Общие правила выполнения и оформления контрольной работы

Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Иркутской области
Братский политехнический колледж
Контрольная работа
по дисциплине
«Математика»
Вариант
Выполнил: студент группы ЭУз – 11-12– И. О. Фамилия
Проверил: преподаватель – Н.Л.Лапина
Братск, 2012
Общие правила выполнения и оформления контрольной работы
1. Контрольная работа выполняется письменно или на компьютере.
На титульном листе указывается:
ФИО студента полностью,
шифр специальности (профессии),
факультет, курс и номер группы,
Название и вариант контрольной работы (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10).
2. Вариант контрольной работы определяется в соответствии с порядковым
номером студента в списке, в двузначном номере это определяет последняя
цифра, если последняя цифра 0, то это 10 вариант. В задании представлены 10
номеров систем линейных уравнений с 1 по 10, которые совпадают с номером
варианта. Таким образом, необходимо решить одну из десяти систем линейных
уравнений.
3. Выполненная контрольная работа должна содержать формулировки всех
заданий и полные ответы на поставленные вопросы.
4. Работа, выполненная аккуратно и без исправлений, направляется в строго
установленные сроки на регистрацию и далее для проверки.
Контрольная работа
«Решение систем линейных уравнений»
Решить систему уравнений тремя способами: 1. Методом Крамера.
2. Методом Гаусса.
3. Методом матричного исчисления.
 x  y  3z  1

1.  2 x  y  z  0
4 x  7 y  8 z  3

 x  2y  z  5

6.  x  y  2 z  4
 2x  y  2z  7

 x  y  2 z  1

2. 2 x  y  2 z  4
4 x  y  4 z  2

 x  y  2 z  3

7.  2 x  3 y  z  1
 5x  2 y  z  0

 x yz 3

3.  x  2 y  2 z  7
2 x  2 y  z  4

 x  y  2 z  1

8.  2 x  y  2 z  4
 4 x  y  4 z  2

 x  y  2z  4

4.  x  2 y  z  5
2 x  y  2 z  7

 x  y  2z  3

9.  5 x  2 y  z  0
2 x  3 y  z  1

2 x  3 y  z  1

5.  5 x  2 y  z  0
 x  y  2z  3

 x  y  z  3

10. 2 x  2 y  z  4
 x  2 y  2 z  7

Методические указания.
1. Метод Крамера:
3x  2 y  4 z  21

 3x  4 y  2z  9
 2 x  y  z  10

Решение:
Вычислим определитель системы:
3 2 4
  3 4  2  3  4  ( 1 )  3  4  ( 1 )  ( 2 )  ( 2 )  2  4  4  2  3  ( 2 )  ( 1 )  3  ( 2 )  ( 1 )  60  0
2 1 1
1.
Значит система имеет единственное решение.
2.
Вычислим определители:
21  2
4
Х  9
4  2  300
10  1  1
3 21
4
 У  3 9  2  60
2 10  1
3  2 21
 Z  3 4 9  60
2  1 10
3. По формулам Крамера найдем решение системы:
у
60


 300
 60
у

 1
х х 
5
z z 
1
  60

 60
  60
Ответ: х=5, у=-1, z=1
2. Метод Гаусса:
3x  2 y  5z  1

 2 x  y  3z  13
 x  2y  z  9

Решение:
1.Запишем расширенную матрицу системы:
 3 2  5  1


 2  1 3 13 
1 2  1 9 


Сначала смотрим на левое верхнее число:
Для удобного создания ступенчатой матрицы здесь должна находиться
единица. Может и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно
сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу?
Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование
первое: меняем местами первую и третью строки:
3. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать,
чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно к элементам второй
строки прибавить соответствующие элементы первой строки, умноженные
на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4,
2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на
черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже
умноженную на –2:
 1 2  1 9   ( 2 )  1 2  1 9 




2

1
3
13


0

5
5

5




 3 2  5  1
3 2  5  1




Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на
первой позиции ноль, нужно к элементам третьей строки прибавить элементы
первой строки, умноженные на –3. Мысленно или на черновике умножаем
первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую
строку, умноженную на –3:
 1 2  1 9   ( 3 )  1 2  1 9 




 0  5 5  5 
0  5 5  5 
3 2  5  1 
 0  4  2  28 




Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:
В данном примере это сделать легко, элементы второй строки делим на –5
(поскольку там все числа делятся на 5 без остатка), чтобы на месте -5 получить
1, т.к. с единицей работать проще.
1 2  1 9 
1 2  1 9 




0

5
5

5
:
(

5
)

0
1

1
1




 0  4  2  28 
 0  4  2  28 




Далее в третьей строке во втором столбце (вместо -4) необходимо
получить 0. Для этого элементы второй строки умножим на 4 и сложим с
соответствующими элементами стретьей строки:
1 2  1 9 
1 2  1 9 




0 1  1 1   4  0 1  1 1 
 0  4  2  28  
 0 0  6  24 




Получили ступенчатую матрицу:
1 2  1 9 


0 1  1 1 
 0 0  6  24 


3. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная
исходной система линейных уравнений:
 x  2y  z  9
х  9  10  4  3


у  z  1   у  1 4  5



 6 z  24
z4


Ответ: х=3, у=5, z=4.
3.Метод матричного исчисления:
3x  2 y  4 z  21

 3x  4 y  2z  9
 2 x  y  z  10

Решение:
1. Запишем систему в матричной форме: А  Х  В , где А, В и Х матрицы
третьего порядка, составленные из элементов системы:
3  2 4 


А  3 4  2
 2  1  1


х
 
Х   у
z
 
 21 
 
В 9 
 10 
 
2. Решение системы найдём по формуле: Х=В:А, но так как деление матриц
не выполняется, запишем формулу в другом виде: Х  А 1  В ,
1
где А 1 - обратная матрица, которая вычисляется по формуле: А 
1 *
А

3 2
4
  3 4  2  3  4  ( 1 )  3  4  ( 1 )  ( 2 )  ( 2 )  2  4  4  2  3  ( 2 )  ( 1 )  3  ( 2 )  ( 1 )  60
2 1 1
Транспонированная матрица из алгебраических дополнений матрицы А:
 А 11

А*   А 12
А
 13
А 21
А 22
А 23
А 31 

А 32 
А 33 
,
Где алгебраические дополнения находят по формулам, путём вычисления
определителей второго порядка, которые составляют вычёркиванием строки и
столбца, в которых находится элемент матрицы А.
А 11  ( 1 )11 
4 2
 1  ( 4  ( 1 )  ( 2 )  ( 1 ))  6
1 1
А 12  ( 1 )12 
3 2
 1  1  1
2 1
А 12  ( 1 )12 
3 2
 1  1  1
2 1
А 21  ( 1 )21 
2 4
 1  6  6
1 1
А 22  11
А 23  1
А 31  12
А 32  18
А 33  18
  6  6  12 


А*    1  11 18 
  11  1 18 


1
3. Запишем обратную матрицу: А
4. Найдем Х по формуле:
  6  6  12 

1 

   1  11 18 
 60 

  11  1 18 
12   21 
  6  6  12   21 
6 6
   1 
  
1 
Х
   1  11 18    9  
  1 11  18    9  
 60 
  10  60  11 1  18   10 

11

1
18

  

  
 6  21  6  9  12  10 
 300   5 
 1 
  
1 

  1  21  11  9  18  10  
   60     1
60 
 60  60   1 
11

21

1

9

18

10



  
Ответ: х=5, у=-1, z=1