Таблица 6.1

6. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9.
ИССЛУДОВАНИЕ ЦЕПИ С НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ
ТОКАМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ.
Цель работы – ознакомление с методом исследования несинусоидальных
периодических токов и напряжений, а так же с работой простейших фильтров.
6.1. Общие положения
6.1.1. Методы расчета
Методы расчета и исследования линейный цепей при несинусоидальных
периодических сигналах основаны на:
разложении этих сигналов на гармонические составляющие;
применения к каждой гармонике известных методов анализа цепей
синусоидального тока и получении амплитудно-частотных и фазо-частотных
характеристик – АЧХ и ФЧХ;
объединение результатов по отдельным гармоникам для расчета действующих
значений, потребляемой мощности и т.д.
Рассмотрим кратко теоретические основы подобного подхода.
Известно, всякая периодическая функция  (t) с периодом T=2/, а  называется
основной частотой, удовлетворяющая условиям Дирихле, а этим условиям
удовлетворяют все периодические сигналы в практической электротехнике, может
быть разложена в тригонометрический ряд – ряд Фурье, т.е. представлена суммой
гармоник с частотами кратными :

f (t )   Akm sin(kt   k )
k 1
или
(6.1a)


f ( t )  A0   Bkm sinkt  C km cos kt
k 1
где
T
1 2
1 
A0 
 f ( t ) dt 
 f  t d t
T

T 
2 
2

  
1 
Bkm 
 f t sin kt d t
 
    
1 
C km 
 f t cos kt d t
 
    
1
(6.1б)
Akm 
2
2
B km  C km
 k  arctg
,
C km
Bkm
Если периодическая функция f(t) обладает той или иной симметрией, то ее
разложение может не содержать некоторые составляющие. Например:
кривая, симметричная относительно оси ординат, f(t)= f(-t), не имеет
синусоидальных составляющих, т.е. Bkm=0;
кривая, симметричная относительно начала координат, когда f(t)= -f(-t), не имеет
постоянной и косинусоидальной составляющей, т.е. A0=Ckm=0
кривая, симметричная относительно оси абсцисс при совмещении двух
полупериодов, когда f(t)= -f(t + T/2), не имеет постоянной составляющей и четных
гармоник, т.е. A0=A2n=B2n=C2n=0.
Формулы разложения наиболее распространенных периодических сигналов, как
правило, приводятся в учебной литературе.
При расчете цепи по каждой из гармоник можно пользоваться комплексным
методом и строить векторные диаграммы для каждой из гармоник в отдельности.
Однако, суммирование векторов и сложение комплексных напряжений и токов
различных гармоник недопустимы! Гармоники можно складывать во временном или t
пространствах, но всегда следует иметь ввиду, что период гармоники обратно
пропорционален ее номеру. Тогда при вычислении гармоник, когда по оси абсцисс
отложено t, и соблюдении одного и того же масштаба, вместо углов к надо
откладывать к /к.
При расчете необходимо помнить, что индуктивное сопротивление и емкостное
сопротивление зависят от номера гармоники:
Xc, k  1
Xc, k  kL
(6.2)
kL
Большой интерес представляют АЧХ и ФЧХ периодического сигнала, которые
показывают, как меняется амплитуда и фаза гармоник с ростом ее номера или частоты
(см. рис. 6.1). Эти характеристики принципиально имеют дескретный характер,
поскольку в разложении отсутствуют частоты, не кратные 0 – основной частоте.
Akm
K=entir(/0)
1
2
3
4
5
Рис.6.1 АЧХ некоторого периодического сигнала.
По завершении расчета цепи на каждой гармонике могут быть найдены
действующие значения периодических величин, например, э.д.с.:
2
2
2
2
2
E  E0  E1  E2  ...  E0  E1m 2  E2 m 2  ... , (6.3)
Мощность, поглощаемая цепью или отдаваемая источником:
2


P   Pk   U k I k cos  k
k 0
k 0
(6.4)
и т.д. При установке измерительных приборов в цепь периодических
несинусоидальных сигналов следует учитывать информацию из таблицы 6.1.
Таблица 6.1
Характеристика измерительных приборов
№
системы
Обозначе
ние
Название системы
На что реагирует прибор
1
Магнитоэлектрический с
подвижной рамкой
Постоянная составляющая
2
Магнитоэлектрический с
подвижным магнитом
Постоянная составляющая
3
Электромагнитный
Действующее значение
4
Электродинамический
Действующее значение
5
Магнитоэлектрический с
выпрямителем
6
Электронный
Среднее по модулю, но
откалиброван на
действующее(Uд =1,11Uср)
Максимальное, но
откалиброван на
действующее
Приборы систем 2-6 откалиброваны на действующее значение синусоидального тока ,
поэтому в цепях синусоидального тока их показания при измерении одной и той же
величины будут одинаковыми. В цепях периодических сигналов соотношение
действующее-максимальное значение и действующее-среднее по модулю значения
зависят от формы периодического сигнала, поэтому показания приборов могут
отличаться. Об этом необходимо помнить при интерпретации результатов.
6.1.2. Простейшеи фильтры
Если четырехполюсник, включенный между источником синусоидального
сигнала и нагрузкой, содержит индуктивность и емкости, то его сопротивление на
различных гармониках будет, вообще говоря, различным. Можно подобрать такие
значения L и C, что в некотором диапозоне частот четырехполюсник будет обладать
малым сопротивлением и токи этих частот будут “проходить” на нагрузке с небольшим
ослаблением. Эти частоты называются полосой пропускания. Токи с частотами,
лежащими вне этой полосы, будут проходить с большим затуханием: они оказываются
в частотной полосе затухания или задержания. Четырехполюсники, обладающие
избирательными свойствами, называются фильтрами.
Рассмотрим простейшие фильтры в виде последовательного или параллельного
LC контуров, приведенных на рисунке 6.2. Входной сигнал U(t)=U0
+U1(t)+U2(2t)+…+Ui(it)+… подается через фильтр на нагрузку, сопротивление
3
(6.5)
Z
K  Ui  1  Ki
Ui
(Z  Zi)
Ui
которой Z=RH чисто активное и не зависит от частоты. Сопротивление фильтра на
частоте i обозначим Zi . Введем понятие коэффициента передачи i-ой гармоники Ki на
нагрузку и коэффициента выделения на фильтре i-ой гармоники Кфi: K
Ki  Uki
Если настроить фильтр в резонанс с некоторой, например, i-ой гармоникой, то
для фильтра с последовательным контуром получим:
Zi=0; Ki=1; Uфi=0
и только i-ая гармоника будет передаваться на нагрузку без ослабления. Для фильтра с
параллельным контуром в этих условиях
Zi=; Ki=0; Uфi=1
и i-ая гармоника на нагрузку не поступает и полностью выделяется на контуре.
Подобное применение фильтров используется в данной работе в сочетании с
осциллографом для анализа периодических сигналов: состава гармоник, их амплитуд и
фазовых сдвигов.
C
C
U(t)
L
UH(t)
U(t)
RH
L
UH(t)
RH
а)
б)
Рис.6.2. Схемы простейших фильтров в виде: а - последовательного и б параллельного контуров
6.1.3. Схема эксперимента(рис.6.3.)
На вход схемы автотрансформатора подается синусоидальное напряжение U.
При включении в цепь а-с-в нелинейных элементов возникающий в цепи ток будет
отличен от синусоидального. В положении 1 переключателя П1 в цепь включается
диод, имеющий несимметричную вольтамперную характеристику (в.а.х.),
соответственно ток в цепи будет несинусоидальным периодическим, содержащим лишь
косинусные составляющие разложения (см. рис.6.3.б). При включении в цепь
нелинейной индуктивности – катушки со сталью, вебер-амперная характеристика
(в.а.х.) которой симметрична относительно начала координат, ток в цепи будет так же
несинусоидальным, но симметричным относительно оси абсцисс, т.е. будет содержать
лишь нечетные гармоники разложения (см. рис.6.3.в).
4
A
i(
t)
A
0
Д
Uф
1
П1
V
L
2
1
2
Вхо
д
У
c
Ú
П2
V
C
UR
R
UH
R
в
d
Син
х.
RH
a
)
I
Ф
I
U
i
i
в)
б)
Рис.6.3. Схема эксперимента (а); в.а.х. диода и форма тока при его включении в
сеть (б); в.а.х. нелинейной индуктивности и форма тока при включении в цепь (в)
Напряжение UR на активном сопротивлении R повторяет форму тока и при
условии R<<RH может рассматриваться как источник несинусоидального
периодического напряжения, подаваемого на вход четырехполюсника,
представляющего собой либо последовательный (ключ П2 в положении 2),
либопараллельном (ключ П2 в положении 1) контур. Контур можно настраивать в
резонанс с гармониками, кратными основной частоте.
В качестве показывающего и измерительного прибора используется
осциллограф; для запуска его развертки рекомендуется использовать входное
напряжение U; исследуемые сигналы будут UR, Uф, UH.
6.2. Предварительная подготовка
В процессе подготовки следует проработать соответствующую литературу.
Представить разложение в ряд Фурье периодических несинусоидальных
сигналов, изображенных на рисунке 6.3. Привести формулы для расчета сопротивления
последовательного и параллельного контура (простейшего фильтра на частоте i).
В работе анализ состава гармоник проводится для периодического сигнала,
симметричного относительно оси абсцисс, при этом считается достаточным оценить
лишь первые три члена разложения – первую, третью и пятую гармоники. Каждая i-ая
гармоника может наблюдаться на экране осциллографа при настройке контура-фильтра
5
на резонанс при частоте i и подаче на вход У сигнала либо с зажимов c-d
параллельного контура (Кфi=1, Кi=0), либо с зажимов d-в при последовательном
контуре в фильтре (Кфi=0, Кi=1). При этом следует учитывать, что другие гармоники
будут так же присутствовать в просматриваемом сигнале, но они будут иметь иные
значения коэффициента передачи. Необходимо предварительно рассчитать значения Li
и Ci, вызывающие значения резонанса на частоте i(i=1,3,5; φ=50 Гц), учитывая при
этом предоставляемые лабораторным стендом диапазоны изменения индуктивности и
емкости, а так же условие RH>R=30 Ом. Затем следует оценить значение сопротивления
и коэффициентов передачи для последовательного контура в фильтре - Zij, Kфij, Kij и
параллельного – Zij, Kфij, Kij, где i-номер гармоники, на которой предполагается
резонанс в контуре Li и Ci, а j-номер гармоники, для которой рассчитывается величина.
Результаты расчета представить в виде таблицы, либо в виде графика раздельно для
последовательного и параллельного контуров.
6.3. Экспериментальная и расчетная часть
Собрать схему по рис.6.3а. Завести входной сигнал Ú на запуск синхронизации
развертки луча осциллографа. Установить значения R и RH, определенные на стадии
предварительной подготовки.
1Градуировка осциллографа: подать на вход У сигнал Uов, действующее
значение которого показывает вольтметр V. Рассчитать масштаб по координатам У-my,
[В/мм].
2Формирование, наблюдение и некоторые оценки периодических
несинусоидальных сигналов тока двух видов, соответствующих включению в цепь
диода и нелинейной индуктивности.
Подключить на вход У осциллографа сигнал UR.
Для каждого вида тока (ключ П1 либо в положении 1, либо – 2) установить такое
значение напряжения Uав, при котором показания амперметров не выходят за
допустимые и при этом наилучшим образом наблюдается несинусоидальность.
В каждом случае:
срисовать с экрана кривую напряжения и оценить Uмак;
снять показания амперметров, оценивающих значения постоянной
составляющей - А0 и действующего значения - Ад;
рассчитать по известному значению Uмак и R величину максимального тока, а
затем рассчитать согласно формулам разложения величину постоянной составляющей.
3Анализ гармоник, составляющих периодический несинусоидальных
сигнал, симметричный относительно оси абсцисс (ключ П1 в положении 2).
В соответствии с предварительным расчетом провести три группы
экспериментов: в каждом из них контур настраивается в резонанс на одну из гармоник , 3, 5 путем подстройки величины емкости и, возможно, индуктивности и
наблюдения за характером напряжения на параллельном контуре (ключ П2 в
положении 1).
Для каждого случая:
снять показания вольтметра VR;
срисовать с экрана кривые UR UФ UH;
определить по кривой UФ максимальное Uмакi и действующее Ui значение
выделяемой i-ой гармоники и фазовый угол i.;
оценить по кривой UR максимальное значение напряжения, а затем рассчитать
максимальное значение выделяемой гармоники.
6
По завершении всех трех групп экспериментов:
построить по найденным значениям Umaki и i кривую
U(t)=U1(t)+ U3(3t)+ U5(5t)
и провести на этом же графике кривую UR;
рассчитать действующее значение напряжения UR согласно формуле (6.3),
используя определение значения Ui.
6.4. Анализ результатов
Проанализировать полученные экспериментальные данные, оценить
погрешности эксперимента и соответствие полученных результатов теоретическим
представлениям.
6.5. Перечень контрольных вопросов
1. Как провести градуировку осциллографа?
2. Какие гармоники содержит разложение в ряд Фурье несинусоидальной
периодической функции, если функция симметрична по отношению к:
a) оси абсцисс;
b) началу координат;
c) оси ординат.
3. В каком случае катушку со стальным сердечником можно считать линейным
элементом и в каком – нет?
4. Какое соотношение должно быть между параметрами L и C, чтобы
последовательное соединение L и C работало как фильтр, пропускающий первую
гармонику?
5. Как получить фильтр, подавляющий первую гармонику?
6. Каким образом в рабочей схеме вызывается появление несинусоидальных токов и
напряжений?
7