домашнее задание на 21.02.2016 г.

Задача двух тел.
Задача двух тел заключается в исследовании абсолютного или
относительного движения двух материальных точек под действием их
взаимного притяжения, согласно закону Ньютона. Предполагается, что
на тела не действуют никакие другие (внешние) силы. Если этими
силами можно пренебречь, то задача двух тел достаточно точно
определяет движение планет, комет, спутников относительно Солнца
или другой планеты.
Рассмотрим
замкнутую
систему,
состоящую
из
двух
материальных точек с массами m1 и m2 , которые взаимодействуют
между собой. Тогда уравнения движения этих точек будут
a1 
F1
,
m1
a2 
F2
,
m2
(1)
Согласно третьему закону Ньютона F1   F2 . Вычитаем из второго
уравнения первое, получаем
a 2  a1 
F2 F1
1
1

 F2 (  ) ,
m2 m1
m1 m2
откуда
 a  F2
где a  a2  a1 и приведенная масса
1


 определяется равенством
1
1
mm

, или   1 2
m1  m2
m1 m 2
(2)
Тогда предыдущее уравнение примет вид
 a  F2 .
(3)
Это уравнение формально совпадает с уравнением второго
закона Ньютона, где роль силы играет сила F2 , действующая на вторую
материальную точку, а роль массы – приведенная масса  .
Очевидно, что уравнение (3) не может быть эквивалентно двух
первоначальным уравнения (1). Однако эта эквивалентность
достигается, если к уравнению (3) присоединить уравнение,
выражающее теорему о движении центра масса. Эта теорема в
рассматриваемом случае сводится к утверждению, что центр масс
системы движется прямолинейно и равномерно. Тогда задача о
движении двух материальных точек распадается на две независимые
задачи: 1) определение равномерного движения центра масс; 2)
определение относительного движения одной материальной точки
относительно другой. Формально разделение общего движения двух
тел на движение центра масс и относительное движение производится
с помощью следующего преобразования координат
R
m1r1  m2 r2
,
m1  m2
r  r2  r1 /
Обратные преобразования имеют вид
r1  R 
m2
r ,
m1  m2
r2  R 
m1
r.
m1  m2
Рассмотрим пример, поясняющий пользу введения понятия
приведенной массы. Пусть планета массой m обращается вокруг
Солнца, масса которого равна
по окружности радиуса r .
M
Действующая на нее сила по закону всемирного тяготения равна
F G
Mm
. Так как сила направлена к Cолнцу, то запишем закон в
r2
векторной форме F  G
Mm r
Mm
 G 3 r . Вводя приведенную массу,
2
r r
r
запишем уравнение движения планеты относительно Солнца:
a 
Mm
Mm
a  F  G 3 r .
M m
r
Ускорение планеты при равномерном движении по круговой орбите
радиуса r выражается формулой a   2 r , где  – угловая скорость
при орбитальном движении планеты. Тогда
M m
 2 
   G
,
r3
 T 
2
2
где T 
2

– период обращения планеты. Если масса планеты
пренебрежимо мала по сравнению с массой Солнца, то для угловой
скорости 1 и периода обращения Т1 получаем
2
 2 
M
   G 3
r
 Т1 
2
1
Если бы масса планеты была равна массе Солнца (двойная звезда),
то для угловой скорости 2 и периода обращения Т 2 мы получили бы
2
 2 
2M
   G 3 .
r
 Т2 
2
2
При одном и том же расстоянии r
2
2
  2   Т1 
      2.
 1   Т 2 
Законы Кеплера.
Три закона движения планет относительно Солнца были
эмпирически установлены, в результате длительной обработки
многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге, немецким
ученым Иоганном Кеплером в начале XVII века. Эти законы
формулируются следующим образом:
1) Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов
которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его
с
а
сходства с окружностью характеризуется отношением е  , где с
– расстояние от центра эллипса до его фокуса, а – большая
полуось, величина e – эксцентриситет, показывает степень
отклонения конического сечения от окружности. Тогда при с=0,
эксцентриситет e обращается в нуль, и траектория тела –
окружность радиуса a .
2) Радиус – вектор планеты в равные промежутки времени
описывает
равные
площади;
Другая
формулировка:
секториальная скорость планеты постоянна. С этим законом
связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка
орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким
образом, из второго закона Кеплера следует, что планета
движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии
большую линейную скорость, чем в афелии.
Так скорость движения в перигелии определяется по формуле:
vп  vк
1 е
,
1 е
где vк – средняя или круговая скорость планеты при r  a .
Скорость движения в афелии:
va  vк
1 е
1 е
3) Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца
пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических
орбит.
T12 a13
 ,
T22 a23
uде T1 и T2 – периоды обращения двух планет вокруг солнца, а а1 и а2 –
длины больших полуосей их орбит.
Движение тела по орбитам (эллипс, гипербола, парабола).
1) Эллипс – это геометрическое место точек, для которых
отношение расстояния до фиксированной точки, называемой фокусом,
к расстоянию до фиксированной линии, называемой директрисой,
постоянно (и меньше единицы).
В декартовых координатах уравнение эллипса (каноническое
уравнение) имеет вид
x2 y 2

1
a 2 b2
Величина 2a называется большой осью, а 2b – малой осью
эллипса. Эллипс имеет такой параметр как эксцентриситет – это
отношение расстояния между фокусами к длине большой оси.
е
с
,
а
где c  a  b . Если величина эксцентриситета приближается к
единице, то эллипс сильно вытянут; если же ближе к нулю, то эллипс
имеет более округлую форму. Если эксцентриситет равен нулю, то
эллипс вырождается в окружность. Следовательно, эксцентриситет
показывает степень отклонения конического сечения от окружности.
2
2
Уравнение эллипса в полярных координатах:

p
1  e cos 
2) Парабола – геометрическое место точек, равноудалённых от
данной прямой, называемой директрисой параболы и данной точки,
называемой фокусом параболы.
Каноническое уравнение параболы имеет вид:
y 2  2 px
Если принять эксцентриситет e =1 в уравнении эллипса в
полярных координатах, то мы получим уравнение параболы в полярных
координатах:

p
1  cos 
В случае параболы орбита в задаче двух тел незамкнута. Так, второе
тело, приходя из бесконечности, при наибольшем сближении достигает
максимальной скорости, после чего снова уходит в бесконечность.
3) В астрономии гиперболические обиты встречаются главным
образом при исследовании движения комет и метеоров. Например, для
того, чтобы вывести космический аппарат на межпланетную орбиту,
требуется такая энергия, что орбиту космического аппарата
относительно Земли, пока он не удалится приблизительно на один
миллион километров, можно считать гиперболой.
Каноническое уравнение гиперболы в декартовых координатах
записывается в виде:
x2 y 2

 1,
a 2 b2
где b2  a 2 (e2  1) . Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет
вид

p
a(e2  1)
,

1  e cos  1  e cos 
где e  1 . Таким образом, уравнение

p
,
1  cos 
описывает в полярных координатах все три типа орбит материальной
точки в поле тяготения неподвижного центрального тела.
Е.Н.. Тумаев
Д.А. Рудинский