оценка гамма-процентного остаточного ресурса оборудования

ОЦЕНКА ГАММА-ПРОЦЕНТНОГО ОСТАТОЧНОГО
РЕСУРСА ОБОРУДОВАНИЯ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ
Нго Зюи До
Иркутская Государственная Сельскохозяйственная Академия, г. Иркутск
Научный руководитель – Краковский Юрий Мечеславович
Введение
При эксплуатации оборудования неизбежно возникают повреждения или другие
нарушения работоспособности его элементов даже при отсутствии дефектов
изготовления и соблюдении правил эксплуатации. Для повышения надежности и
снижения эксплуатационных расходов в течение срока службы оборудования,
используется система его технического обслуживания и ремонта. Очень важным
этапом процесса управления техническим состоянием оборудования является
определение его остаточного ресурса. Существует несколько показателей остаточного
ресурса оборудования. В статье рассматривается «гамма-процентный остаточный
ресурс», оцениваемый по статистическим данным. При оценке этого показателя
рассматриваются статистические и аналитические методы.
1. Статистический метод оценки остаточного ресурса
Предполагается, что по исследуемому оборудованию имеются статистические
данные по наработке. Дополнительно предполагается, что закон распределения для
наработки неизвестен. В этом случае можно оценить точечную и интервальную оценки
по известным формулам [1]:
a) точечная оценка гамма-процентного остаточного ресурса
[( z  z m1 )( R0 ( z m1 )   )]
,
(1)
T0 (t )  z m1  m
R0 ( z m1 )  R0 ( z m )
где z m  t m  t ; t  время эксплуатации, после которого стали исследовать группу
однотипного оборудования на отказ; t m  время отказа m  й единицы оборудования;
z 1  ...  z m  ...  вариационный ряд остаточных наработок. Для значений z m , z m1
R0 ( z m )    R0 ( z m1 ) ,
R0 ( z )  оценка вероятности
rs
безотказной работы для остаточного ресурса; R0 ( z ) 
, где s - число отказавших
r
за время z после времени t единиц оборудования за время z после времени t; γ доверительная вероятность;
б) нижняя доверительная граница гамма-процентного остаточного ресурса
T0 (t )
0
,
(2)
Tq (t ) 
1  u q f (r ,  )
выполняется
условие:
где
где u q - квантиль нормированного нормального закона( q  0.8; 0.9; 0.95; 0.99 );
1 
 r
.
(3)
f (r ,  ) 
 ln 
Рассмотрим пример в котором статистические данные получены по 25 аналогам
технологического оборудования [1]:
2.5; 4.8; 5.3; 5.8; 6.0; 6.7; 6.9; 7.4; 7.5; 7.9; 8.4; 8.6; 8.7; 9.1; 9.2; 9.5; 9.9;
10.1;10.6; 11; 11.5; 12.2; 14; 15.8; 17.3.
(4)
1
Требуется оценить 90 % остаточный ресурс (   0.9 ) после 3 лет эксплуатации
(t=3).
Проведем расчеты, используя формулы (1-3):
23
22
R0 ( z1 )  R0 (4.8  3) 
 0.958; R0 ( z 2 )  R0 (5.3  3) 
 0.917;
24
24
21
R0 ( z 3 )  R0 (5.8  3) 
 0.875 .
24
Учитывая, что   0.9 , m  3 .
Точечная оценка гамма-процентного остаточного ресурса (1)
( z  z 2 )( R0 ( z 2 )   )
(5.8  5.3)(0.917  0.9)
T0 (t )  z 2  3
 2.3 
 2.5 ( лет) .
R0 ( z 2 )  R0 ( z 3 )
0.917  0.875
При r  24 и q  0.9  u q  1.282 . С учетом формулы (3) , f (24,0.9)  0.646 .
Нижняя доверительная граница гамма-процентного остаточного ресурса (2)
2.5
T0q (t ) 
 1.37 ( лет) .
1  1.282  0.646
2. Аналитический метод оценки остаточного ресурса
Аналитический подход основан на решении уравнения (5) относительно остаточного ресурса y после времени t [1]
(5)
Pt ( y)   ,
где Pt ( y )  вероятность безотказной работы для остаточного ресурса равная
P(t  y )
.
(6)
Pt ( y ) 
P(t )
Рекомендуемое значение для вероятности   (0,9  0,95) .
Для решения уравнения (5) с учетом (6), необходимо определиться с законом распределения вероятностей для наработки и значениями его параметров.
В работе используется распределение Вейбулла, которое широко используется
для оценки надежности технических систем по результатам испытаний и эксплуатации.
Функция распределения для закона Вейбулла имеет вид


(7)
Ft   1  exp  t/  , t  0 ,
где η - параметр масштаба; β - параметр формы.
Вейбулл предложил распределение (7) для описания рассеивания параметров
усталостной прочности стали и пределов ее упругости, а в дальнейшем применил для
решения других задач. В настоящее время распределение Вейбулла нашло применение
при решении различных задач [2, 3]:
a) для описания характеристик рассеивания наработок между отказами;
b) для описания рассеивания ресурсов деталей, отказ которых возникает
вследствие изнашивания рабочих поверхностей;
c) при описании надежности сложных технических систем;
d) в качестве предельного распределения наработки для последовательной
системы.
Существует несколько методов оценки параметров распределения Вейбулла:
метод максимума правдоподобия, использование метода наименьших квадратов, метод
моментов. В работе используется метод моментов [1, 4].

2
Пусть
t  математическое
ожидание
наработки;
Dt  ее
дисперсия;
vt  коэффициент вариации:
t   .Γ(
1

 1);
(8)
 2

1
D   2 Γ(  1)  Γ 2 (  1);
t

 

2
1
(  1)   2 (  1)


.
vt 
1
(  1)
(9)
(10)


Здесь (x  1)  гамма-функция ; ( x  1)  x( x); ( x)   t x 1e t dt ; (n)  (n  1)! .
0
На рисунке 1 приведена зависимость vt (β) (10), полученная с использованием пакета «Матлаб».
Рис. 1. Зависимость vt (  ) для распределения Вейбулла
По методу моментов, решая уравнение (10), определяют первоначально значение
параметра β. Зная β, из уравнения (8) определяют значение параметра η. Так как мы не
знаем значения числовых характеристик (8-10), то они заменяются своими оценками.
Найдем эти оценки по статистическим данным (4).
Оценка математического ожидания
1 25
1
tˆ 
ti 
(2.5  4.8  5.3  ...  15.8  17.3)  9.068 ( лет);

25 i 1
25
Оценка среднеквадратического отклонения
1 25
s
(t i  tˆ) 2  10.981  3.314 ( лет);

25 i 1
Оценка коэффициента вариации
3.314
vˆt 
 0.365 .
9.068
Из зависимости (10) следует, что при vt  0.365 параметр формы   3 .
3
Из выражения (8) параметр масштаба
9.068

 10.15 .
(1 / 3  1)
Для получения остаточного ресурса у, необходимо решить уравнение (5), где для
распределения Вейбулла вероятность безотказной работы (6) равна


(11)
Pt y  exp  (t  y)/    t/  ;
Преобразовывая (11) и учитывая, что t=3, получим уравнение


 у3  3 
(12)
f ( у )  
 
  ln( 0.9)  0 .
 10.15   10.15 
Используя пакет «Матлаб» получим, что остаточный ресурс у=2.16 (лет).
Вычисленное значение попало в нижнюю часть доверительного интервала (1,37; 2,5),
полученную статистическим методом.
3
3
Вывод
Статистический метод позволяет найти точечную оценку остаточного ресурса и
нижнюю доверительную границу гамма-процентного остаточного ресурса. Но
статистический подход не позволяет в дальнейшем проводить аналитические
исследования по остаточному ресурсу.
Аналитический подход при вычислении гамма-процентного остаточного ресурса
требует знания закона распределения для наработки с точностью до значений его
параметров. Но при этом возможны дополнительные аналитические исследования
остаточного ресурса.
1.
2.
3.
4.
Библиографический список
Краковский Ю. М. Математические и программные средства оценки
технического состояния оборудования // Новосибирск: Наука, 2006. - 228 с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. 238 с.
Байхельт Ф.,Франкен П. Надежность и техническое обслуживание.
Математической подход. М: Радио и связь, 1988. - 392 с.
ГОСТ 11.007-75. Прикладная статистика. Правила определения оценок и
доверительных границ для параметров распределения Вейбулла. М.: Изд-во
стандартов, 1975. - 30 с.
4