Министерство экономического Министерство образования развития и торговли

Министерство экономического
развития и торговли
Российской Федерации
Министерство образования
и науки Российской Федерации
Государственный Университет –
Высшая школа экономики
Санкт-Петербургский филиал
Кафедра математики
Программа дисциплины
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Для специальности 030200.65 «Политология»
Курс 1
Авторы к.т.н., доцент Рейнов Юрий Иванович, старший препод. Панневиц Оксана Владимировна
Санкт-Петербург
2006
I. Пояснительная записка
Требования к студентам:
Учебная дисциплина «Высшая математика» (1 – 5 модули 1-го курса кафедры Политологии) не требует предварительных знаний, выходящих за рамки программы полной средней школы.
Аннотация:
Учебная дисциплина содержит основы математических знаний, базовые элементы математических моделей и методов, необходимые современному психологу. Программа дисциплины содержит разделы, посвященные сравнительно новой для преподавания дискретной
математике, вполне традиционным линейной алгебре, дифференциальному и интегральному
исчислению, дифференциальным уравнениям, а также математическим основам аналитики в
теории вероятностей (лишь в начальной ознакомительной степени, с позиций «Высшей математики»). Учебная дисциплина направлена на привитие студентам целостного взгляда на
математику, на её идеологию и методологию исследования, на историко - гносеологический
генезис важнейших математических понятий, на потенциальные теоретические возможности
математики и на практические трудности её применения, связанные, например, с возможной
неадекватностью математических моделей реальности, с частой недостаточностью реальных
данных, с различными ресурсными ограничениями и др. Однако, работая в реальном мире,
специалист - аналитик должен обязательно владеть именно математическим инструментарием – как пусть в определенной мере идеальным, но зато инвариантным относительно разнообразных предметных областей средством работы в них. Именно такое знание является одним из базовых элементов будущей профессиональной мобильности специалиста, необходимой для достижения им своего интегрального профессионального успеха в жизни.
Учебная задача курса:
Материал курса нацелен на подведение студентов к творческому восприятию последующих специальных дисциплин по психологии. Студенты должны научиться владеть современным математизированным профессиональным языком, принятым в мировом научном
и деловом сообществе, научиться видеть те конкретные вопросы в указанных областях, применение математического инструментария в которых даст позитивный профессиональный
эффект.
Формы контроля:
По курсу предусмотрены 4 домашних работы и 4 контрольные работы. Итогом работы студентов являются 1 письменный зачет в конце второго модуля и письменный экзамен в
конце 5 модуля.
Все формы промежуточного и текущего контроля оцениваются в 10-балльной шкале. Оценка результата каждого полугодия складывается:
- из оценок по 4-м контрольным работам – каждая по 10% итоговой оценки (0.4)
- из оценок по 4 домашним работам – каждая по 10% итоговой оценки
(0.4)
- из оценки по письменному зачету - 10% итоговой оценки
(0.1)
- из оценки заключительного письменного экзамена - 10% итоговой оценки (0.1).
Итоговая оценка (результат округления) выставляется в 10-балльной системе в ведомость
и в зачетную книжку студента (оценкам 1, 2, 3 в 10-балльной системе соответствует оценка
«неудовлетворительно » в пятибалльной системе, оценкам 4, 5 – «удовлетворительно »,
оценкам 6, 7 – «хорошо », оценкам 8, 9, 10 – «отлично »).
2
II. Содержание программы
Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Тема 1.1. Векторы и прямые на плоскости и в пространстве. Метод координат. Векторы. Координаты и длина вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Условия ортогональности и коллинеарности двух векторов. Уравнение прямой на плоскости.
Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Тема 1.2. Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения.
Тема 1.3. Плоскости и прямые в пространстве, поверхности в пространстве, криволинейные
координаты. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью. Цилиндрические, конические и алгебраические поверхности.
Их уравнения и геометрические свойства. Полярные координаты на плоскости.
Тема 1.4. Матрицы и определители, системы линейных уравнений. Определители второго,
третьего и n-го порядков, их свойства. Вычисление определителей. Действия с матрицами.
Обратная матрица. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса.
Тема 1.5. Пространства (действительное n-мерное арифметическое, линейные векторные, евклидовы). Линейные отображения, их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли.
Тема 1.6. Сопряжённый оператор, собственные векторы и собственные значения линейных
операторов. Сопряжённая матрица. Самосопряжённые операторы и симметричные матрицы.
Ортогональные матрицы. Альтернатива Фредгольма. Свойства собственных векторов и собственных значений сопряжённых операторов. Теорема о полноте собственных векторов. Линейные и квадратичные формы в n-мерном пространстве. Критерий Сильвестра.
Тема 1.7. Некоторые социально - экономические приложения матричного анализа.
Тема 2. Элементы дискретного анализа.
Тема 2.1. Элементы математической логики и теории множеств. Дискретные объекты и
структуры в математике. Метод математической индукции. Необходимые и достаточные
условия. Логические (булевы) переменные. Алгебра логики, функции алгебры логики (булева алгебра, булевы функции). Множества, отображения, мощности. Алгебра множеств.
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Минимизация булевых функций.
Функциональная полнота систем булевых функций, замкнутые классы.
Тема 2.2. Элементы комбинаторики и теории графов. История развития, генезис понятий,
классические задачи. Перечисление комбинаторных объектов и производящие функции. Рекуррентные соотношения. Разбиения и размещения. Логические методы комбинаторной
математики. Представления графов. Связность, деревья. Эйлеровы и гамильтоновы пути и
циклы. Комбинаторные задачи планирования выборочных обследований. Задачи о потоках в
сетях.
Тема 3. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Тема 3.1. Действительные числа, предел числовой последовательности. Конечные и бесконечные десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Числовая прямая. Числовые множества. Числовые функции. Определение числовой функции. Обратная функция. Сложные
функции. Основные элементарные функции: показательная, логарифмическая, степенная,
тригонометрические и обратные тригонометрические
Тема 3.2. Числовые последовательности. Подпоследовательности. Предел последовательности. Единственность предела. Переход к пределу в неравенствах. Существование предела у
монотонной ограниченной последовательности. Предел суммы, разности, произведения и
частного. Принцип вложенных отрезков, теорема Больцано – Вейерштрасса и критерий Коши.
3
Тема 3.3.. Определение предела функции по Гейне и по Коши. Свойства пределов функций.
Односторонние пределы. Точки непрерывности и точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений,
существование промежуточных значений. Теорема о непрерывности обратной функции. Непрерывность основных элементарных функций. Замечательные пределы.
Тема 3.4. Производные и дифференциалы. Определение производной. Геометрический
смысл производной и дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
Производная суммы, разности, произведения и частного. Производная сложной функции.
Производная обратной функции. Теорема Ферма. Теоремы о среднем Ролля, Лагранжа и Коши. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение в ряд основных
элементарных функций.
Тема 3.5. Исследование функций с помощью производных. Правила Лопиталя раскрытия неопределённостей. Асимптотические разложения по формуле Тейлора. Условия монотонности и выпуклости дифференцируемых функций. Экстремумы и точки перегиба.
Тема 3.6. Первообразные и неопределенные интегралы. Определения и основные свойства
первообразных и интегралов. Методы интегрирования: замена переменной интегрирования и
метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций.
Тема 3.7. Определенные интегралы. Определение и критерии существования интеграла Римана. Свойства интегрируемых функций и определённых интегралов. Формула Ньютона –
Лейбница и её следствия. Несобственные интегралы: определения и основные свойства. Несобственные интегралы от неотрицательных функций, признаки сравнения. Абсолютно и
условно сходящиеся интегралы. Приложения определённых интегралов: вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения.
Тема 3.8. Функции многих переменных. Числовые функции двух, трёх и большего числа переменных. Частные производные. Непрерывные функции и их свойства. Свойства дифференцируемых функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по
направлению и градиент функции. Кратные интегралы. Экстремумы функций многих переменных. Необходимое условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Тема 3.9. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Абсолютно сходящиеся ряды и
их свойства.
Тема 3.10. Некоторые социально - экономические приложения дифференциального и интегрального исчисления.
Тема 4. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Тема 4.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. Задача
Коши. Разностные уравнения.
Тема 4.2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Задача Коши. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Разностные уравнения.
Тема 4.3. Системы дифференциальных уравнений. Нормальная система дифференциальных
уравнений. Автономные системы. Фазовое пространство (плоскость). Задача Коши. Векторная запись нормальной системы. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
Тема 4.4. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Теоремы существования,
единственности и непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров и начальных условий. Понятие об устойчивости решения. Устойчивость по Ляпунову.
Тема 4.5. Некоторые динамические модели в социально – экономическом анализе.
Тема 5. Введение в математические основы теории вероятностей.
4
Интуитивные предпосылки теории вероятностей. Опыт, множество элементарных исходов
опыта, событие. Классическое, статистическое, геометрическое определения вероятности.
Генезис понятий, классические задачи. Субъективная вероятность. Математическое определение вероятности. Алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Вероятностное пространство как парадигма вероятностного мышления исследователя - аналитика и как корректная математическая модель случайного явления. Теория вероятностей и
математическая статистика в научном исследовании и в решении практических задач. Примеры из предметной области Behavioral Science: модели выбора рациональной стратегии поведения в условиях неопределенности, модели анализа ожидаемой полезности и риска, модель когнитивной психологии, модель Лоренца концентрации доходов, модель Даунса избирательных схем и технологий.
III. Темы семинарских занятий
Тема 1. Векторы и прямые на плоскости и в пространстве.
Тема 2. Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола
Тема 3. Плоскости и прямые в пространстве, поверхности в пространстве
Тема 4. Матрицы и определители, системы линейных уравнений.
Тема 5. Пространства. Линейные отображения. Ранг матрицы. Теорема Кронекера.
Тема 6 .Элементы математической логики и теории множеств.
Тема 7. Элементы комбинаторики и теории графов.
Тема 8. Числовые функции и Числовые последовательности.
Тема 9. Предел, свойства пределов функций и непрерывность.
Тема 10. Производные и дифференциалы.
Тема 11. Исследование функций с помощью производных и правила Лопиталя.
Тема 12. Первообразные и неопределенные интегралы.
Тема 13. Определенные интегралы.
Тема 14. Функции многих переменных.
Тема 15. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда.
Тема 16. Дифференциальные уравнения первого порядка и высших порядков.
Тема 17. Системы дифференциальных уравнений и. устойчивость решений.
IV. Задания к домашним заданиям.
1.
Для данных урожайности зерновых культур в СССР с 1946 по 1989 гг. построить прогноз на 5 пять лет вперед, используя, разностный оператор первого порядка для удаления
тренда. Сравнить точность прогноза в этой модели с точностью прогноза на базе линейного
тренда.
2.
Для данных ежемесячных объемов авиаперевозок подобрать с помощью регрессии модель тренда ряда по его значениям, выровненным с учетом сезонности. Оценить выполнение
условий подбора модели. Сделать прогноз сезонного ряда на несколько лет вперед.
3.
Для натурального логарифма данных ежемесячных объемов авиаперевозок подобрать с
помощью регрессии модель тренда ряда по его значениям, выровненным с учетом сезонности. Оценить выполнение условий подбора модели. Сделать прогноз сезонного ряда на несколько лет вперед.
4.
Построить ARMA модель остатков, полученных в задаче регрессии для оценки тренда
сглаженного с учетом сезонности ряда.
5.
Для натурального логарифма данных ежемесячных объемов авиаперевозок подобрать
SARIMA модель, используя разностные, и сезонные разностные операторы. Сделать прогноз
на несколько лет вперед.
6.
Подобрать ARMA модель для среднегодовых цен на какао-бобы из Бразилии (центы US
за фунт). Сделать прогноз на пять лет вперед. Файл данных: prise.sav, переменная
7.
Подобрать ARMA модель для среднегодовых цен на рис из Таиланда на рынках Бангкока ($ US за метрическую тонну). Сделать прогноз на пять лет вперед.
8.
Подобрать ARMA модель для логарифма среднегодовых цен на рис из Тайланда на
рынках Бангкока ($ US за метрическую тонну). Сделать прогноз на пять лет вперед.
5
9.
Подобрать ARMA модель для среднегодовых цен на говядину из США на рынках НьюЙорка (центы за фунт). Сделать прогноз на пять лет вперед.
10. Подобрать ARMA модель для среднегодовых цен на каучук из Малайзии на рынках
Сингапура (центы за фунт). Сделать прогноз на пять лет вперед.
11. Подобрать ARMA модель для среднегодовых цен на каучук, поступивший на рынки
Нью-Йорка из всех источников (центы за фунт). Сделать прогноз на пять лет вперед.
12. Подобрать ARMA модель для среднегодовых цен на мировых рынках на шерсть из Австралии (центы за килограмм).
13. Для данных ежемесячных объемов продаж шампанского на мировом рынке подобрать с
помощью регрессии модель тренда ряда по его значениям, выровненным с учетом сезонности. Сделать прогноз сезонного ряда на год вперед.
14. Для логарифма данных ежемесячных объемов продаж шампанского на мировом рынке
подобрать с помощью регрессии модель тренда ряда по его значениям, выровненным с учетом сезонности. Сделать прогноз сезонного ряда на год вперед.
15. Для логарифма данных ежемесячных объемов продаж шампанского на мировом рынке
подобрать SARIMA(p, d, q)(P, D,Q). Сделать прогноз сезонного ряда на год вперед.
16. Для урожайности зерновых культур в СССР с 1946 по 1989 гг. построить модель ряда,
используя, разносные операторы. Сделать прогноз на 5 лет вперед.
17. Указать ситуации, в которых, индекс SP500 за январь может, является хорошим предиктором индекса SP500 по итогам года.
18. Для первых 48-ми значений ряда производства мяса в живом весе (тыс. тонн) в России
с января 1992 г. подобрать модель тренда по выровненным с учетом сезонности значениям
ряда. Сделать прогноз сезонного ряда на десять месяцев вперед. Сравнить прогноз с реальными наблюдениями (последние десять значений исходного ряда).
19. В задаче 18 изучить поведение остатков в подобранной модели ряда и построить модель остатков.
20. Для натурального логарифма значений ряда производства мяса в живом весе (тыс.
тонн) в России с января 1992 г. подобрать SARIMA модель, используя простые, и сезонные
разностные операторы. Сделать прогноз сезонного ряда на год вперед.
21. Для первых 48-ми значений ряда производства яиц (млн. штук) в России с января 1992
г. подобрать модель тренда по выровненным с учетом сезонности значениям ряда. Сделать
прогноз сезонного ряда на десять месяцев вперед. Сравнить прогноз с реальными наблюдениями (последние десять значений исходного ряда).
22. В задаче 21 изучить поведение остатков в подобранной модели ряда и построить модель остатков.
23. Для значений ряда производства яиц (млн. штук) в России с января 1992 г. подобрать
SARIMA модель, используя, простые и сезонные разностные операторы. Сделать прогноз
сезонного ряда на год вперед.
24. Построить модель и сделать прогноз для данных объемов еженедельных заказов на
хлеб тонкого помола (тыс. штук), используя ARIMA модель, и простые разностные операторы.
25. Построить модель и сделать прогноз для месячных объемов продаж для Keytron Corp.
(данные с января 1987 г.), используя, SARIMA модель и разностные операторы.
V. Экзаменационные вопросы
1. Примеры описаний: статическая модель штатного расписания, динамические модели кредитования фирмы банком в дискретном и непрерывном времени.
2. Схемы принятия управленческих решений. Теоретико - управленческие начала: планирование, измерения (наблюдения), оперативное управление (регулирование).
3. Одношаговые и многошаговые процедуры принятия управленческих решений. Априорная
и текущая информация. Обработка наблюдений.
4. Статистическая проверка гипотез. Планирование эксперимента.
5. Детерминированный, гарантирующий и вероятностный подходы к построению стратегий
управления.
6
6. Имитация и моделирование, их сходство и различие. Примеры имитационных систем для
микроэкономических и социально - экономических задач.
7. Допустимые и оптимальные решения. Причины их возможного отсутствия. Определения
максимума и минимума на допустимом множестве.
8.Итерационная схема построения оптимального решения через допустимые.
9.Общая постановка задач конечномерной оптимизации со связями и ограничениями. Допустимое множество. Управление персоналом.
10. Типы максимумов: внутренний и граничный, единственный и неединственный, глобальный и локальный.
11. Последовательная максимизация как способ аналитического решения задач малой размерности. Геометрическое отыскание максимума в двумерных задачах.
12. Достаточные условия глобального максимума: теорема Вейерштрасса о достижимости
максимума и минимума непрерывной функцией многих переменных на компакте; теорема о
максимуме вогнутых, т.е. выпуклых вверх, непрерывных функций на выпуклом компакте.
Достаточные условия выпуклости.
13. Экстремумы гладких и негладких функций. Конусы допустимых и улучшающих вариаций. Необходимые условия и достаточные условия для локальных экстремумов гладких
функций. Матрица Гессе. Достаточное условие локального максимума в угловой точке.
14. Критерий Сильвестра законоопределённости квадратичных форм. Условия высокого порядка для наличия и отсутствия локальных экстремумов у функций одной переменной.
15. Множители Лагранжа. Эквивалентность исходной задачи оптимизации со связями и
ограничениями безусловному максимину функции Лагранжа.
16. Условия Куна - Таккера, дополняющая нежесткость, геометрическая интерпретация. Чувствительность максимума к изменению вектора ресурсов. Окаймлённый Гессиан. Теорема
Куна - Таккера о седловой точке функции Лагранжа. Двойственная задача. Рыночное равновесие.
17. Схемы численных методов максимизации (прямых и непрямых): скорейший спуск, проектирование градиента, штрафные функции, метод Ньютона. Поиск глобального максимума
в многоэкстремальных задачах.
18. Гарантия допустимости управления и справедливости оценки качества при любых возмущениях из априори прогнозируемого множества.
19. Управление с полной информацией о возмущениях, или абсолютно оптимальная стратегия как оптимальный, но нереализуемый способ управления. Доминирование управления с
полной информацией над программным по условиям допустимости, по реализациям критерия качества и по его априорной гарантированной оценке.
20. Игровая интерпретация программного управления и управления с полной информацией.
Седловая точка как необходимый и достаточный признак априорной неразличимости всех
разумных способов управления.
21. Вероятностная информация о возмущениях: плотность распределения, функция распределения, вероятностная мера множеств.
22. Формализация задачи с фиксированной надёжностью успеха через вероятностную меру
множества благоприятных возмущений. Пример аналитического решения статической задачи управления запасами. Предельный переход в гарантирующее управление при стремлении
надёжности успеха к единице.
23. Неантагонистические бескоалиционные игры. Четыре принципа формирования равновесных стратегий индивидуального поведения: доминирующие стратегии, индивидуальные
гарантирующее стратегии, равновесие по Нэшу, оптимум по Парето.
24. Достоинства, недостатки, сравнение между собой и с седловой точкой в общем случае и
на примерах (война или мир, дуополия Курно). Стратегия наказания как механизм, заставляющий соблюдать договор о выборе одной из неединственных равновесных ситуаций.
25. Понятие о коалиционных играх. Конечношаговые игры с полной и с неполной информацией. Дерево игры. Множества неопределённости, или информационные множества. Рекурсивное решение. Бесконечно повторяющиеся игры. Народная теорема.
7
VI. Типовые вопросы и задачи для контрольных и зачетной работ:
1. Вычислить формулу
2. Доказать тавтологию
F = [ ( P1   2   3 ]  1  3
[  1  2   1 ]  [ 2    1  2  ]
3. Доказать тождество
XY + X Y + Y ( Х + X ) = X + Y

4. Построить график функции y  3 sin(

x
 )  0.5
2
5. Найти область определения функции, обратной данной
6. Найти предел последовательности
7. Вычислить формулу
8. Доказать тавтологию
9. Доказать тождество
Lim
y  x  2 1
(n  1) 3  n 3  3n
4n 2  2n  5
при n  
F = [  ( P1   2   3 ]  1  3
( P1  ( Р1  Р2 ) )  ( Р1  Р2 )

X Y + X( Х +Y) = X + Y

10. Построить график функции y  0.5 cos(2 x  )  2
2
11. Найти область определения функции, обратной данной
12. Найти предел последовательности
13. Вычислить формулу
14. Доказать тавтологию
15. Доказать тождество
Lim
n 3 / 2  3n 2 / 3  3n
4n  5n
1/ 3
 5n n
при n  
F = [3   ( P1  2  3 ]  1  3
(  P1  (Р3  Р2 ) )  ( Р1  Р3 )
X ( X + Y) + YX + Y = X + Y
16. Построить график функции y  2 cos(
x 
 )2
2 2
17. Найти область определения функции, обратной данной
18. Найти предел последовательности
19. Вычислить формулу
20. Доказать тавтологию
y 1 x  2
Lim
y  x 1  2
 2n n  3n  n 1 / 3
4n  2n 3 / 2  5
при n  
F = [ ( P1  2   3 ]  1  3
(P1   Р2 )  ( Р3  ( Р2  Р1 ) )


21. Доказать тождество
Х + X X +Y + Y Y + X + XY = X + Y
22. Построить график функции y  0.5 sin( 2 x  )  1
23. Найти область определения функции, обратной данной y   x  1  2
24. Найти предел последовательности
Lim
2(n  1) 3  2n 3  3
(n  1) 3  n 3  5
при n  
VII. Список литературы
Базовые учебники
1. Журавлёв Ю.И., Флёров Ю.А. Дискретный анализ. Ч.1: Учебное пособие. – М.: Изд - во
МФТИ, 1999.
8
2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и её приложения в экономическом образовании: Учебник. – М.: «Дело», 2000.
3. Яковлев Г.Н. и др. Математика. Алгебра и элементарные функции. Учебное пособие. Ч.1.
– М.: «Агар», 1999.
Основная литература
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник. – М.:
Высшая школа, 1998.
2. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии:
Учебное пособие. – М.: Изд - во ГУ-ВШЭ, 1998.
3. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник. – М.: Физматлит, 2000.
4. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: Учебное пособие. – М.: «Гардарики», 1999.
5. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для ВУЗов. – М.: Высшая школа 1998.
Дополнительная литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: учебник для вузов. – Ростов - на – Дону: Феникс, 1997.
2. Грес П.В. Математика для гуманитариев: Учебное пособие. – М.: «Юрайт», 2000.
3. Григорьев С.Г. Линейная алгебра: Учебное пособие по высшей математике. – М.: ИВЦ
«Маркетинг», 1999.
4. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. – М.: Мир, 1998.
5. Замков О.О., Черемных Ю.Н., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике:
Учебник. – М.: «Дело и Сервис», 1999.
6. Калужнин Л.А. Что такое математическая логика. – М.: Наука, 1964.
7. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: Наука, 1974.
8. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. – М.: ИНФРА -М,
1999.
9. Кустов Ю.А., Юмагулов М.Г. Математика. Основы математического анализа: теория,
примеры, задачи. Домашний репетитор для студентов. – М.: «Рольф, Айрис -пресс», 1998.
10. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика. Курс лекций. Задачник практикум и решения. Серия «Учебники для ВУЗов». – СПб.: «Лань», 1999.
11. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное пособие. – СПб.:
«Специальная литература», 1996.
VIII. Тематический расчет часов
№ темы
Тема 1.
Тема 1.1.
Тема 1.2.
Тема 1.3.
Тема 1.4.
Тема 1.5.
Тема 1.6.
Тема 1.7.
Название темы
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Векторы и прямые на плоскости и в пространстве.
Кривые второго порядка.
Плоскости и прямые в пространстве, поверхности в пространстве, криволинейные координаты.
Матрицы и определители, системы линейных уравнений.
Пространства (действительное n-мерное
Арифметическое, линейные векторные, евклидовы).
Сопряженный оператор, собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
Некоторые социально – экономические приложения
Кол – во часов:
лек. + сем. + сам. работа
2
4
2
2
4
4
9
9
7
4
2
4
4
9
8
4
4
8
2
0
6
9
матричного анализа.
Тема 2.
Элементы дискретного анализа.
Тема 2.1. Элементы математической логики и теории множеств.
Тема 2.2. Элементы комбинаторики и теории графов.
Тема 3.
Дифференциальное и интегральное
Исчисление.
Тема 3.1. Действительные числа, комплексные числа, числовые
множества, числовые функции
Тема 3.2. Последовательности и предел числовой последовательности.
Тема 3.3 Предел функции и непрерывность.
Тема 3.4 Производные и дифференциалы.
Тема 3.5 Исследование функций с помощью производных
Тема 3.6 Первообразные и неопределенные интегралы.
Тема 3.7. Определенные интегралы.
Тема 3.8. Функции многих переменных.
Тема 3.9. Числовые ряды.
Тема 3.10. Некоторые социально – экономические приложения
дифференциального и интегрального исчисления.
Тема 4.
Элементы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Тема 4.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Тема 4.2. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Тема 4.3. Системы дифференциальных уравнений.
Тема 4.4. Устойчивость решений дифференциальных уравнений.
Тема 4.5. Некоторые динамические модели в социологии.
Тема 5. Введение в математические основы теории вероятностей.
Итого
2
3
3
4
7
7
2
2
8
4
4
9
2
4
2
2
2
3
2
4
4
2
4
4
4
2
7
7
7
6
5
9
5
2
4
7
2
2
2
2
2
1
3
3
2
2
8
9
7
8
8
2
0
8
62
74
188
Всего: лекции – 62, семинары – 74, самостоятельная работа – 188.
Авторы программы: __________________ Рейнов Ю.И.
__________________ Панневиц О.В.
10