Решения задач на нахождение геометрического места точек

ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
1
Аннотация
Задачи на нахождение геометрического места точек являются сложными в школьном курсе
геометрии. Трудность решения этих задач связана с тем, что не всегда хватает воображения
и интуиции представить чертеж для решения. Чертеж, нарисованный на бумаге, обладает
двумя недостатками: он требует больших затрат времени и является неподвижным. Такая
программа, как Живая Математика, позволяет значительно сэкономить время на построение
чертежей, а также решить трудоёмкие задачи за очень короткий срок. Программа позволяет
создавать очень сложные конструкции, делать аккуратные, чёткие и точные чертежи, причем
можно строить фигуры в соответствии с их геометрическими свойствами. Программа
позволяет создавать красочные, легко двигаемые и редактируемые чертежи, осуществлять
операции над ними, а также производить все необходимые измерения. Настоящая ценность
Живой Математики заключается не только в возможности создавать анимированный чертеж.
Используя слежение, становится возможным экспериментальное решение задач на
определение траектории движения некоторой точки, обладающей заданными свойствами.
Целью проекта является решение различных задач на нахождение геометрического
места точек с использованием возможностей программы Живая Математика.
Задачи: освоить возможности Живой Математики для наглядной иллюстрации задач
на нахождение геометрического точек; научиться
решать задачи на нахождение
геометрического места точек.
В данной работе исследованы и решены различные задачи на нахождение
геометрического места точек. Каждая задача не только решена, но и снабжена чертежом,
являющимся ссылкой на соответствующий видеоролик, полученный в программе Живая
Математика.
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
2
Оглавление
Введение
3
Глава 1. Понятие геометрического места точек. Простейшие задачи
4
Глава 2. Исследование и решение задач на нахождение геометрического места точек
7
Заключение
14
Список использованной литературы
15
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
3
Введение.
Решения задач на нахождение геометрического места точек можно упростить и
сделать более наглядными, используя средства программы Живая Математика. Данная
работа содержит исследование и решение подобных задач.
В первой главе раскрывается понятие геометрического места точек. Рассматриваются
простейшие задачи, изучаемые в школьном курсе геометрии.
Во второй главе рассмотрены более сложные задачи на нахождение геометрического
места точек.
К каждой задаче приводится решение и чертеж. Чертеж к каждой задаче является
ссылкой на соответствующий видеофайл, в котором при помощи анимации в сочетании с
функцией слежения за объектами демонстрируется получение красочного рисунка
геометрического места точек.
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
4
Глава 1. Понятие геометрического места точек. Простейшие задачи.
Геометрическое место точек (ГМТ) - множество всех точек плоскости, обладающих
заданным свойством.
Чтобы решить задачу на ГМТ, необходимо не только указать фигуру, являющуюся искомым
ГМТ, но и доказать, что все точки фигуры обладают заданным свойством.
Рассмотрим простейшие задачи на нахождение ГМТ.
Задача 1. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от концов данного отрезка.
В видеоролике показано геометрическое
место точек, равноудаленных от концов
отрезка АВ. На чертеже точке М задается
слежение и параметрический цвет. В
качестве параметра выбрано абсолютное
значение АМ-МВ.
Рисунок 1
Двигая точку М,
можно заметить, что точка М оставляет
темный след в точках, где АМ-МВ=0. Таким образом, все точки оказываются на серединном
перпендикуляре к отрезку АВ. (Рис.1 является ссылкой на видеофайл.)
Доказательство: Треугольник АВМ равнобедренный. Медиана МО является также и
высотой. Значит, искомое ГМТ- серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Верно и обратное.
Ответ: ГМТ- серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
5
Задача 2. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла.
В видеоролике точка М при
перемещении оставляет темный
след в точках, в которых МАМВ=0.
Это
достигается
заданием для точки М слежения
и параметрического цвета. При
перемещении точки М значения
углов АВМ и МВС меняются и
Рисунок 2
можно понаблюдать, что все точки , в которых точка М оставляет след, лежат на биссектрисе
угла АВС. (Рис.2-ссылка на видеофайл.)
Доказательство: Треугольники АВМ и МВС равны по гипотенузе (ВМ-общая) и
катету(АМ=МС). Значит, углы АВМ и МВС равны, т.е.ВМ-биссектриса угла АВС. И
обратно, если М лежит на биссектрисе, то прямоугольные треугольники равны по гипотенузе
(ВМ) и острому углу (АВМ и МВС). Следовательно, АМ=МС. Таким образом ГМТбиссектриса данного угла.
Ответ: ГМТ- биссектриса данного угла.
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
6
Задача 3. Найти геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым
углом.
Рисунок 3
На чертеже точке F задано слежение и
параметричекский
цвет,
зависящий
от
значения разности между 90° и величиной
угла DFE. При перемещении точка F будет
оставлять след каждый раз, когда угол DFE
будет прямой. И можно увидеть, что все
точки
расположены
на
окружности
с
диаметром DE. (Рис.3-ссылка на видеофайл.)
Доказательство: Поскольку треугольник DFE прямоугольный, то медиана FO равна половине
гипотенузы. Значит искомое ГМТ- окружность диаметра DE. Верно и обратное: из любой
точки на окружности диаметр DE виден под прямым углом.
Ответ: ГМТ- окружность диаметром, равным длине данного отрезка и с центром в середине
данного отрезка.
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
7
Глава 2. Исследование и решение задач на нахождение геометрического
места точек.
Задача 1. Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности, равных
данному отрезку.
Рисунок 4
На этом чертеже применена анимация к
точкам А и В, а к точке Р- слежение. В
видеоролике при движении хорды АВ
постоянной длины, середина Р описывает
окружность, концентрическую данной,
оставляя при этом след. (Рис.4-ссылка на
видеофайл.)
Доказательство:
Пусть
AB
=
a
—
некоторая хорда окружности с центром O
и радиусом R. Если P —середина AB , то ОР перпендикулярен
1
2
Пифагора ОР = √ОА2 − (2 АВ) _
АВ и по теореме
постоянная величина (т.к. ОА и АВ постоянны).
Следовательно, точка P находится на окружности с центром в точке O и радиусом, равным
ОР.
Обратно, любая точка P такой окружности есть середина некоторой хорды исходной
окружности. Действительно, касательная к построенной окружности перпендикулярна
радиусу, проходящему через точку P. Следовательно, точка P— середина отрезка AB этой
касательной, заключённого внутри данной окружности. Поэтому AB=2√𝑂𝐴2 − 𝑂𝑃2 .
Ответ: ГМТ - окружность, концентрическая данной.
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
8
Задача 2.Найдите геометрическое место середин всех хорд, проходящих через данную точку
окружности.
Рисунок 5
На
этом
чертеже
точка
А
неподвижна, а к точке В применена
анимация.
М
оставляет
след
отрезка.
Искомое
окружность
–
середина
при
диаметра
АВ,
движении
ГМТ
–
АО
(О-
центр данной окружности). (Рис.5ссылка на видеофайл.)
Доказательство: Пусть O — центр
данной окружности, A — точка на
окружности, M — середина хорды
AB (не являющейся диаметром). Тогда отрезок OA виден из точки M под прямым углом, т.к.
диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен
ей. Следовательно, середина любой хорды AB (включая и точку O) лежит на окружности с
диаметром AO.
Обратно, любая точка этой окружности (за исключением точки A) есть середина какой-то
хорды AB, т.к. диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Ответ: Окружность (без точки А), радиус которой вдвое меньше радиуса данной
окружности.
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
9
Задача 3.Найдите геометрическое место середин отрезков, соединяющих данную точку,
лежащую вне данной окружности, с точками этой окружности.
Рисунок 6
На этом чертеже М неподвижна , а
точка А движется по окружности.
Середина Р оставляет след в виде
окружности.
(Рис.6-ссылка
на
видеофайл.)
Доказательство:
Рассмотрим
гомотетию центром в данной точке
1
M и коэффициентом 2. При этой
гомотетии
данная
окружность
перейдёт в окружность, радиус которой равен половине радиуса данной, а центр — середина
отрезка OM, где O — центр данной окружности.
Любая точка этой окружности является серединой отрезка с концами в данной точке M и на
данной окружности.
С другой стороны, середина любого такого отрезка лежит на построенной окружности.
1
Ответ: Окружность, гомотетичная данной, с коэффициентом 2 .
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
10
Задача 4. На окружности хорда АВ закреплена, а CD перемещается, не меняя длины. Мточка пересечения прямых AD и BC. Найти ГМТ точек М.
На этом чертеже АВ неподвижна, точкам С и D задана анимация, а точке пересечения
прямых АD и ВС задано слежение. В видеоролике мы наблюдаем след точки М в виде
окружности. Значит, искомое ГМТ-окружность. (Рис.7-ссылка на видеофайл.)
Рисунок 7
Доказательство:
пройдет
по
величиной 2α,
Если
точка
окружности
то
точка С
D
дугу
тоже
пройдет дугу величиной 2α, а значит,
прямые AD и BC повернутся на угол α,
относительно точек А и точки В
соответственно
(по
теореме
о
вписанном угле), поэтому угол АМВ
между ними не изменится. Значит,
точка M перемещается по окружности,
содержащей точки A и B.
Ответ: окружность, проходящая через точки А и В.
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
11
Задача 5. На окружности точки А и В неподвижны, а С перемещается по этой окружности.
Найти ГМТ пересечения высот треугольников АВС.
Рисунок 8
На анимированном чертеже
можно посмотреть, что все
высоты треугольников лежат
на
дуге
окружности,
симметричной
данной
дуге
АВ, относительно прямой АВ.
(Рис.8-ссылка на видеофайл.)
Пусть
D —
точка
пересечения высот AF и BE.
Точки E
иF
лежат
на
окружности с диаметром CD
(так как углы BEC и AFCпрямые).
Следовательно,
ADB=
EDF= =180o -
C. Поэтому, искомое ГМТ — окружность,
симметричная данной, относительно прямой AB (точки, проецирующиеся в точки A и B,
следует исключить).
Ответ: ГМТ — окружность, симметричная данной, относительно прямой AB (без точек А и
В.).
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
12
Задача 6. На окружности точки А и В неподвижны, а С перемещается по этой окружности.
Найти ГМТ пересечения биссектрис.
Рисунок 9
На этом чертеже
точке С задана
анимация, а Кслежение. След
точки К- две дуги
окружностейискомое
ГМТ.(Рис.9- ссылка
на видеофайл.)
Доказательство:
Если К — точка
пересечения
биссектрис
треугольника ABC, то
AКB = 90o +
C/2. На каждой из двух дуг AB угол C постоянен,
поэтому искомым ГМТ являются две дуги, из которых отрезок AB виден под углом 90o +
C/2 (точки A и B следует исключить).
Ответ: ГМТ- две дуги окружностей, проходящих через Аи В.
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
13
Задача 7. На окружности точки А и В неподвижны, а С перемещается по этой окружности.
Найти ГМТ пересечения медиан треугольников АВС.
Рисунок 10
На данном чертеже точке С задается
анимация, а точке пересечения
медиан М- слежение, благодаря чему
мы наблюдаем ГМТ точек
пересечения медиан. В видеоролике
показано, что искомое ГМТокружность (Рис.10-ссылка на
видеофайл.)
Доказательство: Пусть K — середина
хорды AB, а M — точка пересечения
медиан треугольника ABC.
1
Поскольку КМ:МС=1:2, то KM =3 KC (при любом положении точки С), поэтому точка M
1
гомотетична точке C относительно точки K с коэффициентом 3. Следовательно, искомое
геометрическое место точек есть образ данной окружности (без двух точек A и B) при
рассматриваемой гомотетии, т.е. окружность без двух точек.
1
Ответ: Окружность, гомотетичная данной относительно середины АВ с коэффициентом 3.
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
14
Заключение
В данной работе я научилась строить чертежи в Живой Математике и с их помощью
решать задачи на нахождение геометрического места точек. Использование «живых»
чертежей значительно упростило исследование данного типа задач, так как позволило
увидеть фигуру, являющуюся решением задачи, что не представляется возможным сделать с
помощью обычного неподвижного чертежа.
ДОНЦОВА Анастасия Сергеевна, Краснодарский край, г. Краснодар, МБОУ СОШ № 71, 9 класс,
«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК». Научный руководитель: Тавадян Меланя Мушеговна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
Список используемой литературы:
1. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. / Л.С.Атанасян, В.Ф.Кадомцев и др.- М.:
Просвещение, 2011.
2. Погорелов А.В. Геометрия: учеб. для 7-9 кл.- М.: Просвещение, 2008.
3. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии.- М.: изд-во МЦНМО, 2001.
4. http://iclass.home-edu.ru/course/view.php?id=766
15