Ракитин А., Жиганов С.

154
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ СТАБИЛИЗАЦИИ
ЛОЖНЫХ ТРЕВОГ ПРИ ОБРАБОТКЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ
А.В. Ракитин1, С.Н. Жиганов1
1Муромский
институт (филиал) Владимирского государственного университета
602264, г. Муром, Владимирской обл., ул. Орловская, 23
E-mail:[email protected], [email protected]
В работе рассмотрены четыре алгоритма обнаружения объектов на изображениях,
позволяющих стабилизировать уровень ложных тревог. Алгоритмы основаны на
негауссовских моделях распределения окружающего обнаруживаемый объект
шума.
Введение
На этапе обнаружения объектов на изображениях для уменьшения уровня ложных
тревог необходимо знать статистические
свойства окружающего обнаруживаемый
объект шума, поскольку от этого зависит
алгоритм обнаружения. Если распределение шума отличается от принятого, то алгоритм обнаружения становится неоптимальным, и происходит увеличение уровня
ложных тревог.
Кроме этого определение статистических
свойств шума производится по ограниченной выборке, полученной из обрабатываемого изображения. Существуют различные
подходы к выделению области шума. Размер этой области зависит от размеров обнаруживаемых объектов и достаточного
объема выборки.
В работе [1] предложено для определения
статистических свойств шума использовать
внешнюю границу из пикселей окружающую квадратную область, в центре которой
находится проверяемый пиксель (рис.1).
Размер области выбирается несколько
больше размера обнаруживаемого объекта,
с тем, чтобы пиксели, относящиеся к объекту, не влияли на формируемую по внешней границе статистику.
Наиболее часто в качестве модели шума
используется гауссовская модель. В этом
случае по значениям пикселей из внешней
границы необходимо оценить два параметра: математическое ожидание c и среднеквадратическое отклонение c.
Обнаружитель выделяет пиксели Xi, относящиеся к целям в соответствии с правилом
X i  c
 KГ
(1)
c
где KГ постоянное значение порога, которое
определяется уровнем вероятности ложной
тревоги, а Xi, c и c рассчитываются в
натуральных логарифмах.
Проверяемый пиксель
Объект
Пиксели, использующиеся для определения
статистики шума
Рис.1. Область для вычисления статистики шума
Если расчетное значение в (1) превышает
порог KГ, то анализируемый пиксель объявляется относящимся к объекту, в противном случае пиксель относят к шуму.
Если бы шум на изображениях являлся
гауссовским, то обнаружитель (1) обеспечил бы любое требуемое значение ложной
тревоги. Поскольку распределения шума в
изображениях с высоким разрешением
155
можно описать гауссовским распределением лишь приблизительно, то приведенный
обнаружитель не всегда приводит к постоянному значению ложной тревоги.
Целью представленной работы является
получение алгоритмов вычисления статистик обнаружения для различных статистических моделей шума.
Статистические распределения шума,
используемые в изображениях
Наиболее полный обзор распределений вероятностей случайных процессов применяемых в радиосистемах приведен в работах
[2, 3]. В обработке изображений наибольшее распространение получили меньшее
количество распределений шумов, в силу
их адекватности статистическим свойствам.
1. Плотность распределения Вейбулла. Это
распределение достаточно часто используется для статистического описания шума от
подстилающей поверхности и отражений от
морской поверхности.
Плотность распределения Вейбулла определяется выражением [2 - 4]
wx  x1 exp  xa , x>0, α>0, >0, (2)
где α,  - параметры распределения.
Функция распределения Вейбулла имеет
вид
x  0,
 0,
(3)
F  x     x 
, x  0.
1-e
Функции (2) и (3) полностью определяются
двумя параметрами α и . В общем случае
для нахождения оценок этих параметров по
ограниченной выборке случайных процессов необходимо решать трансцендентное
уравнение, что не всегда возможно в силу
большой вычислительной сложности. Однако, в [4] показано, что для нахождения
оценок α и  можно использовать метод
моментов.
Центральные моменты µk k - го порядка величины ln(Xi) связаны следующим соотношением с параметром α

(4)
 k  kk ,

где постоянные k - не зависят от параметров распределения и принимают значения:
2 = 2/6, 3 = -2,404, 4 = 34/20, 5 =-64,43,
6 = 406,868 и т.д. Определив центральные
моменты k - го порядка по значениям пик-


селей, образующих внешнюю границу анализируемой области, можно на основе соотношения (4) найти оценку параметра *
в виде
*k

  k
 k
1k



,
(5)
1 n
где  k   ln X i  mk вычисляется по
n i 1
выборке объемом n, m 
1 n
 ln X i - средn i 1
нее значение.
При известном значении параметра *
можно найти оценку второго параметра
распределения * по соотношению [4]


(6)
*k  exp  *k m  C , k>2,
где С = 0,5772156… - постоянная Эйлера.
Алгоритм обнаружения в случае, если в качестве плотности распределения шума выбрано распределение Вейбулла, будет
иметь следующий вид:
1. На основе значений пикселей, образующих внешнюю границу анализируемой области (рис. 1) необходимо рассчитать т и
выборочный центральный момент порядка
k>2. В [4] показано, что при реализации алгоритма достаточно выбрать k =3.
2. По формулам (5) и (6) найти оценки параметров распределения  *k и *k .
3. Условие отнесения анализируемого пиксела к объекту имеет вид (степень экспоненты в выражении (3))
*
 *л X t л  K В ,
(7)
где КВ – постоянное значение порога обнаружения при распределении Вейбулла шума.
2. Статистика обнаружения при гаммараспределении шума. Гамма-распределение,
как и распределение Вейбулла, часто используется при описании статистики помех
и шума при обработки изображений.
В этом случае плотность распределения
шума имеет вид [2, 3]
wx  
1


x

x e , α>0, >0, (8)
 1  1
где α,  - так же являются параметрами
распределения, а Г(.) - гамма функция. Так
же как и в случае распределения Вебулла,
156
гамма-распределение зависит от двух параметров α и .
Функция распределения
x  0,
 0,
 
x
F x       1, 
(9)

 
, x  0.
   1
Известно [4], что математическое ожидание
и дисперсия случайной величины, имеющей гамма-распределение, определяются
через параметры α и  следующим образом
(10)
m    1, 2    12.
Решая систему (10) совместно относительно параметром α и  получаем оценки этих
параметров
2
m
 
,
*  *  1.
(11)
m

Нахождение оценок параметров распределения * и * упрощается по сравнению
со случаем, когда шум подчиняется распределению Вейбулла, поскольку при их
нахождении используются только среднее
значение и дисперсия шума.
Решение о принадлежности анализируемого пикселя цели при гамма-распределении
помехи определяется из условия

X 
 *  1, *t 
(12)
 


K
.
Гамма
 *  1
В числителе правой части (12) находится
неполная гамма функция. Как видно из
(12), в алгоритме обнаружения необходимо
вычислять значения гамма функции. Для
упрощения расчета значений гамма функции можно использовать асимптотическое
разложение Стирлинга [5]
1
1

z   e  z z z 1 2 2 1 


 12 z 288 z 2
(13)
139
571



 ....
51840 z 3 2488320 z 4

В вычислительном плане алгоритмы, построенные на основе моделей распределения Вейбулла и гамма-распределения примерно одинаковые: в обоих алгоритмах
приходится отходить от оптимальности за
счет упрощения алгоритма, но на разных
этапах обработки.
*


3. Обобщенное гамма распределение шума.
В работе [6] показано, что при использовании гамма-распределения и распределения
Вейбулла не достаточно точно описываются «хвосты» экспериментальных распределений шумов. Меньшими ошибками обладает распределение, предложенное в [6],
названное
обобщенным
гаммараспределением, и которое имеет вида
 
1
j    
j 

w x  

1 


2


2    
 
 
(14)



p

j

  j
e  jx d.
 
Это распределение является обобщением
нормального, вейбулловского и гаммараспределений.
В соотношении (14) Ф(.) - функция Лапласа, параметры p, α, β,  и  - определяются
через центральные моменты выборки [6].
Алгоритм обнаружения находится из функции распределения, которая имеет вид
F x  

1
1
1 j   2 2 2 j

e
e
 

2 2    j
j 

 jx
  1 
d.
 p  je
 

(15)
Значение интеграла в выражении (15) является вычисляемой статистикой алгоритма
обнаружения.
Таким образом, в случае если в качестве
распределения шума выбрать обобщенное
гамма-распределение, то необходимо по
выборке определять пять параметров p, α,
β,  и , по найденным значениям вычислить интеграл (15) и сравнить его значение
с порогом обнаружения.
Алгоритм обнаружения в этом случае более
сложный по сравнению с предыдущими
распределениями, что повлечет за собой
повышенные вычислительные затраты на
обработку изображений.
4. Распределение Вейбула-Накагами. В работах [7, 8] исследовано трехпараметрическое распределение вероятностей случайного процесса названное обобщенным распределением или распределением Вейбулла-Накагами. При определенных значениях
параметров этого распределения из него
могут быть получены законы распределения Вейбулла, гамма-распределение и др.
Оценивая коэффициенты этого распределе-
157
ния можно получить требуемое значение
вероятности ложных тревог.
Плотность распределения вероятностей
Вейбула-Накагами имеет вид
wx  
2c x 2a 1 c x 2c
,
e
 c 
(16)
α>0, с>0, >0.
Как показано в [8], параметр распределения
с находится из уравнения
m6c m2c  m42c


1,
(17)
m4c m4c  m22c
где m6c, m4c и m2c - начальные моменты порядка 6c, 4c, 2c соответственно аппроксимируемого распределения. Параметр с в
общем случае может принимать нецелое
значение.
Параметры α и  можно найти из соотношений
1
 m2c
c
(18)

 .

,


 m  m2 
m4c  m22c
2c 
 4c
Вычисляя моменты по выборки можно
полностью определить распределение (16)
по параметрам (17) и (18).
сm22c
Заключение
В представленной работе рассмотрены четыре модели распределения шума на изображениях, которые могут быть использованы при обнаружении объектов. Наиболее
привлекательным, с точки зрения уменьшения уровня ложных тревог наравне с небольшими вычислительными затратами,
является использование модели шума с
распределением Вейбулла-Накагами.
Литература
1. Novak L.M., Halversen S.D., Owirka G..J., Hiett M.
Effects of Polarization and Resolution on the Performance of a SAR Automatic Target Recognition
System // The Lincoln Laboratory Journal. - 1995. –
Vol. 8, No.1. – P. 49 – 68.
2. Шляхин В.М. Вероятностные модели нерелеевских флуктуаций радиолокационных сигналов //
Радиотехника и электроника. - 1987. - Т. XXXII,
№ 9. - С. 1793 - 1817.
3. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.:
Радио и связь, 1982.
4. Моисеев С.Н. Различение гипотез о логарифмически нормальном или веибулловском распределении выборки // Радиотехника и электроника. 1996. - Т. 41, № 10. - С. 1211 - 1214.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для
научных работников и инженеров). М.: Наука,
1974.
6. Irving W.W., Owirka G..J., Novak L.M. A New
Model for High-Resolution Polarimetric SAR Clutter Data // The Lincoln Laboratory Journal. - 1997. –
Vol. 10, No.5. – P. 52 – 61.
7. Карпов И.Г., Жук С.Я., Пасека И.В., Халин В.А.
Статистика ошибок пеленга протяженных целей
при негауссовских распределениях амплитуд
сигналов // Радиоэлектроника.-1996, № 6.- С. 3137.
8. Карпов И.Г., Галкин Е.А. Вероятностные модели
флуктуаций радиолокационных сигналов // Радиотехника. – 1998, № 3.- С. 73-77.