data_phys_m

КОЛЕБАНИЯ
Лабораторная работа № 51-к
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Содержание:
1.
2.
3.
4.
Теоретическая часть.
Метод измерений.
Порядок выполнения работы.
Контрольные вопросы и список литературы.
1
Цель работы № 51-к
1. Изучить зависимость периода незатухающих колебаний физического
маятника от амплитуды колебаний.
2. Изучить зависимость периода незатухающих ангармонических колебаний от приведённой длины маятника.
3. Изучить влияние на колебания маятника коэффициента трения.
Определить значение критического коэффициента трения.
4. В режиме малых незатухающих колебаний определить величину
ускорения свободного падения и название планеты, на которой вы оказались.
Оборудование и программное обеспечение
1. Персональный компьютер с операционной системой Windows-98,
2000, XP.
2. Программа physmay.exe.
Подготовка к работе
По настоящему описанию или имеющемуся учебнику изучить следующие вопросы:
1. Гармонические колебания физического маятника.
2. Ангармонические колебания физического маятника.
3. Затухающие колебания физического маятника.
Ответить на вопросы для самоподготовки.
Вопросы для самоподготовки
1. Что называется физическим маятником? Математическим маятником?
2. Какие колебания называются гармоническими?
3. При выполнении какого условия колебания маятника будут почти
гармоническими?
4. Какая формула следует из теории для периода гармонических колебаний физического маятника? Математического маятника?
5. Что называют приведённой длиной физического маятника? От каких
параметров маятника она зависит?
6. Какие колебания называются ангармоническими? При каких условиях они возникают?
7. Какие параметры колебаний меняются из-за действия силы трения?
8. Что называют критическим коэффициентом трения?
2
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. Гармонические колебания физического маятника
Физическим маятником называют любое твёрдое тело, совершающее
под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс.
На рис. 1 изображен физический маятник.
Маятник состоит из цилиндрического стержня и
двух грузов, положения которых на стержне
можно изменять.
Маятник отклонён от положения равновесия на угол .
Центр масс – это точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на маятник силы mg , направленной вертикально
вниз (g – ускорение свободного падения).
Выведенный из положения равновесия маятник будет совершать колебания.
Уравнение движения маятника можно записать, используя основной закон динамики
вращательного движения, согласно которому
вторая производная от угла отклонения по времени равна моменту силы, деленному на момент инерции, т. е.:
d 2 M
(1)
 .
dt 2
I
В нашем случае M = –mgd (модуль момента силы равен произведению
cилы mg на плечо d). Плечо – это кратчайшее расстояние от оси вращения до
линии действия силы. Знак «минус» показывает, что момент М стремится
уменьшить угол отклонения . Если учесть, что d = Lsin, то M = –mgLsin.
Подставляя М в уравнение (1), получим дифференциальное уравнение движения физического маятника:
2
d 
mgL
(2)
sin  .
2
I
dt
В случае, если максимальный угол отклонения маятника от положения
равновесия мал, и с требуемой точностью можно считать, что sin = , то
уравнение (2) приобретает следующий вид:
d 2
mgL
(3)

 .
2
dt
I
Решением дифференциального уравнения называется такая функция,
после подстановки которой в уравнение оно обращается в тождество. Нетрудно проверить прямой подстановкой, что решением уравнения (3) будет

3
гармоническая функция, т. е. функция, пропорциональная синусу или косинусу.
Пусть
(t) = Acos(0t + ),
(4)
где A  – амплитуда, т. е. наибольший угол, на который отклоняется маятник.
Аргумент косинуса (0 t  ) называется фазой,  – начальной фазой колебаний. Коэффициент 0 , стоящий при t, носит название круговой (или циклической) частоты. Индекс «ноль» у круговой частоты обозначает, что силы
трения считаются пренебрежимо малыми.
Периодом колебаний T0 называется время одного полного колебания,
когда маятник, пройдя все промежуточные состояния, вернулся в исходное.
Круговая частота связана с периодом T0 следующей формулой:
2
(5)
T0  .
0
При подстановке функции (4) в дифференциальное уравнение (3) выясняется, что функция (4) будет решением уравнения (3) при выполнении следующего условия:
mgL
(6)
0 
.
I
Используя равенство (5) и условие (6), найдем период гармонических
колебаний:
I
T0  2
.
(7)
mgL
Как видно из формулы (7), период гармонических колебаний не зависит
от угла отклонения маятника.
2. Математический маятник
На рис. 2 изображен математический маятник – физическая модель, которая задается следующим образом. На невесомой и нерастяжимой нити
длиной L подвешена материальная точка массой m, на которую с силой mg
действует однородное поле силы тяжести. Эта модель применима для описания колебаний тела, размеры которого малы по сравнению с L.
Ясно, что математический маятник является частным случаем физического, поэтому изложенная выше теория колебаний физического маятника
применима к колебаниям математического маятника. Значит, период малых
колебаний математического маятника можно рассчитать по формуле (7). При
этом надо учесть, что момент инерции материальной точки определяется
следующей формулой:
I  m  L2 .
4
(8)
Из формул (7) и (8) для периода малых колебаний математического маятника Тм.м. получим
следующую формулу:
L
Tм.м.  2  
.
(9)
g
Теперь можно ввести термин
приведённая длина физического
маятника L пр. – это длина такого
математического маятника, который колеблется с таким же периодом, как и определённый физический маятник, т. е. Tм.м.  T0 .
Приравнивая правые части формул (7) и (9), получим:
2
Lпр.
g
 2
I
.
mgL
После несложных преобразований получим формулу для приведённой
длины физического маятника:
I
(10)
Lпр. 
.
mL
Напомним, что в формуле (10): I – момент инерции физического маятника; m – масса физического маятника; L – расстояние от центра масс физического маятника до оси вращения (см. рис. 1).
В формуле (10) расстояние L от центра масс маятника до оси вращения
стоит в знаменателе, это означает, что L пр. – приведённая длина физического
маятника – достигает очень больших значений и очень быстро изменяется
при малых значениях L.
С учётом формулы (10) формула (7) для периода малых колебаний физического маятника примет следующий вид:
Lпр.
T0  2
.
(11)
g
3. Ангармонические колебания
В случае, если амплитуда колебаний A  не мала и заменить sin на 
нельзя, мы должны в качестве уравнения движения математического маятника использовать уравнение (2). Это уравнение нелинейное, так как неизвестная функция (t) в правой части этого уравнения стоит под знаком синуса.
5
Нетрудно убедиться, опять же подстановкой, что гармоническая функция (4)
не будет решением дифференциального уравнения (2). По этой причине колебания, описываемые уравнением движения (2), называются ангармоническими, т. е. негармоническими колебаниями, не происходящими по закону
синуса или косинуса.
Аналитического решения уравнения (2) не существует, т. е. никакая из
известных, протабулированных функций не является решением уравнения (2)
при произвольных углах отклонения. Мы должны искать численное решение
этого уравнения. В настоящей компьютерной программе для нахождения
численного решения используется метод Эйлера – Кромера.
4. Затухающие колебания
При наличии трения полная механическая энергия маятника будет частично превращаться в тепловую энергию – энергию хаотического движения
молекул. Поэтому амплитуда колебаний будет с течением времени убывать.
В уравнении движения кроме момента силы тяжести, необходимо учесть и
момент сил трения. Тогда результирующий момент силы:
M   mgL sin   r
d
,
dt
(12)
где r – коэффициент трения;
d
– угловая скорость физического маятника.
dt
Подставляя выражение (12) для момента силы в основной закон динамики вращательного движения (1), получим дифференциальное уравнение движения физического маятника при наличии трения:
2
d 
dt
2
  mgL sin   r
d
.
dt
(13)
Численное решение уравнения (13) в настоящей компьютерной программе определяет движение маятника.
Для малых углов отклонения маятника, когда с требуемой точностью
можно считать, что sin = , существует аналитическое решение. Оно имеет
следующий вид:
( t )  A 0e t cos(t  ),
где A 0 – начальная амплитуда колебаний;
 – коэффициент затухания;
r
 ;
2I
 – циклическая частота затухающих колебаний;
6
(14)
  02  2 .
(15)
Из формулы (15) следует, что колебания возможны лишь при условии
  0 , когда подкоренное выражение больше нуля. Значение   0 называют критическим коэффициентом затухания кр. .
Соответствующий коэффициент трения называют критическим коэффициентом трения:
rкр.  2  I кр. .
(16)
МЕТОД ИЗМЕРЕНИЙ
Настоящая компьютерная модель физического маятника имитирует его
движение в реальном времени. Движение маятника, в соответствии с уравнением (13), определяют параметры маятника: m, g, L, r, – а также начальная
амплитуда A 0 .
Масса маятника m равна сумме масс частей маятника:
m  mст.  m1  m 2 ,
(17)
где m ст. – масса стержня, на котором крепятся грузы;
m1 – масса первого груза (на экране монитора он изображён зелёным
цветом);
m 2 – масса второго груза (на экране монитора он изображён синим цветом).
Ускорение свободного падения g определяется планетой, на которой вы
оказались. Название планеты вам предстоит узнать, определив ускорение
свободного падения на её поверхности.
Ниже приведена таблица ускорений свободного падения g на поверхностях планет Солнечной системы:
7
На рис. 3 обозначены расстояния, от которых зависит период колебаний
маятника:
x1 – расстояние от конца стержня до первого (зелёного) груза, оно вводится в соответствующем окошке;
x 2 – расстояние от конца стержня до второго (синего) груза, вводится в
соответствующем окошке;
x оси – расстояние от конца стержня до оси вращения маятника, вводится в соответствующем окошке;
x ц.м. – расстояние от конца стержня до центра масс маятника, оно определяется опытным путём;
L – расстояние от центра масс до оси вращения маятника;
h1, h2 – расстояния от оси вращения до соответствующих грузов;
lст. – длина стержня, lст. = 1 м.
Рис. 3
В первых двух заданиях в нашем компьютерном эксперименте изучается
влияние на период амплитуды колебаний и приведённой длины маятника.
Напомним, что период – это время одного полного колебания. В правом
верхнем углу монитора расположено окошко секундомера и кнопка
«Вкл/выкл».
Движение маятника и отсчёт времени начинается при нажатии
этой кнопки.
Чтобы повысить точность измерения периода, замеряется отрезок времени t N , в течение которого маятник совершает N колебаний. Затем рассчитывается время одного колебания, период:
tN
.
(18)
N
Приведённая длина маятника рассчитывается по формуле (10), в которой
момент инерции маятника
T
I  Iст.  Iгр1  Iгр2 .
Момент инерции стержня Iст определяется формулой:
8
(19)
2
m l
l

I ст.  ст. ст.  m ст.  ст.  x оси .
12
 2

Следующие формулы определяют моменты инерции грузов:
Iгр1  m1  h12  m1  (x1  x оси )2 ;
Iгр2  m2  h 22  m2  (x 2  x оси )2 .
Массы грузов зависят от номера зачётной книжки, они выводятся на
экран монитора. Расстояния x1, x 2 , x оси вводятся пользователем, lст. = 1 м.
Таким образом, проделав вычисления по приведённым формулам, можно
определить момент инерции маятника. Студенты, желающие избежать этой
рутинной работы, могут воспользоваться значением момента инерции, которое для текущих параметров маятника рассчитывается компьютерной программой и выводится на экран монитора.
Для определения приведённой длины физического маятника по формуле
(10) и расчета ускорения силы тяжести на основе формулы (7) необходимо
знать положение центра масс маятника ( x ц.м. на рис. 3).
Для определения положения центра масс маятника надо установить
начальный угол отклонения маятника 90о. Затем установить нужные нам значения положений первого (зелёного) и второго (синего) грузов и нажать
кнопку «пуск». После этого грузы встанут на заданные места, и маятник
придёт в движение. Исходное значение x оси  0 . Нажав мышкой «стрелку
вверх» в окошке «положение оси» мы будем с шагом в 1 мм увеличивать
расстояние от левого конца стержня до оси – x оси . Как уже было сказано
выше, центр масс – это точка приложения равнодействующей сил тяжести,
действующих на маятник. Если ось маятника поместить строго в эту точку,
то маятник будет находиться в состоянии безразличного равновесия. В этом
случае сумма моментов всех сил, действующих на маятник, будет равна нулю (рис. 4). Но, поскольку положение оси вращения в нашей лабораторной
работе задаётся с точностью только
до одного миллиметра, то попасть
строго в центр масс нам не удастся.
Если ось находится на долю миллиметра левее центра масс, то маятник
будет медленно поворачиваться по
часовой стрелке, если же ось находится на долю миллиметра правее
центра масс, то маятник начнёт поворачиваться против часовой стрелки
(рис. 4). Таким образом, прибавив 0,5
Рис. 4
мм к меньшему из этих двух значений
9
x оси , мы с точностью 0,5 мм определим координату центра масс маятника –
x ц.м. . После этого надо установить нужное нам для работы значение коорди-
наты оси – x оси , набрав его в окошке «положение оси».
Из рис. 3 видно, что расстояние L от центра масс до оси вращения маятника находится как модуль разности координат центра масс и оси:
L  x ц.м.  x оси .
(20)
Теперь по формуле (10) можно рассчитать приведённую длину физического маятника.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Запишите в отчёт ваши персональные параметры:
- масса стержня mст. = …, кг;
- масса первого (зелёного) груза m1 = …, кг;
- масса второго (синего) груза
- m2 = …, кг.
Определите по формуле (17) массу маятника и запишите в отчёт:
- масса маятника m = …, кг.
Задание 1
Цель задания 1: изучить зависимость периода незатухающих колебаний
физического маятника от амплитуды колебаний.
Порядок выполнения задания 1
1. Запишите в табл. 1 установленные вами постоянные в этом задании
параметры: x оси – координату оси; x1, x 2 – координаты грузов. Значение коэффициента трения r установите равным нулю.
Таблица 1
xоси =
№
опыта
мм,
1
2
x1 =
3
мм,
4
x2 =
5
6
мм,
7
r=0
8
9
10
А00
N
t, с
T, с
2. Изменяя A 00 – максимальный угол отклонения (амплитуду незатухающих колебаний) в диапазоне от 1 до 179о, определите описанным выше
10
способом (см. формулу (18)) соответствующие значения периода колебаний.
3. Проанализируйте полученные результаты, определите период малых
незатухающих колебаний T0 , выводы запишите в отчёт.
Задание 2
Цель задания 2: изучить зависимость периода незатухающих ангармонических колебаний от приведённой длины маятника.
Порядок выполнения задания 2
1. Не изменяя параметров x1, x2, установленных в задании 1, определите
описанным выше способом координату центра масс x ц.м. . Полученный результат запишите в верхнюю строку табл. 2.
Таблица 2
x1 =
мм, x2 =
мм, xц.м.=
мм, А =
градусов,
r =0
№
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xоси , мм
L, мм
N
tN, с
T, с
I, кг.м2
Lпр, мм
lnLпр
lnT
2. Используя результаты задания 1, установите такой максимальный
угол отклонения A 0 , при котором период колебаний T значительно превышает период малых колебаний T0 и, следовательно, колебания являются ангармоническими.
Запишите значение A 0 и другие установленные вами постоянные в
этом задании параметры: x1, x 2 – координаты грузов – в верхнюю строку
табл. 2. Там же должно быть записано значение массы маятника m.
11
3. Так как приведённая длина физического маятника достигает очень
больших значений и очень быстро изменяется при изменении малых значений
L (см. формулу (10)), а L  x ц.м.  x оси (формула (20)), то значения координаты x оси в этом задании удобно устанавливать немного меньшими, чем координата центра масс x ц.м.
Изменяя с небольшим шагом (5–10 мм) x оси и, следовательно, расстояние L от оси до центра масс, определите соответствующие значения периода
колебаний T, момента инерции I.
Результаты измерений запишите в табл. 2.
4. На основе полученных экспериментальных данных рассчитайте по
формуле (10) значения приведённой длины физического маятника L пр. . Для
расчетов необходимо экспериментальные данные перевести в систему СИ
(массу m – в килограммы, расстояние L – в метры).
5. Для анализа полученных экспериментальных данных о зависимости
T Lпр. – периода незатухающих ангармонических колебаний от приведён-


ной длины маятника предположим, что эта зависимость выражается степенной функцией:
T Lпр.  k  Lnпр. ,
(21)


где k и n – неизвестные постоянные.
Прологарифмируем эту функцию:
ln T  ln k  n ln L пр. .
Из последней формулы видно, что график зависимости lnT от ln Lпр. будет
прямой линией. Угловой коэффициент наклона этой прямой:
 ln T
(22)
n.
 ln Lпр.
Правильность нашего предположения проверим, построив по экспериментальным
данным
график
в
осях
ln Lпр.  ln T (рис. 5).
По экспериментальным точкам проводим
прямую, так, чтобы она
была как можно ближе к
этим точкам. Затем
находим приращение
функции:
 ln T  (ln T) 2  (ln T)1 ,
приращение аргумента:
Рис. 5
12
 ln Lпр.  (ln Lпр. ) 2  (ln Lпр )1
и по формуле (22) определяем показатель степени n в степенной зависимости
(21).
6. Проанализируйте полученные результаты, выводы запишите в отчёт.
Задание 3
Цель задания 3: изучить влияние коэффициента трения на колебания
маятника. Определить значение критического коэффициента трения.
Порядок выполнения задания 3
1. Рассчитайте теоретическое значение критического коэффициента
трения для малых колебаний по результатам задания 1.
Из формул (5) и (16) для теоретического значения критического коэффициента трения rкр.теор. получим:
4  I
.
(23)
T0
В формуле (23) момент инерции I рассчитывается для установленных
вами постоянных в задании 1 параметров: x оси , x1, x 2 .Эти параметры
установите и для задания 3.
Период малых незатухающих колебаний Т0 определите по результатам
задания 1.
Рассчитанное по формуле (23) значение rкр.теор. запишите в заголовок
rкр.теор. 
табл. 3.
Туда же запишите значения параметров x оси , x1 , x 2 , m , I , начальное
значение максимального угла отклонения A0 0  170o .
2. Для различных значений коэффициента трения r, предложенных,
например, в табл. 3, изучите зависимость продолжительности этого колебания t1 и его амплитуды A o (t) от n – порядкового номера полного колебания.
В настоящей компьютерной программе дважды за одно полное колебание измеряется и выводится в соответствующее окошко максимальный
угол отклонения маятника (его положительное и отрицательное значение).
После того, как введены значения всех исходных величин, нажмите на
кнопку «Старт/Стоп»: маятник займёт начальное положение (угол отклонения равен A  0 ), запустится секундомер, маятник начнёт движение. За
одно полное колебание маятник, двигаясь из начального состояния, проходит положение равновесия, доходит до наибольшего отрицательного отклонения (которое фиксируется программой), затем опять проходит положение равновесия и доходит до следующего наибольшего положительного
угла отклонения (которое также фиксируется программой). В это мгновение и нужно остановить секундомер, повторно нажав кнопку
«Старт/Стоп».
13
xоси=
Секундомер зафиксирует продолжительность одного колебания t1 с
погрешностью, не меньшей, чем быстрота вашей реакции. Запишите это
показание секундомера в табл. 3. Также запишите новое значение максимального угла отклонения маятника – A o (t) , которое зафиксировалось программой в момент завершения первого колебания
Таблица 3
. 2
мм, x1=
мм, x2=
мм, m =
кг, I =
кг м , rкр.теор.=
Н.м.с, A00 =
Порядковый номер
n
полного колебания
r = 0,01rкр.теор. tn ,с
Н.м.с
An
r = 0,1rкр.теор.
Н.м.с
tn ,с
r = 0,5rкр.теор.
Н.м.с
tn ,с
r = rкр.теор.
Н.м.с
tn ,с
1
2
3
4
5
6
7
8
9
An
An
An
3. При следующем нажатии кнопки «Старт/Стоп» маятник начнёт движение уже с нового значения максимального угла отклонения. Повторите
предыдущие действия для второго колебания, результаты запишите в табл. 3.
Затем те же измерения выполните для следующих колебаний.
4. Проделайте описанные выше измерения для четырёх значений коэффициента трения. Результаты запишите в таблицу.
5. Проанализируйте полученные результаты, сделайте выводы и запишите их в отчёт.
Задание 4
Цель задания 4: в режиме малых незатухающих колебаний определить
величину ускорения свободного падения и название планеты, на которой вы
оказались.
Порядок выполнения задания 4
1. Запишите в заголовок таблицы 4 постоянные для этого задания параметры: массу маятника m, максимальный угол отклонения – амплитуду
14
10
колебаний A 0  10o , коэффициент трения r  0 , число колебаний N. Введите значения A 0 , r и N.
Таблица 4
m=
№
опыта
x1
мм
кг,
x2
мм
A0
xцм
мм
=
,
xоси
мм
L
мм
r =0,
tN
с
T0
с
N=
I
g
. 2
кг м м/с2
<g>
м/с2

м/с2
1
2
3
4
2. Установите выбранные Вами значения x1 , x 2 и определите описанным выше способом положение центра масс – x ц.м. . Значения этих величин
запишите в табл. 4.
3. Установите выбранное Вами для первого опыта положение оси x оси
и по формуле (20) определите расстояние L от центра масс до оси вращения
маятника. Значения этих величин запишите в табл. 4.
4. Нажмите на кнопку «Старт/Стоп»: маятник займёт начальное положение, запустится секундомер, маятник начнёт движение. Измерьте отрезок
времени t N , в течение которого маятник совершает N колебаний. Затем по
формуле (18) определите T0 – период малых незатухающих колебаний. Результаты запишите в табл. 4.
5. По результатам опыта определите ускорение силы тяжести. Из формулы (7) для ускорения силы тяжести g получается рабочая формула:
4 2  I
.
(24)
g
m  L  T0
6. Измените значения параметров x1 , x 2 , определите новое положение
центра масс – x ц.м. . Не изменяя положения оси x оси , выполните с новыми
параметрами эксперимент по определению ускорения силы тяжести. Результаты запишите во вторую строку табл. 4.
7. Ещё раз поменяйте x1 , x 2 , выполните эксперимент, результаты запишите в третью строку табл. 4.
8. Не изменяя значений параметров x1 , x 2 , измените положение оси и
опять, в соответствии с пунктами 3, 4, 5, выполните эксперимент по определению ускорения силы тяжести. Результаты запишите в четвёртую строку
табл. 4.
15
9. Обработайте результаты измерений. Ускорение силы тяжести g определяется по формуле (24). Среднее значение  g  для числа опытов n определяется следующей формулой:
n
 g 
 gi
i 1
;
(25)
n
среднеквадратичная погрешность измерений  находится следующим образом:
n

 (gi   g )2
i 1
n(n  1)
,
(26)
в табл. 4 число опытов n = 4.
Результат надо представить в виде:
м
.
с2
10. По таблице ускорений свободного падения g на поверхностях планет
Солнечной системы, приведённой в разделе «Метод измерений», определите
название планеты, на которой вы оказались. Сформулируйте и запишите в
отчёт выводы по заданию 4.
g  ( g  ),
Контрольные вопросы
1. Что называется физическим маятником?
2. Сделайте схематический чертёж физического маятника, расставьте все
необходимые для получения дифференциального уравнения движения маятника обозначения.
3. Запишите основное уравнение динамики вращательного движения,
поясните все входящие в него величины.
4. Примените основное уравнение динамики вращательного движения
для описания движения физического маятника, получите дифференциальное
уравнение движения маятника.
5. Как можно упростить дифференциальное уравнение движения маятника в случае малых колебаний?
6. Что называется решением дифференциального уравнения?
7. Показать прямой подстановкой, что решением дифференциального
уравнения малых колебаний физического маятника является гармоническая
функция. Получить формулу для циклической частоты колебаний физического маятника.
8. Что называется периодом колебаний? Как период колебаний связан с
циклической частотой?
9. Как в эксперименте измеряется период колебаний?
16
10. Вывести рабочую формулу для экспериментального определения
ускорения свободного падения.
Библиографический список
1. Савельев И.В. Курс общей физики Т. 1. Механика. Молекулярная физика: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1982. – С. 181–197, 204–208.
2. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1994. – С. 219–223,
229–234.
3. Тюшев А.Н. Физика в конспективном изложении. Ч. 2. Колебания и
волны. Оптика. – Новосибирск: СГГА, 1999, 2002. – С. 11–15, 18–22.
4. Тюшев А.Н., Дикусар Л.Д. Курс лекций по физике. Ч. 3. Колебания и
волны. Оптика: учеб. пособие. – Новосибирск: СГГА, 2003. – С. 11–18, 26–
31.
17