уравнение моментов (9.6) верны как в
ньютоновской, так и в релятивистской механике.
Моменты силы и импульса не изменятся, если векторы импульса или силы
переместятся вдоль линий их действия (соответствующие им плечи ℓ и d не
меняются).
Рис. 9.3
Уравнение моментов (9.6) можно обобщить на случай системы материальных точек
(рис. 9.3). Пусть в системе, состоящей из n частиц, частицы в ИСО имеют импульсы
p1 , p2 ,..., pn
и подвергаются воздействию сил
F1 , F2 ,..., Fn .
Для любой i-той частицы
верно уравнение (9.3)
dLi
 [ri Fi ]  [ri Fi внут ]  [ri Fi внеш ],
dt
(9.7)
где силу, действующую на i-тую частицу, представили в виде суммы внутренних и
внешних сил
Fi  Fi внут  Fi внеш . Здесь
n
Fi внут   Fik Fi1  Fi 2  Fi 3  ...  Fin
k 1
k  i .
Учитывая (9.8), для отдельных частиц уравнение (9.7) дает:
(9.8)
dL1 dt   r1 F12    r1 F13   ...  r1 F1внеш  ;
dL2 dt   r2 F21    r2 F23   ...   r2 F2внеш  ;
(9.9)
......................................................................
dLn dt   rn Fn1    rn Fn 3   ...   rn Fnвнеш  .
Полный момент импульса относительно точки О для всей системы определяется
как векторная сумма моментов импульса относительно точки О составляющих эту
систему частиц:
n
L   Li .
(9.10)
i 1
Нашей целью является получение уравнения, описывающего изменение полного
момента импульса системы по времени. Для этого продифференцируем по времени
вектор полного момента импульса (9.10) и учтем уравнения (9.9):
dL
dL
dL dL
dL d
  Li  1  2  ...  n   i 
dt dt i
dt
dt
dt
dt
i
внеш
   ri Fik     ri Fi  
ik
i
  r1 F12    r2 F21   ...   r1 F1n    rn Fn1  
(9.11)
  r2 F23    r3 F32   ...   r2 F2 n    rn Fn 2  
  r1 F1внеш    r2 F2внеш   ...   rn Fnвнеш  .
В третьей и четвертой строках полученного выражения выделены моменты сил
попарного взаимодействия частиц. С учетом третьего закона Ньютона
Fik   Fki ,
(9.12)
и в предположении, что частицы взаимодействуют с центральными силами
Fik  f  rik  rˆik ,
где
rik  ri  rk –
радиус-вектор
взаимного
положения
(9.13)
i-той
и
k-той
частиц,
выражения в скобках в третьей и четвертой строках (9.11), которые представляют
суммарный момент внутренних сил (главный вектор момента внутренних сил),
будут тождественно равны нулю. Действительно, каждая скобка представляет
собой выражение
rik Fik    rk Fki    ri  rk   Fik  f  rik  rik rˆik   0 ,
где мы воспользовались (11.12) и (11.13). Значит, внутренние силы не могут менять
полный момент импульса. Так что, временная производная полного момента
импульса системы относительно точки O равна суммарному моменту внешних
сил относительно той же точки
dL
   ri Fi внеш   M внеш .
dt
i
(9.14)
Это уравнение моментов для механической системы, согласно которому
полный
момент импульса может меняться только и только под воздействием
суммарного момента внешних сил. Причем, приращение момента импульса системы за
время t равно
L  0 M внеш dt .
t
(9.15)
Уравнение моментов (9.14) дает условия сохранения полного момента импульса
системы:
если суммарный момент внешних сил относительно точки О равен нулю, то
полный момент импульса относительно той же точки будет сохраняться
L   ri pi   const ,
i
если
M   ri Fi внеш   0.
(9.16)
i
Условие сохранения момента импульса (9.16) может осуществляться в следующих
важных случаях:
- когда система замкнута
Fi внеш  0, i  1,2,..., n .
В этом случае полный момент
импульса сохраняется относительно произвольной точки,
- когда механическая система находится во внешнем центральном силовом поле. В
этом случае относительно силового центра поля О момент внешней силы, действующей
ri Fi внеш   0 (рис.9.4), так как по определению
Fi внеш  f  ri  rˆi . Таково положение планетной системы
на любую из частиц, равен нулю
центрально-симметричного поля
в поле тяготения Солнца.
Рис. 9.4
Рис. 9.5
Заметим, что в центрально-симметричном силовом поле полный момент
импульса системы сохраняется лишь относительно силового центра O.
Относительно другой точки он не будет сохраняться. Хотя относительно точки O момент
внешней силы, действующей на любую частицу, равен нулю, тем не менее, моменты
импульса отдельных частиц не сохраняются, так как момент внутренних сил,
действующих на любую из них, не равен нулю. В частном случае, когда
взаимодействия между частицами отсутствуют, момент импульса каждой частицы также
будет сохраняться относительно центра силового поля О. Например, при изучении
движения планет в Солнечной системе в грубом приближении можно не учитывать
действующие на нее силы и моменты сил со стороны других планет и считать ее момент
импульса относительно Солнца неизменным. В этом случае для движения любой
планеты верен закон площадей.