Глава 7. Системы линейных уравнений

ГЛАВА 7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
7.1. Основные понятия
Система m линейных уравнений с n неизвестными (или кратко линейная система) имеет следующий вид:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,
a x  a x  ...  a x  b ,
(7.1)
. .21. .1. . . .22. . .2 . . . . . . .2.n . .n . . . .2 . .

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm .
В общем случае число уравнений в системе не обязательно совпадает с числом неизвестных: m может быть меньше, равно или больше
числа n. При этом через x1 , x2 ,...,xn обозначены неизвестные, подлежащие определению; величины а11 , а12 ,...,а mn , называемые коэффициентами системы, и величины b1 , b2 ,...,bm , называемые свободными
членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы
ai j имеет два индекса, первый из которых i указывает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Система (7.1) называется однородной, если все её свободные члены b1 , b2 ,...,bm равны нулю. Если хотя бы один из свободных членов
b1 , b2 ,...,bm отличен от нуля, то система (7.1) называется неоднородной.
Система (7.1) называется квадратной, если число m составляющих её уравнений равно числу неизвестных n. В более краткой записи
с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:
n
 ai j x j  bi i  1, 2,..., m.
(7.2)
j 1
О п р е д е л е н и е 1. Совокупность n чисел 1 ,  2 ,...,  n называется решением системы (7.1), если после замены неизвестных
x1 , x2 ,...,xn числами 1 ,  2 ,...,  n соответственно каждое из уравнений системы превращается в верное числовое равенство.
П р и м е р 1.
 x  y  z  1,
2 x  2 y  2 z  3 .

Эта система двух уравнений с тремя неизвестными решений не
имеет, так как любая тройка чисел, удовлетворяющая первому уравнению, очевидным образом не может удовлетворять второму.
121
П р и м е р 2.
 x  y  1,
2 x  7 y  3 .

Легко видеть, что эта система имеет единственное решение: x = 2,
y = – 1.
П р и м е р 3.
 x  y  1,

2 x  2 y  2,

3x  3 y  3.
Пара чисел x = 1, y = 0 есть решение этой системы трёх уравнений
с двумя неизвестными, а пара x = – 1, y = 2 – другое решение. Эта система имеет бесконечно много других решений, так как значения
x=  , y  1   при любом  удовлетворяют системе.
Приведенные примеры систем показывают, что, вообще говоря,
система может либо вовсе не иметь решений, либо иметь единственное
решение, либо иметь их несколько (как видно будет в дальнейшем, в
последнем случае система всегда имеет бесконечно много решений).
О п р е д е л е н и е 2. Система (7.1) называется совместной, если
она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если не
имеет ни одного решения.
Следовательно, система примера 1 несовместна, а системы примеров 2 и 3 совместны.
О п р е д е л е н и е 3. Совместная система вида (7.1) называется
определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если у неё существуют, по крайней мере, два различных
решения.
Два решения совместной системы вида 1 ,  2 ,...,  n и 1 , 2 ,..., n
называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств
1  1 ,  2  2 , ...,  n  n .
В частности, система примера 2 является определенной, а система
примера 3 – неопределенной.
Относительно каждой системы линейных уравнений могут быть
поставлены следующие вопросы.
1) Совместна ли заданная система или нет?
2) В случае, если система совместна, как определить, сколько решений она имеет – одно или несколько?
3) Как найти все решения системы?
Ответы на все эти вопросы и должна дать теория систем линейных уравнений.
Весьма удобно записывать линейную систему (7.1) в матричной
форме. Введём следующие обозначения:
122
 x1 
 b1 
... а1n 


 

 b2 
 x2 
... a 2 n 
, X 
(7.3)
, B   ,

... ...
 ... 
 ... 

 


... a mn 
 bn 
 xn 
где А – матрица, составленная из коэффициентов системы, в дальнейшем будет называться матрицей системы; X – матрица-столбец
неизвестных; B – матрица-столбец свободных членов.
Согласно правилу умножения двух матриц произведение AX
представляет собой матрицу, содержащую m строк и один столбец, т. е.
один столбец следующего вида:
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n 


a x  a 22 x 2  ...  a 2 n x n 
.
(7.4)
AX   21 1
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 a x  a x  ...  a x 
m2 2
mn n 
 m1 1
 а11 а12

a 22
a
А   21
...
...

a
 m1 a m 2
Элементами полученной матрицы являются левые части системы
(7.1), а элементами матрицы B являются правые части той же системы.
На основании определения равенства двух матриц систему (7.1) можно
заменить теперь одним эквивалентным ей матричным уравнением
(7.5)
AX  B.
Решение матричного уравнения (7.5) заключается в отыскании такой матрицы X, которая при заданных матрицах A и B обращает уравнение (7.5) в тождество.
7.2. Система n линейных уравнений с n
неизвестными
Ограничимся сначала рассмотрением системы, у которой число
уравнений равно числу неизвестных. Пусть мы имеем систему n линейных уравнений с n неизвестными:
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,
 a x  a x  ...  a x  b ,
2
2n n
2
. .21. . 1. . . . 22
...................

 a n1 x1  a n 2 x 2 ...  a nn x n  bn .
(7.6)
Наложим определенные условия на коэффициенты системы (7.6).
Если этого не сделать, то нам придётся изучать здесь, например, и систему, состоящую из одного уравнения, повторённого n раз. Мы хотим,
чтобы все уравнения системы были в определённом смысле независимы. Уже в школьном курсе широко применялся следующий приём:
умножали первое уравнение на число  , второе уравнение на число  ,
123
а затем складывали эти уравнения почленно. Полученное уравнение
(его естественно назвать линейной комбинацией исходных уравнений)
является их следствием. Мы хотим, чтобы в системе (7.6) ни одно
уравнение не являлось линейной комбинацией остальных. Если это
выполнено, мы будем говорить, что уравнения линейно независимы.
Составим определитель n-го порядка
a11
a
  21
...
a n1
a12
a 22
...
an2
... a1n
... a 2 n
,
... ...
... a nn
элементами которого являются коэффициенты при неизвестных системы (7.6). Он называется определителем системы (7.6).
Для линейной независимости уравнений системы (7.6) достаточно потребовать теперь, чтобы определитель системы был отличен от
нуля.
Действительно, заметим, что при умножении какого-нибудь уравнения на число соответствующая строка определителя системы умножается на это число. При сложении уравнений строки определителя
складываются. Поэтому, если одно из уравнений является линейной
комбинацией остальных, соответствующая строка определителя системы есть линейная комбинация остальных строк. Из свойства 3° линейности определителя по строке и следствия 1 п. 6.3 следует, что при
этом определитель системы равен нулю.
Для получения решения системы (7.6) матричным способом заменим её (как и в п. 7.1) эквивалентным матричным уравнением
(7.7)
AX B,
где А – матрица системы, X – матрица-столбец неизвестных, B –
матрица-столбец свободных членов.
Так как определитель   | A | отличен от нуля, то существует об1
ратная матрица A .
Умножая слева обе части матричного уравнения (7.7) на матрицу
A 1 , будем иметь
A 1  A X   A1 B.
В силу сочетательного свойства произведения трёх матриц и
определения единичной матрицы имеем


A1  A X   A1 A X  En X  X ,
поэтому решением системы (7.6) будет матрица-столбец
X  A 1 B.
(7.8)
124
Легко проверить, что столбец X обращает уравнение (7.7) в тождество:
A X  A A1 B  A A1 B  En B  B.
Решение (7.8) в развёрнутой форме примет вид

 

 A11 A21 ... An1
 x1 



x
1
 2    A12 A22 ... An 2
 ...    . . . . . . . . . . .
 A A ... A
x 
nn
 n 
 1n 2 n
или после умножения матриц






 b1

 b2
 ...
b
 n


,



 b1 A11  b2 A21  ...  bn An1 
 x1 




x
 2   1  b1 A12  b2 A22  ...  bn An 2  .
 ...    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 b A  b A  ...  b A 
x 
2 2n
n nn 
 n 
 1 1n
Отсюда следует, что для любого j ( j = 1, 2, …, n)
j
1
x j   b1 A1 j  b2 A2 j  ...  bn Anj  
,


(7.9)
где  j – определитель матрицы, полученной из матрицы A заменой
её j-го столбца столбцом свободных членов:
b1 a12
b a
1  2 22
... ...
bn an 2
...
...
...
...
a1n
a11 b1
a2n
a b
,  2  21 2
...
... ...
ann
an1 bn
...
...
...
...
a1n
a11 a12
a2n
a
a
, ...,  n  21 22
...
... ...
ann
an1 an 2
...
...
...
...
b1
b2
.
...
bn
Формулы (7.9) получили название формул Крамера.
Тем самым доказано, что квадратная система линейных уравнений (7.6) с определителем системы, отличным от нуля, имеет и притом единственное решение, определяемое матричным соотношением
(7.8) или эквивалентными ему формулами Крамера (7.9).
Основное значение формул Крамера состоит в том, что они дают
явное выражение для решения квадратной системы линейных уравнений (с определителем, отличным от нуля) через коэффициенты уравнений и свободные члены. Однако при больших n решение по формулам
Крамера и матричным способом весьма трудоёмко, что связано с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. При n > 3
квадратные системы, а также системы, в которых либо определитель
равен нулю, либо число уравнений вообще не равно числу неизвестных, решаются другими методами, более экономными в вычислительном отношении.
125
П р и м е р. Решить систему уравнений
 x1  2 x2  x3  1 ,

2 x3  4 ,
3x1 
4 x  2 x  5 x  2
2
3
 1
а) матричным способом; б) по формулам Крамера.
Р е ш е н и е. а) Обозначим
 1 2  1


A   3 0 2 ,
 4  2 5


 x1 
 
X   x2  ,
x 
 3
1
 
B   4 .
2
 
Так как определитель системы   | A |  4 , то матрица А невырожденная, и существует обратная матрица, равная (согласно примеру
п. 6.4)
 4  8 4

1
A1     7 9  5  .
4

  6 10  6 
По формуле (7.8) находим решение системы в матричной форме:
 4 8 4   1 
  20   5 
  
 

1
1
1
X  A B     7 9  5   4     19     19 4  .
4
4
  
 

  6 10  6   2 
 22    11 2 
Используя определение равенства двух матриц, получаем
19
11
x1  5, x2   , x3   .
4
2
б) Найдем определитель системы   | A |  4 . Так как   0 , то
решение системы по формулам Крамера имеет вид



x1  1 , x2  2 , x3  3 .



Вычисляем определители 1 ,  2 ,  3 , получаемые из определителя  заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов
столбцом свободных членов:
1 2 1
1 1 1
1 2 1
1  4 0
2 2
2  20 ,
5
2  3 4
4 2
2  19 ,
5
 3  3 0 4  22 .
4 2 2
19
11
, x3   .
4
2
Подстановкой найденных значений в уравнения системы убеждаемся, что они обращаются в верные равенства.
Следовательно, x1  5, x 2  
126
7.3. Элементарные преобразования матриц и систем
линейных уравнений
Прежде чем перейти к решению произвольных систем линейных
уравнений, нам необходимо познакомиться с некоторыми сведениями,
относящимися к теории матриц. Это отступление обусловлено тем, что
произвольная система линейных уравнений (7.1) с точностью до обозначения неизвестных вполне определяется таблицей коэффициентов
при неизвестных и свободными членами, и поэтому свойства системы
должны проявляться в свойствах соответствующей матрицы.
Пусть дана матрица
 a11

a
A   21
...

a
 m1
a12
a 22
...
am2
... a1n 

... a 2 n 
.
... ... 

... a mn 
(7.10)
Конечно, в частном случае допускается равенство m=n, т. е. матрица А
может быть квадратной.
О п р е д е л е н и е 1. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции:
1) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;
3) перестановка местами двух строк;
4) аналогичные операции над столбцами.
Применяя к матрице А какое-либо элементарное преобразование,
мы получаем новую матрицу А'. Для этих двух матриц справедливо
следующее предложение.
П р е д л о ж е н и е. Элементарные преобразования матрицы обратимы, т. е. если матрица А получается из А при помощи какоголибо элементарного преобразования , то и матрица А может быть получена из А также при помощи некоторого элементарного преобразования (называемого обратным к первому).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрица А получается из А
умножением i-й строки на число c  0 . Умножая i-ю строку матрицы
1
А на число c (т. е. применяя к А элементарное преобразование),
мы получим исходную матрицу А .
Пусть А получается из А прибавлением к i-й строке элементов
j-й строки, умноженных на число  . Прибавляя к элементам i-й строки
матрицы А элементы её j-й строки, умноженные на   , мы возвращаемся к матрице А .
127
Наконец, если А получается из А перестановкой i-й и j-й
строк, то, переставляя в А те же i-ю и j-ю строки, мы снова получим
исходную матрицу А .
Совершенно аналогичным образом проверяется обратимость элементарных преобразований над столбцами.
Рассмотрим теперь произвольную линейную систему (7.1). Матрица А , определенная формулой (7.10) и составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (7.1), а матрица
 a11 a12 ... a1n b1 


 a 21 a 22 ... a 2 n b2 
(7.11)
B
,
...
... ... ...
... 


a

 m1 a m 2 ... a mn bm 
получающаяся из А добавлением столбца из свободных членов системы (7.1), называется расширенной матрицей системы (7.1). Матрица
B, очевидно, вполне определяет систему (7.1) с точностью до обозначения неизвестных.
О п р е д е л е н и е 2. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие операции:
1) умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное
от нуля;
2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;
3) перестановка местами двух уравнений в системе.
Выполняя элементарное преобразование в системе, мы получаем
новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствует аналогичное преобразование над строчками расширенной матрицы В этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию над строчками расширенной матрицы В
соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строчками её расширенной матрицы. Отсюда следует, в частности, что элементарные преобразования
системы обратимы, т. е. если мы, сделав элементарное преобразование, перешли от одной системы к другой, то мы можем вернуться от
полученной новой системы к первоначальной, выполнив опять некоторое элементарное преобразование.
О п р е д е л е н и е 3. Две системы линейных уравнений с одинаковыми неизвестными x1 , x2 , ...,xn называются равносильными, если
каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот
(или если обе системы несовместны).
Заметим, что число уравнений в системах может быть при этом
различным.
128
Итак, если мы имеем две равносильные системы, то, определив
решение одной из них, мы тем самым будем знать решение другой.
Ясно, что решать мы будем ту систему, которая проще.
Заметим, что уравнение вида
0  x1  0  x2  ... 0  xn  0
удовлетворяется, очевидно, при любых значениях неизвестных. Следовательно, если мы припишем такое уравнение к некоторой системе
или, наоборот, вычеркнем его из системы, то новая система будет равносильна первоначальной.
Напротив, если в системе встретилось уравнение вида
0  x1  0  x2  ... 0  xn  b, b  0 ,
то такому уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных и, следовательно, система будет несовместной. Уравнение такого вида будем называть противоречивым. Наличие в системе противоречивого уравнения свидетельствует о том, что система не имеет
решений.
Справедлива следующая теорема об элементарных преобразованиях системы.
Т е о р е м а. При элементарных преобразованиях система (7.1)
переходит в равносильную систему.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для простоты в системе (7.1) m=2,
тогда она примет вид:
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,

a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2n x n  b2 .
(7.12)
При элементарных преобразованиях типа 1) и 2) новая система
будет иметь вид
(7.13)

c  a11 x1  c  a12 x2  ...  c  a1n xn  c  b1 ,


a21    a11  x1  a22    a12  x2  ...  a2n    a1n  xn  b2    b1.
Убедимся, что системы (7.12) и (7.13) равносильны. Действительно, если числа 1 , 2 ,..., n являются решением системы (7.12), то
уравнения этой системы превращаются в числовые равенства, но тогда
будут числовыми равенствами и уравнения системы (7.13).
Значит, числа 1 , 2 ,..., n будут решением системы (7.13) (в случае элементарного преобразования типа 3) это очевидно). Благодаря обратимости элементарных преобразований справедливо и
обратное: всякое решение системы (7.13) является решением и
системы (7.12). Таким образом, если системы (7.12) и (7.13) имеют
решения, то эти решения для обеих систем одинаковы. Ясно та к129
же, что если одна из систем несовместна, то несовместной будет и
другая система. Следовательно, системы (7.12) и (7.13) равносильны, а это и требовалось доказать.
С л е д с т в и е. Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы соответствуют преобразования системы линейных
уравнений в равносильную систему.
7.4. Метод Гаусса
При помощи элементарных преобразований мы можем значительно упростить заданную систему. Решив упрощённую систему, мы
найдем тем самым и решение исходной системы. При этом упрощений
можно достигать, конечно, разными способами.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в том,
что последовательным исключением неизвестных при помощи элементарных преобразований систему приводят к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной или трапециевидной. После этого
уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.
Пусть задана произвольная система линейных уравнений (7.1).
Будем считать, что а11  0 (в противном случае можно произвести перестановку уравнений). Исключим сначала неизвестное x1 из всех
уравнений системы (7.1), кроме первого. Для этого прежде всего разделим обе части первого уравнения на коэффициент а11  0 ; тогда получим новую систему, равносильную данной:
a
a
a12
b

x 2  ...  1k x k  ...  1n x n  1 ,
 x1 
a11
a11
a11
a11

a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 k x k  ...  a 2 n x n  b2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a x  a x  ...  a x  ...  a x  b ,
i2 2
ik k
in n
i
 i1 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mk x k  ...  a mn x n  bm .
(7.14)
Умножим теперь первое уравнение системы (7.14) на а 21 и сложим его почленно со вторым уравнением. Затем умножим первое
уравнение системы (7.14) на а31 и сложим его с третьим уравнением
и так далее. В результате получим новую систему, также равносильную данной:
130
 x 2  ...  a1k x k  ...  a1n x n  b1 ,
 x1  a12

 x 2  ...  a 2 k x k  ...  a 2 n x n  b2 ,
a 22

..............................


a i 2 x 2  ...  a i k x k  ...  a i n x n  bi ,

.
.............................



 x k  ...  a mn
 x n  bm .
a
x  ...  a mk
m2 2

(7.15)
Здесь штрихами отмечены коэффициенты при неизвестных и свободные члены, полученные при первом шаге исключения неизвестных
по формулам
a
a
a1k  1k ; aik  ai k  1k ai1 ,  i  2 , 3 , ... , m; k  2 , 3 , ... , n ;
a11
a11
b1
b1
b1 
; bi  bi 
a ,  i  2 , 3 , ... , m .
a11
a11 i1
  0 (в противном случае всегда
Допустим, что в системе (7.15) а 22
можно изменить порядок следования уравнений или перенумеровать неизвестные). Разделим теперь второе уравнение системы (7.15) на коэф ; затем умножим второе уравнение полученной системы пофициент а 22
 ,..., аi2 ,..., a m
 2 и сложим поочередно с каждым
следовательно на а32
соответствующим уравнением системы, кроме первого и второго. Тогда
получим систему, равносильную системам (7.1), (7.14), (7.15):
 x 2  a13
 x3  ...  a1k x k  ...  a1n x n  b1 ,
 x1  a12

 x3  ...  a 2k x k  ...  a 2n x n  b2 ,
x 2  a 23



a
x  ...  a3k x k  ...  a3n x n  b3 ,

33 3

............ .................

 x  ...  a mk
 x k  ...  a mn
 x n  bm .
a
m3 3

(7.16)
Далее действия над уравнениями системы (7.16) будем продолжать аналогично. Если при этом появятся нулевые уравнения, т. е. равенства 0=0, их отбрасывают, поэтому можно считать, что в системе
(7.16) таких уравнений нет. Процесс указанных равносильных преобразований над системой линейных уравнений называется процессом
Гаусса.
В результате процесса Гаусса возможны следующие три случая.
1. При некотором преобразовании получаем противоречивое
уравнение, левая часть которого равна нулю, а правая отлична от нуля;
это свидетельствует о несовместности исходной системы (7.1).
2. Система (7.1) сводится к треугольному виду:
131
 x 2  ...  a1k x k  ...  a1n x n  b1 ,
 x1  a12

x 2  ...  a 2k x k  ...  a 2n x n  b2 ,

............... ........

(7.17)
 
 

x k  ...  a knk x n  bkk ,

.............

n 

x n  bn .

Покажем, что система уравнений (7.17) определена. Из последнего уравнения имеем xn  bnn  . Подставляя это значение xn во все
уравнения системы, начиная снизу, найдем последовательно значения
неизвестных xn1 , xn2 ,...,x1 . Система (7.1) равносильна системе (7.17),
поэтому полученное решение также будет единственным решением
системы (7.1), т. е. она является совместной и определённой.
3. Система (7.1) преобразуется в трапециевидную:
 x2  ...  a1k xk  . . . . . . . .  a1n xn  b1 ,
 x1  a12

x2  ...  a2k xk  . . . . . . . .  a2n xn  b2 ,

........ ......................

(7.18)
k 
k 

xk  . . . . . . . .  akn xn  bk ,

....................

s 
s 

xs  ...  a s n xn  bs ,

причём s < n.
Покажем, что система (7.18) является неопределённой. Для этого
в последнем уравнении системы (7.18) выразим x s через x s 1 ,...,xn ,
перенося члены с этими неизвестными в правую часть уравнения.
Перенося в каждом из уравнений системы (7.18) члены с неизвестными x s 1 ,...,xn в правую часть, получим систему вида
 x 2  ...  a1s x s  b1  a1,s 1 x s 1  ...  a1n x n ,
 x1  a12

x 2  ...  a 2s x s  b2  a 2,s 1 x s 1  ...  a 2n x n ,

(7.19)

..................................

x s  bss   a ss,s1 x s 1  ...  a ssn x n .

Придавая неизвестным x s 1 ,...,xn , которые называются свободными, произвольные значения  s 1 ,  s2 ,..., n , получим треугольную
систему вида (7.17), из которой последовательно найдём все остальные
неизвестные xs , xs1 ,...,x1 . Так как свободным неизвестным можно
придать любые значения, то исходная система (7.1) имеет бесчисленное множество решений, т. е. является неопределённой.
132
Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Т е о р е м а. 1) Если в процессе Гаусса появится уравнение 0  b ,
где b  0 , то исходная система несовместна, т. е. решений не имеет.
2) Если система приводится к треугольному виду, то она является
определённой, т. е. решение системы существует и единственно.
3) Если система приводится к трапециевидной форме, то она является неопределённой, т. е. имеет бесчисленное множество решений.
При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобно записывать её в виде расширенной матрицы системы (7.11), составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, и выполнять затем элементарные преобразования, указанные в процессе Гаусса, со строками расширенной матрицы. Это сокращает запись решения линейной системы и делает его более простым и
наглядным.
П р и м е р 1. Найти решение системы:
 x1  3x2  2 x3  x4  1,
 x  x  2 x  x  1,
1
2
3
4
 3 x  3 x  x  3 x  5,
1
2
3
4

 2 x1  4 x2  x3  2 x4  4.
Р е ш е н и е. Запишем эту систему в виде расширенной матрицы
системы и выполним действия, указанные в методе Гаусса, с её строками, используя символическую запись для краткого пояснения решения.
 1

1
 3

 2

1

1 2  1  1
3 1  3 5

4 1  2 4 
3 2
1
3
2
1
1

1
1
0
0
0  6  5  6

0  2  3  4

1

0
0

0

1

0
2

2 
(1), (–3), (–2)  1
3
2
1

4
4
0
0
~
0 6 5 6

0  2  3  4

(6), (2)
1 1

1 1
0 0
0 1  6 2

0 0  10 4  : (–10)
3 2
1

0
~
0

0

1

0
~ 
0

0
133
3
2
1
1
0
1
0
1 6
0 1  4
3
2
1
1
0
1
0
0
1

0  : (4)
~
2

2 
1

0
2

2 
(1)
1 

0
0 
.
6
2 

1  2 5
1
~
Знак ~ при записи матриц означает равносильность соответствующих им систем линейных уравнений. Следовательно, полученной
матрице соответствует система уравнений, равносильная заданной:
 x1  3 x 2  2 x 3  x 4

x 2  x3



x3  6 x 4


x4

 1,
 0,
 2,

2
.
5
Так как система уравнений привелась к треугольному виду, то она
является совместной и определенной. Последовательно решая уравнения системы снизу вверх, получим решение
2
x4   ,
5
2
x3   ,
5
x2 
2
,
5
x1  1.
7.5. Система линейных уравнений с базисом. Метод
Жордана – Гаусса
Систему линейных уравнений будем называть системой с базисом, если в каждом уравнении содержится неизвестное с коэффициентом, равным единице, отсутствующее во всех остальных уравнениях
(т. е. входящее в них с коэффициентом, равным нулю) и называемое
базисным неизвестным.
Предположим, что из n неизвестных x1, x2 , ... , xn базисными являются первые k (k  n) . Тогда система с базисом будет иметь вид:
 x1  a1, k 1 xk 1  ...  a1n xn  b1 ,

 x2  a2, k 1 xk 1  ...  a2 n xn  b2 ,

 x3  a3, k 1 xk 1  ...  a3n xn  b3 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 xk  ak , k 1 xk 1  ...  akn xn  bk .

(7.20)
Неизвестные, не являющиеся базисными, а именно, xk 1, xk  2 ,..., xn
называются свободными. Если свободным неизвестным придавать любые значения, то при каждом наборе значений свободных неизвестных
из уравнений системы (7.20) можно единственным образом получить
соответствующие значения базисных неизвестных. Следовательно, система с базисом всегда совместна, причём возможны два случая:
134
1) k  n . В этом случае все неизвестные системы (7.20) окажутся
базисными, и система будет иметь единственное решение
x1  b1, x2  b2 , ..., xn  bn .
2) k  n . В этом случае непосредственно из уравнений системы
(7.20) получим выражения базисных неизвестных x1, x2 ,..., xk через
свободные неизвестные xk 1, xk  2 ,..., xn :
 x1  b1  a1, k 1 xk 1  ...  a1n xn ,

 x2  b2  a2, k 1 xk 1  ...  a2 n xn ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 xk  bk  ak , k 1 xk 1  ...  akn xn .
(7.21)
О п р е д е л е н и е 1. Общим решением системы с базисом (7.20)
называется совокупность значений неизвестных x1 , x2 ,..., xn , связанных
формулами (7.21), которые выражают базисные неизвестные через
свободные, где свободные неизвестные могут быть любыми числами.
О п р е д е л е н и е 2. Частным решением системы с базисом
(7.20) называется всякое решение, получаемое из общего решения при
определённых значениях свободных неизвестных.
Придавая какие угодно значения свободным неизвестным, можно
из общего решения получить сколько угодно частных решений. Частное решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю, называется базисным решением системы (7.20).
Таким образом, система линейных уравнений с базисом (7.20)
всегда совместна, при этом имеет единственное решение, если все её
неизвестные являются базисными, и бесконечное множество решений,
если кроме базисных, в ней есть хотя бы одно свободное неизвестное.
Метод Жордана – Гаусса решения систем линейных уравнений
(7.1) состоит в том, что с помощью элементарных преобразований
процесса Гаусса любую линейную систему можно либо преобразовать
в равносильную ей систему с базисом, а значит, найти все её решения,
либо убедиться в том, что исходная система несовместна. Для этого на
каждом шаге алгоритма метода Жордана – Гаусса с помощью элементарных преобразований в одном из уравнений системы выделяется базисное неизвестное с коэффициентом, равным единице, которое исключается из всех остальных уравнений системы в отличие от метода
Гаусса, в котором оно исключается только из последующих уравнений.
П р и м е р 1. Решить систему методом Жордана – Гаусса:
 x1  x2  3x3  2 x4  6,

 x4  6,
 x1  2 x2

x2  x3  3x4  16 ,

2 x  3 x  2 x
 6.
2
3
 1
135
Р е ш е н и е. Выполним над системой элементарные преобразования метода Жордана – Гаусса, используя непосредственно расширенную матрицу системы:
1 3
2
6  (–1), (–2)
1 3
2
6
1
1




0  1  6
3  3  12  :(-3)
1 2
0  3
~ 
~
0
1
1
3 16 
0
1
1
3
16 




2  3
0  5
2
0
6 
8  4  6 


1 3
2
6
1


1 1
1
4
0
0
1
1
3 16 


0  5
8  4  6 

(–1), (5)
1

0
0

0

0 2 1
1

0
0

0

0 0 3 14 

1 0 2 10 
0 1 1 6

0 0 1 2  (-3), (-2), (-1)
1
0
0
2

4
6  (2), (1), (-3)

3 1 14 
1 1
1 1
1

0
~ 
0

0

0 2 1
1 1 1
1

0
~ 
0

0

0
1
0
0
3
2
0
0
1
0
1
2
1

0
~ 
0

0

2

4
~
2 2 12  :(2)

3 1 14 
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
14 

10 
~
6

 4  :(-2)
8

6
.
4

2 
Получили систему с базисом, равносильную исходной системе. Ее
решением являются: x1  8, x2  6, x3  4, x4  2.
П р и м е р 2. Решить систему методом Жордана – Гаусса:
2

1
5

8

2 x1  4 x 2  3x3  x 4  x5  1,

 x1  2 x 2  4 x3  x 4  2 x5  3,

5 x1  6 x 2  2 x3  x 4  4 x5  1,
8 x  8 x  x  x  7 x  3 .
2
3
4
5
 1
Р е ш е н и е.
 4 3 1 1  1 :(2)  1  2 3 / 2 1 / 2 1 / 2  1 / 2  (-1),(-5),(-8)



2
3
2  4 1 2 3
1 2  4 1
~ 
~
5 6
2
1
4
1
 6 2 1 4 1



8  8
1
1
7
3 
 8 1 1 7 3 

136
3/ 2
1/ 2 1/ 2  1/ 2
1  2


4  11 / 2  3 / 2 3 / 2
7 / 2  :(4)
0
0
4  11 / 2  3 / 2 3 / 2
7 / 2


0
8
 11
3
3
7 

~
3/ 2
1/ 2 1/ 2  1/ 2
1  2


0
1

11
/
8

3/ 8 3/ 8
7 / 8  (2),(-4),(-8)

0
4  11 / 2  3 / 2 3 / 2
7 / 2


0
8
 11
3
3
7 

1

0
0

0

~
0  5 / 4  1/ 4 5 / 4 5 / 4

1  11 / 8  3 / 8 3 / 8 7 / 8 
.
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0 
В полученной матрице содержится система с базисом
5
1
5
5

 x1  4 x3  4 x4  4 x5  4 ,

 x  11 x  3 x  3 x  7 .
 2 8 3 8 4 8 5 8
Здесь базисными неизвестными являются x1 и x2 , а свободными
неизвестными являются x3 , x4 , x5 . Исходная система имеет бесконечное множество решений. Все они содержатся в общем решении, которое имеет вид:
1

 x1  4 5  5 x3  x 4  5 x5 ,

 x  1 7  11 x  3x  3x  ,
2
3
4
5
8

где свободные неизвестные x3 , x4 , x5 могут быть любыми числами.
Из общего решения можно получить сколько угодно частных ре5
7
шений. Например, при x3  0, x4  0, x5  0 получим x1  , x2  .
4
8
Тогда частное решение
5
7
, x2  , x3  0, x4  0, x5  0
4
8
является базисным решением.
x1 
137
При x3  1, x 4  1, x5  1 получим частное решение
3
, x  1, x4  1, x5  1,
2 3
и так далее до бесконечности.
П р и м е р 3. Решить систему методом Жордана – Гаусса:
x1  1, x2 
6 x1  5 x2  7 x3  8 x4  3,

3x1  11 x2  2 x3  4 x4  6,

3x1  2 x2  3x3  4 x4  1,
 x  x  x 0.
2
3
 1
Р е ш е н и е. При выполнении элементарных преобразований используем дополнительную перестановку строк расширенной матрицы
системы:
6  5

 3 11
3
2

1
1

7 8 3

2 4 6
3 4 1

1 0 0 
1
1 0
1

8 1 4
0
0 1 0 4

 0  11
1 8

1

0
0

0

0
1
1

0
0

0

0 0
1 0
0

6
1:(-1)

3 
1

 1
0 1
36 14 

0
1  36  8 
1
0
4
4
1
1

 3 11
~ 
3
2

6  5

1 0 0  (-3),(-6)

2 4 6
~
3 4 1

7 8 3 
1
1
0
0
1


1
0  4  1 (-1),(-8),(11)
0
~ 
~
0
8 1
4
6


 0  11
1
8
3 

1

0
~
0

0

1

1 0  4  1
0
1  36  8  (-1),(1)

0 1
36 14 
0
1
4
~
9

 1
.
0 1  36  8 

0 0
0
6 
40
4
Шаги исключения неизвестных привели к противоречивому уравнению 0  x4  6 , стоящему в последней строке. Следовательно, полученная система уравнений и заданная система обе несовместны, т. е. не
имеют решений.
138
7.6. Ранг матрицы
В теории линейных систем важную роль играет понятие ранга
матрицы. С помощью ранга матрицы, не решая систему, можно установить её совместность или несовместность, а в случае совместности
определить количество решений.
Рассмотрим произвольную (не обязательно квадратную) матрицу
 a11

 a21
A


a
 m1
a12
a22

am 2
a1n 

... a2 n 
.
 

... amn 
...
Пусть k – какое-нибудь натуральное число, не превосходящее m
и n . Выделим в этой матрице любые k строк и k столбцов. Тогда
элементы, стоящие на пересечении выделенных k строк и k столбцов,
образуют квадратную матрицу порядка k . Определитель этой квадратной матрицы называется определителем, порождённым матрицей
A , или минором k -го порядка матрицы A .
Для матрицы A можно составить столько миноров k -го порядка,
сколькими способами можно выделить в ней k строк и k столбцов.
Например, для матрицы
3 4
5
 2

A 0 2 3
1
 0
2 2 4






можно составить 4 минора 3-го порядка:
2
3 4
2
3
5
2 4
5
3 4
5
0 2 3 ,
0 2
1 ,
0 3
1 ,
2 3
1 .
0
2 2
0
2 4
0 2 4
2 2 4
Аналогично продолжая, можно составить 18 миноров 2-го порядка и 12
миноров 1-го порядка (миноры 1-го порядка есть просто элементы
матрицы A ). Некоторые из составленных миноров могут быть равными нулю, например, минор
0 2
 0.
0
2
Другие миноры могут быть отличны от нуля, например,
2 3
  4  6   10  0 .
2 2
139
О п р е д е л е н и е. Рангом матрицы A называется число, равное наивысшему порядку миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг такой матрицы
считается равным нулю по определению.
Ранг матрицы A обозначается символами r (A) , или rang A . Из
определения следует:
а) ранг матрицы r ( A)  k тогда и только тогда, когда хотя бы
один минор k -го порядка матрицы А отличен от нуля, а все миноры
выше k -го порядка этой матрицы (если они существуют) равны нулю;
б) ранг матрицы A порядков m и n не превосходит меньшего из
её размеров, т. е. r ( A)  min ( m; n ) ;
в) для квадратной матрицы n -го порядка r ( A)  n тогда и только
тогда, когда матрица A – невырожденная.
Подсчёт ранга матрицы по определению требует громоздких вычислений, так как количество миноров матрицы может быть достаточно велико, если размеры матрицы не очень малы. Так, например, в
матрице порядков m  3 и n  4 , рассмотренной выше, количество
миноров матрицы равно 34. В связи с этим проще находить ранг матрицы при помощи элементарных преобразований её строк и столбцов.
Т е о р е м а. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) При умножении строки на число   0
минор, отличный от нуля, либо не изменится, либо умножится на  .
Ни один минор, равный нулю, не сделается отличным от нуля.
2) Если все миноры порядка k  1 равны нулю, то сложение строк
не сделает ни один из них отличным от нуля. Действительно, полученный после указанного преобразования минор либо равен алгебраической сумме двух миноров порядка k  1 исходной матрицы (в том случае, когда к строке, входящей в минор, прибавили строку, в него не
входящую), либо он равен сумме минора порядка k  1 и определителя
матрицы с двумя одинаковыми строками (в том случае, когда к строке,
входящей в минор, прибавили другую строку, в него входящую). Из
этих соображений следует, что ранг матрицы не может повыситься.
Ясно, что он не может и понизиться, так как в противном случае при
обратном преобразовании – вычитании строк – он бы повысился.
3) При перестановке строк минор может изменить знак (если в него входят обе переставляемые строки), или может замениться на минор, не больше чем знаком, отличающийся от другого минора той же
матрицы (если содержит только одну из переставляемых строк), или
вообще не изменится. Ясно, что при этом ранг матрицы останется тем
же.
4) Неизменность ранга при элементарных преобразованиях столб140
цов доказывается аналогично. Тем самым теорема доказана полностью.
Для нахождения ранга матрицы будем применять метод Жордана – Гаусса, выделяя в матрице единицы на главной диагонали.
Например, если мы получили матрицу вида
 1 0 0 0 0 


 0 1 0 0 0 
 0 0 1 0 0 ,


 0 0 0 0 0 


то очевидно, что ранг этой матрицы равен числу единиц на главной
диагонали, т. е. равен 3, так как
1 0 0
0 1 0  1.
0 0 1
При этом все миноры 4-го порядка равны нулю, а миноры порядка выше 4-го составить нельзя.
П р и м е р 1. Найти ранг матрицы
 3 5 7

A 1 2 3
 1 3 5

Р е ш е н и е.


.


3 5 7


1 2 3
1 3 5


 1 2 3  (-1),(-3)


1 3 5
~
3 5 7


~
 1 0 1 


0 1 2  r
0 0 0



A

3
1 2


1
2  (-2),(1)
0
 0 1  2 


 2.
 1 2 3 4


П р и м е р 2. Найти ранг матрицы A   2 4 6 8  .
 3 6 9 12 


Р е ш е н и е.
 1 2 3 4  (-2),(-3)


2 4 6 8 
 3 6 9 12 


~
1 2 3 4


 0 0 0 0   r  A   1.
0 0 0 0


141
~
7.7. Условие совместности систем линейных уравнений
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными
x1 , x2 ,..., xn вида:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ,
a x  a x  ...  a x  b ,
 21 1
22 2
2n n
2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm ,
(7.22)
где m  n , или m  n , или m  n .
Введём матрицу системы A и расширенную матрицу системы B :
 a11

 a21
A


a
 m1
a12
a22

am 2
a1n 

... a2 n 
,
 

... amn 
...
 a11

 a21
B


a
 m1
a12
...
a1n
a22 ... a2 n
  
am 2 ... amn
b1 

b2 
.


bm 
(7.23)
Обозначим ранги матриц через r (A) и r (B) . Так как расширенная
матрица системы B получается из матрицы системы A добавлением
столбца свободных членов, что не может увеличить ранга матрицы, то
их ранги связаны неравенством
(7.24)
r  A   r  B .
Понятие ранга матрицы позволяет сформулировать условие совместности системы (7.22) в форме следующей основной теоремы теории линейных систем.
Т е о р е м а К р о н е к е р а – К а п е л л и. Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными вида (7.22) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был
равен рангу расширенной матрицы:
(7.25)
r  A   r  B .
Не проводя доказательства теоремы, поясним его. При элементарных преобразованиях системы (7.22) в процессе Гаусса, т. е. при элементарных преобразованиях матрицы системы A и расширенной матрицы системы B , ранги этих матриц не изменяются. В п. 7.4 было
установлено, что система (7.1), тождественно совпадающая с системой
(7.22), совместна тогда и только тогда, когда она преобразуется в треугольную систему (7.17) и в трапециевидную систему (7.18). В обоих
случаях, как нетрудно проверить, ранг матрицы A и ранг расширенной матрицы B систем (7.17) и (7.18), так же как и исходной системы
(7.1), соответственно совпадают: r ( A)  r ( B)  n и r ( A)  r ( B)  s .
142
Из теоремы Кронекера – Капелли и систем (7.17), (7.18) легко получить ответ на вопрос о числе решений линейной системы (7.22): если
r ( A)  r ( B) , то система несовместна; если r ( A)  r ( B)  n , то система
имеет единственное решение; если r ( A)  r ( B)  n , то система имеет
бесчисленное множество решений. Отметим, что если ранг матрицы
системы A равен числу уравнений, т. е. r ( A)  m , то система совместна при любых свободных членах, так как ранг расширенной матрицы
системы B не может быть больше числа её строк.
Таким образом, можно, не решая систему, исследовать её совместность и в случае совместности установить количество решений.
Применим теорему Кронекера – Капелли к однородной системе.
Система m линейных уравнений с n неизвестными называется однородной, если все её свободные члены равны нулю:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  0,

a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  0 .
(7.26)
Для однородной системы (7.26) расширенная матрица B получается из матрицы системы A добавлением нулевого столбца, что не меняет ранга, поэтому всегда r ( A)  r ( B) . Это значит, что однородная
система всегда совместна. Кроме того, она имеет очевидное нулевое
или тривиальное решение
x1  0,
x 2  0, ... , x k  0, ... ,
xn  0 .
(7.27)
Поэтому, если r ( A)  n , т. е. определитель однородной системы
(7.26) при m  n отличен от нуля
 
a11 a12
a21 a22
...
...
a1n
a2 n
   
an1 an 2 ... ann
 0,
(7.28)
то однородная система имеет только нулевое решение.
Если же r ( A)  n ,то решений будет бесчисленное множество,
среди которых, кроме нулевого, имеются и ненулевые (нетривиальные)
решения. В частном случае, когда m  n , условие r ( A)  n равносильно условию   0.
143
7.8. Собственные значения и собственные векторы
квадратной матрицы
При рассмотрении ряда вопросов, связанных с приложениями
матричного исчисления, для данной квадратной матрицы A бывает
необходимым отыскивать ненулевые матрицы-столбцы X , для которых умножение на матрицу A слева равносильно умножению на некоторое число  , т. е. для которых имеет место равенство
(7.29)
A X   X.
Нулевой столбец, конечно, при любом  удовлетворяет этому соотношению. Однако ненулевые матрицы-столбцы, удовлетворяющие
условию (7.29), существуют далеко не при всяком  .
О п р е д е л е н и е 2. Число  называется собственным числом
или собственным значением квадратной матрицы A , если существует
ненулевая матрица-столбец X такая, что выполняется равенство
(7.29). Если  – собственное значение матрицы A , то всякая матрицастолбец X , удовлетворяющая равенству (7.29), называется собственным вектором X матрицы A , принадлежащим собственному значению  .
Выясним, что представляют собой собственные значения данной
квадратной матрицы (и существуют ли они вообще).
Матричное равенство (7.29), выражающее линейное преобразование «старых» переменных x1 , x2 , ... , xn в «новые» переменные
y1   x1 , y2   x2 , ... , yn   xn , равносильно системе n линейных
уравнений с n неизвестными
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn   x1 ,
a x  a x  ...  a x  x ,
 21 1
22 2
2n n
2
(7.30)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  xn ,
которую можно переписать в виде однородной системы
 a11   x1  a12 x2  ...  a1n xn  0 ,
a x  a    x  ...  a x  0,
 21 1
22
2
2n n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 x1  an 2 x2  ...  ann    xn  0 .
(7.31)
Существование собственного вектора X , удовлетворяющего
условию (7.29), равносильно, таким образом, существованию ненулевого решения у системы n линейных однородных уравнений (7.31) с
n неизвестными. Согласно п. 7.7 однородная система (7.31) имеет
144
ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель  равен нулю:
a11   a12
... a1n

a21

an1
a22   ... a2 n

 
an 2
... ann  
0.
(7.32)
Образуем матрицу A   En , где En – единичная матрица n -го
порядка. Тогда
 a11

 a21
A   En  


a
 n1
 a11  

 a21
 


a
 n1
a1n 

a22 ... a2 n 

  

an 2 ... ann 
a12
...
 1 0 ... 0 


 0 1 ... 0 
     


 0 0 ... 1 




a22   ... a2 n

.

 

an 2
... ann   
a12
...
a1n
Следовательно, собственные значения  матрицы A характеризуются тем, что для них обращается в нуль определитель
(7.33)
A   En  0 .
Равенство (7.33) называется характеристическим уравнением
матрицы A . Это условие на параметр  , которому должны удовлетворять все собственные значения матрицы A . Многочлен
A   En степени n относительно  называется характеристическим многочленом матрицы A , а его корни 1 ,  2 , ... ,  n , представляющие собой только действительные (вещественные) числа, будут являться собственными значениями матрицы A .
Чтобы найти все собственные векторы матрицы A , принадлежащие данному собственному значению  , надо, очевидно, найти все
решения системы (7.31). Эти решения будут удовлетворять и системе
(7.30), а значит, столбцы из решений будут собственными векторами
матрицы A , обращающими в тождество матричное соотношение
(7.29).
Отметим, что собственное значение собственного вектора X
определяется однозначно. Действительно, предположим, что собственному вектору X соответствуют два различных собственных значения  и 1 . Тогда из равенства  X  1 X следует, что
145
(  1 ) X  0 . Но, по определению, собственный вектор X –
ненулевой, поэтому   1 .
Напротив, собственный вектор X , принадлежащий данному собственному значению  , определяется не однозначно, а с точностью
до постоянного множителя.
До сих пор на элементы матрицы A мы не накладывали никаких
ограничений, они могли быть любыми действительными (вещественными) числами. Однако, если помимо условия вещественности элементов матрицы A предположить ещё, что матрица A симметрическая,
т. е. совпадает со своей транспонированной матрицей, то имеет место
следующая теорема.
Т е о р е м а. Если собственные векторы X 1 и X 2 симметрической матрицы A принадлежат различным собственным значениям 1
и  2 , то они удовлетворяют условию ортогональности
X 1T X 2  0 ,
где
(7.34)
T
X1
– вектор-строка (транспонированный столбец X 1 ).
П р и м е р. Найти собственные значения и собственные векторы
матрицы
0
 7 2


A 2
6 2 .
 0 2
5 

Р е ш е н и е. Матрица A – симметрическая. Имеем характеристическое уравнение
7 2
0
 2 6    2  0 , 3  18 2  99   162  0 .
0
2 5
Его корни различны: 1  3 ,  2  6 ,  3  9 . Система уравнений для
нахождения собственных векторов есть
 2 x2
 0,
7    x1

 2 x3  0 ,
  2 x1  6    x2



2
x

5

  x3  0 .
2

Подставим сюда поочерёдно 1  3 ,  2  6 ,  3  9 и в каждом
случае найдём собственные векторы:
146
 1 
 2 
 2 
 




X1   2  ,
X2   1 ,
X3   2  .
 2 
 2 
 1 
 




Нетрудно проверить, что полученные собственные векторы попарно удовлетворяют условию ортогональности (7.34).
147