ГЛАВА 14. ТЕРМОДИНАМИКА ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ И ГАЗА 14.1. Модель течения и основные допущения, уравнения энергии, Бернулли, неразрывности и состояния для одномерного стационарного потока. Непрерывное течение газа рассматривается в термодинамике как равновесный процесс. Принимается, что течение – пространственно одномерное, т.е. параметры потока газа: давление р, температура Т, скорость w и плотность и др. изменяются только в направлении течения и, что течение - стационарное (установившиеся), т.е. параметры не изменяются во времени ; расход газа G=const( ); p / 0; T / 0; W / 0; / 0. Принимается также, что течение - адиабатное, т.е. q =0, изоэнтропийное, т.е. ds=0, что техническая работа не совершается l òåõí 0 и что пьезометрическая высота не изменяется (dy=0). Для определения параметров потока (W, p, T, ) в каждом поперечном сечении по длине канала fx решается при сделанных допущениях следующая система уравнений: - уравнение энергии (уравнение 1-го закона термодинамики): W 2 0 ; dh d 2 (1) - уравнение движения (Бернулли): W 2 0 ; vdp d 2 - уравнение неразрывности (уравнение расхода): (2) G Wf Wf / v ; (3) - уравнение состояния для газа: pv RT , и для несжимаемой жидкости: v const . (4) Уравнения энергии (1), Бернулли (2) и неразрывности (3) справедливы для жидкостей и газов. Запись уравнения состояния (4) определяет в каком состоянии: жидком или газообразном, находится ТС. Из сопоставления уравнений (1) и (2) следует, что W 2 WdW , dh c p dT vdp d 2 (5) т.е. с ростом скорости W в адиабатном потоке газа его энтальпия h, температура Т и давление р уменьшаются. 14.2. Уравнение обращения воздействий. Сопла и диффузоры Это уравнение отражает воздействие на параметры потока формы канала. Для его вывода рассмотрим стационарное течение в канале (G=const). Из уравнения расхода: G fW , или Gv fW , v (1) после его дифференцирования имеем: Gdv fdW Wdf . Разделим выражение (2) на уравнение (1) почленно. (2) Тогда имеем: dv dW df df dv dW . , или v W f f v W (3) Из уравнения адиабатного процесса pv K const , (4) после дифференцирования получим: v K dp кpvк1dv 0 , или vdp кpdv 0 . (5) Разделим выражение (5) на кpv . Тогда: dv dp v WdW 2 . v êp v a (6) где кpv кRT a 2 ; а – скорость звука, м/с; - vdp=WdW – уравнение Бернулли. После подстановки выражения (6) в уравнение (3) имеем: df WdW dW , 2 f W a (7) или df dw M 2 1 , f w (8) где M W / a - число Маха. Правая часть уравнения обращения воздействий для адиабатного изоэнтропийного течения идеального газа (8) содержит основные параметры потока: число Маха и изменение скорости dW / W , а левая часть – отражает воздействие на течение среды изменения площади поперечного сечения канала df, т.е. формы канала. Рассмотрим воздействие формы канала df на адиабатное течение в соплах и диффузорах. Сопла – это каналы, в которых происходит расширение газа и увеличение скорости его движения. В диффузорах происходит сжатие газа и уменьшение скорости его движения. Течение в соплах Для течения в соплах, где газ расширяется и скорость растет dW>0. При этом знак df будет одинаковым со знаком скобки (М2-1) уравнения (8). Если на входе в сопло число Маха M<1 и разность (М2-1) – отрицательна, то сопло является суживающимся, т.е. df<0. Если на входе в сопло число Маха М>1, то разность (М2-1) – положительна и df>0, т.е. сопло – расширяющееся. Увеличение скорости течения при М>1 происходит за счет увеличения площади поперечного сечения канала. Течение в диффузорах В диффузорах, где происходит сжатие газа и уменьшение скорости его движения, dW<0 и знак df противоположен знаку выражения (М2-1). При M>1 df<0, т.е. диффузор суживающийся. При M<1 df>0, т.е. диффузор расширяющийся. Таким образом, один и тот же канал в зависимости от величины скорости газа на входе в канал может работать и как диффузор и как сопло. В суживающемся сопле нельзя достичь скорости газа, большей, чем местная скорость звука. Для получения скорости истечения большей скорости звука должны применяться комбинированные сопла – сопла Лаваля. 14.3. Параметры торможения Для конечного участка потока 1-2 уравнение энергии имеет вид: 2 W W12 W22 h1 h2 h h* const , 2 2 2 (1) где h* - полная энтальпия, или энтальпия адиабатного торможения при скорости потока W=0. Таким образом, при движении газа его полная энергия, состоящая из кинетической энергии видимого движения и энергии, выражаемой энтальпией h=u+pv, остается постоянной. Всякое изменение кинетической энергии вызывает соответствующее изменение его энтальпии, а, следовательно, и температуры. В соплах скорость увеличивается, а температура уменьшается. В диффузорах скорость уменьшается, а температура увеличивается. При полном торможении потока (w=0) температура принимает наибольшее значение и называется температурой полного торможения Т*. Для идеального газа ср=const, h=cpT и h*=cpT*. Тогда из уравнения (1) следует, что: W2 W2 cpT*=cpT+ , или T * T , 2 2c p (2) где Т – статическая температура (температура движущейся среды). В уравнении (2) второй член правой части преобразуем к следующему виду: ê c p cv ê 1 W 2 W 2 a2 2 êRT 2 M TM ÒÌ 2 , 2 2c p 2c p a 2c p 2êc v 2 где R=cp-cv по уравнению Майера; cp=кcv, M=W/a – число Маха; a2=кRT; а – скорость звука. Тогда окончательно получим выражение для расчета скорости торможения: Т*=Т 1 к 1 M 2 . 2 (3) Расчет давления торможения проводится по формуле: к к T * к1 к 1 2 к1 p* p p M . 1 2 T (4) Плотность заторможенного потока будет равна: T * * T Для 1 ê 1 ê 1 2 1 M 2 расчета параметров 1 ê 1 . (5) можно использовать таблицы газодинамических функций, которые облегчают решение задач. При этом вводится приведенная скорость W / aêð , где критическая скорость a кр кRT кр , а Tкp 2 Т * . Тогда получим: к 1 к 1 2 T T * 1 к 1 T / T* 1 и к 1 2 1 . к 1 2 к 1 1 М 2 газодинамическая функция ê к p ê 1 2 ê 1 ê 1 Функция П к1 1 1 Ì 2 p* ê 1 2 1 ê 1 2 к 1 Функция 1 * ê 1 1 ê 1 ê 1 1 Ì 2 2 ê ê 1 . 1 ê 1 . Располагая таблицами, в которых для каждого значения или М указаны значения функций , П , , можно быстро переходить от действительных (термодинамических) параметров потока к параметрам торможения и обратно. Выбор для расчета чисел М или определяется удобствами применения в каждом конкретном случае. Для определения расхода газа через произвольный канал по известной площади проходного сечения f, числу М или и по параметрам заторможенного потока можно воспользоваться газодинамической функцией q W , которая возрастает с aêð êð ростом числа М при М<1, достигает максимума qmax=1 при М= =1 и снова убывает при M>1. Тогда уравнение расхода G Wf можно записать в виде G aêð êð fq , 1 p* 2 к 1 q , где m где кр * и G mf T* к 1 ê 1 ê 2 ê 1 , т.е. m f к , R . R ê 1 Для воздуха к=1,4, R=297 Дж/кгК, m=0.3965. Например, при определении изменения параметров потока газа по длине сопла, принимая р1=р* и Т1=Т* при заданном значении показателя адиабаты к и известных геометрических размерах сопла и расхода G можно определить изменение массовой скорости W по длине сопла, величину акр кр и функцию q. Далее по таблицам при заданном к можно определить функции , П , и величины T T *, p Пp * и * . 14.4. Расчет располагаемой работы, скорости истечения и расхода газа Рассмотрим истечение газа из сосуда неограниченной емкости. В этом случае параметры на входе в сопло равны параметрам торможения р1 р*, Т1 Т *, v v * , а скорость W1=0. Скорость на выходе из сопла с площадью поперечного сечения f2 равна скорости истечения W2=W, а давление газа на выходе из сопла – давлению окружающей среды р2. Схема сопла представлена на следующем рисунке: 1. Расчет располагаемой работы Располагаемая работа при адиабатном течении газа в сопле идет на увеличение кинетической энергии потока газа: W22 W12 l0 vdp vdp h1 h2 . p p 2 2 1 2 p2 p1 В p-v координатах располагаемая работа равна: p1 l0 p2 1 ê ê 1 1 ê ê p v p ê 1 ê p ê 2 dp p1v1 1 . p1 ê 1 В h-s координатах: l0=h1-h2 В T-s координатах: l0 h c p T1 T2 q изоб пр Располагаемая работа при течении в сопле несжимаемой жидкости (v=const) равна: p1 p2 W22 W12 . l0 vdp vdp v p1 p2 p p 2 1 2 p 2 p 1 2. Расчет скорости истечения газа W22 W12 l0 . Скорость истечения газа определяется из выражения 2 2 Тогда W2 2l0 W12 , при W1 0, W W2 2l0 . Тогда имеем: ê 1 ê 1 ê p2 p2 ê 2ê 2ê W p1v1 1 RT1 1 , м/с, или W , м/с. p1 p1 ê 1 ê 1 Скорость истечения газа зависит от состояния газа на входе в сопло и глубины его расширения, т.е. от отношения давлений газа р2/р1. Если выразить располагаемую работу через изменение энтальпий газа, то получим W 2l0 2h1 h2 , м/с. Таким образом, скорость истечения газа зависит от значений энтальпий газа перед соплом и на выходе из него. Максимальная скорость истечения газа будет при его истечении в вакуум, т.е. при р2=0: Wmax 2ê 2ê p1v1 RT1 . ê 1 ê 1 Скорость истечения несжимаемой жидкости определяется по формуле: W 2l0 2 p1 p2 , м/с. 3. Расчет секундного расхода газа 1 p1 к f 2W2 Расход: G , где v2 v1 . v2 p2 Тогда G 1 ê f 2W2 p2 . v1 p1 (1) Подставим в (1) скорость истечения w2 w . Тогда получим: G f2 2 к 1 к 2к p1 p 2 p 2 к , кг/с к 1 v1 p1 p1 (2) Таким образом, секундный расход газа G зависит от площади выходного сечения сопла f2, начального состояния газа на входе в сопло (p1, v1, T1) и глубины расширения газа (от отношения давления на выходе из сопла к давлению газа на входе в сопло р2/р1). Если изобразить график зависимости расхода газа от отношения давлений р2/р1= , то он будет иметь вид: где ab0 – теоретическая зависимость (2); abc – действительная зависимость, полученная опытным путем; I – подкритическая область истечения (дозвуковая): к 1 ; II – надкритическая область истечения (сверхзвуковая): 0 к . В точке «b» скорость истечения газа равна местной скорости звука W=a, и скорость распространения возмущений вверх по потоку Waác a W 0 , т.е. волны возмущений не проходят вверх по потоку от среза сопла при дальнейшем уменьшении величины =р2/р1. 14.5. Особенности истечения газа через суживающиеся сопла На этом рисунке показан характер изменения параметров потока газа вдоль сопла. При этом изменение энтальпии газа преобразуется в кинетическую энергию потока: W22 W12 h1 h2 . 2 2 При уменьшении отношения давлений =р2/р1 скорость истечения растет, а скорость звука уменьшается. При р2=рк скорость истечения Wк=а2, где рк – критическое давление; Wк – критическая скорость. Скорость истечения газа, равная местной скорости звука, называется критической скоростью. Критическая скорость Wк – это максимальная скорость, которую может иметь газ при истечении через суживающееся сопло Wк=f(p1, v1). Критическая скорость наступает при критическом отношении давлений p2 pк к . Величина к определяется из равенства: p1 p1 Wê a , т.е.: (1) к 1 2к RT1 1 к к кRTк . к 1 Отсюда имеем: к 1 Тк 2 1 к к . Т1 к 1 (2) Учитывая соотношение между параметрами в адиабатном процессе: Т к рк Т 1 р1 к 1 к к к 1 к , и приравнивая правые части уравнений (2) и (3), получим: (3) к к 1 к к 1 2 2 к к . к 1 к 1 (4) После преобразований (4) окончательно получим: к к 1 2 . к 1 к (5) Критическое отношение давлений к зависит от показателя адиабаты к. При к=1,66 к 0,49 , при к=1,4 к 0,528 , при к=1,3 к 0,546 . Для идеального газа к 0,5 . Следовательно, можно сделать вывод, что при истечении газа через суживающиеся сопла его давление не может уменьшиться более, чем в два раза, т.е. р2 0,5 р1. При этом формулы для расчета критических параметров имеют вид: - критическая температура к 1 Тк к к Т1 2 кк1 к 1 к 1 к 2 , Т к 2Т 1 / к 1 ; к 1 - критическая плотность 1 1 к р к к 2 к 1 ; 1 р1 к 1 - критическая скорость истечения Wê à êRTê 2ê 2ê RT1 или Wê ð1v1 . ê 1 ê 1 Рассмотрим три характерных случая истечения через суживающиеся сопла. 1.В первом случае р2 / р1 к 0,5 наблюдается полное расширение от начального давления р1 на входе в сопло до давления среды р2, а скорость истечения меньше скорости звука (W<a). Скорость истечения рассчитывается по формуле: ê 1 ð2 ê 2ê W RT1 1 , м/с, ð1 ê 1 1 т.е. W ~ RT1 , . Чем больше удельная газовая постоянная R и выше температура Т1 и чем меньше ð 2 / ð1 , тем больше скорость истечения. Для расчета расхода газа G используется формула: 2 ê 1 2ê p12 p2 ê p2 ê G f2 ê 1 RT1 p1 p1 т.е. G~ p1 RT1 Во , , кг/с 1 . втором случае ð 2 ð ê 0,5 ð1 ê ð1 наблюдается полное расширение газа от р1 до р2, а скорость истечения равна критической скорости: W Wê à 2ê RT1 , м/с. ê 1 Секундный расход газа при этом равен: 2 p fW 2ê 2 ê 1 p1 G Gmax 2 ê f 2 , т.е. Gmax ~ 1 . RT vê ê 1 ê 1 v1 1 В этом случае сопло работает на полной своей производительности и при дальнейшем понижении давления р2 скорость истечения и расход газа не будут изменяться (W=Wк, G=Gmax). В третьем случае ð2 ê 0,5 ð1 не наблюдается полного расширения газа и газ истекает в среду, имея давление p2' p2 , где р2 – давление окружающей среды ( p2' ðê ê ð1 ). Это наглядно видно из следующих рисунков: где площадь а1 2' ba=l0 – располагаемая работа; площадь b 2'2 сb – потерянная работа 14.6. Истечение газа из сопла Лаваля. Расчетные и нерасчетные режимы работы При давлении на выходе из сопла Лаваля р2<рк , скорость истечения W=W2>a2, где a2 – местная скорость звука в выходном сечении сопла. При этом отношение давлений ð 2 / ð1 ê 0,5 и весь перепад давлений от давления р1 на входе в сопло до давления р2 на выходе из сопла идет на увеличение кинетической энергии струи газа, вытекающей из сопла Лаваля. Характер изменения параметров вдоль сопла Лаваля и изображение процесса истечения из этого сопла в p-v и T-s координатах изображены на следующих рисунках: При расчете сопла Лаваля задаются параметры газа на входе в сопло: р1, v1, T1, расход газа G и давление окружающей среды р2. При этом скорость истечения определяется по обычной формуле: ê 1 ê ê ð W 2 RT1 1 2 , м/с. ð1 ê 1 Затем определяется площадь критического сечения сопла f ê f min по формуле для расчета расхода газа: 2 G Gmax f min 2ê 2 ê 1 p12 , кг/с f min . ê 1 ê 1 RT1 Площадь выходного сечения сопла f2 определяется, используя обычную формулу для расчета расхода газа: G Gmax f 2 2 ê 1 ê 2ê p1 p 2 p 2 ê , кг/с f 2 . ê 1 v1 p1 p1 График изменения скорости истечения газа и его расхода в зависимости от отношения давлений ð 2 / ð1 представлен на следующем рисунке где Wmax 2ê RT1 . ê 1 Действительная скорость истечения W' меньше теоретической скорости истечения w из-за потерь энергии на трение: W ' W , где 1 - коэффициент скорости, определяемый из опыта. Коэффициент связан с кпд сопла c формулой: W '2 c 2 2 . W Понятие о расчетных и нерасчетных режимах сопла Лаваля На расчетном режиме давление на срезе сопла – рс.расч равно давлению на заданной расчетной высоте у-ру, т.е. рс.расч=ру. При этом все падение давления от pкс до ру происходит в сопле Лаваля, где ркс – давление газа в камере сгорания ЖРД (на входе в сопло). Тогда тяга ЖРД будет равна: R=GWc, [H], где скорость истечения Wc R óä , м/с, Rуд – удельная тяга двигателя в международной системе единиц измерения СИ; G, кг/с – секундный расход газа через сопло. На нерасчетном режиме работы сопла с недорасширением газа давления рс.расч больше давления на нерасчетной высоте y ' y pc. ðàñ÷ p y ' . При этом на срезе сопла устанавливаются расчетные параметры состояния и скорость истечения, а падение давления от рс.расч до p y ' происходит вне сопла и тяга ЖРД равна: R GWc f 2 pc. ðàñ÷ p y ' . На нерасчетном режиме с перерасширением газа давление рс.расч меньше давления p y ' на нерасчетной высоте y ' y , т.е. pc. ðàñ÷ p y ' . При этом возможны два случая: 1) при p y' pc. ðàñ÷ 2,5 процесс расширения газа в сопле расчетной, а за пределами сопла происходит скачок давления до величины p y ' . Величина f 2 pc. ðàñ÷ p y ' - отрицательна; 2) при p y' pc. ðàñ÷ 2,5 скачок давления проникает внутрь сопла и сопровождается отрывом потока от стенок, а формула для расчета тяги ЖРД – недействительна. Изобразим эти режимы для сопла Лаваля на следующем рисунке: Для дозвукового сопла эти режимы имеют вид: 14.7. Адиабатное дросселирование газа и пара Процесс течения газа или пара через местное гидравлическое сопротивление, например, диафрагму в трубопроводе при отсутствии теплообмена ( q 0, q 0 ) называется адиабатным дросселированием газа или пара. Этот процесс течения газа представлен на следующем рисунке: При дросселировании скорость газа в узком сечении диафрагмы увеличивается, а температура уменьшается. После прохождения диафрагмы скорость и температура в сечении II-II восстанавливаются. При этом скорость W 2 W1 , а температура Т2 для идеального газа Т2=Т1 и для реальных газов и паров Т2 Т1. Тогда из уравнения 1-го закона термодинамики имеем изменение энтальпии при дросселировании: h1 h2 W22 W12 0 , т.е. 2 Таким образом, h1 h2 . процесс дросселирования газа 1-2 изоэнтальпийным (h=const), как показано на следующем рисунке: является В процессе 1-2 происходят необратимые явления (трение, вихреобразование) и энтропия растет: s 2 s1 . Из объединенного выражения 1-го и 2-го законов термодинамики: dh Tds vdp , при dh=0 имеем: ds v dp . T Поскольку s 2 s1 и ds 0 , то dp 0 , т.е. давление при дросселировании газа может только уменьшаться, а его удельный объем – увеличиваться, т.е. v2 v1 . Величина потерь давления p p 2 p1 в процессе дросселирования газа зависит от природы и состояния газа, а также от его скорости, относительного сужения канала и других параметров. Функция p f (v) убывающая и ее производная при h const величина отрицательная, т.е. p 0 . Таким образом, можно сделать вывод, что при дросселировании v h газа: dp 0, dh 0, ds 0 è dv 0 , а температура газа либо увеличивается, либо уменьшается, либо остается неизменной (для идеального газа и для точек инверсии в случае реального газа Т2=Т1). 14.8. Эффект Джоуля-Томсона Эффект Джоуля-Томсона – это явление изменения температуры газа при адиабатном дросселировании, когда происходит расширение газа без совершения внешней работы и без теплообмена за счет преодоления гидравлического сопротивления q 0, q 0, dh 0 . затрачивается работа проталкивания lïðîò p2 v2 p1v1 : При этом Получим дифференциальное уравнение эффекта Джоуля-Томсона. Для этого запишем функцию состояния - энтальпию в виде: h f p, T . Ее дифференциал – полный дифференциал, равный: h h dh dT dp . T p p T (1) Удельная теплоемкость при p=const по определению равна: h cp . T p (2) h Производную , входящую в (1), получим из объединенного p T выражения 1-го и 2-го законов термодинамики: dh Tds vdp . (3) Разделим уравнение (3) на величину dp при Т=const. Тогда получим уравнение h s T v , p T p T используя уравнения в Максвелла котором заменим s v , T p p T (дифференциальные соотношения взаимности). Тогда получим: h v T v . T p p T (4) h Подставим в уравнение (1) значения производных T p h è из p T выражений (2) и (4), учитывая, что dh=0: v dh c p dT v T dp 0 , T p (5) или при h=const: T p h v T v T p . cp (6) Уравнение (6) является дифференциальным уравнением эффекта Джоуля-Томсона, которое позволяет определить характер изменения температуры в процессе дросселирования. В уравнении (6) величина называется дифференциальным температурным коэффициентом дросселирования. Для определения величины требуется знать термическое уравнение состояния и теплоемкость ср для данного вещества. Поскольку величина dp отрицательна dp 0 , то знак величины dT в уравнении (6) противоположен знаку числителя этого уравнения. Для идеального производная газа термическое R v T p p и уравнение числитель состояния: уравнения pv=RT. (6) Тогда равен R T v v v 0 , т.е. коэффициент 0 . Для реальных газов и паров p возможны три случая в зависимости от начального состояния газа перед дросселированием: v 1. T v 0 . Тогда 0 и dT 0 T ; T p v 2. T v 0 . Тогда 0 и dT 0 - уравнение инверсии; T p v 3. T v 0 . Тогда 0 и dT 0 T . T p Точка, в которой dT=0, есть точка инверсии (перестановки). Температура Т2=Т1=Тинв – температура инверсии. В критической точке для всех веществ 0 и dT 0 , т.е. реализуется 1-ый случай. Проиллюстрируем эти случаи дросселирования с помощью паровой диаграммы T-v для изобары (p=const): T где х – степень сухости пара; tg . v p 1-ый случай: дросселированием MN= Если определяется AN T v T tg T T p v p выражения (6), начальное а точкой является отрезок состояние А, то первым вещества отрезок на слагаемым v МО=MN-ON= T v 0 T p перед графике числителя является числителем выражения (6), так как MN>ON. Таким образом, для этого случая 0 и dT 0 T , т.е. газ при дросселировании охлаждается. 2-ой случай: Если начальное состояние перед дросселированием определяется точкой В, то отрезок M1N1<ON1 и М1О=M1N1-ON1 0 . Тогда, согласно уравнению (6), 0 и dT 0 T и газ при дросселировании нагревается. 3-ий случай: Если начальное состояние вещества перед дросселированием определяется точками С1 и С2,то отрезок М20=0 и согласно уравнению (6), 0 и dT 0 , т.е. температура газа не изменяется при дросселировании (точка М2 совпадает с началом координат). Точки С1 и С2 – точки инверсии. Для любой изобары реального газа имеются две точки инверсии С1 и С2, где С1 – в области жидкости и С2 – в области перегретого пара. Реальный газ или пар можно путем дросселирования перевести в жидкое состояние в том случае, если его начальная температура перед дросселированием будет меньше температуры инверсии Тинв2. Положительный эффект Джоуля-Томсона используется в холодильной технике для получения холода.