развитие и применение метода фиктивных канонических

На правах рукописи
УДК 539.3
Гладкий Сергей Леонидович
РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФИКТИВНЫХ
КАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ
05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и
комплексы программ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Пермь 2007
2
Работа выполнена на кафедре динамики и прочности машин Пермского
государственного технического университета и на кафедре прикладной
информатики и искусственного интеллекта Пермского государственного
педагогического университета.
Научный руководитель – доктор технических наук,
профессор Ясницкий Леонид Нахимович
Официальные оппоненты:
- доктор физико-математических наук,
профессор Тарунин Евгений Леонидович;
- кандидат физико-математических наук
Большаков Александр Юрьевич.
Ведущая организация – Научно-исследовательский институт механики
Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского,
г. Нижний Новгород.
Защита состоится 5 июля 2007 г. в 15 часов на заседании
диссертационного совета Д 212.189.09 в Пермском государственном
университете по адресу: 614600, г. Пермь, ул. Букирева, д. 15, зал
заседаний Ученого Совета ПГУ.
С диссертацией можно ознакомиться
государственного университета
в
библиотеке
Пермского
Автореферат разослан ___ _____________ 2007 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Лутманов С. В.
3
Общая характеристика работы
Актуальность проблемы. В истории развития методов решения
краевых задач математической физики можно проследить два периода.
Первый исторический период начался с основополагающих работ
Ж.Л. Д’Аламбера и Ж.Б.Ж. Фурье, выполненных в XVIII – начале XIX
вв. С помощью метода разделения переменных им удалось получить ряд
решений краевых задач для простейших областей, называемых
каноническими – круга, квадрата, цилиндра, шара и пр.
Дальнейшее развитие метода Фурье было связано c попытками
его применения к более сложным дифференциальным уравнениям за
счет представления их решений через гармонические и бигармонические
функции. Такие представления были предложены В.Кельвином и
П.Г.Тайтом, М.Дж.Буссинеском, Б.Г.Галеркиным, П.Ф.Папковичем,
Г.Нейбером, В.И.Блохом, Ю.А.Крутковым, К.В.Соляник-Красса,
М.Г.Слободянским, В.М.Деевым и др.
Другое направление развития метода Фурье – применение к
телам более сложных конфигураций за счет использования
криволинейных систем координат. Здесь следует упомянуть
основополагающие работы П.А.Шифа, П.Ф.Папковича, А.И.Лурье,
В.К.Прокопова, В.Т.Гринченко, Ю.Н.Подильчука и др.
Следующая идея – это идея использования известных решений в
простых областях для получения решений в областях более сложных
конфигураций. Реализация этой идеи происходила в двух направлениях.
Первое – это преобразование координат, что реализуется, например,
конформными отображениями, развитыми и примененными в работах
Г.В.Колосова, Н.И.Мусхелишвили, М.А.Лаврентьева и Б.В.Шабата,
Г.Н.Савина,
Д.И.Шермана,
С.Г.Михлина,
А.В.Угодчикова,
Л.И.Волковыского, Е.А.Колчановой, В.Г.Баженова и др. Второе
направление связано с расширением заданной расчетной области
аналитическим продолжением решения за границу, возмущением формы
границы, погружением заданной области в область более простой
геометрической формы. Подобные идеи прослеживаются в работах
Н.И.Безухова и О.В.Лужина, Б.Г.Коренева, А.Н.Гузя, Ю.Н.Немиша,
И.Н.Шардакова, И.Н.Трояновского, И.Н.Труфанова, В.П.Матвеенко 1,
Л.Н.Ясницкого, В.А.Елтышева, А.Ю.Большакова2 и др.
Шардаков И.Н. Метод геометрического погружения в теории упругости / И.Н. Шардаков,
Н.А. Труфанов, В.П. Матвеенко. – Екатеринбург: УрОРАН, 1999. – 298 с.
2
Большаков А. Ю. Напряженно-деформированное состояние трехмерного цилиндра /
А.Ю. Большаков, В.А. Елтышев // Напряженно-деформированное состояние и прочность
конструкций. – Свердловск : Изд. УНЦ АН СССР, 1982. – C. 3-7.
1
4
По своей физической сути к этим методам близок метод
источников, впервые встречающийся в работах С.П.Тимошенко,
Р.Миндлина
и
Д.Чена,
примененный
Х.А.Рахматулиным,
Х.Валиджановым, всесторонне исследованный А.А.Роговым3. Идея
применения фундаментальных решений для нахождения решения
краевых задач встречается в классических работах по теории потенциала
Ф.Фредгольма,
Д.Гильберта,
Ж.Пуанкаре,
Н.И.Мусхелишвили,
Ф.Трикоми и др. Приближение источников к границам заданного тела
приводит к сингулярности интегральных уравнений. Методы решения
краевых задач, основанные на решении этих уравнений, развиваются в
работах Н.Д. Купрадзе, М.А. Алексидзе, П.И. Перлина, В.З.Партона и др.
Впоследствии за этой группой методов закрепился термин – методы
граничных элементов (МГЭ), которые в настоящее время интенсивно
развиваются и применяются саутгемптонской школой механиков,
возглавляемой К.Бреббия.
Все приближенные аналитические методы решения краевых
задач можно разделить на три группы: методы типа Треффца, Ритца и
Рейсснера. Во всех этих методах искомое решение представляется в виде
ограниченных сумм базисных функций, коэффициенты при которых
ищутся из некоторого условия. В методах типа Треффца каждая из
базисных функций подбирается так, что она тождественно
удовлетворяет дифференциальному уравнению краевой задачи, а
коэффициенты ищутся из условия приближенного удовлетворения
граничным условиям. Для метода Ритца, наоборот, базисные функции
должны
тождественно
удовлетворять
краевым
условиям,
а
коэффициенты ищутся из условия приближенного удовлетворения
дифференциальному уравнению. В методе Рейснера на базисные
функции не накладывается никаких ограничений и для отыскания
коэффициентов формируется функционал Рейснера.
С точки зрения оценки точности получаемых результатов метод
Треффца имеет преимущество. Дело в том, что он приводит к
аналитическим решениям, которые тождественно удовлетворяют
дифференциальному уравнению краевой задачи во всей расчетной
области. Остается только вычислить невязки удовлетворения граничных
условий на границе расчетной области и с помощью них оценить
погрешность решения краевой задачи.
Второй этап развития методов решения краевых задач связан с
появлением в начале 50-х гг. XX века электронно-вычислительных
3
Роговой А.А. Математическое обоснование метода законтурных массовых сил в теории
упругости / А.А. Роговой // Механика деформируемых тел. Ученые записки Пермского
государственного ун-та. – 1974. – Вып.2, № 273. – C. 43-50.
5
машин и распространением численных методов. Среди них наибольшую
популярность приобрели метод конечных разностей (МКР) и метод
конечных элементов (МКЭ).
Как видно из приведенного выше обзора, к настоящему времени
разработан значительный математический аппарат, предназначенный
для решения краевых задач. Однако не существует одного
универсального метода, который обладал бы преимуществами во всех
ситуациях. Каждый метод имеет свою область применения, в которой он
является более эффективным. Поэтому разработка новых методов и
усовершенствование существующих всегда были и остаются
актуальными задачами.
В настоящее время одним из наиболее важных критериев
эффективности методов решения краевых задач, определяющих их
практическую ценность, является возможность точной оценки
погрешности получаемых решений. В работе рассматривается один из
приближенных аналитических методов решения краевых задач – метод
фиктивных канонических областей (ФКО). Метод ФКО является, по
сути, развитием метода Треффца. Дело в том, что метод Треффца
предложенный в 1926 г., несмотря на отмеченное уникальное свойство
возможности простой и надежной оценки погрешности, долгое время
оставался не пригодным для широкого практического применения.
Нерешенной
была
проблема
подбора
базисных
функций,
обеспечивающих сходимость решений. В 1973 г. Л.Н.Ясницким 4 была
предложена геометрическая интерпретация метода Треффца, которая
позволила разобраться в проблемах его сходимости и корректности,
построить методику выбора базисных функций, впоследствии названную
методом ФКО5. В том же году им была дана первая формулировка
теоремы сходимости (она же – теорема продолжимости) и ее первое
доказательство в случае плоских краевых задач для уравнений Лапласа и
Ламе, а также предложен способ оценки погрешности на основе
принципа максимума. Впоследствии компьютерные программы,
реализующие метод ФКО, были переданы сотруднику Института
механики сплошных сред УрО РАН В.А.Елтышеву, который вместе со
своими учениками развил и применил их для расчета напряженнодеформированного состояния тел цилиндрической формы, скрепленных
4
Ясницкий Л.Н. Об одном способе решения задач теории гармонических функций и
линейной теории упругости
/ Л.Н.Ясницкий
// Прочностные и гидравлические
характеристики машин и конструкций. – Пермь: Изд. Пермского политехнического ин-та,
1973. – С. 78-83.
5
Ясницкий Л.Н. Метод фиктивных канонических областей в механике сплошных сред /
Л.Н. Ясницкий. – М. : Наука, 1992. – 128 с.
6
с оболочками6. В 1985 г. А.Ю.Большаковым и В.А.Елтышевым 7 была
сформулирована и доказана теорема о сходимости решений, получаемых
методом ФКО, в случае, если фиктивная и заданная области
топологически эквивалентны. Однако основным критерием выбора
фиктивных канонических областей оставалась теорема продолжимости,
доказательство которой для общего объемного случая было выполнено в
1988 г. С.Я.Гусманом8. Доказательство было выполнено применительно
к уравнению Лапласа и распространено на уравнения, решение которых
выражается через гармонические функции.
Таким образом, на сегодняшний день метод ФКО имеет
практические приложения, его развитию и применению посвящены две
докторские (Л.Н.Ясницкий, В.А.Елтышев) и несколько кандидатских
(В.А.Елтышев, А.Ю.Большаков,
А.А.Осипанов, А.В.Колмогоров)
диссертаций. Однако, несмотря на свои преимущества, теоретические и
практические результаты, метод ФКО до сих пор не является широко
распространенным. Причиной этого, по мнению автора диссертации,
является недостаточная теоретическая развитость метода ФКО и
отсутствие его хорошей программной реализации. Поэтому тема
диссертационной работы, связанная с решением этих вопросов, является
актуальной.
Целью работы является развитие метода ФКО, создание
реализующей его компьютерной программы и ее применение для
решения практических задач, а именно:
 разработка новых алгоритмов, позволяющих повысить точность
решений, получаемых методом ФКО;
 расширение возможностей и применение метода ФКО для решения
новых классов краевых задач – задач термоупругости и
нестационарных задач теплопроводности;
 создание библиотеки ФКО для плоских и осесимметричных задач
теплопроводности, теории упругости и термоупругости;
6
Елтышев В.А. Напряженно-деформированное состояние оболочечных конструкций с
наполнителем / В.А. Елтышев. – М. : Наука, 1981. – 167 с.
7
Большаков А.Ю. О решении пространственных задач теории упругости методом Фурье /
А.Ю. Большаков, В.А. Елтышев // Статические и динамические задачи упругости и
вязкоупругости. – Свердловск : Изд. УНЦ АН СССР, 1983. – C. 83-88.
8
Гусман С.Я. О критерии выбора базовых функций в методе фиктивных канонических
областей / С.Я. Гусман, Л.Н. Ясницкий // Геометрическое моделирование и начертательная
геометрия. Тезисы докладов Уральской научно-технической конференции. – Пермь : Изд.
УрО АН СССР, 1988. – C. 46-48.
7


разработка программы, реализующей метод ФКО с использованием
современных технологий в области программирования, в том числе,
элементов искусственного интеллекта;
решение практических задач методом ФКО.
Научная новизна работы заключается в следующем.
Выполнено развитие метода ФКО в двух направлениях:
1. Метод ФКО распространен на новые классы краевых задач:
a) задачи термоупругости;
б) нестационарные задачи теплопроводности, в том числе с
подвижными границами;
в) контактные задачи теории упругости.
2. Метод ФКО дополнен алгоритмами, позволяющими
автоматизировать его применение и увеличить точность получаемых
решений.
Все предлагаемые в работе алгоритмы реализованы в
компьютерной программе REGIONS и продемонстрированы при
решении конкретных краевых задач.
Достоверность полученных результатов подтверждается
использованием современных методов математического моделирования,
систем аналитических вычислений, сравнением результатов, полученных
методом ФКО, с результатами, полученными другими методами.
Научная и практическая ценность работы. В рамках работы
метод ФКО распространен на решение новых классов краевых задач –
задач термоупругости и нестационарных задач теплопроводности, в том
числе с изменяющимися границами. Предложен и реализован алгоритм
решения контактных задач теории упругости методом ФКО.
Разработаны новые алгоритмы, которые позволяют существенно
повысить точность решений, получаемых методом ФКО, и расширяют
его возможности.
Разработанная
автором
программа
REGIONS
может
применяться для решения методом ФКО практических задач: линейных
плоских и осесимметричных стационарных задач теплопроводности,
статических задач теории упругости и термоупругости, а также плоских
нестационарных задач теплопроводности.
С помощью программы REGIONS решен ряд практически
важных инженерных задач, что подтверждено прилагаемыми актами
внедрений.
8
Программа REGIONS используется при обучении студентов в
вузах г. Перми и для решения практических задач.
Апробация работы. Отдельные разделы диссертации
докладывались автором на:
1. X
Всероссийской
конференции
молодых
ученых
“Математическое моделирование в естественных науках”.
Пермь, 2001.
2. VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной
механике. Пермь, 2001.
3. Всероссийской
научно-технической
конференции
“Аэрокосмическая техника и высокие технологии”. Пермь, 2002.
4. XL международной научной студенческой конференции.
“Студент и научно-технический прогресс”. Математика.
Новосибирск, 2002.
5. XXIV конференции молодых ученых механико-математического
факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва, 2002.
6. XII
Всероссийской
конференции
молодых
ученых
“Математическое моделирование в естественных науках”.
Пермь. 2003.
7. III Всероссийской конференции по теории упругости с
международным участием. Ростов-на-Дону, Азов, 2003.
8. 13-ой зимней школе по механике сплошных сред. Пермь, 2003.
9. IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной
механике. Нижний Новгород, 2006.
10. Международной
научно-методической
конференции
“Актуальные проблемы математики, механики, информатики”.
Пермь, 2006.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8
работ (6 статей и две монографии).
Программа REGIONS зарегистрирована в Реестре программ для
ЭВМ РФ (свидетельство № 2006611607).
Личный
вклад
автора.
Автор
предложил
способ
распространения метода ФКО на задачи термоупругости. Метод ФКО
впервые применен автором для решения нестационарных задач
теплопроводности.
Диссертантом
предложен
и
реализован
итерационный алгоритм решения контактных задач теории упругости,
адаптированный для метода ФКО. Приведенные в работе три алгоритма
оптимизации решений и метод игнорирования  -окрестности также
9
разработаны автором (два алгоритма – совместно с научным
руководителем). Программа REGIONS полностью разработана автором.
Все решения краевых задач, приведенные в работе, также получены
лично автором с помощью данной программы.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из
введения, трех глав, заключения и четырнадцати приложений, содержит
65 рисунков, 5 таблиц, список цитируемой литературы из 165
наименований.
Содержание работы
Во Введении выполнен краткий исторический обзор развития
методов решения краевых задач. Выделены два этапа: первый связан с
развитием аналитических методов решения, второй – с численными
методами, получившими распространение со второй половины XX-го
века в связи с появлением и развитием компьютеров. Из выполненного
обзора делается вывод, что существует множество методов решения
краевых задач, однако каждый метод решения имеет свою область
применения, где он обладает преимуществами перед другими методами.
Поэтому, разработка новых методов решения краевых задач и
усовершенствование существующих является актуальной задачей.
В настоящее время одним из главных критериев при разработке
методов решения краевых задач, по мнению автора, является
возможность надежной оценки точности получаемых решений.
Метод ФКО, предложенный Л.Н. Ясницким в 1973 г, является
одним из приближенных аналитических методов решения краевых задач,
который позволяет надежно оценивать точность полученных
результатов, и в то же время решать задачи с достаточно сложной
геометрией области. Таким образом, данный метод является
перспективным методом решения краевых задач и его развитие является
актуальной задачей.
Целью работы ставится развитие метода ФКО и применение его
для решения практических задач.
Первая глава “Метод фиктивных канонических областей”
содержит два раздела. В первом разделе “Теоретические основы
метода фиктивных канонических областей” дается формулировка
краевой задачи: найти функцию U x , удовлетворяющую в пределах
 
10
некоторого тела
D  R 3 дифференциальному уравнению в частных
производных
(1.1)
L U x   Rx , x  D ,
и на поверхности S тела D граничным условиям
B U x  S  B *  x , x  S ,
(1.2)
где L и B – заданные линейные дифференциальные операторы с
*
постоянными коэффициентами; Rx  и B x  – заданные функции
координат x . В работе рассматриваются только корректные по Адамару
задачи: решение задачи (1.1)-(1.2) существует, единственно и
непрерывно зависит от исходных данных (устойчиво по исходным
данным).
Согласно методу ФКО, решение краевой задачи ищется в виде
конечной суммы
N
U x   U R x    cn u n x  ,
(1.3)
n 1
где
U R x  – любое частное решение уравнения (1.1), c n – постоянные
коэффициенты, u n  x  – базисные функции, каждая из которых
тождественно удовлетворяет однородному уравнению
(1.4)
LU x  0.
Базисные
функции
выбираются
следующим
образом:
существуют такие области, называемые каноническими, для которых
известны решения (например, полученные на первом этапе применения
метода разделения переменных Фурье) в виде бесконечного ряда
 
U V  V    cnV u nV  V  ,  V  V .

(1.5)
n 0
Такие решения часто называют общими решениями9 в том
V
смысле, что подбором коэффициентов c n
из них можно выделить
частные решения, удовлетворяющие достаточно произвольным краевым
условиям на границе канонической области
9
V  R 3 с любой точностью.
Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А.Д.
Полянин. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 576 с.
11
Согласно методу ФКО тело D погружается в пересечение нескольких
V1 V2  ... , как показано на рисунке 1.1.
Решение краевой задачи для исходного тела D ищется в виде суммы
канонических областей
решений, относящихся к этим каноническим областям. В каждом таком
решении ограничивают число слагаемых. Неизвестные коэффициенты
c n находятся из условия приближенного удовлетворения краевым
условиям (1.2).
1
2
3
Рис. 1.1 Исходное тело D с границей
S вписано в каноническую
область V и в пересечение трех канонических областей V1 , V2 и V3 .
Таким образом, метод ФКО является приближенным
аналитическим методом. Решение краевой задачи, полученное методом
ФКО, тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению и
приближенно – краевым условиям.
На
базе
приведенной
геометрической
интерпретации
сформулирована и доказана теорема продолжимости: отыскание
коэффициентов c n разложения (1.3) является корректной по Адамару
задачей в том и только в том случае, если искомое решение может быть
продолжено в пересечение выбранных канонических областей.
Теорема продолжимости сформулирована и доказана для
плоского случая Л.Н. Ясницким. Для пространства произвольной
размерности доказательство выполнено С.Я. Гусманом.
Главным преимуществом метода ФКО является возможность
надежной оценки точности полученных решений. Это обусловлено тем,
что дифференциальное уравнение удовлетворяется тождественно.
12
Для задач, в которых выполним принцип максимума, может
быть найдено точное значение максимальной погрешности решения.
Поскольку максимальное значение искомой функции в этом случае
реализуется на границе, то максимальная погрешность удовлетворения
граничным условиям будет максимальной погрешностью решения.
В любом случае, при решении задач методом ФКО, всегда
существует возможность восстановить ту краевую задачу, решение
которой методом ФКО удается получить точно. Для этого достаточно
вычислить полученные в результате решения методом ФКО значения
искомой функции на границе S исходного тела D и принять эти
значения в качестве нового (скорректированного) граничного условия:
B U x 
S
 B**  x ,
xS .
(1.6)
Таким образом, вместо решения исходной краевой задачи (1.1)(1.2) метод ФКО позволяет получить точное аналитическое решение
краевой задачи (1.1)-(1.6). Как доказано в теории метода ФКО, если
выполняется условие приведенной выше теоремы продолжимости, то
разность между
B * и B** стремится к нулю при N   .
Во втором разделе “Некоторые типы краевых задач,
решаемые
методом
фиктивных
канонических
областей”
рассмотрены краевые задачи, для которых применим метод ФКО, и
основные типы граничных условий для данных задач.
В стационарной задаче теплопроводности искомой функцией
является температура, которая при отсутствии тепловых источников
удовлетворяет уравнению Лапласа
2 T  0 ,
(1.7)
где T – температура;  – оператор Лапласа. Для данной задачи
рассмотрены следующие граничные условия: условие первого рода,
условие симметрии, условие третьего рода, условие идеального контакта
и условие контакта с термическим сопротивлением. Для плоских и
осесимметричных стационарных задач теплопроводности автором
создана библиотека решений, относящихся к соответствующим
каноническим областям (кольцо, слой, сфера, цилиндр и др.).
Большинство решений взято из литературы, частично они получены
автором.
В статической задаче линейной теории упругости искомой
функцией является вектор перемещений U , который удовлетворяет
векторному уравнению Ляме
(1.8)
  U     grad div U  F ,
2


13
где F – вектор объемных (массовых) сил,  и  – константы Ляме.
Для данной задачи возможны следующие граничные условия:
кинематические, статические, смешанные, условие симметрии, условие
совместности,
условие
сопряжения
с
натягом.
Наиболее
распространенными массовыми силами являются сила тяжести и
центробежные силы. Для плоских и осесимметричных статических задач
теории упругости автором создана библиотека решений для
соответствующих канонических областей (кольцо, слой, сфера, цилиндр
и др.), а так же частных решений уравнений равновесия для
рассмотренных видов массовых сил. Большинство решений взято из
литературы, частично решения получены автором.
Вторая глава “Развитие метода фиктивных канонических
областей” содержит четыре раздела.
В первом разделе “Оптимизация решений в методе
фиктивных канонических областей” содержится описание и примеры
использования трех алгоритмов оптимизации решений и метода
игнорирования  -окрестности, разработанных автором (два из них –
совместно с научным руководителем).
1. Алгоритм оптимизации расположения ФКО предназначен для
уточнения расположения выбранных фиктивных областей с целью
обеспечения максимальной точности при определенном числе
слагаемых. Алгоритм заимствует идею, используемую при создании
экспертных систем: он основан на представлении о том, как бы эту
задачу стал решать эксперт – человек, имеющий опыт применения
метода ФКО. Выбранные ФКО последовательно перемещаются на
некоторое расстояние в направлении, обеспечивающем минимальную
погрешность (направление определяется методом золотого сечения).
Если на данном расстоянии нет точки с меньшей погрешностью –
расстояние изменяется. Таким образом делается некоторое число
итераций для всех ФКО. Результаты применения алгоритма показали его
эффективность при оптимизации расположения небольшого числа ФКО
(не более трех). Решена задача, в которой применением данного
алгоритма удалось повысить точность решения в 10 раз.
2. Алгоритм оптимизации базисных разложений предназначен
для исключения “лишних” слагаемых. Под “лишними” понимаются
такие слагаемые, которые не нужны для удовлетворения граничным
условиям конкретной краевой задачи. Формально они не должны
оказывать влияние на решение, и коэффициенты при данных функциях
должны обращаться в ноль. Однако, в силу того, что отыскание
коэффициентов (формирование и решение СЛАУ) ведется численно, в
14
результате можно получить значительное снижение точности. В
простейших случаях такие слагаемые легко увидеть и удалить до начала
решения. В сложных задачах это сделать достаточно трудно.
Предложенный алгоритм заимствует идею из искусственного
интеллекта, а именно – наблюдение за поведением характеристик
системы при поочередном исключении ее элементов. При решении
краевой задачи методом ФКО определяющей характеристикой является
функционал граничных условий, который представляет собой интеграл
по поверхности от квадрата разности между полученным решением и
заданными граничными значениями


J   B U x   B * x  dS ,
2
(2.1)
S
где
U x  – полученное методом ФКО решение (1.3).
После решения задачи вычисляется значение функционала J с
учетом всех найденных коэффициентов. Затем последовательно
исключается каждое из слагаемых, и вычисляется значение функционала
J i , где i – номер исключенного слагаемого. Если данное значение
функционала мало
выполняется условие
отличается
от
первоначального,
J  Ji
 ,
J
например,
(2.2)
где  – малая положительная величина, данное слагаемое подлежит
исключению. В работе эффективность алгоритма продемонстрирована
на решении задачи – в результате применения алгоритма точность
решения повысилась в 100 раз.
3. Алгоритм оптимизации весовых коэффициентов позволяет
автоматически изменить весовые коэффициенты граничных условий на
различных участках поверхности с целью равномерного распределения
невязок граничных условий. Весовые коэффициенты вводятся при
формировании разрешающей СЛАУ методом наименьших квадратов.
Для этого граница разбивается на N участков, и функционал (2.1)
представляется в виде суммы
N
J   ki
i 1
 B U x   B x 
*
Si
2
dS ,
(2.3)
15
где k i – весовой коэффициент на
i -ом участке поверхности. При
увеличении весового коэффициента k i , граничное условие на i -ом
участке поверхности удовлетворяется точнее, а точность удовлетворения
граничных условий на других участках снижается.
Алгоритм оптимизации весовых коэффициентов является
итерационным и заимствует идею правила Хэбба, используемого при
обучении персептрона. На каждой итерации решается задача с
заданными весовыми коэффициентами. На каждом участке границы
 i , i  1, N
вычисляются невязки граничных условий
и их среднее
значение
m 
1
N
N

i 1
i
.
(2.4)
Коэффициенты изменяются по одной из следующих формул
ki j  ki j 1
или
i
m

(2.5 а)
,

ki j  ki j 1    i   m ,
где k i
j
и ki
j 1
(2.5 б)
– весовые коэффициенты на участке границы i на
итерациях j и j  1 соответственно,  – коэффициент скорости
обучения. Итерации повторяются до тех пор, пока отклонения всех
невязок от среднего значения не станут меньше заданной величины. В
работе приведен пример решения задачи, в которой использованием
данного алгоритма удалось уменьшить максимальное значение
погрешности в 4 раза.
4. Метод игнорирования  -окрестности предназначен для
оптимизации решений с разрывными граничными условиями. При
решении задач методом ФКО в случае наличия разрывов в граничных
условиях возникает эффект, подобный эффекту Гиббса при разложении
разрывных функций в ряды Фурье. Это приводит к большой
погрешности вблизи особой точки (точки разрыва граничных условий).
Для исключения эффекта предложен метод, заключающийся в
игнорировании граничных условий в некоторой малой окрестности
точки разрыва при формировании разрешающей СЛАУ. Обычно в таких
задачах (где имеют место большие градиенты искомой функции) рядом с
особой точкой помещают сингулярную ФКО (то есть ФКО, решение
(1.5) для которой содержит особенность). При этом существует
16
оптимальный размер (диаметр) окрестности игнорирования  в
зависимости от степени сингулярности и расстояния до особой точки
ФКО. Так, при большой  -окрестности мы допускаем произвольные
условия, а при ее стремлении к нулевой получаем эффект Гиббса. Такая
зависимость может быть построена расчетным путем для различных
классов задач и использована в дальнейшем, что и было сделано для
плоской задачи теплопроводности. Предложенный метод обладает
простотой в программной реализации, что важно при разработке
универсальных программ. При этом метод позволяет полностью
устранить эффект Гиббса вблизи особой точки и повысить точность на
остальных участках границы, что продемонстрировано в работе на
примере решения тестовой задачи.
В разделе делается вывод о том, что применение всех
предложенных и реализованных автором алгоритмов оптимизации и
алгоритма метода игнорирования  -окрестности позволяет существенно
увеличить точность решений краевых задач методом ФКО.
Второй раздел называется “Решение нестационарных задач
теплопроводности методом фиктивных канонических областей”.
Нестационарное распределение температуры в твердом теле
описывается дифференциальным уравнением, которое при отсутствии
источников тепла имеет вид
 2T 
1 T
0,
 
(2.5)
где  – время;  – коэффициент температуропроводности. При
применении метода ФКО к краевым задачам для уравнения (2.5)
необходимо иметь общие решения данного уравнения для набора
канонических областей. В приложении диссертации приведены общие
решения уравнения (2.5) для плоской нестационарной задачи
теплопроводности в декартовой и цилиндрической системах координат
(СК). Все решения получены автором методом разделения переменных
Фурье. Из данных решений могут быть сформированы решения для
таких канонических областей как круг, кольцо, круговая полость и слой.
Кроме того, в диссертационной работе показана возможность
применения метода ФКО для решения нестационарных задач
теплопроводности с изменяющимися во времени границами, что
продемонстрировано на решении модельной задачи.
В третьем разделе “Решение статических несвязанных задач
линейной термоупругости методом фиктивных канонических
областей” дана постановка статической несвязанной задачи
17
термоупругости: уравнение равновесия в перемещениях записывается
следующим образом
  U     grad div U  F   (3   2  ) grad T , (2.6)


где T – температура;  – коэффициент температурного расширения.
Это уравнение отличается от векторного уравнения Ляме (1.7)
дополнительным свободным членом, зависящим от температуры. Таким
образом, уравнения термоупругости даже при отсутствии массовых сил
F являются неоднородными. Общее решение однородного уравнения
(2.6) совпадает с решением однородного уравнения Ляме. Но для
решения краевых задач термоупругости методом ФКО необходимо
найти так же частное решение неоднородного уравнения
  U     grad div U   (3   2  ) grad T . (2.7)
В общем случае это сделать нельзя. Автором предложен
следующий подход. Если задача теплопроводности решена методом
ФКО, то ее решение – температура имеет вид конечной суммы


N
T x    c nt t n  x  .
(2.8)
n 1
Тогда частное решение (см. (1.3)) уравнения (2.7) можно
представить также в виде суммы
N
U R  x    c nt n x  ,
в которой функции
n x 
(2.9)
n 1
находятся из уравнений
  n      grad div n   (3   2  ) grad t n ,
(2.10)
полученных в результате подстановки (2.8) и (2.9) в (2.7).
Таким образом, можно решать несвязанные задачи термоупругости,
используя распределения температур, полученные как решение методом
ФКО соответствующих задач теплопроводности.
Для решения плоских и осесимметричных задач термоупругости
автором получены необходимые частные решения
U R x  уравнений
термоупругости, соответствующие общим решениям уравнений
теплопроводности. Для плоских задач (плосконапряженное (ПНС) и
плоскодеформированное (ПДС) состояния) получены решения в
декартовой и цилиндрической СК, для осесимметричных – в
цилиндрической и сферической системах. Данные решения позволяют
применять все базовые канонические области (кольцо, круг,
бесконечный слой, цилиндр, сферу и т.д.) для решения задач
18
термоупругости. Все решения заложены в базу ФКО разработанной
программы REGIONS, реализован алгоритм решения задач
термоупругости.
В работе приведен пример решения плоской задачи
термоупругости для поперечного сечения ракетного твердотопливного
двигателя. Максимальная погрешность удовлетворения граничным
условиям не превышает 0,01%.
Последний раздел называется “Решение контактных
статических задач линейной теории упругости методом фиктивных
канонических областей”. Дается постановка плоской контактной
задачи теории упругости. Особенностью таких задач является то, что
условия контакта не известны, и должны быть вычислены в процессе
решения. Автором предложен итерационный контактный алгоритм,
адаптированный для
метода ФКО. Согласно алгоритму, сначала
формируется бесконтактная часть разрешающей СЛАУ, то есть
коэффициенты матрицы и вектора правой части, отвечающие за
граничные условия вне области контакта. На каждой итерации
формируется контактная часть СЛАУ (отвечающая за граничные
условия в области контакта); полная СЛАУ – путем суммирования
контактной и бесконтактной частей; решается итоговая СЛАУ;
рассчитываются
контактные
усилия.
Итерационный
процесс
завершается, если разница усилий на последовательных итерациях
станет меньше заданной величины. Особенность разработанного
алгоритма в том, что на каждой итерации необходимо рассматривать
только условия на границах контакта, что позволяет существенно
сократить
время
одной
итерации.
Применение
алгоритма
продемонстрировано при решении задачи о контакте диска и хвостовика
лопатки в замковом соединении турбины.
Третья глава называется “Применение метода ФКО”. В
первом разделе “Программа REGIONS” приводится описание и анализ
применения разработанной автором программы REGIONS, основой
которой является метод ФКО.
Программа REGIONS реализована на языке Delphi в системе
визуального программирования Delphi 2006, обладает современным
настраивающимся интерфейсом, использует графику OpenGL и
несколько DLL, написанных автором на языке Fortran.
Программа может применяться для решения девяти типов
краевых задач: плоская стационарная задача теплопроводности, плоская
статическая задача теории упругости и термоупругости (ПНС и ПДС),
осесимметричная
стационарная
задача
теплопроводности,
19
осесимметричная
статическая
задача
теории
упругости
и
термоупругости, плоская нестационарная задача теплопроводности. Для
всех типов анализа существует несколько базовых типов ФКО. На их
основе пользователь может создавать собственные типы ФКО.
Геометрия области краевой задачи создается с помощью
разработанного автором графического редактора. На границе области
могут быть заданы любые граничные условия, рассмотренные в главе 1.
Разработанный автором транслятор формул позволяет задавать
граничные условия в виде произвольной функции. В качестве начальных
условий для нестационарных задач может быть использовано уже
полученное решение стационарной или нестационарной задачи.
Предусмотрена возможность задания
весовых коэффициентов
граничных условий пользователем на любой части границы (по
умолчанию они заданы единичными).
Для решения СЛАУ программа предлагает семь различных
процедур: три реализованы автором на языке Delphi, четыре
импортированы из математической библиотеки IMSL в виде DLL.
В программе предусмотрена возможность вычисления точности
решений, реализованы предложенные алгоритмы оптимизации решений,
существует
внутренний
язык
программирования.
Встроенные
дополнительные алгоритмы математического анализа (аппроксимация,
интерполяция, вычисление определенных интегралов и т.д.) позволяют
проводить промежуточные вычисления и дополнительную обработку
результатов непосредственно в среде программы, не прибегая к
использованию дополнительного программного обеспечения.
Далее, в этом же разделе диссертации, проводится сравнение
программы REGIONS и программы ANSYS, основанной на методе
конечных элементов. Сравнение проводится на классах задач, для
которых предназначена программа REGIONS. Решены три задачи:
– задача Ляме, имеющая точное аналитическое решение;
– задача о стационарном распределении температуры в
поперечном сечении твердотопливного двигателя;
– плоская задача теории упругости о растяжении пластины с
круглым боковым вырезом (концентратором напряжений).
В таблице 3.1 приведены результаты решений задачи о
растяжении пластины с круглым боковым вырезом. Как видно из
приведенной таблицы, методом ФКО задачу удалось решить с
погрешностью 0,02% за 20 сек. Максимальная точность решения этой
задачи 0,3 % с помощью ANSYS была достигнута за 119 секунд.
20
Таким образом, метод ФКО позволил достичь значительно более
высокой точности решения краевой задачи за меньшее время.
Аналогичные результаты были получены для других тестовых задач.
Таблица 3.1. Результаты решений задачи о растяжении пластины
с круглым боковым вырезом.
Число
слагаемых
600
Число
степеней
свободы
936
8350
23876
46172
69616
100568
139798
Программа REGIONS, метод ФКО
Время
Коэффициент
Погрешность, %
решения, сек
концентрации
20
3,0514
0,02
Программа ANSYS, метод КЭ
Время
решения, сек
Коэффициент
концентрации
Погрешность, %
1
2
6
13
30
61
119
2,8859
3,0802
3,0481
3,0264
3,0179
3,0367
3,0424
5,42
0,94
0,11
0,82
1,10
0,48
0,30
Во втором разделе “Применение внутреннего языка
программирования программы REGIONS для исследования НДС
плашки” проведено исследование напряженно-деформированного
состояния плашки для изготовления детали “шпонка”. Целью
исследования является нахождение зависимости максимального
главного напряжения от геометрических параметров и параметров
нагружения. Для этого написана программа на внутреннем языке
программирования, которая автоматически изменяет геометрию и
нагрузки и запускает процедуру решения краевых задач для каждого
набора параметров. По проведенной таким образом серии расчетов
построена номограмма зависимости первого главного напряжения от
параметров геометрической формы и нагрузки. Данная номограмма была
использована при проектировании инструмента для изготовления детали
“шпонка”, что подтверждено актом.
В третьем разделе “ Задача определения рациональной
формы отверстия” метод ФКО применен для определения
рациональной формы отверстия в диске турбины. При проектировании
газотурбинного двигателя в промежуточном диске турбины высокого
21
давления были сделаны круглые отверстия для подвода охлаждающего
воздуха. В результате вблизи отверстий возникла недопустимо высокая
концентрация напряжений. Проблема состояла в том, чтобы определить
параметр овальности отверстия, который бы снизил коэффициент
концентрации до приемлемого уровня. При этом площадь отверстия
должна оставаться одинаковой для сохранения потока охлаждающего
воздуха. Для решения этой проблемы была проведена серия расчетов,
состоящих в многократном решении модельной краевой задачи о
концентраторе напряжений вблизи овального отверстия. Для
автоматизации расчетов применялась программа на внутреннем языке
программы REGIONS. В результате получено необходимое значение
параметра овальности. Результаты решения были использованы при
проектировании турбины, что подтверждено актом использования.
В
разделе
“Моделирование
процесса
получения
искусственно-керамических покрытий и определение рациональной
формы электрода” построена математическая модель процесса
получения искусственно-керамического покрытия цилиндра двигателя
внутреннего сгорания. Для исследования зависимости характеристик
покрытия и получения рациональной геометрической формы электрода,
основываясь на данной модели, был решен ряд задач о распределении
потенциала электромагнитного поля. Для автоматизации расчетов
использовалась программа на внутреннем языке REGIONS. Результаты
компьютерного моделирования были обобщены в виде математической
формулы, отражающей зависимость производительности процесса
искусственно-керамического покрытия от параметров геометрии. Кроме
того, рассчитаны геометрические параметры рациональной геометрии
реакционной зоны, выявлена возможная проблемная область, то есть
место, где покрытие может быть неравномерным. На основе расчетов
предложена геометрическая форма реакционной зоны, обеспечивающая
более высокое качество искусственно-керамического покрытия.
В последнем разделе “Применение метода ФКО для
верификации конечноэлементного расчета” программа REGIONS
применена для оценки точности решения краевой задачи, полученного
методом конечных элементов (МКЭ).
При
проектировании
рессоры
автомобиля
возникла
необходимость определения максимальных перемещений при ее
нагружении. Данная задача решалась двумя независимыми расчетчиками
методом конечных элементов в программе ANSYS. Однако, полученные
результаты разошлись между собой на значительную величину (~6,6%).
С помощью программы REGIONS было получено аналитическое
решение данной задачи с точностью удовлетворения граничным
22
условиям 0,01%. По результатам этого решения была построена новая
конечноэлементная модель, для которой получаемые значения
полностью согласуются с аналитическим решением. Впоследствии
верифицированная конечноэлементная модель использовалась при
решении задачи нагружения рессоры в нелинейной постановке.
Заключение
В ходе работы получены следующие основные результаты:
1. Метод ФКО распространен новые классы краевых задач – задач
термоупругости, нестационарных задач теплопроводности, контактных
задач.
2. Для повышения универсальности и точности метода ФКО
предложены и реализованы новые алгоритмы и методы:
 алгоритм оптимизации расположения ФКО.
 алгоритм оптимизации базисных разложений с помощью
исключения лишних слагаемых.
 алгоритм оптимизации весовых коэффициентов граничных условий.
 метод игнорирования  - окрестности, для повышения точности
решений в задачах с разрывными граничными условиями.
3. Создана компьютерная программа REGIONS, предназначенная
для решения методом ФКО плоских и осесимметричных стационарных
задач теплопроводности, плоских и осесимметричных статических задач
теории упругости и термоупругости, плоских нестационарных задач
теплопроводности. Все предложенные в диссертации алгоритмы
реализованы в программе REGIONS.
4. С помощью программы REGIONS решен ряд практических
задач:
 расчет НДС инструмента (плашки) для изготовления детали
“шпонка”;
 задача определения рациональной формы отверстия в ободе диска
газотурбинного двигателя;
 задача моделирования
процесса получения искусственнокерамических покрытий и определения рациональной формы
электрода;
 задача верификации конечноэлементного расчета.
Программа REGIONS применяется в учебном процессе в вузах г.
Перми.
23





В приложениях к диссертации приводятся:
уравнения стационарной теплопроводности для плоских задач – в
декартовой и цилиндрической СК, для осесимметричных – в
цилиндрической и сферической системах, а также их общие
решения;
уравнения теории упругости (уравнения равновесия, физические и
геометрический соотношения) в декартовой и цилиндрической СК
для ПНС и ПДС, в цилиндрической и сферической системах для
осесимметричного случая, а также их общие решения и частные
решения для некоторых видов массовых сил (сил тяжести и
центробежных сил);
уравнения термоупругости: для ПНС и ПДС – в декартовой и
цилиндрической СК, для осесимметричных задач – в
цилиндрической и сферической СК; их частные решения,
соответствующие общим решениям задач теплопроводности,
полученные автором;
уравнения нестационарной теплопроводности для плоских задач в
декартовой и цилиндрической СК и их общие решения, полученные
автором;
геометрическая интерпретация приведенных общих решений.
24
Основные результаты диссертации опубликованы в работах
1. Гладкий С.Л. О возможностях метода фиктивных канонических
областей для решения задач теории упругости / С.Л. Гладкий,
Н.И. Симакина, Л.Н. Ясницкий // Вестник ПГТУ. Динамика и
прочность машин. – Пермь : Перм. гос. техн. ун-т, 2000. – № 1. –
С. 114-122.
2. Гладкий С.Л. Алгоритмы оптимизации базисных разложений в
методе фиктивных канонических областей / С.Л. Гладкий, Л.Н.
Ясницкий // Вестник ПГТУ. Динамика и прочность машин. –
Пермь : Перм. гос. техн. ун-т, 2001. – № 3. – C. 131-141.
3. Гладкий С.Л. Решение задач линейной термоупругости методом
фиктивных канонических областей / С.Л. Гладкий, Л.Н.
Ясницкий // Вестник ПГТУ. Динамика и прочность машин. –
Пермь : Перм. гос. техн. ун-т, 2003. – № 4. – C. 79-90.
4. Гладкий С.Л. Компьютерное моделирование и оптимизация
процесса получения искусственно-керамических покрытий /
С.Л. Гладкий, Н.А. Степанов, Л.Н. Ясницкий // Вестник ПГТУ.
Динамика и прочность машин. – Пермь : Перм. гос. техн. ун-т,
2005. – № 5. – C. 142-149.
5. Гладкий С.Л. Об оценке погрешности метода фиктивных
канонических областей / С.Л. Гладкий, Л.Н. Ясницкий //
Известия Академии наук. Механика твердого тела. – Москва,
2002. – № 6. – C. 69-75.
6. Гладкий С.Л. Интеллектуальное компьютерное математическое
моделирование / С.Л. Гладкий, Н.А. Степанов, Л.Н. Ясницкий. –
Пермь: из-во Пермского государственного университета, 2005. –
158 с.
7. Гладкий С.Л. Верификация численных расчетов методом
фиктивных канонических областей / С.Л. Гладкий, Н.Ф.
Таланцев, Л.Н. Ясницкий // Вестник Пермского университета.
Математика, механика, информатика. – Пермь : из-во Пермского
государственного университета, 2006. – № 4. – С. 18-27.
8. Гладкий С.Л. Интеллектуальное моделирование физических
проблем / С.Л. Гладкий, Н.А. Степанов, Л.Н. Ясницкий. –
Москва–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,
2006. – 200 с.
Демонстрационная версия программы REGIONS помещена на
сайте http://www.pspu.ru/regions/.