Четность и нечетность функций Функция называется четной, если для любого значения х из ее области определения значение – х также принадлежит области определения и верно равенство f( - x)=f(x). Область определения четной функции симметрична относительно нуля. График четной функции симметричен относительно оси Оу. Функция называется нечетной, если для любого значения х из ее области определения значение – х также принадлежит области определения и верно равенство f( - x)= - f(x). Область определения нечетной функции симметрична относительно нуля. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных – нечетна. Доказательство: f(x)+g(x)=f( - x)+g( - x)=f(x)+g(x). Произведение двух четных функций является четной функций, произведение двух нечетных функций также является четной функций. Произведение четной и нечетной функции – нечетно. Доказательство: (fg)( - x)=f( - x)g( - x)=f(x)g(x)=(fg)(x). 1 Если функция f четна (нечетна), то и функция четна (нечетна). 𝑓 Доказательство: если функция f четна и f(x)0, то 1 𝑓(−𝑥) = 1 . 𝑓(𝑥) Если Х симметрично относительно начала координат, то любая заданная на Х функция f является суммой четной и нечетной функций f=g+h, где 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥) 2 , ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥) 2 . 𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥) 𝑓(−𝑥)−𝑓(𝑥) Доказательство: 𝑔(−𝑥) = = 𝑔(𝑥), ℎ(−𝑥) = = −ℎ(𝑥). 2 2 Отсюда следует, что функция g(x) четна, а функция h(x) нечетна. При этом 𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥) 𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥) 𝑓(𝑥) = + = 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥). 2 2 Примеры решения задач Пример 1. Определить четность (нечетность) функции Решение: функция 𝑥 2 +4 3𝑥 6 +𝑥 4 +7 6 𝑥 2 +4 . 3𝑥 6 +𝑥 4 +7 является четной, поскольку четны функции 𝑥 2 + 4 ((−𝑥)2 + 4 = 𝑥 2 + 4) и 3𝑥 + 𝑥 4 + 7, а 𝑥 2 +4 3𝑥 6 +𝑥 4 +7 = (𝑥 2 + 4) 1 3𝑥 6 +𝑥 4 +7 . Ответ: четная Пример 2. Исследовать функцию на четность: 1) 𝑦 = 𝑥4 ; 2) 𝑦 = 𝑥 2 +1 𝑥 4 −3𝑥 2 |𝑥−2| ; 3) 𝑦 = 𝑥|𝑥| − 4𝑥 7 . Решение. 𝑥4 1) Замечаем, что функция 𝑦 = 2 имеет D(y)=R, следовательно, функция 𝑥 +1 определена на симметричном множестве. 𝑦= (−𝑥)4 = 𝑥4 (−𝑥)2 +1 𝑥 2 +1 . Отсюда следует, что функция четная. 2) Функция 𝑦 = 𝑥 4 −3𝑥 2 |𝑥−2| имеет D(y)=( - ∞; 2)(2; +∞). Так как D(y) не является симметричным множеством, второе условие проверять необходимости. Эта функция не обладает свойством четности. нет 3) Очевидно, что функция 𝑦 = 𝑥|𝑥| − 4𝑥 7 имеет D(y)=R т.е. определена на симметричном множестве и для нее справедливо равенство: 𝑦 = −𝑥|−𝑥| − 4(−𝑥)7 == −𝑥|𝑥| + 4𝑥 7 =−(𝑥|𝑥| − 4𝑥 7 ). Отсюда следует, что функция нечетная. Упражнения 1. Определите, является функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной: 1) 5) 9) 1 1+𝑥+𝑥 2 + 2) (𝑥 + 1)4 + (𝑥 − 1)4 1 1−𝑥+𝑥 2 6) 𝑥 4 − 4𝑥 + 5 𝑥 3 −𝑥 7) 𝑥 2 +1 𝑥 4 +𝑥 2 +1 10) 𝑥 2 +1 3) 𝑥+4 𝑥−4 + 𝑥−2𝑥 3 1+2𝑥 2 𝑥−4 𝑥+4 4) 𝑦 = 𝑥 4 − 8) −𝑥 2 +1 2+𝑥 2 𝑥 3 +1 𝑥 2 +1 2. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функций: 1) 3𝑥 2 − 𝑥 + 7 2) 𝑥 2 +4 𝑥 3 +1 3) 4) 𝑥2 2 5) 9) 𝑥 2 +1 6) 7) 8) 𝑥 2 +𝑥+1 𝑥 3 +1 10) 𝑥 2 +4 3. Найдите ось симметрии для графиков функций: 1) (𝑥 − 3)4 + 2(𝑥 − 3)2 + 5 2) 3) 4) 5) 𝑥 2 − 3𝑥 + 5 6) 7) 8) 9) 10) 4. Найдите центр симметрии для графиков функций: 1) (𝑥 − 2)3 + 3(𝑥 − 2) − 6 2) 3) 4) 5) (𝑥 + 4)5 + (𝑥 + 4)3 − 1 6) 7) 8) 9) 10) 5. Определите по графику четной или нечетной является функция: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 6. Определите четность или нечетность функции: 1) 𝑓(𝑥) = 16𝑥 2 𝑥 2 +1 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 13 − 2𝑥 21 √𝑥 8 3) 𝑓(𝑥) = √𝑥 4 + 4𝑥 2 + 4 − √𝑥 2 4) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 𝑥 2 −9 5) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 2 − 4𝑥 8 + |𝑥| + 6) 𝑓(𝑥) = (𝑥 3 )5 + 3 2 (𝑥 11 )3 𝑥 6 −1 7) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −4 |𝑥| 10 8) 𝑓(𝑥) = √5𝑥 2 − 3 + 9) 𝑓(𝑥) = 𝑥√25𝑥 12 − 6𝑥 𝑥 5 −𝑥 3 √3𝑥 2 − 5 𝑓(𝑥) = 10) (𝑥−1)(𝑥+1) 𝑥 7. Функции f и g определены на множестве всех действительных чисел. Является ли функция h четной или нечетной, если: 1) h(x)=f(x)g2(x), 2) h(x)=f(x)g2(x), f – четная функция, g – f и g – четные функции нечетная 3) h(x)=f(x)+g(x), f и g – нечетные функции 4) h(x)=f(x)g(x), 5) h(x)=f(x)g2(x), 6) h(x)=f(x)+g(x), f и g – нечетные функции f и g – нечетные функции f и g функции 7) h(x)=f(x)g(x), 8) h(x)=f(x)g(x), 9) h(x)=f(x)-g(x), f – четная функция, g – f и g – четные функции нечетная – четные f – четная функция, g – нечетная 10) h(x)=f(x)g2(x), f – нечетная функция, g – четная 8. Найдите: 1) 𝑓(−3) + 𝑓(4), если f(x) – нечетная 2) 𝑓(−2) + 𝑓(5), если f(x) – четная функция и f(3)= - 7; f( - 4)=3 функция и f(2)=3; f( - 5)=2 3) 2𝑓(−3) − 𝑓(4), если f(x) – четная 4) функция и f(3)= - 7; f( - 4)=5 5) 4𝑓(5) + 𝑓(−2), если f(x) – нечетная 6) функция и f( - 5)=3; f(2)= - 8 7) 8) 9) 10)