Математическая физика

БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. Канта
Программа вступительного экзамена по специальной дисциплине
профиля (направленности)
математическая физика
направления подготовки
01.06.01 – математика и механика
РАЗДЕЛ 1. КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
1.
Ряды и преобразования Фурье.
2.
Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Лемма Шварца и принцип
максимума модуля.
3.
Разложение голоморфных функций в ряды Тейлора и Лорана.
Характеристика изолированных особых точек в терминах ряда Лорана.
4.
Нули голоморфных функций. Теорема единственности. Принцип аргумента
и теорема Руше.
5.
Теорема Коши о вычетах. Целые функции. Теорема Лиувилля.
6.
Принцип сохранения области и теорема Гурвица. Принцип соответствия
границ. Теорема Римана.
РАЗДЕЛ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.
Линейные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальные
системы решений. Метод вариации постоянных.
2.
Дифференциальные уравнения и системы с постоянными коэффициентами.
Квазиполиномы. Общие и частные решения. Функция Грина.
3.
Элементы вариационного исчисления. Лагранжиан и уравнения ЭйлераЛагранжа. Гамильтониан и уравнения Гамильтона.
4.
Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений. Теорема ГильбертаШмидта.
5.
Характеристики уравнений в частных производных. Задача Коши и теорема
Коши-Ковалевской. Классификация уравнений в частных производных. Метод разделения
переменных.
6.
Уравнение Лапласа и эллиптические уравнения. Гармонические функции.
Принцип максимума. Фундаментальное решение. Задачи на собственные значения и
разложения по собственным функциям.
7.
Уравнение
теплопроводности
и
параболические
уравнения.
Фундаментальное решение. Задача Коши. Принцип максимума и теорема единственности.
8.
Волновое уравнение и гиперболические уравнения. Фундаментальное
решение. Задача Коши.
РАЗДЕЛ 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.
Вероятностные пространства. Случайные величины и их математические
ожидания. Дисперсия. Независимые случайные величины. Условные вероятности и
математические ожидания.
2.
Нормальное распределение и распределение Пуассона. Характеристические
функции. Теорема Бохнера-Хинчина. Центральная предельная теорема. Законы больших
чисел.
3.
Корреляционные функции. Цепи Маркова и марковские случайные
процессы. Гауссовские процессы и процесс Пуассона.
4.
Элементы математической статистики. Точечное и интервальное
оценивание. Задача проверки статистических гипотез.
РАЗДЕЛ 4. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД И ФИЗИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА
1.
Идеальная жидкость. Уравнение непрерывности. Уравнение Эйлера. Поток
энергии. Поток импульса. Сохранение циркуляции скорости. Потенциальное обтекание
тел: присоединенная масса, сила сопротивления, эффект Магнуса.
2.
Вязкая жидкость: уравнения движения вязкой жидкости. Диссипация
энергии в несжимаемой жидкости.
3.
Переход к турбулентности. Неустойчивости ламинарных течений. Теория
Ландау-Хопфа. Типы аттракторов. Странный аттрактор. Переход к турбулентности путем
удвоения периодов. Развитая турбулентность. Спектр турбулентности в вязком интервале.
Колмогоровский спектр.
4.
Звук. Звуковые волны. Геометрическая акустика.
5.
Одномерное движение сжимаемого газа. Характеристики. Инварианты
Римана. Простая волна Римана. Образование ударных волн. Ударная адиабата. Слабые
разрывы. Теория сильного взрыва.
6.
Ударные волны слабой интенсивности. Уравнение Бюргерса.
7.
Звуковые волны со слабой дисперсией. Уравнение КДВ. Солитоны и их
взаимодействие. Бесстолкновительные ударные волны.
8.
Гидродинамика сверхтекучей жидкости. Двухжидкостное описание.
9.
Кинетическая теория газов. Кинетическое уравнение Больцмана. $H$теорема. Теплопроводность и вязкость газов. Симметрии кинетических коэффициентов.
Диффузионное приближение. Уравнение Фоккера-Планка.
10.
Бесстолкновительная плазма. Уравнения Власова. Диэлектричесая
проницаемость бесстолкновительной плазмы. Затухание Ландау. Ленгмюровские и ионнозвуковые волны. Пучковая неустойчивость: гидродинамическая и кинетическая стадии.
Квазилинейная теория.
11.
Столкновения в плазме. Интеграл столкновений Ландау. Длина пробега
частиц в плазме.
РАЗДЕЛ 5. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
1.
Принцип относительности. Преобразования Лоренца. Интервал.
2.
Релятивистская механика. Принцип наименьшего действия. Энергия и
импульс.
3.
Заряд в электромагнитном поле. Четырехмерный потенциал. Калибровочные
преобразования. Уравнения движения заряда. Тензор электромагнитного поля.
4.
Уравнения электромагнитного поля. Действие электромагнитного поля.
Тензор энергии-импульса.
5.
Постоянное электромагнитное поле. Закон Кулона. Электростатическая
энергия заряда. Диполь. Магнитный момент. Теорема Лармора. Система зарядов в
электромагнитном поле.
6.
Электромагнитные
волны.
Волновое
уравнение.
Плоские
и
монохроматические волны. Спектральное разложение.
7.
Распространение электромагнитных волн. Отражение и преломление.
Принцип взаимности.
8.
Поле движущегося заряда. Запаздывающие потенциалы и потенциалы
Льенара-Вихерта. Излучение электромагнитных волн.
9.
Поле системы зарядов на далеких расстояниях.
РАЗДЕЛ 6. МЕХАНИКА И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
1.
Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения непрерывности,
уравнение Эйлера).
2.
Уравнения движения вязкой жидкости. Диссипация энергии в несжимаемой
жидкости. Система уравнений Навье-Стокса.
3.
Звук и звуковые волны.
4.
Электростатика проводников.
5.
Электростатика диэлектриков. Диэлектрическая проницаемость.
6.
Постоянный ток. Плотность тока и проводимость.
7.
Постоянное магнитное поле. Магнитное поле постоянного тока.
РАЗДЕЛ 7. ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
1.
Типы и симметрии кристаллов. Свойства обратной решетки. Зона
Бриллюэна. Теорема Блоха.
2.
Колебания решетки. Фононы. Фактор Дебая-Уоллера. Ангармонизм и
тепловое расширение.
3.
Зонная структура. Квазичастицы. Электронная теплоемкость.
4.
Кинетическое уравнение. Решеточное сопротивление. Увлечение фононов.
Эффект Холла.
5.
Поверхность Ферми. Диамагнитный и циклотронный резонанс. Открытые
орбиты. Квантование орбит. Эффект де Гааза-ван Альфена.
РАЗДЕЛ 8. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
1.
Основные положения квантовой механики. Принцип неопределенности и
принцип суперпозиции. Квантовомеханическое описание системы.
2.
Квантование. Представление Фока. Координатное и импульсное
представления.
3.
Операторы энергии и импульса. Гамильтониан. Уравнение Гейзенберга.
Соотношение неопределенности.
4.
Уравнение Шредингера. Одномерное движение и одномерный осциллятор.
Потенциальная яма. Прохождение через барьер.
5.
Движение в центральном поле. Атом водорода. Разложение плоской волны.
6.
Уравнение Дирака. Спин
7.
Тождественность частиц и принцип неразличимости. Связь спина со
статистикой. Бозоны и фермионы.
8.
Атом. Состояния электронов и уровни энергии. Тонкая структура атомных
уровней. Периодическая система Менделеева.
9.
Квазиклассическое приближение. Модель Томаса-Ферми.
10.
Движение в магнитном поле. Уравнение Шредингера в электрическом и
магнитном полях. Плотность потока.
11.
Квантовая теория рассеяния. Матрица рассеяния. Формула Бора.
Резонансное рассеяние. Упругое рассеяние. Формула Брейта-Вигнера.
РАЗДЕЛ 9. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
1.
Основные принципы статистики. Статистическое распределение и
статистическая независимость. Теория Лиувилля. Энтропия. Закон возрастания энтропии.
2.
Термодинамические величины: температура, давление. Адиабатический
процесс. Работа и количество теплоты, термодинамический потенциал. Принцип
Ле-Шателье, теорема Нернста.
3.
Распределение
Гиббса.
Свободная
энергия.
Термодинамические
соотношения.
4.
Термодинамика идеальных газов. Распределение Больцмана. Неравновесный
идеальный газ. Свободная энергия и уравнение состояния. Закон равнораспределения.
Одноатомный идеальный газ.
5.
Распределения Бозе и Ферми.
6.
Равновесие фаз. Формула Клапейрона-Клаузиуса. Критическая точка.
7.
Флуктуации. Распределение Гиббса. Формула Пуассона.
8.
Фазовые переходы второго рода.
Основная и дополнительная литература
Основная литература
1.
Волковыский Л.И. Сборник задач по теории функций комплексного
переменного: учеб. пособие для студ. вузов/ Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц,
И.Г. Араманович. - 4-е изд., перераб. – М.: Физматлит, 2004. – 312 с.
2.
Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного:
учебник/ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - 6-е изд., стереотип. – М.; СПб.: Лань, 2002. –
688 с.
3.
Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного:
учебник/ И.И. Привалов. - 15-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2009. – 432 с.
4.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Физматлит,
2004.
5.
Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.:
Физматлит. 2009.
6.
Матросов В.Л., Асланов Р.М., Топунов М.В. Дифференциальные уравнения
и уравнения с частными производными. – М.: Изд. центр Владос, 2011.
7.
Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. – М.: Наука, 2005. – 664 с.
8.
Давыдов А.С. Квантовая механика. – М.: Наука, 2006. – 748 с.
9.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. –
М.: Наука, 2008. – 702 с.
10.
Фок В.А. Начала квантовой механики. – М.: Наука, 2006. – 307 с.
11.
Медведев Б.В. Начала теоретической физики. – М.: Наука, 2007. – 496 с.
12.
Мессиа А. Квантовая механика. – М.: Наука, 2008. т. 1 – 478 с., т. 2 – 583 с.
13.
Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. –
М.: Наука, 2006. – 879 с.
14.
Базаров И.П. Термодинамика. – М.: Высшая школа, 2003.
15.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.Б. Статистическая физика. – М.: Наука, 2004.
16.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.Б. Физическая кинетика. – М.: Наука, 2003.
17.
Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики. – М.:
Наука, 2002.
18.
Руммер Ю.Б., Рывкин Термодинамика и статистическая физика. – М., 2006.
19.
Матухин В.Л., Ермаков С.П. Физика твердого тела. Уч. пособие: – СПб.:
Изд-во “Лань“, 2010. – 224 с.
20.
Павлов П.В. Физика твердого тела. – М.: Физматгиз, 2000. – 386 с.
21.
Ландау Л.Д. Теория поля / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. – М.: ФИЗМАЛИТ,
2006. – 536 с.
22.
Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц
– М.: ФИЗМАЛИТ, 2006. – 626 с.
23.
Ананьев, Б.И. Дифференциальные уравнения [Текст]: учебное пособие /
Б.И. Ананьев. – Екатеринбург: УрГПУ, 2002. – 86 с.
24.
Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа [Текст] /
Г.Н. Берман. – СПб.: Лань, 2000. – 448 с.
25.
Густомесов, В.А. Дифференциальные уравнения [Текст] / В.А. Густомесов,
А.Р. Данилин. – Свердловск: СГПИ, 2000. – 88 с.
26.
Матвеев, Н.М. Дифференциальные уравнения [Текст]: учеб. пособие /
Н.М. Матвеев. – М.: Просвещение, 2008. – 256 с.
27.
Степенные ряды и дифференциальные уравнения [Текст]: методическая
разработка / Урал. гос. пед. ун-т; сост. А.Р. Данилин. – Екатеринбург: УрГПУ, 2005. –
42 с.
28.
Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения [Текст]: учебник /
А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 253 с.
29.
Шолохович, Ф.А. Лекции по дифференциальным уравнениям [Текст]: учеб.
пособие / Ф.А. Шолохович; Урал. гос. ун-т. – Екатеринбург: Уральское изд-во. 2005. –
232 с.
30.
Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям
[Текст]/ Э. Камке. – СПб: Лань, 2003. – 576 с.
Дополнительная литература
1.
А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и
функционального анализа. – М.: Наука, 1968.
2.
Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. – М.:
Мир, 1979.
3.
М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. – М.:
Мир, 1977.
4.
В.С. Владимиров. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1988.
5.
М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного
переменного. – М.: Физматгиз, 1958.
6.
Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.:
Физматгиз, 1961.
7.
И.Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.:
Физматгиз, 1961.
8.
А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. – М.:
Наука, 1972.
9.
Р. Курант, Д. Гильберт. Методы математической физики. – М.: Гостехиздат,
1951.
10.
Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. – М.:
Наука, 1979.
11.
Л.С. Понтрягин. Непрерывные группы. – М.: Наука, 1973.
12.
А.В. Погорелов. Дифференциальная геометрия. – М.: Наука, 1974.
13.
Б.Л. Ван дер Варден. Алгебра. – М.: Наука, 1976.
14.
А.А. Кириллов. Элементы теории представлений. – М.: Наука, 1972.
15.
А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. – М.: МГУ,
1980.
16.
А.Н. Ширяев. Вероятность. – М.: Наука, 1980.
17.
Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1969.
18.
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Курс теоретической физики. – М.: Наука, 19731986.
19.
В.И. Арнольд. Математические методы классической механики. – М.: Наука.
1974.
20.
Э. Уиттекер. Аналитическая динамика. – М.: УРСС, 1999.
21.
П.Дирак. Принципы квантовой механики. – М.: Наука, 1979.
22.
Ф.А. Березин, М.А. Шубин. Лекции по квантовой механике. – М.: МГУ,
1972.
23.
Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский. Лекции по квантовой механике. – Л.: ЛГУ,
1980.
24.
Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. –
М.: Наука, 1976.
25.
К. Хуанг. Статистическая механика. – М.: Мир, 1966
26.
Д. Рюэль. Статистическая механика. Строгие результаты. – М.: Мир, 1971.