Задачи о часах - Математика на 10

Задачи о часах
Задача 1. В доме трое часов. 1 января все они показывали верное время.
Но шли верно только первые часы; вторые отставали на 1 минуту в сутки,
третьи на 1 минуту спешил. Через сколько времени все трое часов будут
показывать верное время?
Решение. Через 720 суток. За это время вторые часы отстанут на 720
минут, т.е. на 12 часов. Третьи часы на столько же опередят.
Задача 2. Стенные часы отстают на две минуты, будильник спешит в час
на минуту. Часы остановились. Стрелки на стенных часах показывают 7 часов,
будильник – 8 часов. В котором часу часы были поставлены верно?
Решение. Будильник спешит в течение часа на 3 минуты по сравнению со
стенными часами. На 1 час он поспешит за 20 часов. За эти 20 часов будильник
уйдет вперед на 20 минут. Значит, стрелки были поставлены верно 19 часов 20
минут назад, т.е. в 11 часов 40 минут.
Задача 3. 50 минут назад от 6 часов было вчетверо больше минут после
трех. Который был час?
Решение. Между 3 и 6 часами 180 минут. 180 – 50=130. Пятая часть от
130 составляет 26 минут. Значит было 17.34.
Задача 4. В 12 часов стрелки на циферблате часов встречаются. В какое
время они встречаются снова?
Решение. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее, то она
1
11
отстает от минутной на
часа. За час минутная стрелка делает оборот на
12
круга больше, чем часовая. Значит, стрелки встретятся через
5
5
11
минуты.
1 встреча – в 1 час 5
5
11
2 встреча - в 2 часа 10
3 встреча - в 3 часа 16
4 встреча - в 4 часа 21
минуты.
10
11
4
11
9
минуты.
минуты.
минуты.
11
3
5 встреча - в 5 часов 27
6 встреча - в 6 часов 32
7 встреча - в 7 часов 38
8 встреча - в 8 часов 43
9 встреча - в 9 часов 49
11
8
11
2
11
7
11
1
11
минуты.
минуты.
минуты.
минуты.
минуты.
1
11
12
часа, т.е. через
10 встреча - в 10 часов 54
6
11
минуты.
11 встреча - в 12 часов.
Задача 5. В 6 часов стрелки направлены в противоположные стороны. В
какое время они расположены также?
Решение. После 12 часов стрелки в первый раз располагаются одна
6
8
против другой спустя
часа или 32 минуты. Такое расположение стрелки
занимают спустя 32
час 38
2
11
8
11
11
11
после каждой встречи, т.е. в 12 часов 32
минуты, в 2 часа 43
7
11
минуты, в 3 часа 49
1
11
8
минуты, в 1
11
минуты и т.д.
Задача 6. В котором часу минутная стрелка опережает часовую на
столько же, на сколько часовая находится впереди числа 12 на циферблате?
Когда часовая стрелка опережает минутную на столько же, на сколько
минутная продвигается вперед от числа 12?
Решение. Пусть часовая стрелка отошла от цифры 12 на долю оборота х.
Минутная стрелка за то же время пройдет в 12 раз больше, т.е. 12х. Если
вычесть отсюда один полный оборот, то остаток 12х – 1 должен быть вдвое
больше чем, чем х, т.е. равняться 2х. Отсюда следует, что полный оборот равен
1
1
10х или х= оборота. Значит, часовая стрелка отошла от цифры 12 на
10
10
12
полного оборота, на что потребуется
часа, или 1 час 12 минут. Следующий
10
момент наступит через 1 час 12 минут, т.е. в 2 часа 24 минуты; следующий в 3
часа 36 минут и т.д.
Часовая стрелка будет опережать минутную через 1
21
4
23
1
23
часа, т.е. в 1 час
минуты стрелки будут расположены должным образом. Второй раз они
5
19
будут так расположены в 2 часа 5 минуты, третий – в 3 часа 7 минуты и
23
23
т.д.
Задача 7. Часы бьют три. И пока они бьют, проходит три секунды.
Сколько времени часы бьют семь раз?
Решение. Когда часы бьют три раза между ними два промежутка по 1,5
секунды. Между семью ударами – шесть промежутков, значит, семь раз часы
бьют за 6·1,5=9 секунд.
Задача 8. В 3 ч стенные часы отбивают 3 удара за 6 с. За сколько секунд
эти часы отобьют 6 ударов в 6 ч; 8 ударов в 8 ч?
Ответ: за 15 с; за 21 с.
Задача 9. Существует ли такой момент, когда часовая, минутная и
секундная стрелки образуют попарно углы в 120°?
Решение: Будем отмерять время от полудня. Предположим, что t<12 ч нужный момент времени. Нетрудно понять, что тогда в момент времени 3t все
три стрелки совместятся друг с другом.
Угол между направлениями совмещения часовой и минутной стрелок
составляет 1/11 полного оборота; минутной и секундной стрелок - 1/59 полного
оборота. Числа 11 и 59 - взаимно простые. Поэтому все три стрелки
совмещаются только в начале отсчёта.
Тем самым 3t - это 12 или 24 часа. Тогда t - это 4 или 8 часов. Однако в
эти моменты времени минутная и секундная стрелки совмещаются, а не
образуют угол в 120°. Поэтому искомого момента времени не существует.
Задача 10. Однажды после обеда я зашел к своему товарищу, у которого
было двое часов с боем. Одни из них били через 3 с, а другие - через 4 с. И те и
другие часы начали бить одновременно. Всего я насчитал 8 ударов, так как
совпадающие удары я не мог различить и считал за один. Который был час?
Ответ: 5 ч
Задача 11. Двое часов А и Б с одинаковым боем ударили всего, как я
насчитал, 19 раз. Это произошло потому, что начало боя не совпадало на 2 с, и
часы А ударяли через 3 с, а часы Б, которые отставали, через 4 с. Который был
час?
Ответ: 11 ч
Задача 12. В кабинете со звуконепроницаемыми стенами висят
старинные стенные часы, которые бьют каждые полчаса (один удар) и каждый
час (столько ударов, сколько часов показывает часовая стрелка). Однажды,
открыв дверь в кабинет, хозяин услышал один удар часов. Через полчаса часы в
кабинете пробили еще раз - опять один удар, спустя полчаса - еще один удар.
Наконец, еще через полчаса, часы снова проба один раз. Сколько было
времени, когда хозяин входил в кабинет?
Ответ: 12 ч. Входя в кабинет, он услышал последний удар из двенадцати.
Задача 13. У одного любителя математики спросили: «Который час?» Он
ответил: «Если вы прибавите четверть того времени, которое прошло после
полудня до данного момента, к половине времени, которое пройдет от данного
момента до завтрашнего полудня, то как раз будет то, что нужно». Сколько же
было времени?
Ответ: 9 ч 36 мин вечера
Задача 14. Сейчас 6 ч вечера. Какую часть составляет оставшаяся часть
суток от прошедшей и какая часть суток осталась?
1 1
Ответ: ,
3 4