Laba_5

Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет информационных технологий и управления
Кафедра ИТАС
Отчет
по лабораторной работе №5
«Оценивание законов распределения скалярных
случайных величин»
Выполнили:
Проверил:
ассистент
Трофимович А.Ф.
Минск, 2012
1. Цель работы.
Изучение оценок законов распределения скалярных случайных
величин.Приобретение навыков получения оценок законов распределения
скалярных случайных величин с помощью системы программирования
Matlab.
2. Задание.
2.1. Получить (смоделировать) выборки из приведенных одномерных
распределений. Для этого использовать программы, описанные в
лабораторной работе № 3.
2.2. Для каждого распределения вывести на экран в одно графическое
окно гистограмму и генеральную плотность вероятности, а в другое
графическое окно – эмпирическую функцию распределения и
генеральную функцию распределения. Для вывода генеральных
плотностей вероятности и функций распределения использовать
программы, описанные в лабораторной работе № 1. Для согласования
масштабов гистограммы и генеральной плотности вероятности
необходимо генеральную плотность вероятности умножить на
коэффициент
x(n) − x(1)
k = n∆= n
l
2.3. Исследовать сходимость эмпирических распределений к
генеральным при увеличении объема выборки n.
3. Выполнение работы.
3.1. Равномерное распределение.
1
𝑎<𝑥<𝑏
𝑓𝜉 (𝑥) = {𝑏 − 𝑎 ,
0,
𝑥 ≤ 𝑎, 𝑥 ≥ 𝑏
Для равномерного распределения смоделируем и получим выборку. На
рисунке 1 представлена эмпирическая функция распределения и генеральная
функция распределения. На рисунке 2 представлена гистограмма и
генеральная плотность вероятности для распределения хи-квадрат.
Рисунок 1 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция
равномерного распределения при n=100
Рисунок 2 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для
равномерного распределенияприn=100
Код программы:
function [y] = ravn( a, b )
y = 0;
fori=1:100
y = a+(b-a)*rand;
end
return
clc
clear
a=0.1;
b=4;
n=100;
L=20;
fori = 1:1:n
xunsorted(i) = ravn (a,b);
y(i) = i/n;
end
xsorted = sort(xunsorted);
k = (n*(xsorted(n) - xsorted(1)))/L;
ygen = unifcdf(xsorted,a,b);
fgen = k*unifpdf(xsorted,a,b);
figure
holdon
gridon
plot(xsorted,ygen,'r');
stairs(xsorted,y,'b');
figure
holdon
gridon
hist(xsorted,L);
plot(xsorted,fgen+2,'r');
Исследуем сходимость эмпирических распределений к генеральным
при увеличении объема выборки n.
Для n=1000 эмпирическая функция распределения и гистограмма
приведены на рисунке 3 и 4 соответственно.
Рисунок 3 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция
равномерного распределения при n=1000
Рисунок 4 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для
равномерного распределенияприn=1000
Для n=7000 эмпирическая функция распределения и гистограмма
приведены на рисунке 5 и 6 соответственно.
Рисунок 5 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция
равномерного распределения при n=7000
Рисунок 6 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для
равномерного распределенияприn=7000
3.2.
Распределение хи-квадрат.
Для распределения хи-квадратсмоделируем и получим выборку. На
рисунке 7 представлена эмпирическая функция распределения и генеральная
функция распределения. На рисунке 8 представлена гистограмма и
генеральная плотность вероятности для распределения хи-квадрат.
Рисунок 7 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция
распределения хи-квадрат при n=100
Рисунок 8 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для
распределения хи-квадрат приn=100
Кодпрограммы:
function x=hi(kf)
x = 0;
fori=1:1:length(kf)
x = x+normrnd(0,1)^2;
end
return
clc
clear
n = 100;
L=20;
kf =1;
y = [];
fori=1:n
xsorted(i) = hi(kf);
y(i) = i/n;
end
xsort=sort(xsorted);
k=(n*(xsort(n)-xsort(1)))/L;
ygen=chi2cdf(xsort,kf);
fgen=k*chi2pdf(xsort,kf);
figure
holdon
gridon
plot(xsort,ygen,'r');
stairs(xsort,y,'b');
figure
holdon
gridon
hist(xsort,L);
plot(xsort,fgen,'r');
Исследуем сходимость эмпирических распределений к генеральным
при увеличении объема выборки n.
Для n=1000 эмпирическая функция распределения и гистограмма
приведены на рисунке 9 и 10 соответственно.
Рисунок 9 – Эмпирическая функция распределения и генеральная функция
распределения хи-квадрат при n=1000
Рисунок 10 – Гистограмма и генеральная плотность вероятности для
распределения хи-квадрат приn=1000
3.3.
Экспоненциальное распределение.
Для экспоненциального распределения смоделируем и получим
выборку. На рисунке 11 представлена эмпирическая функция распределения
и генеральная функция распределения. На рисунке 12 представлена
гистограмма и генеральная плотность вероятности для экспоненциального
распределения.
Рисунок 11 - Эмпирическая функция распределения и генеральная функция
экспоненциального распределения при n=100
Рисунок 12 - Гистограмма и генеральная плотность вероятности для
экспоненциального распределения приn=100
Кодпрограммы:
function r = exponential(lambda)
fori=1:1:length(lambda)
r(i) = -lambda(i)*log(unifrnd(0,1));
end
end
clc
clear
lambda = 1;
n = 100;
L = 20;
fori = 1:1:n
xunsorted(i) = exponential(lambda);
y(i) = i/n;
end
xsorted = sort(xunsorted);
k = (n*(xsorted(n) - xsorted(1)))/L;
ygen = expcdf(xsorted,lambda);
fgen = k*exppdf(xsorted,lambda);
figure
holdon
gridon
plot(xsorted,ygen,'r');
stairs(xsorted,y,'b');
figure
holdon
gridon
hist(xsorted,L);
plot(xsorted,fgen,'r');
Исследуем сходимость эмпирических распределений к генеральным
при увеличении объема выборки n.
Для n=1000 эмпирическая функция распределения и гистограмма
приведены на рисунке 13 и 14 соответственно.
Рисунок 13 - Эмпирическая функция распределения и генеральная функция
экспоненциального распределения при n=1000
Рисунок 14 - Гистограмма и генеральная плотность вероятности для
экспоненциального распределения при n=1000
4. Вывод.
При увеличении объема выборки сходимость эмпирической функции
равномерного
распределения,
распределения
хи-квадрат
и
экспоненциального распределения к генеральной функции распределения
увеличивается.