Лекция 2. Гармонический сигнал - ... Метод комплексных амплитуд – линеаризация ...

Лекция 2. Гармонический сигнал - основная форма токов в электросиловых цепях.
Метод комплексных амплитуд – линеаризация уравнений при условии линейности
аналогов. Потенциальные и векторные диаграммы. Активная, реактивная и полная
мощность. Простые RC- RL-цепи. Электрический резонанс напряжений и токов.
Вторичные параметры.
Как уже известно, электрохимические, а также прямого преобразования, источники
электропитания обеспечивают потребителя постоянной мощностью. В этом случае
реактивная мощность отсутствует, т.е.нет необходимости в применении линейных
аналоговых элементов L и С. В схемах замещения при расчётах в режиме постоянного
тока они заменяются, соответственно, проводником и разрывом. Это серьёзно упрощает
систему уравнений – она становится алгебраической и меньшего порядка. Так как при
постоянном токе остаётся только активная мощность, то в основном это приближение
применяется для оценки активных потерь или нагрева системы. В отдельных случаях эти
источники применяются для получения постоянных электрических и магнитных полей, но
здесь просто переходят от напряжений и токов к напряженностям полей Е и Н. Для
электростатического поля используют соотношения E=-grad U или q=СU, а для
магнитного поля это закон Ампера или полного тока  I=Hdl.
Другой тип источников электропитания - это электромеханические генераторы, которые в
основной своей массе основаны на вращении рамки с током в магнитном поле.
Магнитный поток, пронизывающий рамку, и, как следует из закона Фарадея или
электромагнитной индукции, э.д.с на выходных клеммах, изменяются по гармонической
функции еj(t+) = cos (t+) + jsin (t+) .
Здесь j = -1, мнимая единица, а числа, изображаемые с её помощью – комплексные
числа.  - начальный фазовый угол.
Фаза - это событие, которое повторяется с одинаковым временным смещением в
каждом периоде гармонических колебаний относительно его начала. Например,
ежегодно празднуемый в один и тот же день Ваш день рождения.
Вся прелесть этой функции в том, что она не боится действия интегральных и
дифференциальных операторов в том плане, что её зависимость от времени при этом не
меняется.
Если U=Um еj(t+) , то обобщённый закон Ома для линейных элементов перепишется
I = U/ R = Y U еj(t+)
или I R = U еj(t+)
I= С dU/dt= jС U еj(t+) или I/ jС = U еj(t+) или I/С = U еj/2
I =1/ L U dt= Um еj(t+)/ j L
или I j L = Um еj(t+) или I L = U еj/2
Но тогда значит и ток должен меняться по такому же гармоническому закону и с той же
частотой , только на реактивных элементах между током и напряжением появляется
разность фаз /2. Если бы это было не так, то в какой-то момент времени у нас
нарушились бы законы сохранения энергии и заряда (правила Кирхгофа).
То есть в линейных системах гармонический сигнал не порождает новые частоты.
Это очень хорошо для передачи силовой энергии, но плохо для систем передачи
информации. И если также учесть, что для систем передачи информации мощность
электрического сигнала должна быть минимальной (он служит носителем информации), а
в силовых цепях максимальной, то здесь из электротехники начинают выделяться её
силовая часть и электроника. Это принципиально разные подходы к созданию
электрических устройств. В силовой электротехнике идёт борьба за максимум
передаваемой энергии при минимуме частот (все гармоники основной частоты считаются
паразитами и с ними идёт жестокая борьба). А в электронике идёт борьба за минимум
передаваемой энергии при максимальной ширине области передаваемых частот (в пределе
прямоугольный импульс как носитель бита информации).
Изменение тока и напряжения в системах с линейными элементами по гармоническому
закону с одной частотой позволяет упростить систему уравнений. Сократив все члены
уравнений на временную функцию еjt , мы просто переведём её из интегральной в
алгебраическую формы. Как бы сделаем моментальную фотографию распределения токов
и напряжений в системе. Расплатой будет являться переход от действительных чисел,
отображаемых на числовой действительной оси х, в область комплексных чисел,
отображаемых на плоскости с осями координат (х, j).
В этом случае соотношения обобщенного закона Ома будут выражены как
Um еj = R Im еj
Im еj = jС Um еj=( j/ХC ) Um еj
Um еj = j L  Im еj= jХL  Im еj
Um еj=- jХC  Im еj
Если обозначить комплексные числа Ue j  U
и Ie j  I , то получим обобщенный
закон Ома в виде U  Z  I . Для отдельных элементов он будет выглядеть следующим
образом
U  R  I
U   jX I
C
U  jX L I
Значения U и I получили название комплексов. Эти комплексные числа содержат
значение числа и фазовый угол.
На комплексной плоскости они изображаются отрезком прямой с длиной, равной
значению параметра, и который расположен под углом равным .
Величину Z называют импедансом или полным сопротивлением, а величины ХC =1/ωС
и ХL =ωL называют реактансами участков цепи.
Ясно, что при последовательном соединении всех трёх аналоговых элементов
Z=R+j(XLXC). То есть мы можем достаточно просто составлять и разрешать
алгебраические уравнения, как это делали бы в приближении постоянного тока.
Видно, что данные выражения для комплексов приведены в тригонометрической форме
комплексного числа. Их также можно записать в алгебраической форме как a+jb.
Выражения для перехода из одной формы записи в другую также хорошо известны:
Um (Im)= (a2+b2) , arctg =b/a . Здесь a и b проекции отрезка на соответствующие оси
координат (х, j).
Если на комплексной плоскости нанесены точки потенциалов с соединяющими их
отрезками напряжения, то это будет потенциальная диаграмма напряжений. А если на
комплексную плоскость нанести значения токов с присущими им направлениями, то это
будет векторная диаграмма токов. Таким образом, мы получаем наглядный графический
метод решения системы уравнений.
Мгновенное значение полной мощности в комплексной форме
S  U  Iˆ  Ue j  Ie  j  UIe j (  )
Здесь, чтобы получить более удобное в работе значение разности фаз (), взяли
комплексно-сопряженное значение тока.
В алгебраической форме S =U  I cos() + j U  I sin()=Р+jQ ,
где Р= U  I cos() – активная мощность, а Q =U  I sin()=– реактивная.
Если учесть временную функцию еjt , то мощность изменяется во времени как еj2t.
Однако практически все нагрузки, особенно в силовой электротехнике, работают с
постоянными времени много больше периода колебаний поступающего переменного тока.
Поэтому на практике в энергосетях пользуются среднеквадратичным значением
параметра, которое называют действующим или эффективным значением напряжения,
тока или мощности и т.п.
Для гармонического сигнала среднеквадратичное значение, как нетрудно показать, равно
2
1 I m 2 e j 2t dt  I m
T
2
Отметим, что для обозначения амплитудного значения гармонического параметра
применяют индекс m, в то время как для обозначения действующего значения никаких
индексов не применяется из-за его большого практического использования.
I
Здесь показано напряжение и активная мощность на сопротивлении R.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
RC гармон.CIR
1.500
1.000
0.500
0.000
-0.500
-1.000
200.000u
v(1) (V)
250.000u
300.000u
350.000u
400.000u
300.000u
350.000u
400.000u
T (Secs)
1.250m
1.000m
0.750m
0.500m
0.250m
0.000m
200.000u
PD(r) (W)
250.000u
T (Secs)
Таким образом, мы пришли к очень серьёзному выводу – в системе с гармоническим
сигналом кроме активной мощности, постоянно находится и реактивная, которая, проходя
через активные элементы, превращается в активную энергию, т.е. в тепло. Так реальные
реактивные компоненты – конденсаторы и катушки индуктивности, всегда содержат в
себе небольшую долю активного сопротивления (проводящие включения в материал
диэлектрика или сопротивление проводов). Поэтому при больших уровнях реактивной
мощности, развиваемой этими элементами, они могут существенно нагреваться, что, в
свою очередь, может привести к физическому изменению свойств материалов, из которых
они изготовлены. Просто говоря – сгореть. Например, категорически запрещается
включать электролитический конденсатор в цепь переменного тока. Электролит содержит
большие тяжёлые органические молекулы, которые на переменном токе начнут суетиться
и толкаться, обеспечивая тем самым серьёзные активные потери. Из-за плохого
теплоотвода произойдёт практически мгновенный нагрев электролитной жидкости до
температуры кипения. И образовавшийся пар просто разорвёт тонкую алюминиевую
колбу конденсатора, со всеми вытекающими тяжёлыми последствиями.
В то же время, наличие индуктивности и ёмкости в распределённой форме вызывает
совсем другое распределение энергии в системе, чем при постоянном токе. Так, наличие
емкости между проводами линии электропередачи и землёй приводит к существенным
емкостным токам утечки энергии из системы, т.е. потерям. А незамкнутые
магнитопроводы и одиночные провода с сильными токами создают в пространстве
переменные магнитные поля, которые могут навести (индуцировать) токи в близлежащих
металлических объектах, вызывая их нагрев и увеличивая активные потери в устройстве.
Но реактивная энергия не уходит из электрической системы, её уменьшение в одном
месте компенсируется увеличением в другом. Гармоническое изменение потенциала
одной точки приводит к соответствующему изменению потенциала соседней точки, т.к.
между ними всегда действуют электрические силы или существует емкостная связь. Но
точно таким же образом электрический ток в одном месте будет приводить к
индуцированию тока по соседству за счёт действия магнитных сил, то есть возникает
магнитная связь. Если не учитывать эти связи, а они порой не всегда очевидны в
реальных устройствах, так как для осуществления этих связей нет необходимости
устанавливать специальные проводники, то мы можем получить реактивную энергию в
том месте, где её не ожидали. То есть у нас возникнут электромагнитные помехи, если
эта реактивная энергия нам не нужна, и радиосвязь, если эту реактивную энергию
использовать для передачи информации.
Два индуктивных элемента, объединённых магнитной связью, или магнитосвязаные
катушки очень широко используют для гальванического разделения цепей и
преобразования величин токов и напряжений (трансформатор).
Что же делает реактивная энергия в простейших цепях, содержащих один активный и
один реактивный элемент?
Подключим RC-цепочку к источнику гармонического сигнала Е.
Уравнение, записанное в комплексах, выглядит следующим образом
E  U R  U C  IR  jIX C
E X C
E
E R
 2

j
Отсюда I 
, где реактанс XC=1/С
2
R  jX C R  X C 2
R2  X C
Для указанных на схеме значений элементов и с учётом фазы источника равной 0
ХС=1,6 кОм

I  E(0,28  j 0,45) мА  0,53Ee j 58 мА

U R  0,53Ee j 58

U C  0,85Ee32
Модули мощности для этих данных Р=0.28 мВт и Q=0,45 мВАр.
Сдвиг фаз между ними /2.
На комплексной плоскости можно отложить значения модулей мощностей, тогда полная
мощность будет являться их графической суммой. Мы получим так называемый
треугольник мощностей, где P=Scosφ и Q=Ssinφ. Угол φ является разностью фаз между
напряжением источника и протекающим через него током.
Ниже представлены временные развёртки тока напряжений на элементах UR и UC, а также
э.д.с. источника и соответствующих мощностей.
Отсюда вытекают очень интересные заключения.
Во-первых, реактивная мощность в течение времени может быть отрицательной и
положительной, в то время как активная мощность только положительная. То есть
реактивный элемент в течение одного полупериода проходящего через него тока
накапливает энергию и отдаёт её в цепь. Это обеспечивает протекание через ёмкость
переменного электрического тока. В то же время переменные токи, проходя через
конденсатор, совершают определённую механическую работу при перемещении зарядов
между обкладками и нагревают этот компонент. Поэтому производители емкостных
компонентов накладывают ограничения на величину переменных токов и их частоту.
Во-вторых, источником реактивной мощности являются реактивные элементы в
нагрузке, которые обмениваются ею с источником. Протекающая через источник
реактивная энергия вызывает дополнительные нагрузки в виде повышенных токов, что
приводит к дополнительным потерям на внутреннем сопротивлении источника. Поэтому в
силовой энергосети существует понятие фактора мощности, который при учёте одной
частоты (основной гармоники) выражается через параметр cos φ=P/S. В соответствии с
существующими правилами потребитель электроэнергии не должен допускать работу
своего оборудования при значениях cos φ0,8, таким образом, поставщик накладывает
ограничения на количество реактивной мощности генерируемой потребителем. В
современной трактовке к этому правилу «cos φ» добавляют учёт токов гармоник основной
частоты, которые тоже создаёт оборудование потребителя и которые также создают
дополнительные нагрузки на оборудование поставщика электроэнергии. Поэтому
растущую заботу о повышении фактора мощности иногда называют энергетической
экологией.
В электронике, где имеют дело с передачей информационного сигнала в широкой полосе
частот, важен такой параметр, как коэффициент передачи цепи К=Uвых/Uвх. В нашем
случае U в х  E  I( R  jX C ) , а U вых  U C   jX C I . Тогда
jX C
1
1
j



2 2
jX C  R 1  j 1   
1   2 2
где τ = RC – постоянная времени RC-цепи.
KC 
Если исследовать значение модуля и фазы комплексного числа К(), то получим
следующие амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики, АЧХ и ФЧХ.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
RC гармон.CIR
1.250
1.000
0.750
0.500
0.250
0.000
1K
v(c)/v(1)
10K
Fв
100K
1M
100K
1M
F (Hz)
25.000
0.000
-25.000
-50.000
-75.000
-100.000
1K
ph(v(c)) (Degrees)
10K
Fв
F (Hz)
Здесь FB верхняя граничная частота, при которой модуль К=1/2, а фаза φ= -/4. Это
очень характерная точка, которая определяется из условия τ=1, или в=1/τ. Её
физический смысл в том, что при этой частоте реактивная энергия в RC-цепи равна
активной. Отсюда видно, что все сигналы с частотами   Fв теряют незначительное
количество энергии при прохождении этой цепочки. То есть RC-цепь в рассматриваемом
варианте работает как низкочастотный фильтр. Если же в качестве выходного элемента
рассматривать сопротивление, то получим высокочастотный фильтр.
Micro-Cap 9 Evaluation Version
RC гармон.CIR
1.250
1.000
0.750
0.500
0.250
0.000
1K
v(r)/v(1)
10K
Fв
100K
1M
100K
1M
F (Hz)
125.000
100.000
75.000
50.000
25.000
0.000
1K
ph(v(r)) (Degrees)
10K
Fв
F (Hz)
R
1
 2 2
j



2 2
R  jX C 1  j /  1   
1   2 2
Если какую-либо функцию, представляющую электрический сигнал, разложить по
гармоникам в виде ряда Фурье, то ограничение высоких частот свойственно операции
интегрирования этой функции, а ограничение низких частот – её дифференцированию.
Поэтому данные цепочки получили название, соответственно, интегрирующих и
дифференцирующих. Данные математические свойства простых линейных электрических
цепей, наряду с возможными другими математическими операциями, позволили создать
довольно успешно работающие аналоговые вычислительные машины, которые в
настоящее время практически вытеснены цифровой техникой.
KR 
Всё вышесказанное можно отнести и к RL-цепям.
Уравнение, записанное в комплексах, выглядит следующим образом
E  U R  U L  IR  jIX L
E X
E
E R
 2
 j 2 L 2 , где реактанс XL=L
Отсюда I 
2
R  jX L R  X L
R  XL
Для указанных на схеме значений элементов и с учётом фазы источника равной 0
ХL=0,63 кОм

I  E(0,71  j 0,45) мА  0,83Ee  j 32 мА

U R  0,83Ee  j 32

U L  0,53Ee j 58
Модули мощности для этих данных Р=0.69 мВт и Q=0,44 мВАр.
Сдвиг фаз между ними /2.
Треугольник мощностей
Ниже представлены временные развёртки тока напряжений на элементах UR и UL, а также
э.д.с. источника и соответствующих мощностей
Гармонические колебания в электрических цепях открыли возможность применения очень
интересного эффекта – электрического резонанса, при котором возможно накопление
реактивной энергии в системе с гармоническим источником.
Рассмотрим простые задачи: последовательное и параллельное соединение всех трёх
аналоговых элементов.
Простейшая схема последовательного соединения выглядит следующим образом
Из её анализа следует, что ток в контуре будет равен
I = Ie
j
=
Ee
Ze
j
j
где Z  R 2  (L  1 / C ) 2 - импеданс контура
L  1 / C
      arctg
- угол сдвига фаз между напряжением источника E и током
R
в контуре I.
Отсюда видно, что при L=1/C импеданс Z будет иметь минимальное значение равное
активному сопротивлению контура R. Мы получим явление резонанса в электрических
цепях – увеличение токов и напряжений на отдельных участках цепи при изменении
частоты гармонического сигнала. Физической основой резонанса в электрических цепях
является обмен реактивной энергией между емкостными и индуктивными элементами,
включенными в данную цепь. Если эта энергия проходит через источник
(последовательное включение), то мы имеем так называемый резонанс напряжений
(ImZ=0, мнимая часть полного сопротивления нагрузки равна 0), а если не проходит
через источник (параллельное включение), то мы имеем резонанс токов (ImY=0, мнимая
часть полной проводимости нагрузки равна 0).
При значении резонансной частоты
 рез  1/ LC

L
C
ток и напряжение совпадают по фазе, ток принимает максимальное значение Е/R, а
реактансы равны XL=Xc=L/C=  . Эта величина называется характеристическим
сопротивлением контура и имеет размерность Ом. Она характеризует количество
реактивной энергии находящейся в контуре.
При резонансе в последовательной цепи напряжения на реактивных элементах могут
превысить входное напряжение, если параметр добротности контура будет
Q
UL
рез
UR

UC
рез
UR

I
RI

L/C
1
R
Наибольшие значения напряжений на конденсаторе и индуктивности достигаются при
частотах, несколько отличающихся от резонансной частоты.
1
1  1 /( 2Q 2 )
Название «резонанс напряжений» отражает тот факт, что действующие значения
напряжений на реактивных элементах в момент резонанса равны (но противоположны по
фазе) и могут в Q раз превышать значение э.д.с. источника.
Рассмотрим зависимости от частоты действующего значения тока I (амплитудночастотная характеристика, АЧХ) и разности фаз  между э.д.с. источника и током в
контуре (фазочастотная характеристика, ФЧХ), которые приведены на рис.2.
Выделим на них две знаменательные точки – когда разность фаз  = ±/4. Эти точки
аналогичны частоте Fв в рассмотренных ранее простых RC- и RL-цепочках, то есть при
этих частотах активная энергия в контуре равна реактивной.
При этих частотах (1 и 2)
R  L  1/ C , и величина тока будет в 2 раз меньше амплитудного значения.
Разность частот = 1 - 2 называется полосой пропускания, а величина
  2 1

S= 1
называется затуханием контура.
 рез
Q
 C   рез 1  1 /( 2Q) 2
 L   рез
Границы полосы пропускания можно определить по соотношению 1, 2   рез (1  1
2Q
)
Переход от первичных параметров аналоговых элементов L, C, R к вторичным
параметрам, а именно - резонансной частоте рез, добротности Q и полосе пропускания
, очень важен с практической точки зрения. В значения параметров элементов, кроме
электрических характеристик материалов, входят трудно определяемые размеры
пространства, занятого электромагнитным полем, особенно, когда невозможно выделить
соответствующие компоненты в виде отдельных конструктивных деталей. А вторичные
параметры непосредственно измеряются и несут в себе информацию, необходимую
конструктору электрических устройств.
rezonans_laba.CIR
4.000
3.200
2.400
1.600
9.504K,999.976m
11.214K,704.751m
0.800
0.000
4.000K
4.800K
6.000K
7.200K
8.400K
Left
3.045
999.976m
3.040
9.504K
9.600K
10.800K
Right
1.819
704.751m
2.528
11.214K
12.000K
13.200K
Delta
-1.226
-295.226m
-512.051m
1.710K
14.400K
16.000K
Slope
-717.010u
-172.652u
-299.454u
1.000
6.000K
7.200K
8.400K
Left
110.189m
9.514K
9.600K
10.800K
Right
45.031
11.204K
12.000K
13.200K
Delta
44.921
1.690K
14.400K
16.000K
Slope
26.585m
1.000
v(2,3) (V)
B v(3) (V)
v(1,2) (V)
F (Hz)
90.000
45.000
0.000
-45.000
-90.000
4.000K
4.800K
ph(v(1))-ph(v(3))
F (Hz)
Простейшая схема параллельного соединения выглядит следующим образом
Из её анализа следует, что ток источника будет равен
I  Ie j  YU  Ye j Ue j
где Y  G 2  ( BL  BC ) 2
     arctg
источника Е.
BC  BL
G
При угловой частоте
- полная проводимость цепи
- угол сдвига фаз между общим током и напряжением
 рез  1/ LC
Реактансы параллельных ветвей с реактивными элементами одинаковы XL=XC= L/C ,
общий ток и напряжение источника совпадают по фазе, причём общий ток принимает
минимальное значение GU=U/R.
Название «резонанс токов» отражает равенство действующих значений токов в
индуктивном и емкостном элементах в момент резонанса (но противоположны по фазе) и
могут в Q раз превышать значение общего тока
при противоположных фазах.
I Lрез  U /( рез L)  I C рез   рез CU
Если вместо источника э.д.с. применить источник тока, то при малых значениях тока
источника можно достичь значительного увеличения токов в ветвях с реактивными
элементами.
Рассмотрим зависимости от частоты действующего значения общего тока I (амплитудночастотная характеристика, АЧХ) и разности фаз  между э.д.с. источника и общим током
(фазочастотная характеристика, ФЧХ), которые приведены на рис.4.
Выделим на них две знаменательные точки 1 и 2 – когда разность фаз  = ±/4.
При этих частотах активная проводимость будет равна реактивной G  C  1/L , и
величина общего тока будет в 2 раз больше минимального значения. Здесь также
полностью применимы понятия полосы пропускания  и затухания контура S. Следует
обратить внимание, что при резонансе тока измерять полосу пропускания по АЧХ
достаточно трудно, особенно при высоких значениях добротности.
IL
rezonans_para_laba.CIR
6.000m
4.800m
IL
3.600m
IC
IC
2.400m
I
1.200m
0.000m
4.000K
4.800K
6.000K
7.200K
i(4,2) (A)
i(1,0) (A)
i(4,3) (A)
F (Hz)
8.400K
Left
2.875m
249.290u
3.051m
9.798K
9.600K
10.800K
Right
2.964m
176.984u
2.960m
9.504K
12.000K
13.200K
Delta
88.834u
-72.306u
-91.141u
-293.423
14.400K
16.000K
Slope
-302.751n
246.422n
310.613n
1.000
10.800K
Right
-44.216
9.798K
12.000K
13.200K
Delta
-43.616
283.305
14.400K
16.000K
Slope
-153.955m
1.000
90.000
45.000
9.514K,-599.946m
0.000
9.798K,-44.216
-45.000
-90.000
4.000K
4.800K
B ph(v(4))-ph(v(1,0))
F (Hz)
6.000K
7.200K
8.400K
Left
-599.946m
9.514K
9.600K
Чтобы использовать явление резонанса, необходимо иметь генераторы гармонических
колебаний с широким набором частот, лучше даже плавно перестраиваемой частоты. Так
как на линейных элементах это сделать нельзя, то начали изобретать различные
нелинейные элементы и схемы с их использованием. В начале появились
электромеханические устройства. Первым их стал использовать Никола Тесла для
получения высоких напряжений в колебательных контурах (трансформатор Тесла или два
магнито-связаных колебательных контура). С их помощью ему удалось создать
люминесцентный источник света, демонстрация которого оказывала в те тёмные времена
потрясающее впечатление на публику. В 1988 году Генрих Герц, используя
колебательные контура в качестве источника и приёмника высокочастотного
гармонического сигнала, продемонстрировал возможность его передачи на расстояние без
проводов по ёмкостной связи. И стало ясно, что при расстояниях много больше длины
волны гармонического сигнала, электрическое поле успевает преобразоваться в магнитное
и обратно. Так родилась радиотехника с её электромагнитными волнами.
В дальнейшем появились генераторные и усилительные электронные лампы, что
позволило создать мощные источники гармонических колебаний одновременно с
чувствительными приёмниками и охватить радиосвязью весь мир. Приход
полупроводников существенно снизил размеры передающих и принимающих устройств и,
в результате, мобильная связь стала неотъемлемым условием нашего образа жизни. Были
созданы ламповые генераторы в гигагерцовой области частот, что привело к созданию
сверхвысокочастотной техники, в которой длина волны сравнима с размерами самого
устройства. А далее были созданы генераторы в миллиметровой (мазеры) и даже в
световой (лазеры) области частот с передачей этих сигналов по оптоволокну.
Естественно, для создания электротехнических устройств этого уровня нужно
использовать уравнения Максвелла, так как аналоговый поход с токами инапряжениями
приводит к уравнениям с матрицами практически бесконечного порядка. А это привело к
тому, что электротехники, работающие в разных частотных диапазонах, перестали
понимать друг друга. Появились электрики и электронщики, радиотехники и «СВЧшники», а позднее и «цифровики» с программистами.